Avaliando - Equacoes Dinamicas de Sistemas Lineares

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Teste de
Conhecimento
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A análise de um sistema pode ser realizada se o modelo matemático que define seu sistema físico, por meio de uma função de
transferência, for conhecido. Dessa forma, seu desempenho pode ser avaliado em função do estimulo recebido, ou seja, resposta a
entrada. Uma ferramenta extremamente útil é a transformada de Laplace, que por meio do uso de matrizes, pode se encontrar a
solução para as equações de estado idealizadas pelo modelo matemático que define um determinado sistema físico. Considere o
sistema representado no espaço de estado abaixo. Determine a matriz exponencial eAt:
SISTEMAS DINÂMICOS
Lupa Calc.
 
 
ARA0388_201807135713_TEMAS 
 
Aluno: JOÃO PAULO VILVERT Matr.: 201807135713
Disc.: SISTEMAS DINÂMIC 2022.1 (G) / EX
 
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar
com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
 
1.
Data Resp.: 02/04/2022 20:41:33
 
Explicação:
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:calculadora_on();
A análise de um sistema pode ser realizada se o modelo matemático que define seu sistema físico, por meio de uma função de
transferência, for conhecido. Dessa forma, seu desempenho pode ser avaliado em função do estimulo recebido, ou seja, resposta a
entrada. Considerando a função de transferência do sistema abaixo, os pólos desse sistema estão localizados em:
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em qualquer projeto de sistema de controle. O critério de
estabilidade de Routh-Hurwitz é uma metodologia fundamental para analisar a estabilidade de sistemas dinâmico lineares.
Observando o polinômio característico abaixo, é possível definir que o sistema será estável para:
 
 
 
 
2.
S1=S2= 1 j1,732
S1=S2= - 1 j1,732
S1=S2= -1,732 j1
S1=S2= -1
S1=S2= j 1,732
Data Resp.: 02/04/2022 20:42:10
 
Explicação:
 
 
 
 
3.
Data Resp.: 02/04/2022 20:42:45
 
±
±
±
±
k > 0
k < 0
0<k<1
k > 1
k < 1
A representação de sistemas físicos através de modelos matemáticos é uma ferramenta de grande importância. Considerando o
sistema elétrico da figura abaixo, é possível dizer que o número de variáveis de estado que o mesmo apresenta é igual a:
A representação matemática de um sistema físico que relaciona a sua entrada com a sua saída é definida como função de
transferência. Considere o sistema mecânico formado por uma mola e um amortecedor da figura abaixo. Esse sistema possui uma
mola de massa M submetida a uma força para retirá-la da situação de repouso. É possível definir que a função de transferência
desse sistema que relaciona a força aplicada sobre o sistema e a posição do bloco é definida por:
Fonte: YDUQS - Estácio - 2021
Explicação:
Gabarito: 
Justificativa: Através do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é possível montar a seguinte tabela de Routh para o
polinômio:
Para a linha é possível observar que para que não haja mudança de sinal , então: 
Para a linha é possível observar que para que não haja mudança de sinal 
Então: 
 
 
 
 
4.
1
5
3
4
2
Data Resp.: 02/04/2022 20:43:09
 
Explicação:
Gabarito: 2
Justificativa: Como o sistema apresenta dois elementos passivos armazenadores de energia (um capacitor e um
indutor) é seguro afirmar que a representação no espaço de estado possuirá 2 variáveis de estado.
 
 
 
 
5.
0<k<1
s1 2 − 2k > 0 k < 1
s0 k > 0
0<k<1
=
X(s)
F(s)
1
fvs+K
=
X(s)
F(s)
1
Ms2+fvs
=
X(s)
F(s)
1
Ms2+fvs+K
A representação matemática de um sistema físico que relaciona a sua entrada com a sua saída é definida como função de
transferência. Considere o circuito resistor - capacitor (RC) da Figura abaixo. Se os valores dos elementos do circuito forem
definidos por: e , pode-se afirmar que a função de transferência desse circuito será definida por:
Fonte: YDUQS - Estácio - 2021
Data Resp.: 02/04/2022 20:46:49
 
Explicação:
Gabarito: 
Justificativa: A partir do somatório das forças que atuam sobre o bloco de massa M é possível definir a equação:
Reorganizando-se essa equação pode-se produzir a função de transferência:
 
 
 
 
6.
Data Resp.: 02/04/2022 20:47:30
 
Explicação:
Gabarito: 
Justificativa: Circuitos do tipo resistor - capacitor (RC) possuem uma função de transferência definida por:
 
 
=
X(s)
F(s)
k
Ms2+fvs+K
=
X(s)
F(s)
1
Ms2+K
=
X(s)
F(s)
1
Ms2+fvs+K
R = 2ohm C = 2Faraday
=
VC(s)
V (s)
s
(s+4)
=
VC(s)
V (s)
1/4
(s+1/4)
=
VC(s)
V (s)
4
(s+4)
=
VC(s)
V (s)
s
(s+1/4)
=
VC(s)
V (s)
1
(s+1)
=
VC(s)
V (s)
1/4
(s+1/4)
O desenvolvimento de sistemas de automação e controles de processos físicos depende de sua representação no espaço de estado
por meio do conhecimento de todas as variáveis envolvidas. Considere a matriz de estado definida abaixo. O produto dessa matriz
pela sua matriz inversa produzirá um resultado igual a:
Representar um sistema no espaço de estado apresenta uma grande importância no desenvolvimento de sistemas físicos sendo
fundamental para a elaboração de estratégias de controle. Observando a equação diferencial abaixo, e considerando o vetor de
estado , é possível definir que a matriz de estado apresentará ao menos 1 linha definida por:
 
 
7.
Data Resp.: 02/04/2022 20:47:59
 
Explicação:
Gabarito: 
Justificativa: Como a matriz de estado é definida por:
E sua inversa é dada por:
Assim, o produto é igual a:
 
 
 
 
8.
[
0 1
1 0
]
[
1 0
0 1
]
[
−5 −1
4 0
]
[
0 1
−4 −5
]
[
0 1
16 25
]
[
1 0
0 1
]
A. A−1
x(t) = [c(t) ċ(t) c̈(t)]
...
c + 12c̈ + 20ċ = 80r
⎡
⎢ ⎢
⎣
. . .
0 −20 −12
. . .
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
. . .
. . .
0 −20 −12
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
. . . 0
. . . −20
. . . −12
⎤
⎥ ⎥
⎦
Uma função de transferência é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída para a entrada com todas as
condições iniciais iguais a zero. Observe a função de transferência abaixo, é possível considerar, adotando-se o princípio
fundamental da estabilidade com relação à posição das raízes do sistema, que o sistema é:
Uma função de transferência é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída para a entrada com todas as
condições iniciais iguais a zero. Realizando-se uma mudança nos sinais de pólos e zeros da função de transferência do sistema
físico, é possível observar que a fase desse sistema em :
Data Resp.: 02/04/2022 20:48:39
 
Explicação:
Gabarito:
Justificativa: Observando a equação diferencial
 
 
 
 
9.
instável pois apenas possui raízes no semi-plano esquerdo.
estável pois possui raízes sobre o eixo imaginário.
estável pois apenas possui raízes no semi-plano esquerdo.
instável pois possui raízes no semi-plano direito.
estável pois possui raízes no semi-plano direito.
Data Resp.: 02/04/2022 20:49:19
 
Explicação:
Gabarito: estável pois apenas possui raízes no semi-plano esquerdo.
Justificativa: Pela função de transferência é possível observar que:
As raízes desse sistema são apenas pólos e podem ser definidas por:
 
 
 
 
10.
0°
-180°
90°
-90°
⎡
⎢ ⎢
⎣
0 . . .
−20 . . .
−12 . . .
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
0 −20 −12
. . .
. . .
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
. . .
. . .
0 −20 −12
⎤
⎥ ⎥
⎦
ẋ3 =
...
c = −12c̈ − 20ċ + 80r
⎡
⎢ ⎢
⎣
ẋ1
ẋ2
ẋ3
⎤
⎥ ⎥
⎦
=
⎡
⎢ ⎢
⎣
0 1 0
0 0 1
0 −20 −12
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
c
ċ
c̈
⎤
⎥ ⎥
⎦
+
⎡
⎢ ⎢
⎣
0
0
80
⎤
⎥ ⎥
⎦
r
G(s) = 80
(s+2)(s+6)
G(s) = 80
(s+2)(s+6)
s + 2 = 0 → s = −2
s + 6 = 0 → s = −6
ω → 0
180°
Data Resp.: 02/04/2022 20:49:37
 
Explicação:
Gabarito: 0°
Justificativa: A análise para pólos com parte real negativa deve se iniciar em -180°, tendo em vista a contribuição
positiva do pólo. Assim:
Na frequência :
 
 
 
 
 
 
 
 Não Respondida Não Gravada GravadaExercício inciado em 02/04/2022 20:39:19. 
 
 
 
 
ω → ∞