A3 - Calculo Aplicado - Várias Variáveis I

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Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus 
modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um 
sólido que está sob o parabolide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro 
x²+y²=2x, em que as unidades de medida estão em centímetros. Na propaganda, a 
fábrica anunciou que esse novo modelo possui aproximadamente 4,7 cm³ de 
volume. Utilizando π=3,14, resolva as equações e justifique as respostas. 
 
O limite da equação x²+y²= 2x. 
Temos, (x-1)²+y²=1 
portanto(x-1)² + y ² = r² e x = rcos Ɵ, assim o limite fica: r²= 2r cos Ɵ 
D={(r, Ɵ) | -π/2 ≤ 0 ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cosƟ} 
𝑣 = ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴 = ∬
𝜋/2
−
𝜋
2
[
𝑟4
4
]
0
2 cos 𝜃
𝑑 𝜃
𝐷
 
𝑉 = 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑 = 8 ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃 = 8 ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
)
𝜋/2
0
𝜋/2
0
𝜋/2
−𝜋/2
𝑑𝜃 
= 2 ∫ [1 + 2 cos 2𝜃 +
1
2
(1 + cos 4𝜃)] 𝑑𝜃
𝜋/2
0
 
= 2 [
3
2
 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
8
𝑠𝑒𝑛 4𝜃]
0
𝜋/2
= 2 (
3
2
) (
𝜋
2
) = 
3𝜋
2
 
Considerando π=3,12, temos que 
3𝜋
2
~4,7𝑐𝑚3de volume.