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Conceitos úteis de física

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Capítulo 2
Conceitos úteis
2.1 Ordem de grandeza
2.1.1 Introdução
Qual é a ordem de grandeza do número 23? É da ordem das dezenas. Como é que sabemos? Porque
está mais perto de 10 do que de 100?
E o número 99? Por um raciocínio análogo será da ordem das centenas porque está mais perto de
100 do que de 10?
A partir de que valor é que posso decidir que passei das dezenas para as centenas? Será o 50?
2.1.2 Definição
A ordem de grandeza de um número (n) é a potência de 10 com expoente inteiro (i) que melhor se
aproxima de n.
Em notação matemática:
n ∼ 10i (2.1)
Por exemplo, o número 23 é igual a 101.36. Ou seja, 101 é a potência de 10 que melhor se aproxima
de 23.
Dizemos então que 23 é da ordem de grandeza de 101. Em notação matemática:
23 ∼ 101
Seguindo este raciocínio, o número a partir do qual passamos à ordem de grandeza seguinte será
igual a 101.5 ≈ 31.6 porque 1.5 já arredonda para 2.
Uma forma de generalizar este conceito pode ser através da modificação da equação (2.1):
i = [log10 (n)] (2.2)
em que [] representa o operador arredondamento.
2.1.3 Representação científica de um número
Uma outra forma de avaliar a ordem de grandeza de um número (n) envolve a adopção da notação
científica.
Nesta notação n deve ter o seguinte formato:
n = m× 10k (2.3)
em que m designa-se mantissa e k expoente.
A mantissa deve estar entre 1 e 10 (excluindo 10):
m ∈ [1, 10[ (2.4)
e o expoente deve ser inteiro:
11
2.2. PERCENTAGEM CAPÍTULO 2. CONCEITOS ÚTEIS
k ∈ Z (2.5)
Alguns exemplos:
23 = 2.3× 101
99 = 9.9× 101
0.012 = 1.2× 10−2
7230 = 7.23× 103
2.1.4 Ordem de grandeza da mantissa
Podemos então subdividir o n em duas partes: m e 10k. 10k será uma primeira estimativa da ordem
de grandeza de n.
Se m ≥ 100.5 ≈ 3.16 irá contribuir com mais uma ordem de grandeza e concluímos que:
n ∼ 10k+1 (2.6)
Caso contrário
�
m < 100.5 ≈ 3.16
�
ficamos pela estimativa inicial:
n ∼ 10k (2.7)
Ou ainda, se log10 m ≥ 0.5 a ordem de grandeza de n será dada por (2.6). Se log10 m < 0.5 a
ordem de grandeza de n será dada por (2.7).
2.2 Percentagem
Como é que se representa um número no formato de percentagem? Para tal temos apenas de saber o
significado do símbolo “%”. Este símbolo representa um centésimo, ou seja:
% =
1
100
(2.8)
Se quisermos representar o número 5 sob a forma de uma percentagem temos apenas que multiplicar
e dividir por 100. Em seguida se substituirmos 1100 por %, de acordo com (2.8) obtemos:
5 = 5× 100× 1
100
= 500%
A definição (2.8) também é suficiente para o processo inverso. Por exemplo:
2% = 2× 1
100
= 0.02
Alguns exemplos:
1
2 = 0.5 = 50%
1
4 = 0.25 = 25%
1
8 = 0.125 = 12.5%
20% de 5 é:
20%× 5 = 20× 1
100
× 5 = 1
2.3 Variação
A variação de uma grandeza pode ser apresentada sob várias formas: absoluta, relativa ou relativa
percentual.
12
CAPÍTULO 2. CONCEITOS ÚTEIS 2.3. VARIAÇÃO
2.3.1 Variação absoluta
A variação absoluta da grandeza x (∆x) é dada pela diferença entre o valor final da grandeza (xf ) e
o seu valor inicial (xi):
∆x = xf − xi (2.9)
Com a variação absoluta pretende-se saber por que parcela houve uma variação da grandeza.
Podemos facilmente demonstrar a partir da equação (2.9) que se a variação absoluta é:
• positiva (∆x > 0), x aumentou.
• nula (∆x = 0), x manteve-se inalterada.
• negativa (∆x < 0), x diminuiu.
2.3.2 Variação relativa
A variação relativa da grandeza x é obtida por comparação da variação absoluta com o valor inicial.
�x
xi
(2.10)
Com a variação relativa pretende-se saber por que factor houve uma variação da grandeza.
É de notar ainda o seguinte pormenor: se o valor inicial de x for negativo (xi < 0) e a grandeza
aumentar (∆x > 0), a variação relativa será negativa. Isto que dizer que segundo a definição (2.10)
não podemos inferir a partir do sinal da variação relativa de uma grandeza se houve um aumento ou
diminuição da mesma, tal como fizemos para a variação absoluta.
2.3.3 Variação relativa percentual
A variação relativa percentual é apenas uma forma diferente de representar a variação relativa de x
(2.10):
�x
xi
× 100% (2.11)
Esta é a forma mais frequente e intuitiva de representar uma variação em laboratório.
Alguns exemplos:
• Se uma grandeza aumenta 100% então duplica:
�x
xi
× 100% = 100% ⇔
⇔ �x
xi
= 1 ⇔
⇔ xf − xi = xi ⇔
⇔ xf = 2xi
• Se uma grandeza diminui 50% então reduz-se a metade:
�x
xi
× 100% = −50% ⇔
⇔ �x
xi
= −0.5 ⇔
⇔ xf − xi = −0.5xi ⇔
⇔ xf = 0.5xi
13
Capítulo 4
O Sistema Internacional
O Sistema Internacional (SI) é um sistema de unidades que foi criado em 1960 na 11ª Conferência
Geral de Pesos e Medidas [2]. O objectivo era criar um sistema de unidades que fosse adoptado por
todos os países de forma a evitar a necessidade de conversão de unidades.
4.1 As unidades de base
O sistema de unidades SI foi construído a partir de 7 unidades de base [3]:
Grandeza Unidade SI
Nome Símbolo Nome Símbolo
comprimento l, x, y, z, r,... metro m
massa m,M quilograma kg
tempo, duração t,∆t segundo s
intensidade da corrente eléctrica I, i ampère A
temperatura T kelvin K
intensidade luminosa IV candela cd
quantidade n mole mol
Tabela 4.1: Unidades de base do SI
4.2 As unidades derivadas
Qualquer grandeza cujas unidades não sejam de base terá unidades que serão representadas como uma
função de uma ou mais unidades de base. Dizemos que essa grandeza tem unidades derivadas.
Alguns exemplos:
• m2 - o “metro quadrado” é a unidade de área do SI. É uma unidade derivada que resulta apenas
de uma unidade de base SI.
• Hz - o “hertz” é a unidade de frequência do SI. É uma unidade derivada que resulta apenas de
uma unidade de base SI.
Hz =
1
s
(4.1)
• N - o “newton” é a unidade de força do SI. É uma unidade derivada que resulta de 3 unidades de
base SI:
N =
kg · m
s2
(4.2)
• V - o “volt” é a unidade de potencial eléctrico do SI. É uma unidade derivada que resulta de 4
unidades de base SI:
V =
kg · m2
A · s3
(4.3)
19
4.3. UNIDADES DERIVADAS ESPECIAIS CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL
• T- o “tesla” é a unidade de campo magnético do SI. É uma unidade derivada que resulta de 3
unidades de base SI:
T =
kg
A · s2
(4.4)
• Ω - o “ohm” é a unidade de resistência eléctrica do SI. É uma unidade derivada que resulta de 4
unidades de base SI:
Ω =
kg · m2
A2 · s3
(4.5)
• lm - o “lúmen” é a unidade de fluxo luminoso do SI. É uma unidade derivada que resulta de 2
unidades de base SI:
lm = cd · sr (4.6)
4.3 unidades derivadas especiais
No SI as duas grandezas ângulo e ângulo sólido são consideradas adimensionais e as suas unidades são
consideradas derivadas.
4.3.1 ângulo ou ângulo plano
Para compreendermos o que é um ângulo consideremos uma linha semi-recta com origem num ponto
O. Se rodarmos a semi-recta segundo um plano P em torno da origem, o ângulo será uma medida da
rotação efectuada.
No caso do SI a medida é dada pelo comprimento do arco de circunferência de raio unitário entre
os dois pontos de intersecção da linha com a circunferência.
Ou seja, se quisermos medir um ângulo, desenhamos uma circunferência de raio unitário centrada
no ponto O. O ângulo é igual ao comprimento do arco de circunferência a vermelho na Figura 4.1.
A definição baseia-se na seguinte fórmula:
θ =
s
r
(4.7)
em que s é o comprimento de um arco de circunferência de raio r.
1
O
Figura 4.1: Ângulo plano
A unidade SI do ângulo é o radiano (rad).
Sabendo que o perímetro de uma circunferência de raio unitário é igual a 2π podemos então concluir
que um ângulo completo tem 2π rad
.Alguns exemplos:
• ângulo recto - representa 1/4 de um ângulo completo logo é igual a π/2 rad.
• ângulo interno de um triângulo equilátero - representa 1/6 de um ângulo completo logo é igual
a π/3 rad.
20
CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL 4.4. OS PREFIXOS DAS UNIDADES
4.3.2 ângulo sólido
O ângulo sólido pode ser visto como uma generalização para três dimensões do conceito de ângulo
plano. Consideremos uma semi-recta com origem num ponto O tal como definimos para o ângulo
plano (ver 4.3.1).
Agora em vez de rodarmos o segmentode recta em torno de O sobre um plano, continuamos a
rodar em torno de O mas agora em qualquer direcção voltando sempre à posição inicial. O ângulo
sólido será uma medida da rotação tridimensional efectuada.
No caso do SI a medida é dada pela área da secção de uma esfera de raio unitário definida pela
intersecção da linha com a esfera.
Ou seja, se quisermos medir um ângulo sólido, desenhamos uma esfera de raio unitário centrada no
ponto O. O ângulo é igual à área da secção da esfera a vermelho na Figura 4.2.
A definição baseia-se na seguinte fórmula:
Ω =
A
r2
(4.8)
em que A é a área da secção de esfera de raio r.
O
1
Figura 4.2: Ângulo sólido
A unidade SI do ângulo sólido é o esterradiano (sr).
Sabendo que a área da superfície de uma esfera de raio unitário é igual a 4π podemos então concluir
que um ângulo sólido completo tem 4π sr.
Alguns exemplos:
• ângulo sólido no interior do vértice de um cubo - representa 1/8 de um ângulo sólido completo
logo é igual a π/2 sr.
• ângulo sólido no interior do vértice de um tetraedro regular (pirâmide triangular com as arestas
todas iguais) - é igual a 3 arccos
�
1
3
�
− π � 7π/40 sr.
• ângulo sólido no interior do vértice de um sólido platónico - é igual a qθ− (q − 2)π sr em que q
é o número de faces que constituem o ângulo sólido e θ é o ângulo diedro.
4.4 Os prefixos das unidades
Na natureza uma grandeza pode variar muitas ordens de grandeza. Por uma questão de economia de es-
forço convencionou-se representar um múltiplo ou submúltiplo da unidade de uma grandeza adicionando
um dos seguintes prefixos:
21
4.5. CONTAS COM UNIDADES E SUAS VANTAGENSCAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL
Múltiplos
Nome Símbolo Factor
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
Tabela 4.2: Prefixos múltiplos da unidade
Submúltiplos
Nome Símbolo Factor
deci d 10−1
centi c 10−2
mili m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
fento f 10−15
ato a 10−18
zepto z 10−21
yocto y 10−24
Tabela 4.3: Prefixos submúltiplos da unidade
4.5 Contas com unidades e suas vantagens
Nesta unidade curricular vamos realizar todos os cálculos com grandezas físicas apresentando explici-
tamente as unidades em todos os passos. Pretende-se que este procedimento torne-se num hábito que
perdure para além desta unidade. Mas o que é que ganhamos ao fazê-lo?
Para compreendermos os benefícios consideremos o seguinte problema:
Um automóvel desloca-se na via rápida com uma velocidade constante de 36 km/h. Qual é a
distância que percorre em 20 minutos?
Alguns alunos poderão estar neste momento a perguntar-se: qual era mesmo a fórmula da veloci-
dade?
Se olharmos para as unidades dos dados teremos a resposta. As unidades da velocidade estão em
km/h. Ou seja, a partir das unidades sabemos que a velocidade será obtida a partir de uma distância
(em km) a dividir por um tempo (em h). Logo podemos prever que a fórmula para a velocidade v será
dada por:
v =
∆x
∆t
em que ∆x é o espaço percorrido entre dois pontos e ∆t é o intervalo de tempo que decorreu.
A primeira vantagem: Não é preciso fixar as fórmulas. Uma análise das unidades dos dados permitem
adivinhar a fórmula.
Ao fazer as contas com as unidades explicitadas:
36 km/h = ∆x20 min ⇔
⇔ ∆x = (36 km/h)× 20 min
22
4.5. CONTAS COM UNIDADES E SUAS VANTAGENSCAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL
Múltiplos
Nome Símbolo Factor
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
Tabela 4.2: Prefixos múltiplos da unidade
Submúltiplos
Nome Símbolo Factor
deci d 10−1
centi c 10−2
mili m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
fento f 10−15
ato a 10−18
zepto z 10−21
yocto y 10−24
Tabela 4.3: Prefixos submúltiplos da unidade
4.5 Contas com unidades e suas vantagens
Nesta unidade curricular vamos realizar todos os cálculos com grandezas físicas apresentando explici-
tamente as unidades em todos os passos. Pretende-se que este procedimento torne-se num hábito que
perdure para além desta unidade. Mas o que é que ganhamos ao fazê-lo?
Para compreendermos os benefícios consideremos o seguinte problema:
Um automóvel desloca-se na via rápida com uma velocidade constante de 36 km/h. Qual é a
distância que percorre em 20 minutos?
Alguns alunos poderão estar neste momento a perguntar-se: qual era mesmo a fórmula da veloci-
dade?
Se olharmos para as unidades dos dados teremos a resposta. As unidades da velocidade estão em
km/h. Ou seja, a partir das unidades sabemos que a velocidade será obtida a partir de uma distância
(em km) a dividir por um tempo (em h). Logo podemos prever que a fórmula para a velocidade v será
dada por:
v =
∆x
∆t
em que ∆x é o espaço percorrido entre dois pontos e ∆t é o intervalo de tempo que decorreu.
A primeira vantagem: Não é preciso fixar as fórmulas. Uma análise das unidades dos dados permitem
adivinhar a fórmula.
Ao fazer as contas com as unidades explicitadas:
36 km/h = ∆x20 min ⇔
⇔ ∆x = (36 km/h)× 20 min
22
CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL 4.6. O SIGNIFICADO FÍSICO
Temos duas unidades de tempo diferentes logo uma delas tem de ser modificada:
∆x = (36 km/60min)× 20 min
As conversões de unidades fazem-se directamentem em vez de utilizarmos regras desnecessárias (de
três simples, de pirâmide, etc.) e sujeitas a lapsos de memória.
A segunda vantagem: As conversões de unidades tornam-se simples.
Concluindo os cálculos vemos que ∆x vem com unidades consistentes com a grandeza:
∆x = 12 km
Suponhamos que partíamos de uma fórmula errada:
v = ∆x ·∆t
Ao fazermos as contas com as unidades explicitadas:
36 km/h = ∆x× 20 min ⇔
⇔ ∆x = 36 km/h20 min ⇔
⇔ ∆x = 36 km/60min20 min ⇔
∆x = 0.03 km/min2
O espaço percorrido tem unidades de km/min2!?
A terceira vantagem: Se a fórmula estiver errada o resultado virá com unidades que não são com-
patíveis com a grandeza. Ou seja, temos um mecanismo de detecção de erros.
4.6 O significado físico
Na versão errada do problema da secção 4.5 o resultado final foi de 0.03 km/min2. Suponhamos que
não se tinha utilizado as unidades nos cálculos intermédios. Como se “sabia” que ∆x tinha que ter
unidades de comprimento, poderia-se ter concluído erradamente que ∆x = 0.03 km.
Mesmo nestas circunstâncias ainda nos resta o maior mecanismo de detecção de erros ao qual
devemos sempre recorrer. Este mecanismo é simplesmente perguntar:
Será que o resultado faz sentido?
Um automóvel desloca-se durante 20 minutos a uma velocidade de 36 km/h e desloca-se apenas 30
metros!? Isto fisicamente não faz sentido!
Esta ferramenta necessita apenas de espírito crítico e do conhecimento dos valores típicos das gran-
dezas em jogo no mecanismo que estamos a estudar. Este estado de espírito é ainda mais importante
numa era em que muitas das decisões que tomamos em todas as áreas da ciência são fruto de resultados
numéricos obtidos a partir de programas de computador. A nossa única defesa contra possíveis erros é
o contacto com a realidade, é compreendermos a natureza. As contas podem ser muito complicadas
mas no fim o resultado tem que fazer sentido.
23
Aula 1
Analogia campo grav́ıtico , campo elétrico
Pontos comuns:
~g ~E
vectorial⇤ vectorial⇤
~g =
~F
m (força por unidade de massa)
~E =
~F
q (força por unidade de carga)
força exercida sobre força exercida sobre
massa de prova de 1 kg carga de prova de +1 C
W = Fd = mgd - energia potencial grav́ıtica W = Fd = qEd - energia potencial elétrica
pode ser convertida em pode ser convertida em
energia cinética de massa energia cinética de carga
g = Gmd2 - campo grav́ıtico de fonte pontual E =
1
4⇡"
q
d2 - campo elétrico de fonte pontual
varia com o inverso do quadrado da distância varia com o inverso do quadrado da distância
Table 1: Pontos comuns
⇤ é necessário conhecer a intensidade, direção e sentido para descrevê-las completamente.
Pontos distintos:
~g ~E
massas são sempre cargas elétricas podem ser
positivas positivas ou negativas
vetores convergem vetores divergem seq > 0
para a fonte e convergem se q < 0
forças são sempre de forças podem ser de
atração atração ou repulsão
Table 2: Pontos distintos
Campo produzido por duas cargas
Ver figuras 1 e 2:
• O campo é criado pelas cargas q1 e q2.
• A carga vermelha é a carga de prova. É deslocada para avaliar o campo em cada ponto.
Na figura aparece num ponto e vê-se que resulta da soma das forças devidas à carga q1 e
q2.
• As linhas de campo divergem das cargas positivas e convergem nas cargas negativas.
• Se as cargas geradoras do campo têm igual sinal as linhas “fogem” umas das outras. Caso
contrário as linhas de campo unem as cargas opostas.
• O campo é mais intenso perto das cargas.
• As linhas equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo.
E = ��V
�d
1
• As linhas equipotenciais são mais densas (mais próximas umas das outras) nos pontos
onde o campo é mais intenso. Ou seja, quando salto de uma linha equipotencial (e.g.
V1 = 2 V) para outra linha equipotencial (e.g. V2 = 1 V ) �V = V2 � V1 = �1 V), se
�d for pequeno então E será grande.
Legenda das figuras 1 e 2:
~F1 - Força devida à carga q1 : laranja
~F2 - Força devida à carga q2 : laranja
~E = ~F1 + ~F2 - Campo elétrico nesse ponto : vermelho
Linhas equipotenciais: azuis
Linhas de campo elétrico: cinzentas
Campo de placas paralelas
O campo resulta da soma dos contributos de todas as cargas. Se houver igual número de cargas
à direita e à esquerda da carga de prova então o campo será sempre vertical (ver figura 3- canto
superior direito) porque a soma das componentes horizontais é zero.
O campo entre as placas é constante na região central. As linhas equipotenciais são igual-
mente espaçadas, ou seja ao passar de uma linha para outra há sempre a mesma variação de
potencial �V para a mesma distância �d.
No entanto, nas bordas das placas o campo deixa de ser constante.
2
E
F2
F1
Figura 1
EF2 F1
q1 q2
Figura 2
Figura 3
Aula 2
Fontes de alimentação
Fonte de energia elétrica com dois terminais. Cria uma campo elétrico aos seus terminais que
permite gerar energia sob a forma de energia potencial elétrica e/ou energia cinética de part́ıculas
carregadas.
Fonte de tensão
Permite fixar a diferença de potencial (V ) aos seus terminais. A energia potencial elétrica de uma
carga (q) sujeita ao campo elétrico aos terminais da fonte de tensão será qV .
Fonte de corrente
Permite fixar a intensidade da corrente (i) resultante do movimento organizado de part́ıculas
carregadas sujeitas ao campo elétrico aos terminais da fonte de corrente.
Se os terminais da fonte de alimentação são ligados aos terminais de uma substância que tem
cargas livres de se movimentar, as cargas movimentam-se sob ação do campo elétrico. Por exemplo,
a substância será considerada condutora elétrica se tiver uma grande quantidade de cargas elétricas
livres (n ⇠ 1028 m�3). Se as cargas forem positivas terão um movimento segundo a direção e sentido
do campo elétrico (sentido convencional, idêntico ao de uma carga de prova). Se forem negativas
fluirão na mesma direção do campo mas em sentido contrário ao do campo elétrico.
O fluxo de cargas elétricas em movimento é diretamente proporcional ao campo elétrico. Esta
é a lei de Ohm.
Vejamos uma analogia hidrodinâmica. Consideremos dois reservatórios de água ligados por um
tubo na base. Se houver um desńıvel de água entre os dois reservatórios, haverá um transporte de
água entre os dois até reestabelecer-se o equiĺıbrio (mesmo ńıvel de água y0 em ambos).
Figure 1: Analogia hidrodinâmica
O caudal (ou vazão volumica) Q será tanto maior quanto maior for o desńıvel h entre os
tanques. O seja, quanto maior for a diferença de pressão �p entre os tanques. De facto trata-se
de um exemplo de conversão de energia potencial grav́ıtica E
pg
em energia cinética E
cg
.
A espessura do tubo que liga os dois tanques será também determinante para a vazão volúmica.
Quanto menor for o diâmetro do tubo menor será a vazão volúmica. Dito de outra forma, quanto
maior for a resistência hidrodinâmica R
h
menor será a vazão volúmica. Esta é a lei de Poiseuille.
Vejamos como é que a fonte de tensão aplicada sobre um condutor é semelhante aos reservatórios
comunicantes:
1
Tanques Fonte de tensão
diferença de pressão �p diferença de potencial V
vazão volúmica Q = �V�t intensidade da corrente elétrica i =
�q
�t
volume/tempo carga/tempo
resistência hidrodinâmica R
h
resistência elétrica R
energia potencial grav́ıtica V�p energia potencial elétrica qV
lei de Poiseuille para tubo lei de Ohm para fio
�p = R
h
Q V = Ri
Table 1: Analogia hidrodinâmica de fonte de tensão
Campo produzido por um elétrodo num meio condutor
Consideremos o campo electrostático produzido num ponto a uma distância d de uma carga pontual
q num meio não condutor. Como vimos na aula anterior o campo será dado por:
E =
1
4⇡"
q
d2
Do ponto de vista matemático, o campo produzido pela mesma fonte pontual num meio con-
dutor é idêntico e é dado por:
E =
1
4⇡�
i
d2
A constante dielétrica " foi substitúıda pela condutividade � e a carga q foi substitúıda pela
intensidade da corrente i.
Isto implica que num meio em que a condutividade é constante as linhas equipotenciais terão
formas idênticas às que observámos na aula anterior.
As linhas do campo representam a direção em que flui a corrente elétrica e a intensidade da
corrente será maior pelos caminhos de maior condutividade. O meio condutor funciona como um
“divisor de corrente”. Ou seja, a corrente passa por todo o condutor mas a maior parte fluirá onde
a resistência elétrica é menor.
Vejamos um exemplo. Dois elétrodos são colocados sobre água e ligados a uma fonte de tensão
com uma diferença de potencial de 10 V aos seus terminais. O elétrodo quadrado está a 10 V e o
circular a 0 V.
2
Figure 2: Linhas de corrente e equipotenciais
As linhas numa escala de cores de vermelho a azul representam as equipotenciais, as linhas
cinzentas são as linhas de corrente e os vectores vermelhos são os vectores densidade de corrente
~J (intensidade de corrente por unidade de área). Podemos observar que as linhas de corrente
ocupam todo o domı́nio (há corrente em todo o lado) e têm uma forma igual às linhas de campo.
Na realidade a densidade de corrente é diretamente proporcional ao campo:
~J = � ~E
A razão entre a densidade de corrente e o campo elétrico é a condutividade �. Esta é a forma
geral da lei de Ohm.
Circuitos básicos
Divisor de tensão
Consideremos o circuito da figura abaixo. O circuito é composto por uma fonte de tensão e duas
resistências em série. Dizemos que estão em série quando a corrente que passa numa é obrigada a
passar toda na outra.
3
Figure 3: Divisor de tensão
A diferença de potencial aos terminais da fonte é V0. Podemos assumir que o terminal + da
fonte está a uma tensão V0 e o terminal � está a uma tensão de 0 V.
De acordo com a lei de Ohm a intensidade da corrente que passa em R1 é i = (V0�V )/R1 e é a
mesma que passa por R2, i = (V�0)/R2. Se igualarmos as correntes conclúımos que a tensão V é
dada por:
V =
R2
R1 +R2
V0
Ou seja, V é uma fracção de V0 e é diretamente proporcional a R2. Alterando os valores
relativos de R1 e R2 (mantendo a soma R1 +R2 constante) é posśıvel que V tenha qualquer valor
entre 0 V e V0. Este circuito é por isso designado de divisor de tensão.
Divisor de corrente Consideremos agora o circuito da figura abaixo. Os componentes são os
mesmos do caso anterior mas as duas resistências estão associadas em paralelo (os seus terminais
coincidem).
Figure 4: Divisor de corrente
Ambas as resistências estão diretamente ligadas aos terminais da fonte logo ambas estão sujeitas
à mesma diferença de potencial V0, logo pela lei de Ohm:
R1i1 = R2i2
Suponhamos que a fonte está a fornecer uma corrente i (ver figura). Quando esta corrente chegaàs resistências subdivide-se em i1 e i2. A maior corrente irá pela menor resistência no entanto a
soma mantém-se constante:
i = i1 + i2
Podemos concluir que a intensidade da corrente que passa em R1 será:
4
i1 =
R2
R1 +R2
i
Alterando os valores relativos de R1 e R2 (mantendo a soma R1 +R2 constante) é posśıvel que
i1 tenha qualquer valor entre 0 e i. A corrente em R1 é diretamente proporcional a R2. Ou seja,
será tanto maior quanto maior for a resistência do caminho alternativo.
O condensador
Na sua essência é um conjunto de placas paralelas separadas por um isolante (dielétrico) logo não
passam cargas de uma placa para a outra através do isolante.
Quando sujeito a uma diferença de potencial V carrega-se com uma carga q. Quanto maior a
diferença de potencial maior a carga acumulada:
q = CV
em que C é designada de capacidade do condensador.
A capacidade depende da área A das placas, da distância d entre elas e da constante dielétrica
" do isolante entre elas:
C = "
A
d
Para aumentar a capacidade de um condensador podemos então aumentar a constante dielétrica
do isolante, aumentar a área das placas ou diminuir a distância entre elas.
Um exemplo de um condensador é a membrana de uma célula. Os grupos fosfato da dupla
camada de fosfoĺıpidos que constituem a membrana permitem a transferência de electrões entre si
e a cadeia liṕıdica é isolante com uma constante dielétrica tipicamente entre 2.0 e 2.5.
Descarga do condensador
V = V0e
� tRC
em que RC é designada de constante de tempo.
Carga do condensador
V = V
Max
⇣
1� e� tRC
⌘
5
Aula 3
Membranas celulares
Capacidade espećıfica
C = "
A
d
C / A
C = CmA
Cm =
"
d
Resistência espećıfica
Nc - número de canais
R / 1
Nc
/ 1
A
R =
Rm
A
Neurospora crassa
d ' 9 nm
"r ' 9
Cm '
9"0
9 nm
' 8.85 zF nm�2 = 0.885 µF cm�2
"0 = 8.85 pFm�1 = 8.85 zF nm�1
Membrane patch
25� 50 µm radius
1
K+
K+
Na+
Na+
Cl-
Cl-
Figure 1: Principais iões na célula
Iões
Transporte
dn
dt
+r · J = S
J = �Drn+ znµrV
D = µ
kBT
e
= v̄�
Equiĺıbrio
J = �Drn+ znµrV = 0
Drn = znµrV = zn De
kBT
rV
rV = kBT
ze
rn
n
Equação de Nernst
4V = Vin � Vout =
kBT
ze
ln
✓
cout
cin
◆
=
RT
zF
ln
✓
cout
cin
◆
K+
cin > cout ) coutcin < 1 ) ln
⇣
cout
cin
⌘
< 0
z > 0
)
) 4V < 0
Transporte passivo e activo
Bomba de sódio-potássio
2
1 Modelo de Hodgkin-Huxley
Figure 1: Circuito eqivalente de membrana
i = C
dVm
dt
+
Vm − VK
RK
+
Vm − VNa
RNa
+
Vm − Vo
Ro
dividindo pela área
j = Cm
dVm
dt
+
Vm − VK
RmK
+
Vm − VNa
RmNa
+
Vm − Vo
Rmo
Se gK = 1RmK , gNa =
1
RmNa
e go = 1Rmo :
j = Cm
dVm
dt
+ gK (Vm − VK) + gNa (Vm − VNa) + go (Vm − Vo)
α (V )
F 
 A
β (V )
N abertos e (1−N) fechados
dN
dt
= αN (Vm) (1−N)− βn (Vm)N
dM
dt
= αM (Vm) (1−M)− βM (Vm)M
dH
dt
= αH (Vm) (1−H)− βH (Vm)H
Cm
dVm
dt
= −gK (Vm − VK)− gNa (Vm − VNa)− go (Vm − Vo)
Voltage clamp 
gK = N
4ḡK
gNa = M
3HḡNa
go = ḡo
Se N = 0 então gK = 0. Se N = 1 então gK = ḡK .
1
2 Lotka-Volterra
Gazelas (G), Chitas (C)
dG
dt
= αG− βCG
dC
dt
= −γC + δCG
Figure 2: Solução cíclica
Figure 3: Ciclo
2
3 Potencial de acção
Dendrite
Cell body
Node of
Ranvier
Axon Terminal
Schwann cell
Myelin sheath
Axon
Nucleus
Figure 4: Neurónio
R = ρ
l
πa2
4Vm = −ρ
4x
πa2
iL
iL = −
πa2
ρ
∂Vm
∂x
iC = (2πa4x)Cm
dVm
dt
iC + iR = 4iL
(2πa4x)Cm
∂Vm
∂t
+ (2πa4x) jR = 4
(
πa2
ρ
∂Vm
∂x
)
(2πa)Cm
∂Vm
∂t
+ (2πa) jR =
πa2
ρ
4
(
∂Vm
∂x
)
4x
Cm
∂Vm
∂t
=
a
2ρ
∂2Vm
∂x2
− Vm
Rm
RmCm
∂Vm
∂t
=
aRm
2ρ
∂2Vm
∂x2
− Vm
τm
∂Vm
∂t
= λ2m
∂2Vm
∂x2
− Vm
em que:
3
• λm =
√
aRm
2ρ
é a distância característica
• τm = RmCm é a constante de tempo
Figure 5: Impulso
Exemplo:
Axónio da lula
a = 0.5 mm
Rm = 700 Ω cm
2
ρ = 30 Ω cm
λm =
√
aRm
2ρ
=
√
0.05 cm× 700 Ω cm2
2× 30 Ω cm
λm = 0.76 cm
l = 5 cm é uma ordem de grandeza superior!!!
e−
5 cm
0.76 cm = 10−3
A resposta é canal iónico accionado por tensão
dN
dt
= φ (T ) [αN (Vm) (1−N)− βn (Vm)N ]
dM
dt
= φ (T ) [αM (Vm) (1−M)− βM (Vm)M ]
dH
dt
= φ (T ) [αH (Vm) (1−H)− βH (Vm)H]
Cm
dVm
dt
= −N4ḡK (Vm − VK)−M3HḡNa (Vm − VNa)− ḡo (Vm − Vo)
φ (T ) = 3(
T−6.3 ◦C
10 ◦C )
4
3.1 Simulação de potencial de acção num neurónio
4 Redes neuronais e inteligência artificial
x1
x2
x3
x4
xn
y
Figure 6: Modelo de neurónio
y = f
(
w0+
n∑
i=1
wixi
)
5 Projectos interessantes
http://www.humanconnectomeproject.org
http://syntheticneurobiology.org/projects
https://www.jneurosci.org/content/jneuro/11/7/1959.full.pdf
5
fuvru$cro8
-+ Oedsns ds r1d.EZC! : , ríL ,^.r rtOK
rn: b,lo[ K : f§ogno cnt)
.ftoporenroâo ce$-,ftO: : VlÂ-x 40
1^
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Le^pocâ) , ternge,crtuaa cK) ; ivtlersrdads lr.r*,.nor' e§úttcc cg) 't- / \eíy\f)errrfvrír.^' \"') rvner§io(§.§ )üdm.rftorcrccô\;quon{dr:d.s c.^qlr)
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Kc"L
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1
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pe cloo caatoô 
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Gnda temt
conco,Ah(".tr gãAâ ofxlq te\^ _)
Co*r.o &-sXc.t-
Àl(l'rA8 O e {ern
ÇOA l^'" €xec'.gte r
I\r k6t!
'5wo a..r^po
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lt.brtü, ô ,ru
dr'alt \aO ey\À,rqa;
adoccr -se ert\
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Cdgl\,nsidc.d§) a covrs ifu
c^ooclrnn! auÍ* a. 
toa- teí\ cf*A bc,.c L
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^.X.
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XY\k
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a
Cbmtortes
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€o= S, S54 pF. 
"n-t = 
8, E6 x 4cit 2 F/rvr
K6 {,38 ,"àO- t3f, V-,
-4 4,38'l x-{O ln-z,3J
Mn 6,OZZ x4 \"no[
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Uniclc-dsr
- 4fV\ 51rnoL *c[tY.
3
-4 F= 4 c/v
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Qr^onôo droz q^^s X 0.À,^.rnsfl\ic. W'*/" ->
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2
C = "r"0
A
d
J = �D�n
�x
+ µEn
R = NAkB
F = NAe
2 Constantes
e = 0.1602 aC
"0 = 8.854 pFm
�1
kB = 1.38⇥ 10�23 JK�1
NA = 6.022⇥ 1023 mol�1
3 Unidades
1 M = 1 mol dm
�3
1 F = 1 CV
�1
1 Vm
�1
= 1 NC
�1
4 Parâmetros
"r (vácuo) = 1
"r (ar) = 1
"r (água) = 80
1

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