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Capítulo 2 Conceitos úteis 2.1 Ordem de grandeza 2.1.1 Introdução Qual é a ordem de grandeza do número 23? É da ordem das dezenas. Como é que sabemos? Porque está mais perto de 10 do que de 100? E o número 99? Por um raciocínio análogo será da ordem das centenas porque está mais perto de 100 do que de 10? A partir de que valor é que posso decidir que passei das dezenas para as centenas? Será o 50? 2.1.2 Definição A ordem de grandeza de um número (n) é a potência de 10 com expoente inteiro (i) que melhor se aproxima de n. Em notação matemática: n ∼ 10i (2.1) Por exemplo, o número 23 é igual a 101.36. Ou seja, 101 é a potência de 10 que melhor se aproxima de 23. Dizemos então que 23 é da ordem de grandeza de 101. Em notação matemática: 23 ∼ 101 Seguindo este raciocínio, o número a partir do qual passamos à ordem de grandeza seguinte será igual a 101.5 ≈ 31.6 porque 1.5 já arredonda para 2. Uma forma de generalizar este conceito pode ser através da modificação da equação (2.1): i = [log10 (n)] (2.2) em que [] representa o operador arredondamento. 2.1.3 Representação científica de um número Uma outra forma de avaliar a ordem de grandeza de um número (n) envolve a adopção da notação científica. Nesta notação n deve ter o seguinte formato: n = m× 10k (2.3) em que m designa-se mantissa e k expoente. A mantissa deve estar entre 1 e 10 (excluindo 10): m ∈ [1, 10[ (2.4) e o expoente deve ser inteiro: 11 2.2. PERCENTAGEM CAPÍTULO 2. CONCEITOS ÚTEIS k ∈ Z (2.5) Alguns exemplos: 23 = 2.3× 101 99 = 9.9× 101 0.012 = 1.2× 10−2 7230 = 7.23× 103 2.1.4 Ordem de grandeza da mantissa Podemos então subdividir o n em duas partes: m e 10k. 10k será uma primeira estimativa da ordem de grandeza de n. Se m ≥ 100.5 ≈ 3.16 irá contribuir com mais uma ordem de grandeza e concluímos que: n ∼ 10k+1 (2.6) Caso contrário � m < 100.5 ≈ 3.16 � ficamos pela estimativa inicial: n ∼ 10k (2.7) Ou ainda, se log10 m ≥ 0.5 a ordem de grandeza de n será dada por (2.6). Se log10 m < 0.5 a ordem de grandeza de n será dada por (2.7). 2.2 Percentagem Como é que se representa um número no formato de percentagem? Para tal temos apenas de saber o significado do símbolo “%”. Este símbolo representa um centésimo, ou seja: % = 1 100 (2.8) Se quisermos representar o número 5 sob a forma de uma percentagem temos apenas que multiplicar e dividir por 100. Em seguida se substituirmos 1100 por %, de acordo com (2.8) obtemos: 5 = 5× 100× 1 100 = 500% A definição (2.8) também é suficiente para o processo inverso. Por exemplo: 2% = 2× 1 100 = 0.02 Alguns exemplos: 1 2 = 0.5 = 50% 1 4 = 0.25 = 25% 1 8 = 0.125 = 12.5% 20% de 5 é: 20%× 5 = 20× 1 100 × 5 = 1 2.3 Variação A variação de uma grandeza pode ser apresentada sob várias formas: absoluta, relativa ou relativa percentual. 12 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ÚTEIS 2.3. VARIAÇÃO 2.3.1 Variação absoluta A variação absoluta da grandeza x (∆x) é dada pela diferença entre o valor final da grandeza (xf ) e o seu valor inicial (xi): ∆x = xf − xi (2.9) Com a variação absoluta pretende-se saber por que parcela houve uma variação da grandeza. Podemos facilmente demonstrar a partir da equação (2.9) que se a variação absoluta é: • positiva (∆x > 0), x aumentou. • nula (∆x = 0), x manteve-se inalterada. • negativa (∆x < 0), x diminuiu. 2.3.2 Variação relativa A variação relativa da grandeza x é obtida por comparação da variação absoluta com o valor inicial. �x xi (2.10) Com a variação relativa pretende-se saber por que factor houve uma variação da grandeza. É de notar ainda o seguinte pormenor: se o valor inicial de x for negativo (xi < 0) e a grandeza aumentar (∆x > 0), a variação relativa será negativa. Isto que dizer que segundo a definição (2.10) não podemos inferir a partir do sinal da variação relativa de uma grandeza se houve um aumento ou diminuição da mesma, tal como fizemos para a variação absoluta. 2.3.3 Variação relativa percentual A variação relativa percentual é apenas uma forma diferente de representar a variação relativa de x (2.10): �x xi × 100% (2.11) Esta é a forma mais frequente e intuitiva de representar uma variação em laboratório. Alguns exemplos: • Se uma grandeza aumenta 100% então duplica: �x xi × 100% = 100% ⇔ ⇔ �x xi = 1 ⇔ ⇔ xf − xi = xi ⇔ ⇔ xf = 2xi • Se uma grandeza diminui 50% então reduz-se a metade: �x xi × 100% = −50% ⇔ ⇔ �x xi = −0.5 ⇔ ⇔ xf − xi = −0.5xi ⇔ ⇔ xf = 0.5xi 13 Capítulo 4 O Sistema Internacional O Sistema Internacional (SI) é um sistema de unidades que foi criado em 1960 na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas [2]. O objectivo era criar um sistema de unidades que fosse adoptado por todos os países de forma a evitar a necessidade de conversão de unidades. 4.1 As unidades de base O sistema de unidades SI foi construído a partir de 7 unidades de base [3]: Grandeza Unidade SI Nome Símbolo Nome Símbolo comprimento l, x, y, z, r,... metro m massa m,M quilograma kg tempo, duração t,∆t segundo s intensidade da corrente eléctrica I, i ampère A temperatura T kelvin K intensidade luminosa IV candela cd quantidade n mole mol Tabela 4.1: Unidades de base do SI 4.2 As unidades derivadas Qualquer grandeza cujas unidades não sejam de base terá unidades que serão representadas como uma função de uma ou mais unidades de base. Dizemos que essa grandeza tem unidades derivadas. Alguns exemplos: • m2 - o “metro quadrado” é a unidade de área do SI. É uma unidade derivada que resulta apenas de uma unidade de base SI. • Hz - o “hertz” é a unidade de frequência do SI. É uma unidade derivada que resulta apenas de uma unidade de base SI. Hz = 1 s (4.1) • N - o “newton” é a unidade de força do SI. É uma unidade derivada que resulta de 3 unidades de base SI: N = kg · m s2 (4.2) • V - o “volt” é a unidade de potencial eléctrico do SI. É uma unidade derivada que resulta de 4 unidades de base SI: V = kg · m2 A · s3 (4.3) 19 4.3. UNIDADES DERIVADAS ESPECIAIS CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL • T- o “tesla” é a unidade de campo magnético do SI. É uma unidade derivada que resulta de 3 unidades de base SI: T = kg A · s2 (4.4) • Ω - o “ohm” é a unidade de resistência eléctrica do SI. É uma unidade derivada que resulta de 4 unidades de base SI: Ω = kg · m2 A2 · s3 (4.5) • lm - o “lúmen” é a unidade de fluxo luminoso do SI. É uma unidade derivada que resulta de 2 unidades de base SI: lm = cd · sr (4.6) 4.3 unidades derivadas especiais No SI as duas grandezas ângulo e ângulo sólido são consideradas adimensionais e as suas unidades são consideradas derivadas. 4.3.1 ângulo ou ângulo plano Para compreendermos o que é um ângulo consideremos uma linha semi-recta com origem num ponto O. Se rodarmos a semi-recta segundo um plano P em torno da origem, o ângulo será uma medida da rotação efectuada. No caso do SI a medida é dada pelo comprimento do arco de circunferência de raio unitário entre os dois pontos de intersecção da linha com a circunferência. Ou seja, se quisermos medir um ângulo, desenhamos uma circunferência de raio unitário centrada no ponto O. O ângulo é igual ao comprimento do arco de circunferência a vermelho na Figura 4.1. A definição baseia-se na seguinte fórmula: θ = s r (4.7) em que s é o comprimento de um arco de circunferência de raio r. 1 O Figura 4.1: Ângulo plano A unidade SI do ângulo é o radiano (rad). Sabendo que o perímetro de uma circunferência de raio unitário é igual a 2π podemos então concluir que um ângulo completo tem 2π rad .Alguns exemplos: • ângulo recto - representa 1/4 de um ângulo completo logo é igual a π/2 rad. • ângulo interno de um triângulo equilátero - representa 1/6 de um ângulo completo logo é igual a π/3 rad. 20 CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL 4.4. OS PREFIXOS DAS UNIDADES 4.3.2 ângulo sólido O ângulo sólido pode ser visto como uma generalização para três dimensões do conceito de ângulo plano. Consideremos uma semi-recta com origem num ponto O tal como definimos para o ângulo plano (ver 4.3.1). Agora em vez de rodarmos o segmentode recta em torno de O sobre um plano, continuamos a rodar em torno de O mas agora em qualquer direcção voltando sempre à posição inicial. O ângulo sólido será uma medida da rotação tridimensional efectuada. No caso do SI a medida é dada pela área da secção de uma esfera de raio unitário definida pela intersecção da linha com a esfera. Ou seja, se quisermos medir um ângulo sólido, desenhamos uma esfera de raio unitário centrada no ponto O. O ângulo é igual à área da secção da esfera a vermelho na Figura 4.2. A definição baseia-se na seguinte fórmula: Ω = A r2 (4.8) em que A é a área da secção de esfera de raio r. O 1 Figura 4.2: Ângulo sólido A unidade SI do ângulo sólido é o esterradiano (sr). Sabendo que a área da superfície de uma esfera de raio unitário é igual a 4π podemos então concluir que um ângulo sólido completo tem 4π sr. Alguns exemplos: • ângulo sólido no interior do vértice de um cubo - representa 1/8 de um ângulo sólido completo logo é igual a π/2 sr. • ângulo sólido no interior do vértice de um tetraedro regular (pirâmide triangular com as arestas todas iguais) - é igual a 3 arccos � 1 3 � − π � 7π/40 sr. • ângulo sólido no interior do vértice de um sólido platónico - é igual a qθ− (q − 2)π sr em que q é o número de faces que constituem o ângulo sólido e θ é o ângulo diedro. 4.4 Os prefixos das unidades Na natureza uma grandeza pode variar muitas ordens de grandeza. Por uma questão de economia de es- forço convencionou-se representar um múltiplo ou submúltiplo da unidade de uma grandeza adicionando um dos seguintes prefixos: 21 4.5. CONTAS COM UNIDADES E SUAS VANTAGENSCAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL Múltiplos Nome Símbolo Factor yotta Y 1024 zetta Z 1021 exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 Tabela 4.2: Prefixos múltiplos da unidade Submúltiplos Nome Símbolo Factor deci d 10−1 centi c 10−2 mili m 10−3 micro µ 10−6 nano n 10−9 pico p 10−12 fento f 10−15 ato a 10−18 zepto z 10−21 yocto y 10−24 Tabela 4.3: Prefixos submúltiplos da unidade 4.5 Contas com unidades e suas vantagens Nesta unidade curricular vamos realizar todos os cálculos com grandezas físicas apresentando explici- tamente as unidades em todos os passos. Pretende-se que este procedimento torne-se num hábito que perdure para além desta unidade. Mas o que é que ganhamos ao fazê-lo? Para compreendermos os benefícios consideremos o seguinte problema: Um automóvel desloca-se na via rápida com uma velocidade constante de 36 km/h. Qual é a distância que percorre em 20 minutos? Alguns alunos poderão estar neste momento a perguntar-se: qual era mesmo a fórmula da veloci- dade? Se olharmos para as unidades dos dados teremos a resposta. As unidades da velocidade estão em km/h. Ou seja, a partir das unidades sabemos que a velocidade será obtida a partir de uma distância (em km) a dividir por um tempo (em h). Logo podemos prever que a fórmula para a velocidade v será dada por: v = ∆x ∆t em que ∆x é o espaço percorrido entre dois pontos e ∆t é o intervalo de tempo que decorreu. A primeira vantagem: Não é preciso fixar as fórmulas. Uma análise das unidades dos dados permitem adivinhar a fórmula. Ao fazer as contas com as unidades explicitadas: 36 km/h = ∆x20 min ⇔ ⇔ ∆x = (36 km/h)× 20 min 22 4.5. CONTAS COM UNIDADES E SUAS VANTAGENSCAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL Múltiplos Nome Símbolo Factor yotta Y 1024 zetta Z 1021 exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 Tabela 4.2: Prefixos múltiplos da unidade Submúltiplos Nome Símbolo Factor deci d 10−1 centi c 10−2 mili m 10−3 micro µ 10−6 nano n 10−9 pico p 10−12 fento f 10−15 ato a 10−18 zepto z 10−21 yocto y 10−24 Tabela 4.3: Prefixos submúltiplos da unidade 4.5 Contas com unidades e suas vantagens Nesta unidade curricular vamos realizar todos os cálculos com grandezas físicas apresentando explici- tamente as unidades em todos os passos. Pretende-se que este procedimento torne-se num hábito que perdure para além desta unidade. Mas o que é que ganhamos ao fazê-lo? Para compreendermos os benefícios consideremos o seguinte problema: Um automóvel desloca-se na via rápida com uma velocidade constante de 36 km/h. Qual é a distância que percorre em 20 minutos? Alguns alunos poderão estar neste momento a perguntar-se: qual era mesmo a fórmula da veloci- dade? Se olharmos para as unidades dos dados teremos a resposta. As unidades da velocidade estão em km/h. Ou seja, a partir das unidades sabemos que a velocidade será obtida a partir de uma distância (em km) a dividir por um tempo (em h). Logo podemos prever que a fórmula para a velocidade v será dada por: v = ∆x ∆t em que ∆x é o espaço percorrido entre dois pontos e ∆t é o intervalo de tempo que decorreu. A primeira vantagem: Não é preciso fixar as fórmulas. Uma análise das unidades dos dados permitem adivinhar a fórmula. Ao fazer as contas com as unidades explicitadas: 36 km/h = ∆x20 min ⇔ ⇔ ∆x = (36 km/h)× 20 min 22 CAPÍTULO 4. O SISTEMA INTERNACIONAL 4.6. O SIGNIFICADO FÍSICO Temos duas unidades de tempo diferentes logo uma delas tem de ser modificada: ∆x = (36 km/60min)× 20 min As conversões de unidades fazem-se directamentem em vez de utilizarmos regras desnecessárias (de três simples, de pirâmide, etc.) e sujeitas a lapsos de memória. A segunda vantagem: As conversões de unidades tornam-se simples. Concluindo os cálculos vemos que ∆x vem com unidades consistentes com a grandeza: ∆x = 12 km Suponhamos que partíamos de uma fórmula errada: v = ∆x ·∆t Ao fazermos as contas com as unidades explicitadas: 36 km/h = ∆x× 20 min ⇔ ⇔ ∆x = 36 km/h20 min ⇔ ⇔ ∆x = 36 km/60min20 min ⇔ ∆x = 0.03 km/min2 O espaço percorrido tem unidades de km/min2!? A terceira vantagem: Se a fórmula estiver errada o resultado virá com unidades que não são com- patíveis com a grandeza. Ou seja, temos um mecanismo de detecção de erros. 4.6 O significado físico Na versão errada do problema da secção 4.5 o resultado final foi de 0.03 km/min2. Suponhamos que não se tinha utilizado as unidades nos cálculos intermédios. Como se “sabia” que ∆x tinha que ter unidades de comprimento, poderia-se ter concluído erradamente que ∆x = 0.03 km. Mesmo nestas circunstâncias ainda nos resta o maior mecanismo de detecção de erros ao qual devemos sempre recorrer. Este mecanismo é simplesmente perguntar: Será que o resultado faz sentido? Um automóvel desloca-se durante 20 minutos a uma velocidade de 36 km/h e desloca-se apenas 30 metros!? Isto fisicamente não faz sentido! Esta ferramenta necessita apenas de espírito crítico e do conhecimento dos valores típicos das gran- dezas em jogo no mecanismo que estamos a estudar. Este estado de espírito é ainda mais importante numa era em que muitas das decisões que tomamos em todas as áreas da ciência são fruto de resultados numéricos obtidos a partir de programas de computador. A nossa única defesa contra possíveis erros é o contacto com a realidade, é compreendermos a natureza. As contas podem ser muito complicadas mas no fim o resultado tem que fazer sentido. 23 Aula 1 Analogia campo grav́ıtico , campo elétrico Pontos comuns: ~g ~E vectorial⇤ vectorial⇤ ~g = ~F m (força por unidade de massa) ~E = ~F q (força por unidade de carga) força exercida sobre força exercida sobre massa de prova de 1 kg carga de prova de +1 C W = Fd = mgd - energia potencial grav́ıtica W = Fd = qEd - energia potencial elétrica pode ser convertida em pode ser convertida em energia cinética de massa energia cinética de carga g = Gmd2 - campo grav́ıtico de fonte pontual E = 1 4⇡" q d2 - campo elétrico de fonte pontual varia com o inverso do quadrado da distância varia com o inverso do quadrado da distância Table 1: Pontos comuns ⇤ é necessário conhecer a intensidade, direção e sentido para descrevê-las completamente. Pontos distintos: ~g ~E massas são sempre cargas elétricas podem ser positivas positivas ou negativas vetores convergem vetores divergem seq > 0 para a fonte e convergem se q < 0 forças são sempre de forças podem ser de atração atração ou repulsão Table 2: Pontos distintos Campo produzido por duas cargas Ver figuras 1 e 2: • O campo é criado pelas cargas q1 e q2. • A carga vermelha é a carga de prova. É deslocada para avaliar o campo em cada ponto. Na figura aparece num ponto e vê-se que resulta da soma das forças devidas à carga q1 e q2. • As linhas de campo divergem das cargas positivas e convergem nas cargas negativas. • Se as cargas geradoras do campo têm igual sinal as linhas “fogem” umas das outras. Caso contrário as linhas de campo unem as cargas opostas. • O campo é mais intenso perto das cargas. • As linhas equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo. E = ��V �d 1 • As linhas equipotenciais são mais densas (mais próximas umas das outras) nos pontos onde o campo é mais intenso. Ou seja, quando salto de uma linha equipotencial (e.g. V1 = 2 V) para outra linha equipotencial (e.g. V2 = 1 V ) �V = V2 � V1 = �1 V), se �d for pequeno então E será grande. Legenda das figuras 1 e 2: ~F1 - Força devida à carga q1 : laranja ~F2 - Força devida à carga q2 : laranja ~E = ~F1 + ~F2 - Campo elétrico nesse ponto : vermelho Linhas equipotenciais: azuis Linhas de campo elétrico: cinzentas Campo de placas paralelas O campo resulta da soma dos contributos de todas as cargas. Se houver igual número de cargas à direita e à esquerda da carga de prova então o campo será sempre vertical (ver figura 3- canto superior direito) porque a soma das componentes horizontais é zero. O campo entre as placas é constante na região central. As linhas equipotenciais são igual- mente espaçadas, ou seja ao passar de uma linha para outra há sempre a mesma variação de potencial �V para a mesma distância �d. No entanto, nas bordas das placas o campo deixa de ser constante. 2 E F2 F1 Figura 1 EF2 F1 q1 q2 Figura 2 Figura 3 Aula 2 Fontes de alimentação Fonte de energia elétrica com dois terminais. Cria uma campo elétrico aos seus terminais que permite gerar energia sob a forma de energia potencial elétrica e/ou energia cinética de part́ıculas carregadas. Fonte de tensão Permite fixar a diferença de potencial (V ) aos seus terminais. A energia potencial elétrica de uma carga (q) sujeita ao campo elétrico aos terminais da fonte de tensão será qV . Fonte de corrente Permite fixar a intensidade da corrente (i) resultante do movimento organizado de part́ıculas carregadas sujeitas ao campo elétrico aos terminais da fonte de corrente. Se os terminais da fonte de alimentação são ligados aos terminais de uma substância que tem cargas livres de se movimentar, as cargas movimentam-se sob ação do campo elétrico. Por exemplo, a substância será considerada condutora elétrica se tiver uma grande quantidade de cargas elétricas livres (n ⇠ 1028 m�3). Se as cargas forem positivas terão um movimento segundo a direção e sentido do campo elétrico (sentido convencional, idêntico ao de uma carga de prova). Se forem negativas fluirão na mesma direção do campo mas em sentido contrário ao do campo elétrico. O fluxo de cargas elétricas em movimento é diretamente proporcional ao campo elétrico. Esta é a lei de Ohm. Vejamos uma analogia hidrodinâmica. Consideremos dois reservatórios de água ligados por um tubo na base. Se houver um desńıvel de água entre os dois reservatórios, haverá um transporte de água entre os dois até reestabelecer-se o equiĺıbrio (mesmo ńıvel de água y0 em ambos). Figure 1: Analogia hidrodinâmica O caudal (ou vazão volumica) Q será tanto maior quanto maior for o desńıvel h entre os tanques. O seja, quanto maior for a diferença de pressão �p entre os tanques. De facto trata-se de um exemplo de conversão de energia potencial grav́ıtica E pg em energia cinética E cg . A espessura do tubo que liga os dois tanques será também determinante para a vazão volúmica. Quanto menor for o diâmetro do tubo menor será a vazão volúmica. Dito de outra forma, quanto maior for a resistência hidrodinâmica R h menor será a vazão volúmica. Esta é a lei de Poiseuille. Vejamos como é que a fonte de tensão aplicada sobre um condutor é semelhante aos reservatórios comunicantes: 1 Tanques Fonte de tensão diferença de pressão �p diferença de potencial V vazão volúmica Q = �V�t intensidade da corrente elétrica i = �q �t volume/tempo carga/tempo resistência hidrodinâmica R h resistência elétrica R energia potencial grav́ıtica V�p energia potencial elétrica qV lei de Poiseuille para tubo lei de Ohm para fio �p = R h Q V = Ri Table 1: Analogia hidrodinâmica de fonte de tensão Campo produzido por um elétrodo num meio condutor Consideremos o campo electrostático produzido num ponto a uma distância d de uma carga pontual q num meio não condutor. Como vimos na aula anterior o campo será dado por: E = 1 4⇡" q d2 Do ponto de vista matemático, o campo produzido pela mesma fonte pontual num meio con- dutor é idêntico e é dado por: E = 1 4⇡� i d2 A constante dielétrica " foi substitúıda pela condutividade � e a carga q foi substitúıda pela intensidade da corrente i. Isto implica que num meio em que a condutividade é constante as linhas equipotenciais terão formas idênticas às que observámos na aula anterior. As linhas do campo representam a direção em que flui a corrente elétrica e a intensidade da corrente será maior pelos caminhos de maior condutividade. O meio condutor funciona como um “divisor de corrente”. Ou seja, a corrente passa por todo o condutor mas a maior parte fluirá onde a resistência elétrica é menor. Vejamos um exemplo. Dois elétrodos são colocados sobre água e ligados a uma fonte de tensão com uma diferença de potencial de 10 V aos seus terminais. O elétrodo quadrado está a 10 V e o circular a 0 V. 2 Figure 2: Linhas de corrente e equipotenciais As linhas numa escala de cores de vermelho a azul representam as equipotenciais, as linhas cinzentas são as linhas de corrente e os vectores vermelhos são os vectores densidade de corrente ~J (intensidade de corrente por unidade de área). Podemos observar que as linhas de corrente ocupam todo o domı́nio (há corrente em todo o lado) e têm uma forma igual às linhas de campo. Na realidade a densidade de corrente é diretamente proporcional ao campo: ~J = � ~E A razão entre a densidade de corrente e o campo elétrico é a condutividade �. Esta é a forma geral da lei de Ohm. Circuitos básicos Divisor de tensão Consideremos o circuito da figura abaixo. O circuito é composto por uma fonte de tensão e duas resistências em série. Dizemos que estão em série quando a corrente que passa numa é obrigada a passar toda na outra. 3 Figure 3: Divisor de tensão A diferença de potencial aos terminais da fonte é V0. Podemos assumir que o terminal + da fonte está a uma tensão V0 e o terminal � está a uma tensão de 0 V. De acordo com a lei de Ohm a intensidade da corrente que passa em R1 é i = (V0�V )/R1 e é a mesma que passa por R2, i = (V�0)/R2. Se igualarmos as correntes conclúımos que a tensão V é dada por: V = R2 R1 +R2 V0 Ou seja, V é uma fracção de V0 e é diretamente proporcional a R2. Alterando os valores relativos de R1 e R2 (mantendo a soma R1 +R2 constante) é posśıvel que V tenha qualquer valor entre 0 V e V0. Este circuito é por isso designado de divisor de tensão. Divisor de corrente Consideremos agora o circuito da figura abaixo. Os componentes são os mesmos do caso anterior mas as duas resistências estão associadas em paralelo (os seus terminais coincidem). Figure 4: Divisor de corrente Ambas as resistências estão diretamente ligadas aos terminais da fonte logo ambas estão sujeitas à mesma diferença de potencial V0, logo pela lei de Ohm: R1i1 = R2i2 Suponhamos que a fonte está a fornecer uma corrente i (ver figura). Quando esta corrente chegaàs resistências subdivide-se em i1 e i2. A maior corrente irá pela menor resistência no entanto a soma mantém-se constante: i = i1 + i2 Podemos concluir que a intensidade da corrente que passa em R1 será: 4 i1 = R2 R1 +R2 i Alterando os valores relativos de R1 e R2 (mantendo a soma R1 +R2 constante) é posśıvel que i1 tenha qualquer valor entre 0 e i. A corrente em R1 é diretamente proporcional a R2. Ou seja, será tanto maior quanto maior for a resistência do caminho alternativo. O condensador Na sua essência é um conjunto de placas paralelas separadas por um isolante (dielétrico) logo não passam cargas de uma placa para a outra através do isolante. Quando sujeito a uma diferença de potencial V carrega-se com uma carga q. Quanto maior a diferença de potencial maior a carga acumulada: q = CV em que C é designada de capacidade do condensador. A capacidade depende da área A das placas, da distância d entre elas e da constante dielétrica " do isolante entre elas: C = " A d Para aumentar a capacidade de um condensador podemos então aumentar a constante dielétrica do isolante, aumentar a área das placas ou diminuir a distância entre elas. Um exemplo de um condensador é a membrana de uma célula. Os grupos fosfato da dupla camada de fosfoĺıpidos que constituem a membrana permitem a transferência de electrões entre si e a cadeia liṕıdica é isolante com uma constante dielétrica tipicamente entre 2.0 e 2.5. Descarga do condensador V = V0e � tRC em que RC é designada de constante de tempo. Carga do condensador V = V Max ⇣ 1� e� tRC ⌘ 5 Aula 3 Membranas celulares Capacidade espećıfica C = " A d C / A C = CmA Cm = " d Resistência espećıfica Nc - número de canais R / 1 Nc / 1 A R = Rm A Neurospora crassa d ' 9 nm "r ' 9 Cm ' 9"0 9 nm ' 8.85 zF nm�2 = 0.885 µF cm�2 "0 = 8.85 pFm�1 = 8.85 zF nm�1 Membrane patch 25� 50 µm radius 1 K+ K+ Na+ Na+ Cl- Cl- Figure 1: Principais iões na célula Iões Transporte dn dt +r · J = S J = �Drn+ znµrV D = µ kBT e = v̄� Equiĺıbrio J = �Drn+ znµrV = 0 Drn = znµrV = zn De kBT rV rV = kBT ze rn n Equação de Nernst 4V = Vin � Vout = kBT ze ln ✓ cout cin ◆ = RT zF ln ✓ cout cin ◆ K+ cin > cout ) coutcin < 1 ) ln ⇣ cout cin ⌘ < 0 z > 0 ) ) 4V < 0 Transporte passivo e activo Bomba de sódio-potássio 2 1 Modelo de Hodgkin-Huxley Figure 1: Circuito eqivalente de membrana i = C dVm dt + Vm − VK RK + Vm − VNa RNa + Vm − Vo Ro dividindo pela área j = Cm dVm dt + Vm − VK RmK + Vm − VNa RmNa + Vm − Vo Rmo Se gK = 1RmK , gNa = 1 RmNa e go = 1Rmo : j = Cm dVm dt + gK (Vm − VK) + gNa (Vm − VNa) + go (Vm − Vo) α (V ) F A β (V ) N abertos e (1−N) fechados dN dt = αN (Vm) (1−N)− βn (Vm)N dM dt = αM (Vm) (1−M)− βM (Vm)M dH dt = αH (Vm) (1−H)− βH (Vm)H Cm dVm dt = −gK (Vm − VK)− gNa (Vm − VNa)− go (Vm − Vo) Voltage clamp gK = N 4ḡK gNa = M 3HḡNa go = ḡo Se N = 0 então gK = 0. Se N = 1 então gK = ḡK . 1 2 Lotka-Volterra Gazelas (G), Chitas (C) dG dt = αG− βCG dC dt = −γC + δCG Figure 2: Solução cíclica Figure 3: Ciclo 2 3 Potencial de acção Dendrite Cell body Node of Ranvier Axon Terminal Schwann cell Myelin sheath Axon Nucleus Figure 4: Neurónio R = ρ l πa2 4Vm = −ρ 4x πa2 iL iL = − πa2 ρ ∂Vm ∂x iC = (2πa4x)Cm dVm dt iC + iR = 4iL (2πa4x)Cm ∂Vm ∂t + (2πa4x) jR = 4 ( πa2 ρ ∂Vm ∂x ) (2πa)Cm ∂Vm ∂t + (2πa) jR = πa2 ρ 4 ( ∂Vm ∂x ) 4x Cm ∂Vm ∂t = a 2ρ ∂2Vm ∂x2 − Vm Rm RmCm ∂Vm ∂t = aRm 2ρ ∂2Vm ∂x2 − Vm τm ∂Vm ∂t = λ2m ∂2Vm ∂x2 − Vm em que: 3 • λm = √ aRm 2ρ é a distância característica • τm = RmCm é a constante de tempo Figure 5: Impulso Exemplo: Axónio da lula a = 0.5 mm Rm = 700 Ω cm 2 ρ = 30 Ω cm λm = √ aRm 2ρ = √ 0.05 cm× 700 Ω cm2 2× 30 Ω cm λm = 0.76 cm l = 5 cm é uma ordem de grandeza superior!!! e− 5 cm 0.76 cm = 10−3 A resposta é canal iónico accionado por tensão dN dt = φ (T ) [αN (Vm) (1−N)− βn (Vm)N ] dM dt = φ (T ) [αM (Vm) (1−M)− βM (Vm)M ] dH dt = φ (T ) [αH (Vm) (1−H)− βH (Vm)H] Cm dVm dt = −N4ḡK (Vm − VK)−M3HḡNa (Vm − VNa)− ḡo (Vm − Vo) φ (T ) = 3( T−6.3 ◦C 10 ◦C ) 4 3.1 Simulação de potencial de acção num neurónio 4 Redes neuronais e inteligência artificial x1 x2 x3 x4 xn y Figure 6: Modelo de neurónio y = f ( w0+ n∑ i=1 wixi ) 5 Projectos interessantes http://www.humanconnectomeproject.org http://syntheticneurobiology.org/projects https://www.jneurosci.org/content/jneuro/11/7/1959.full.pdf 5 fuvru$cro8 -+ Oedsns ds r1d.EZC! : , ríL ,^.r rtOK rn: b,lo[ K : f§ogno cnt) .ftoporenroâo ce$-,ftO: : VlÂ-x 40 1^ zcar,D 40K+lY\ íÀ' 4-a rn >3rt6 o$rn: 5 >r-{oo -* = §CcZo Axemp[O: yL: Y48 = 1-1 I t-lo' §t6-ryfie cLíÊtco -0 Pecontc. í|\-: %r Jioaa he\ ü.r*q,, e.hÀ Peeccfi+ .tz .i N \ -0\k claã., \l \l.ruLd.*a, *à [l",rdacln VCrdcrê 1 '. ey'".4 \ I4q;= o.oz- ALc.=."t& nciGã \"la -ín eQsítaico :V= A."f .vt\ Az- ab t \. ruI,.trr. ^@u -à tlnidc+c\on õI: .corn(ewrsnitocrn); yÍú,rlELcnd), intersidcds.dc^ acmpnte- , Le^pocâ) , ternge,crtuaa cK) ; ivtlersrdads lr.r*,.nor' e§úttcc cg) 't- / \eíy\f)errrfvrír.^' \"') rvner§io(§.§ )üdm.rftorcrccô\;quon{dr:d.s c.^qlr) N rrtêrç;a&;** tz . v1^- 6a- at= ?-i ^yti t-{oo./" ôk 7,i ttnidoôod.r . CCrfn QO I T; Kc"L 2A -r)eQrlrico -Ç luto \^^*,.ií§So: = cd' " sQ_ .-r--_r_ 1 -§ Cc.*^eo e!.ítQ.ico : . Q cc^rnpo e mo?s lfrtenSO c;tO pe cloo caatoô ^c. a. ["U* equiçotenciai§sico Cc^tôo voi do O emN ("'frtl"r) d§(otou €oc.ço& -- B,E5 xld,. ilrn (Âtrlp trro,-âe em Crn vno?s poirçi núâ ondq o 1 d rncts inÍenú -o3oF{C) o P (vr c_oínPO eldkkoeqnc \( <-rt(i_ri-, I ev1.;) pto,cos' 0cr€AtetCr§ cclG6o Ôf Co. Co= 8,65 PF, cN l ) erüee oo &(co Crn)Cc,. ft\rrc8 q^/ú- tathA,O &eCIcr'ciô)€e gda +ee ve[oaoo. rnôo fn.rt() 6 Eleh.rc;doda roteido rÂo: L= ôü ec^O$c. --+>.S. d.so\ryff.: ,# C rntrrns qua íl . íeev^po * 6ndsv\r0dohs J Vot+51 R!â ( \, intengfdr Z411frffi'-+ %+""oo§ da 0opou$-o tLl Ks = 'l ,384 r{o - ta J /k - .4,3ô'1 ,,. ,t 6- 'of, /K 9: a.4@2ac$60ío *c k= (,316 1/Kl.^oQ. ç96É? KC /mo[' q6,(? xtoaC/rnoL ) da d"'â,ru\e-O {= crv d CV, P .! CF) eopesSueC- (c) <qpaooodo do condomtôo( Cr> C -raAPacôcid§**t Cç) L (ç ) E:- qrcq.x6 1 - I x à. 4",.4. AV= x Y\ ôu Ix x 3 F\ Ks l.l 3'e- !^Cff).--AV = C=€e-"co : €ex6 x .r=if\ ?" No{o ) zs iguafl 'a rcfândÔ dc üo YVt ca - ^ L= corrcnl?açoo int@ion_ exte8ot ô ftlDtctêrua tw''OnÍocrn) furr C:zrcnô Csal -ôTg0ns íse x rn) Csnd,,..^\ivid o.ch Clou s) el"'fu,lCo ldods R Jíro^ e dadc- Poe: >d;ôeruteo pct{e rf,. worrubtc.oo: A cc..nori Carnq ob vtvn') I yrQ ds iõer/ dEnsrdod§ C rtt'-S) cigítte & Ç,r.üta) (Qao u.,idc^ão hqdo iõoz oqruUoaâ Crrr-31 \ t €Dpanfrr?Cr V 0ü rnqívtb&Íf.^.crn [.o-se Çcec. ) \-f o xC) 0\ ente dn Gnda temt conco,Ah(".tr gãAâ ofxlq te\^ _) Co*r.o &-sXc.t- Àl(l'rA8 O e {ern ÇOA l^'" €xec'.gte r I\r k6t! '5wo a..r^po !I ,do artr vnultre0.rcOo-)É=+Z -§g nCL 5I C Yno0 lt.brtü, ô ,ru dr'alt \aO ey\À,rqa; adoccr -se ert\ ..9dq Avo8iô,eo Cdgl\,nsidc.d§) a covrs ifu c^ooclrnn! auÍ* a. toa- teí\ cf*A bc,.c L rfl I Ah PX J P= LA=[2' D Dx ^.X. l\n XY\k tidod§ (+ wriceonseO) yn2 b'l pc^qc" dSdil.lc, a Cbmtortes . €: 0r-1600 o.C =416O*,tOqC €o= S, S54 pF. "n-t = 8, E6 x 4cit 2 F/rvr K6 {,38 ,"àO- t3f, V-, -4 4,38'l x-{O ln-z,3J Mn 6,OZZ x4 \"no[ 'R= U,n.Kg= 6,$lG l/K/nrcl' t'= N6-e:9 6 ,41 xc /rnol = x-lOáq6 rq? L - 4eV -= 1160 x ,16' tQ f, Uniclc-dsr - 4fV\ 51rnoL *c[tY. 3 -4 F= 4 c/v ,1 V -l "t U fC ,ir i L= a ry\§to§ C.dc^^o) -1 €e- cc^rr- ) €o 1 Qr^onôo droz q^^s X 0.À,^.rnsfl\ic. W'*/" -> àr^i,wui -'L'-, ct- *.1 L'-, Cx+ n7") e (4 rhu/")X : C.,t - vr_f - )*- 8,,^c.q It t\ {tts Qr.^c.vrdo Cünn.'ru^l (( r1 Guo.tàO pd. c+^^.crr$Cvâ \ S Cn tyVrOntfi Ou d;wrinr,t; I F ped§ q^J§ ô^^m§n{OU OU ) e Õ t-d6 rprrt 60{ff(9C Am,^,§çoau tÇ= ?,Ft F- ttÍ b *§* Y^\çâ- CF'=ffiç )Éi\-, tt 4 z 4C;,qô q40 1 4Cí40 404C no 10"' 40 lt é-. - o«dont oâand$nte í d1 4Õ40'h 4o 4ó'' 4dnü ,1 Oo 4d44d2 -q 0 -2.4CÍ 1 Equações ���~F ��� = 1 4⇡" q1q2 d 2 C = "r"0 A d J = �D�n �x + µEn R = NAkB F = NAe 2 Constantes e = 0.1602 aC "0 = 8.854 pFm �1 kB = 1.38⇥ 10�23 JK�1 NA = 6.022⇥ 1023 mol�1 3 Unidades 1 M = 1 mol dm �3 1 F = 1 CV �1 1 Vm �1 = 1 NC �1 4 Parâmetros "r (vácuo) = 1 "r (ar) = 1 "r (água) = 80 1
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