Teoria das Estruturas 1 - Aula 3

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 2
 
22
.0
2.
20
13
 
2 
E S T R U T U R A S I S O S T Á T I C A S - E X E R C Í C I O S 
3 
EXERCÍCIO 1: 
3 m 8 m 
15 tf 
A B 10 tf 
25 tf.m 
4 m 
3 m 8 m 
15 tf 
B 10 tf 
25 tf.m 
4 m 
Y 
X 
A 
Y 
X 
3 m 8 m 
15 tf 
B 10 tf 
25 tf.m 
4 m 
A HA 
VA VB 
4 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA - 10 = 0 
 HA = 10 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 15 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 15 – 15 . 3 – 25 = 0 
 15 . VB – 45 – 25 = 0 
 VB = 70 / 15 
 VB = 4,67 tf 
 de (a), VA = 10,33 tf 
15 tf 
B 10 tf 
25 tf.m 
A 10 tf 
10,33 tf 4,67 tf 
Y 
X 
3 m 8 m 
15 tf 
B 10 tf 
25 tf.m 
4 m 
A HA 
VA VB 
5 
EXERCÍCIO 2: 
30 tf 
A B 
90 tf.m 
9 m 
Y 
X 
B A 
90 tf.m 
9 m 
30 tf 
Y 
X 
B A 
90 tf.m 
9 m 
30 tf 
VA VB 
6 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 H = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 30 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 9 + 30 . 0 + 90 = 0 
 9 . VB + 90 = 0 
 VB = - 90 / 9 
 VB = - 10 tf 
 de (a), VA = 40 tf 
B A 
90 tf.m 
9 m 
30 tf 
40 tf 10 tf 
Y 
X 
B A 
90 tf.m 
9 m 
30 tf 
VA VB 
7 
EXERCÍCIO 3: 
B 
48 tf 
A 
8 m 
Y 
X 
48 tf 
A 
8 m 
B 
Y 
X 
48 tf 
A 
8 m 
B 
VA 
HA 
MA 
8 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(2) Σ Fy = 0 
 VA = 48 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + 48 . 8 = 0 
 MA = 384 tf . m 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
48 tf 
A B 
48 tf 
384 tf . m 
Y 
X 
48 tf 
A 
8 m 
B 
VA 
HA 
MA 
9 
EXERCÍCIO 4: 
12 m 
10 tf 
A B 
4 m 1 m 
45 tf 
15 tf 
Y 
X 
8 m 
A B 
8 m 1 m 
45 tf 
15 tf 
60 tf 
Y 
X 
A B 
1 m 
45 tf 
15 tf 
8 m 8 m 
60 tf 
HB 
VA VB 
10 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 45 + 60 
 VA + VB = 105 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 17 – 45 . 16 – 60 . 8 = 0 
 17 . VA – 720 – 480 = 0 
 17 VA = 1200 
 VA = 70,59 tf 
 de (a), VB = 34,41 tf 
(1) Σ Fx = 0 
 HB - 15 = 0 
 HB = 15 tf 
A B 
45 tf 
15 tf 
60 tf 
15 tf 
70,59 tf 34,41 tf 
Y 
X 
A B 
1 m 
45 tf 
15 tf 
8 m 8 m 
60 tf 
HB 
VA VB 
11 
EXERCÍCIO 5: 
6 m 
24 tf / m 
A B 
4 m 2 m 
18 tf 18 tf 
18 tf 
Y 
X B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
18 tf 
Y 
X B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
VA VB 
HB 
12 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
18 tf 
B 
144 tf 
A 
18 tf 
96 tf 84 tf 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 18+ 144 + 18 
 VA + VB = 180 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 6 – 18 . 10 – 144 . 
 3 + 18 . 2 = 0 
 6 . VA – 180 – 432 + 36 = 0 
 6 . VA = 576 
 VA = 576 / 6 
 VA = 96 tf 
 de (a), VB = 84 tf 
18 tf 
Y 
X B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
VA VB 
HB 
13 
EXERCÍCIO 6: 
5 m 
15 tf 
A B 
6 m 11 m 
6 tf / m 
20 tf 
8 tf / m 
4 tf / m 
20 tf 
Y 
X 
15 tf 
A B 
5,5 m 5,5 m 
66 tf 
20 tf 
48 tf 20 tf 
20 tf 
3 m 5,5 m 2,5 m 
Y 
X 
15 tf 
A B 
5,5 m 5,5 m 
66 tf 
20 tf 
48 tf 20 tf 
20 tf 
3 m 5,5 m 2,5 m 
HA 
VA VB 
14 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA + 2 0 – 20 = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 66 + 15 + 48 + 20 
 VA + VB = 149 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 22 – 66 . 5,5 – 
 15 . 11 – 48 . 14 – 20 . 19,5 = 0 
 22 . VB – 363 – 165 – 672 – 390 = 0 
 22 . VB = 1590 
 VB = 1590 / 22 
 VB = 72,27 tf 
 de (a), VA = 76,73 tf 
15 tf 
A B 
66 tf 
20 tf 
48 tf 20 tf 
20 tf 
76,73 tf 72,27 tf 
Y 
X 
15 tf 
A B 
5,5 m 5,5 m 
66 tf 
20 tf 
48 tf 20 tf 
20 tf 
3 m 5,5 m 2,5 m 
HA 
VA VB 
15 
EXERCÍCIO 7: 
9 m 
5 tf 
A B 
3 m 12 m 
8 tf 
17 tf 
3 tf 
7 tf 
30 tf.m 
3 m 
30 tf.m 
9 m 
5 tf 
A B 
3 m 12 m 
30 tf.m 
3 m 
+ 
+ 
9 tf 
4 tf 
3 tf / m 
8 tf / m 
30 tf.m 
Y 
X 
3 m 
1,5 
m 
5 tf 
A B 
9 m 4 m 
30 tf.m 
96 tf 54 tf 27 tf 18 tf 
2 m 7,5 m 
30 tf.m 
16 
Y 
X 
3 m 
1,5 
m 
5 tf 
A B 
9 m 4 m 
30 tf.m 
96 tf 54 tf 27 tf 18 tf 
2 m 7,5 m 
30 tf.m 
HB 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 54 + 96 + 5 + 27 + 18 
 VA + VB = 200 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 27 – 54 . 23 – 96 
 . 21 – 5 . 12 – 27 . 4.5 – 18 . 
 3 + 30 – 30 = 0 
 27 . VA – 1242 – 2016 – 60 – 
 121,5 – 54 = 0 
 27 . VA – 3493,5 = 0 
 VA = 3493,5 / 27 
 VA = 129,39 tf 
 de (a), VB = 70,61 tf 
VA VB 
5 tf 
A B 
30 tf.m 
96 tf 54 tf 27 tf 18 tf 30 tf.m 
129,39 tf 70,61 tf 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
17 
EXERCÍCIO 8: 
5 m 
C 
20 tf 
D 
B A 
25 tf.m 
3 m 
3 m 
10 tf 
25 tf 
Y 
X 
5 m 
C 
20 tf 
D 
B A 
25 tf.m 
3 m 
3 m 
10 tf 
25 tf 
18 
Y 
X 
5 m 
C 
20 tf 
D 
B A 
25 tf.m 
3 m 
3 m 
10 tf 
25 tf 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA + 10 + 20 – 
 25 = 0 
 HA = – 5 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 0 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 5 – 25 . 0 – 20 . 6 – 10 . 3 
 – 25 = 0 
 5 . VB – 120 – 30 – 25 = 0 
 5 . VB – 175 = 0 
 VB = 175 / 5 
 VB = 35 tf 
 de (a), VA = – 35 tf 
HA 
VA VB 
C 
20 tf 
D 
B A 
25 tf.m 
10 tf 
25 tf 
5 tf 
35 tf 35 tf 
19 
EXERCÍCIO 9: 
Y 
X 
+ 
6 tf 
5 tf / m 
9 m 
C D 
B 
A 
4 m 
2 m 
18 tf 
13 tf.m 
11 tf 
6 m 9 m 
C D 
B 
A 
4 m 
2 m 
18 tf 
13 tf.m 
5 tf 
11 tf 
6 m 
20 
13 tf.m 
Y 
X 
4,5 m 
C D 
B 
A 
4 m 
2 m 
18 tf 
33 tf 
4 m 
45 tf 27 tf 
1,5 
m 5 m 
HB 
VA 
VB 
Y 
X 
+ 
6 tf 
5 tf / m 
9 m 
C D 
B 
A 
4 m 
2 m 
18 tf 
13 tf.m 
11 tf 
6 m 
21 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB – 18 = 0 
 HB = 18 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 45 + 27 + 33 
 VA + VB = 105 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VA . 15 + VB . 0 – 45 . 10.5 – 27 . 9 – 33 . 4 – 
 13 = 0 
 15 . VA – 472,5 – 243 – 132 – 13 = 0 
 VA = 860,5 / 15 
 VA = 57,37 tf 
 de (a), VB = 47,63 tf 
13 tf.m 
Y 
X 
4,5 m 
C D 
B 
A 
4 m 
2 m 
18 tf 
33 tf 
4 m 
45 tf 27 tf 
1,5 
m 5 m 
HB 
VA 
VB 
22 
13 tf.m 
C D 
B 
A 
18 tf 
33 tf 45 tf 27 tf 
18 tf 
57,37 tf 
47,63 tf 
23 
EXERCÍCIO 10: 
9 m 
C D 
B 
1,5 m 
5 m 
90 tf 
170 tf.m 
100 tf 
60 tf 
4 m 
115 tf 
45 tf 
5 m 
A 
5 m 
5 m 
Y 
X 
9 m 
C D 
B 
1,5 m 
90 tf 
170 tf.m 
4 m 
115 tf 
45 tf 
A 
40 tf 
60 tf / m 
+ 
24 
5 m 
5 m 
Y 
X 
3 m 
C D 
B 
1,5 m 
90 tf 
4 m 
115 tf 
45 tf 
A 
260 tf 
780 tf 
3,5 m 
2,5 
m 
170 tf.m 
5 m 
5 m 
Y 
X 
9 m 
C D 
B 
1,5 m 
90 tf 
170 tf.m 
4 m 
115 tf 
45 tf 
A 
40 tf 
60 tf / m 
+ 
25 
Y 
X 
3 m 
C D 
B 
1,5 m 
90 tf 
4 m 
115 tf 
45 tf 
A 
260 tf 
780 tf 
3,5 m 
2,5 
m 
170 tf.m 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA – 115 – 90 = 0 
 HA = 205 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 260 + 780 + 45 
 VA + VB = 1085 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 13 + HA . 5 – 260 . 10 – 780 . 
 6.5 – 45 . 4 + 115 . 10 + 90 . 1,5 – 170 = 0 
 13 . VA + 1025 – 2600 – 5070 – 180 + 1150 
 + 135 – 170 = 0 
 13 VA = 5710 
 VA = 5710 / 13 
 VA = 439,23 tf 
 de (a), VB = 645,77 tf 
HA 
VA 
VB 
5 m 
5 m 
26 
C D 
B 
90 tf 
170 tf.m 
115 tf 
45 tf 
A 
280 tf 
840 tf 
205 tf 
439,23 tf 
645,77 tf 
27 
E S T R U T U R A S I S O S T Á T I C A S - E X E M P L O S 
28 
29 
30 
31 
3233 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 
51 
52 
53 
54 
55 
C O N T I N U A . . .