Teoria das Estruturas 1 - Aula 7

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 7
 
22
.0
3.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
EXERCÍCIO 3.1: 
4 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
A C B 
50 tf 
C D 
20 tf / m 
5 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
A C B 
50 tf 
C D 
20 tf / m 
VC
CD VD 
VC
CD
 
VA 
HA 
MA 
 
 
6 
8 m 
C D 
20 tf / m 
VC
CD VD 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VC
CD + VD – 20 . 8 = 0 
 VC
CD + VD = 160 tf (a) 
(2) Σ MC = 0 
 VC . 0 + VD . 8 – 160 . 4 = 0 
 8 . VD – 640 = 0 
 VD = 640 / 8 
 VD = 80 tf 
 de (a), VC = 80 tf 
7 
4 m 4 m 
A C B 
50 tf 
VC 
VA 
HA 
MA 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA – VC – 50 = 0 
 VA – 80 – 50 = 0 
 VA = 130 tf 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 – VC . 8 – 50 . 4 = 0 
 – 80 . 8 – 200 = 0 
 Σ MA = 840 tf.m 
8 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
A B 
20 tf / m 
D 
50 tf 
C 
130 tf 
840 tf.m 
80 tf 
9 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
EXERCÍCIO 3.2: 
10 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
VA 
MA 
VD 
HA 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VD = 50 + (20 . 8) 
 VA + VD = 210 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VD . 16 – 50 . 4 – 160 . 12 + MA = 0 
 16 . VD + MA – 200 – 1920 = 0 
 16 . VD + MA = 2120 tf (b) 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
11 
(4) Σ MC
CD = 0 
 VD . 8 – (20 . 8) . 4 = 0 
 8 . VD – 160 . 4 = 0 
 8 . VD = 640 
 VD = 640 / 8 
 VD = 80 tf 
8 m 
C D 
20 tf / m 
VD 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
de (a): 
VA + VD = 210 tf 
VA + 80 = 210 
VA = 210 – 80 
VA = 130 tf 
de (b): 
16 . VD + MA = 2120 tf 
16 . 80 + MA = 2120 
1280 + MA – 2120 
MA = 2120 – 1280 
MA = 840 tf.m 
12 
A 
4 m 
B 
8 m 
20 tf / m 
D 
4 m 
50 tf 
C 
A B 
20 tf / m 
D 
50 tf 
C 
130 tf 
840 tf.m 
80 tf 
13 
EXERCÍCIO 4: 
10 tf 
2 tf / m 
A B D E G H 
10 m 5 m 10 m 10 m 5 m 10 m 10 m 
25 tf 
C 
20 tf 
F 
14 
10 tf 
2 tf / m 
A B D E G H 
10 m 5 m 10 m 10 m 5 m 10 m 10 m 
25 tf 
C 
20 tf 
F 
10 tf 
A B C G H 
20 tf 
F 
2 tf / m 
D E 
25 tf 
15 
10 tf 
A B C G H 
20 tf 
F 
2 tf / m 
D E 
25 tf 
VE VD 
VD VE 
VA VC VF VH 
 
  
10 tf 
2 tf / m 
A B D E G H 
10 m 5 m 10 m 10 m 5 m 10 m 10 m 
25 tf 
C 
20 tf 
F 
16 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VD + VE – (2 . 10) – 25 = 0 
 VD + VE – 20 – 25 = 0 
 VD + VE = 45 tf (a) 
(2) Σ MD = 0 
 VD . 0 + VE . 10 – (2 . 10 . 5) – 25 . 0 = 0 
 10 . VE – 100 = 0 
 10 . VE = 100 
 VE = 100 / 10 
 VE = 10 tf 
 de (a), VD = 35 tf 
2 tf / m 
25 tf 
VE VD 
10 m 
17 
10 m 5 m 10 m 
10 tf 
A B C 
35 tf 
VA VC 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VA + VC – 10 – 35 = 0 
 VA + VC – 45 = 0 
 VA + VC = 45 tf (a) 
(2) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VC . 20 – 10 . 10 – 35 . 25 = 0 
 20 . VC – 100 – 875 = 0 
 20 . VC = 975 
 VC = 975 / 20 
 VC = 48,75 tf 
 de (a), VA = – 3,75 tf 
18 
10 m 5 m 10 m 
20 tf 
H G F 
10 tf 
VH VF 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VF + VH – 20 – 10 = 0 
 VF + VH – 30 = 0 
 VF + VH = 30 tf (a) 
(2) Σ MH = 0 
 VH . 0 + VF . 20 – 20 . 10 – 10 . 25 = 0 
 20 . VF – 200 – 250 = 0 
 20 . VF = 450 
 VF = 450 / 20 
 VF = 22,50 tf 
 de (a), VH = 7,5 tf 
19 
10 tf 
2 tf / m 
A B D E G H 
25 tf 
C 
20 tf 
F 
3,75 tf 48,75 tf 22,50 tf 7,5 tf 
10 tf 
2 tf / m 
A B D E G H 
10 m 5 m 10 m 10 m 5 m 10 m 10 m 
25 tf 
C 
20 tf 
F 
20 
EXERCÍCIO 5: 
5 m 2 m 5 m 2 m 2,5 m 2,5 m 
40 tf / m 40 tf / m 
20 tf 30 tf 20 tf 
20 tf / m 30 tf . m 
A B C D E F 
21 
5 m 2 m 5 m 2 m 2,5 m 2,5 m 
40 tf / m 40 tf / m 
20 tf 30 tf 20 tf 
20 tf / m 30 tf . m 
A B C D E F 
40 tf / m 
20 tf 
E F 
30 tf 
40 tf / m 
20 tf 
30 tf . m 
A B 
20 tf / m 
B C D E 
22 
VF VE VB VA 
VE VB 
VC VD 
5 m 2 m 5 m 2 m 2,5 m 2,5 m 
40 tf / m 40 tf / m 
20 tf 30 tf 20 tf 
20 tf / m 30 tf . m 
A B C D E F 
40 tf / m 
20 tf 
E F 
30 tf 
40 tf / m 
20 tf 
30 tf . m 
A B 
20 tf / m 
B C D E 
23 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VE + VF – (40 . 5) – 20 = 0 
 VE + VF – 200 – 20 = 0 
 VE + VF = 220 tf (a) 
(2) Σ ME = 0 
 VE . 0 + VF . 5 – (40 . 5 . 2,5) – 20 . 2,5 = 0 
 5 . VF – 500 – 50 = 0 
 5 . VF = 550 
 VF = 550 / 5 
 VF = 110 tf 
 de (a), VE = 110 tf 
40 tf / m 
20 tf 
E F 
2,5 m 2,5 m 
VF VE 
24 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VA + VB – (40 . 5) – 20 – 30 = 0 
 VA + VB – 200 – 50 = 0 
 VA + VB = 250 tf (a) 
(2) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 5 – (40 . 5 . 2,5) – 30 . 5 – 20 . 0 + 30 = 0 
 5 . VB – 500 – 150 + 30 = 0 
 5 . VB = 620 
 VB = 620 / 5 
 VB = 124 tf 
 de (a), VA = 126 tf 
30 tf 
40 tf / m 
20 tf 
30 tf . m 
VB VA 
5 m 
25 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fy = 0 
 VC + VD – (20 . 9) – 124 – 110 = 0 
 VC + VD – 180 – 124 – 110 = 0 
 VC + VD = 414 tf (a) 
(2) Σ MC = 0 
 VC . 0 + VD . 5 – (20 . 7 . 3,5) – 110 . 7 + 
 124 . 2 + (20 . 2 . 1) = 0 
 5 . VD – 490 – 770 + 248 + 40 = 0 
 5 . VD = 972 
 VD = 972 / 5 
 VD = 194,4 tf 
 de (a), VC = 219,6 tf 
2 m 2 m 5 m 
20 tf / m 
B C D E 
110 tf 124 tf 
VC VD 
26 
40 tf / m 40 tf / m 
20 tf 30 tf 20 tf 
20 tf / m 30 tf . m 
A B C D E F 
126 tf 219,6 tf 194,4 tf 110,0 tf 
5 m 2 m 5 m 2 m 2,5 m 2,5 m 
40 tf / m 40 tf / m 
20 tf 30 tf 20 tf 
20 tf / m 30 tf . m 
A B C D E F 
27 
EXERCÍCIO 6: 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
28 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
29 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA – HB = 0 tf (a) 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB – (24 . 6) = 0 
 VA + VB = 144 tf (b) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + HA . O + VB . 6 – HB . 2 – (24 . 6 . 3) + 
 54 – 54 = 0 
 6 . VB – 2 . HB – 432 = 0 
 6 . VB – 2 . HB = 432 
 
 
 VB = 72 + 0,33 . HB (c) 
VB = 
432 + 2 . HB 
6 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
30 
(4) Σ MD = 0 
 VB . 3 + HB . 2 – (24 . 3 . 1,5) – 54 = 0 
 3 . VB + 2 . HB – 108 – 54 = 0 
 3 . VB + 2 . HB – 162 = 0 
 3 . VB + 2 . HB = 162 
 3 . VB = 162 – 2 . HB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 de (c): VB = 72 + 0,33 . HB 
 3 . (72 + 0,33 . HB) = 162 – 2 . HB 
 216 + 1 . HB = 162 – 2 . HB 
 1 . HB + 2 . HB = 162 – 216 
 3 . HB = – 54 
 HB = – 54 / 3 
 HB = – 18 tf 
 de (c): VB = 66,06 tf 
 de (b): VA = 77,94 tf 
 de (a): HA = – 18 tf 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
31 
18 tf 
77,94 tf 
66,06 tf 
18 tf 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 54 tf . m 54 tf . m 
32 
EXERCÍCIO 7: 
2 tf / m 
30 tf 
A B 
C 
D E 
3 m 
8 m 
4 m 4 m 
4 tf 
0,5 
m 
0,5 
m 
33 
0,5 
m 
0,5 
m 
2 tf / m 
30 tf 
A B 
C 
D E 
3 m 
8 m 
4 m 4 m 
4 tf 
16 tf 
A B 
C 
3 m 
8 m 
4 m 4 m 
4 tf 15 tf 15 tf7,5 tf.m 7,5 tf.m 
HA 
VA VB 
HB 
34 
16 tf 
A B 
C 
3 m 
8 m 
4 m 4 m 
4 tf 15 tf 15 tf 
7,5 tf.m 7,5 tf.m 
HA 
VA VB 
HB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA – HB + 4 = 0 
 HA – HB = – 4tf (a) 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB – 16 – 15 – 15 = 0 
 VA + VB = 46 tf (b) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 8 – 16 . 4 – 15 . 0 – 15 . 8 – 7,5 
 + 7,5 – 4 . 8 = 0 
 8 . VB – 64 – 120 – 32 = 0 
 8 . VB = 216 
 VB = 216 / 8 
 VB = 27 tf 
 de (b), VA = 19 tf 
35 
(4) Σ MC
CB = 0 
 VB . 4 + 4 . 3 – 15 . 4 – [(2 . 4) . 2] + 7,5 – HB 
 . 11 = 0 
 27 . 4 + 12 – 60 – 16 + 7,5 – HB . 11 = 0 
 – 11 . HB + 108 + 12 – 60 – 16 + 7,5 = 0 
 – 11 . HB = – 51,5 
 HB = 4,68 tf 
 de (a) HA = 0,68 tf 
16 tf 
A B 
C 
3 m 
8 m 
4 m 4 m 
4 tf 15 tf 15 tf 
7,5 tf.m 7,5 tf.m 
HA 
VA VB 
HB 
36 
16 tf 
A B 
C 
4 tf 15 tf 15 tf 
7,5 tf.m 7,5 tf.m 
0,68 tf 
19 tf 27 tf 
4,68 tf 
37 
C O N T I N U A . . . 
38 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA FOI DESENVOLVIDA POR INSPIRAÇÃO OU POR MEIO DE ALGUMAS TRANSCRIÇÕES INTEGRAIS OU PARCIAIS DAS 
OBRAS “ANÁLISE DE ESTRUTURAS – CONCEITOS E MÉTODOS BÁSICOS”, DE LUIZ FERNANDO MARTHA (1ª EDIÇÃO, EDITRA CAMPUS, SÃO PAULO, 2010), “ESTÁTICA DAS 
ESTRUTURAS”, DE HUMBERTO LIMA SORIANO (2ª EDIÇÃO, EDITORA CIÊNCIA MODERNA, SÃO PAULO, 2010) E MARIA CASCÃO FERREIRA DE ALMEIDA (1ª EDIÇÃO, 
EDITORA OFICINA DE TEXTOS, SÃO PAULO, 2009). A ELES, A MAIORIA DOS CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS. 
QUANDO CONVENIENTE, FORAM ADOTADAS ADAPTAÇÕES TEXTUAIS E NAS FIGURAS – ALÉM DA INCLUSÃO DE NOVAS IMAGENS E/OU ESQUEMAS E/OU EXEMPLOS – DE 
FORMA A FAZER COM QUE ESTE MATERIAL ESTEJA CONVENIENTEMENTE ALINHADO À PROPOSTA DA DISCIPLINA “TEORIA DAS ESTRUTURAS 1”, DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL .