_Intervalos de Confiança

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12/03/2013 
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ESTIMATIVA POR INTERVALO DE UMA MÉDIA DE 
POPULAÇÃO, o caso da Grande AMOSTRA (n ≥30 ) 
 
 
 
 
n
X
z





2
n
zEe

 
2
b) quando  é desconhecido e n≥ 30: 
n
s
zEe 
2

n
s
X
z




2
a) quando  é conhecido: 
EXEXEX  
O intervalo de confiança será 
onde E=margem de erro 
n
s
tEonde .
2

c) quando  é desconhecido e n< 30 => utilizar a distribuição t- Student 
n
s
X
tquesabendo


EXEXEX  
O intervalo de confiança será 
).,.(
2
 lgtt
ttabelana

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2 
Observações: 
 
 
 1ª) A probabilidade P [ ‌ -μ ‌≤ E] vamos denominar, a 
partir de agora, de nível de confiança de uma 
estimativa por intervalo e vamos representá-la por (1- 
) ou (1- )%. 
 
 2ª) O valor Z/2 é obtido na tabela da distribuição 
normal padrão e corresponde à área (1- ) / 2. 
 
 3ª) Lembremos que  é o desvio-padrão da 
população e s é o desvio-padrão da amostra. 
 
 
 
 
 
x
4ª) A estimativa por intervalo é também 
denominada de intervalo de confiança. 
 
5ª) Interpretação do intervalo de confiança da 
média: Pode-se afirmar, com (1- )% de 
confiança, que a média da população está entre 
 ( - E) e ( + E) . 
 
 
 
 
x x
6ª) A amplitude do intervalo de confiança é 
inversamente proporcional ao tamanho da 
amostra. Isto significa que quanto maior o n 
(menor a margem de erro), mais estreito é o 
intervalo de confiança (maior é a precisão na 
pesquisa). 
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6ª) Valores de Z/2 para os níveis de confiança mais 
usados na prática: 
 
 Nível de 
confiança 
 
 
 / 2 
 
Z/2 
 
90% 10% 5% 1,65 
95% 5% 2,5% 1,96 
99% 1% 0,5% 2,58 
 O número t/2 é encontrado na tabela da 
distribuição t e necessita, para ser localizado 
na tabela, dos seguintes dados: 
 g.l.= “graus de liberdade” = n – 1 e do nível de 
significância  . 
 
 
 
Aumente o tamanho da amostra n para n  30 de modo 
a desenvolver uma estimativa do intervalo (TLC). 
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PARA DETERMINAR O TAMANHO DA AMOSTRA “n” 
 
 
 O uso da fórmula acima exige um valor para o 
desvio-padrão da população . Na maioria dos 
casos,  é desconhecido. No entanto, podemos 
ainda usar a fórmula acima se tivermos um 
valor preliminar ou um valor planejado para . 
 Um valor valor estimado de  poderia ser 
=(maior valor – menor valor)/4. 
 
2
2
.











E
z
n

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Proporção populacional 
 
 
 
Proporção Amostral 
 
N
f
p 
ˆ
f
p
n

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Desvio padrão da proporção 
 
 
 
Como p não é conhecido, temos 
 
ˆ
. .(1 )
p
p q p p
n n
  
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ. .(1 )
p
p q p p
n n
  
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8 
ˆ
2 2
ˆ
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ.(1 ) .(1 )
ˆ ˆ.(1 )
.
p
p
Ep p
Z Z
p p p p
n n
p p
E Z
n
 


  
 


 
 
 
 
ou 
ˆ
ˆ
p
p E
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) 1
p p
P p E p p       
Assim, temos que o I.C. para proporção populacional 
p é dado por 
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Em uma amostra de 136 pessoas dentre 400 que 
tomaram uma vacina contra gripe sentiram algum 
efeito colateral. Construa um intervalo de 95% de 
confiança para a verdadeira proporção que 
experimentaram efeito colateral com a referida 
vacina. 
A proporção amostral é 
 
 
E o erro-padrão da proporção é 
 
 
 
Logo, a margem de erro é 
 
Logo, o intervalo de confiança para a proporção populacional é: 
 
 
136
ˆ 0,34
400
p  
ˆ
0,34.0,66
0,0237
400
p  
ˆ 1,96.0,0237 0,0464pE  
ˆˆ pp E 
0464,034,0 
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De outra forma podemos escrever que o I.C. para 
a proporção populacional é: 
 
 
 
 
%95)0464,034,0p0464,034,0(P 
%95)3864,02936,0(  pP
Exemplo 2 
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z0,9750=1,96 
3.0
100
30
ˆ 
n
X
p
Exemplo 3: Em 100 acessos a páginas de internet escolhidos ao acaso 30 são as 
páginas nacionais. Determine um IC a 95% para a proporção de acessos a 
páginas nacionais 
 04582,096,13,0 ,04582,096,13,0)(%)95( pIC
 089818,03,0 ,089818,03,0 
 .38980 ,2102.0)(%95 pIC
04582,0
100
7,03,0)ˆ1(ˆ





n
pp
S p
 
pp SzpSzppIC 9750.09750.0%)95( ˆ,ˆ)( 
 
pp SpSppIC  96,1ˆ,96,1ˆ)(%)95(
)100Binomial(~ ,pXX - número de acessos á páginas de internet nacionais 
p – proporção de acessos a páginas nacionais (em geral) p – desconhecido 
 pp SzpSzppIC 2121)1( ˆ,ˆ)(   
n
pp
S p
)ˆ1(ˆ 

n
X
p ˆ
com e 
1º. Determinar z1-/2 para =0,05 
3º. Substituir na fórmula: 
2º. Determinar as estimativas p e Sp 
^ 
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2
2
ˆ
.(1 )
p
Z
n p p
E
 
 
 
 
 
 
2
.(1 )
.
p p
E Z
n


 
2
2
ˆ
1
4 p
Z
n


 
 

 
 
 
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