Introdução à Estática dos Fluidos

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DESCRIÇÃO
Conceitos fundamentais de Fenômenos de Transporte (FENTRAN), propriedades dos fluidos, unidades mais comuns, análise
dimensional e estática dos fluidos.
PROPÓSITO
Compreender os Fenômenos de Transporte, a metodologia da análise dimensional e semelhança – bastante utilizada em
diversas disciplinas de Engenharia – e a estática dos fluidos – fundamental para o projeto de diversas estruturas, como
reservatórios, comportas e barragens.
PREPARAÇÃO
Calculadora científica, papel e caneta para a resolução dos exercícios.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos
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MÓDULO 2
Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas
MÓDULO 3
Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática
O QUE SÃO FENÔMENOS DE TRANSPORTE?
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos
DEFINIÇÃO DE FLUIDO, CONCEITOS E UNIDADES
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CONCEITO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Uma das perguntas que você pode estar se fazendo agora é: O que são Fenômenos de Transporte? Essa é uma dúvida comum
aos alunos que iniciam esse estudo, tendo em vista o título genérico.
A intenção é justamente essa, pois FENTRAN (simplificação frequentemente adotada) trata do transporte de grandezas que têm
naturezas físicas muito diferentes, mas mantêm entre si um aspecto em comum: o mecanismo. Em outras palavras, são os
fenômenos que, apesar de parecerem não ter nenhuma correlação, podem ser explicados pelos mesmos princípios e tratados
por equações análogas.
APLICAÇÕES DE FENTRAN NA ENGENHARIA
A explicação dada sobre o que é FENTRAN ainda está um pouco vaga? Então, vamos especificar o que será “transportado”
para você aqui:
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
No escoamento de fluidos, pode ocorrer “atrito” (tensão cisalhante) entre partículas. Por meio dessa força, é transferida a
quantidade de movimento (produto entre velocidade e massa).
PRODUTO ENTRE VELOCIDADE E MASSA
Da mecânica clássica:
Q = m ∙ v
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CALOR
Conforme você provavelmente aprendeu no ensino médio, calor é a transferência de energia térmica que pode ocorrer por
condução, convecção e radiação. Em FENTRAN, aprofundaremos mais esse conhecimento.
MASSA
Quando uma substância é liberada em um meio fluido (como, por exemplo, gás metano na atmosfera e lançamento de
efluentes em um rio), há a tendência de ela se espalhar, seja pelo movimento do meio (como, por exemplo, o vento na
atmosfera ou a corrente do rio), seja pela agitação microscópica (como, por exemplo, a molecular).
EFLUENTES
Resíduos provenientes de atividade humana, como redes de esgotos e atividades industriais.
Todos esses casos envolvem fluidos, ou seja, líquidos e gases. Assim, o conhecimento sobre eles é fundamental, desde seu
comportamento mecânico até suas propriedades físicas.
 RESUMINDO
FENTRAN trata do transporte de quantidade de movimento, calor e massa. E isso constitui um tema muito vasto. Portanto,
separamos aqui apenas os tópicos que são mais relevantes e necessários para a formação básica de um engenheiro, mas
indicaremos fontes de informações adicionais, caso você tenha interesse por mais detalhes.
A seguir, apresentaremos diversas aplicações de FENTRAN, principalmente na Engenharia, enfatizando os tipos de transporte
envolvidos.
METEOROLOGIA E OCEANOGRAFIA
Nesses dois campos de estudo, são abordados tanto o movimento de fluidos (vento no ar da atmosfera e corrente e onda nos
mares) quanto a transferência de calor.
 
Foto: Shutterstock.com
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Foto: Shutterstock.com
CIRCULAÇÃO SANGUÍNEA (BIOMEDICINA)
O sangue é um fluido, enquanto as artérias e veias são condutos por onde ele flui. O coração, por sua vez, é uma máquina de
fluxo, que provoca escoamento, caracterizado pela circulação sanguínea.
 
Imagem: Shutterstock.com adaptado por Danielle Ribeiro
 Circulação do sangue.
GERAÇÃO DE ENERGIA – TURBINAS HIDRÁULICAS E EÓLICAS
O objetivo das turbinas é converter a energia do fluido em energia mecânica, que, posteriormente, é transformada em energia
elétrica por um gerador. No caso de hidrelétricas, a energia disponível do fluido é a potencial gravitacional, correspondente à
altura da barragem. Já a energia eólica é obtida a partir da energia cinética oriunda da velocidade do vento.
 
Foto: Shutterstock.com
 Turbina hidráulica e eólica
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Foto: Shutterstock.com
 Turbina hidráulica e eólica
AERODINÂMICA
Há mais de um século, a aerodinâmica tem sido objeto de estudo, principalmente na aeronáutica. Mas, há pouco tempo, os
mesmos conceitos são utilizados no projeto de drones.
 
Foto: Shutterstock.com
 Aerodinâmica
 
Foto: Shutterstock.com
 Aerodinâmica
LAZER – JET SKI E FLYBOARD
Os conhecimentos abordados em FENTRAN são utilizados até para o lazer. Os projetos de motos aquáticas (jet ski) e, mais
recentemente, os flyboards se baseiam na mecânica dos fluidos para seu dimensionamento, como, por exemplo, a potência
requerida pelo motor.
 
Foto: Shutterstock.com
 Jet ski (moto aquática) e flyboardLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 
Foto: Shutterstock.com
 Jet ski (moto aquática) e flyboard
LAZER
Talvez você não saiba, mas FENTRAN vai continuar acompanhando você mesmo após as atividades comentadas
anteriormente. Os princípios de transferência de calor estão presentes no churrasco que você prepara, na pizza que vai ao forno
e até no hambúrguer grelhado na chapa.
 
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
 
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
 
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
CONSTRUÇÃO CIVIL: PONTE
O colapso da ponte de Tacoma, em 1940, foi um marco para a construção civil, pois ela havia sido projetada para resistir a
velocidades de vento superiores à velocidade no dia do acidente. Percebeu-se que a ação do vento pode provocar VibraçõesLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Induzidas por Vórtices (VIVs) e levar a estrutura ao colapso devido à ressonância.
 
Foto: Domínio Público/Wikimedia commons/licença(CC BY 3.0...)
 Ponte de Tacoma (1940)
 
A. Placzek/Wikimedia commons/licença (CC BY-SA 3.0)
 Vibração Induzida por Vórtice (VIV)
TÚNEL DE VENTO – AERODINÂMICA AUTOMOTIVA E DE AVIAÇÃO
Túneis de vento são amplamente utilizados no projeto de veículos e aeronaves. O principal objetivo é medir a força de arrasto
(resistência) e a sustentação.
 
Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
 
Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
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Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
ENGENHARIA NAVAL
Seja em pequenos barcos de pesca, grandes cargueiros, petroleiros e cruzeiros ou até submarinos: é necessário garantir a
flutuabilidade e o equilíbrio em todos os tipos de embarcações. Além disso, existe a força de arrasto, que impacta diretamente
na velocidade e na autonomia. Esses conceitos também são abordados em mecânica dos fluidos.
 
Foto: Shutterstock.com
 Submarino e cargueiro
 
Foto: Shutterstock.com
 Submarino e cargueiro
ESPORTES
Nos esportes, também tem FENTRAN! Os motivos pelos quais a bola faz curva em chutes mais fortes e os ciclistas se abaixam
para alcançar maiores velocidades são explicados por conceitos abordados em mecânica dos fluidos.
 
Foto: Shutterstock.com
 EsportesLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 
Foto: Shutterstock.com
 Esportes
HIDRÁULICA, IRRIGAÇÃO E DRENAGEM
A hidráulica é uma das principais aplicações de FENTRAN para a maioria das engenharias, tanto em tubulações quanto em
canais.Como desdobramento, outras disciplinas se baseiam na mesma teoria básica, como irrigação, drenagem, saneamento,
instalações hidráulicas prediais e hidráulica marítima.
 
Foto: Shutterstock.com
 Hidráulica e irrigação
 
Foto: Shutterstock.com
 Hidráulica e irrigação
ÓLEO E GÁS
A indústria de óleo e gás é um ótimo exemplo para aplicação de FENTRAN, pois utiliza, praticamente, todos os tópicos
abordados.
 
Foto: Shutterstock.com
 Engenharia de Óleo e GásLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 
Foto: Shutterstock.com
 Engenharia de Óleo e Gás
REFRIGERAÇÃO
Geladeiras, freezers e sistemas de ar-condicionado funcionam com princípios abordados em transferência de calor.
 
Foto: Shutterstock.com
 Refrigeração
 
Foto: Shutterstock.com
 Refrigeração
DISPERSÃO DE POLUENTES
Há uma preocupação cada vez maior com o meio ambiente, o que inclui o impacto do lançamento de poluentes. A maneira
como substâncias se dispersam na atmosfera ou em corpos hídricos é avaliada com base em conhecimentos da transferência
de massa.
 
Foto: Shutterstock.com
 Poluição
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Foto: Shutterstock.com
 Poluição
SUSTENTABILIDADE
Um dos termos mais valorizados na engenharia moderna é a sustentabilidade. Essa é a característica que os melhores projetos
devem buscar, seja no aproveitamento da radiação solar, seja no aproveitamento das baixas temperaturas submarinas.
 
Foto: Shutterstock.com
 Painel solar – sustentabilidade
 
Foto: Microsoft Corp
 Data center submarino – sustentabilidade
SÓLIDO X FLUIDO
Neste momento, já é possível ter uma boa noção do que é FENTRAN e perceber que fluido é o tipo de matéria de nosso
interesse. Por isso, é importante defini-lo.
O que você lembra sobre a diferença entre sólido e fluido aprendida no ensino médio?
Provavelmente, um ou mais dos itens listados a seguir estarão em sua resposta:
SÓLIDO
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Moléculas mais próximas
Maior atração molecular
Tem formato definido

LÍQUIDO
Moléculas mais distantes
Menor atração molecular
Adequam-se ao ambiente
 Quadro: Diferenças entre sólido e líquido.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Essas características, obviamente, continuam válidas no curso superior. Porém, na Engenharia, precisamos de mais detalhes
para representar a matéria do ponto de vista mecânico, ou seja, em termos de tensões e deformações.
Quando aplicamos uma tensão cisalhante (letra grega
τ
) em um sólido, ele se deforma e resiste a ela, com um ângulo de distorção
δθ
, entrando em equilíbrio. Já o fluido não é capaz de resistir em equilíbrio. Então, o ângulo de distorção continua aumentando
pelo tempo que a tensão cisalhante for aplicada, ou seja, ele “escoa”, conforme demonstra a imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Diferença entre sólido e fluido
Como a distorção aumenta ao longo do tempo, não é conveniente falar em ângulo
δθLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
, mas sim em taxa de cisalhamento
dθ /dt
.
Isaac Newton (1643-1727) mostrou que, para fluidos mais comuns (como, por exemplo, água, óleos e ar), a tensão cisalhante é
proporcional à taxa de cisalhamento, ou seja:
Τ = Μ
DΘ
DT
 (I)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
μ
é uma constante chamada de viscosidade dinâmica.
Apesar de ser claro para entendimento, o termo taxa de cisalhamento (
dθ /dt
) não é prático para se medir ou calcular em um escoamento. Por isso, vamos trocar por outro termo equivalente, conforme a
dedução a seguir.
Vamos recortar apenas uma porção retangular infinitesimal de um fluido que escoa, com dimensões
δx
e
δy
. Transcorrido um tempo
δt
, o retângulo (linha tracejada) passa a ser um losango (linha contínua), conforme mostra a figura seguinte:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Taxa de cisalhamento e gradiente de velocidadeLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
O deslocamento do topo será
δx2 = δu δt
. No triângulo retângulo à esquerda, temos:
TANΔΘ =
ΔU ΔT
ΔY
 (II)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o ângulo é muito pequeno (infinitesimal),
tanδθ ≅ senδθ ≅ δθ
. Portanto:
ΔΘ =
ΔU ΔT
ΔY
 → 
DΘ
DT
=
DU
DY
 (III)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação
(i)
:
Τ = Μ
DU
DY
 (IV)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação representa a Lei da Viscosidade de Newton, válida para os fluidos então chamados de newtonianos.
 SAIBA MAIS
Algumas substâncias possuem comportamento ambíguo, ou seja, dependendo da condição, classificam-se como sólidos ou
fluidos. Como exemplos, podemos citar o vidro, que escoa muito lentamente (leva centenas de anos para perceber), e o solo,
que, em desmoronamentos aéreos ou submarinos, pode se comportar como fluido.
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HIPÓTESE DO CONTÍNUO: ABORDAGENS EULERIANA E
LAGRANGIANA
Quando observamos a correnteza de um rio ou qualquer outro escoamento, é natural pensarmos que se trata de algo contínuo,
ou seja, que preenche todo o espaço. Mas, lembrando da Química, sabemos que a água, assim como qualquer outro fluido, é
composta por moléculas.
Vamos avaliar o efeito desse distanciamento por meio da relação entre massa e volume ocupado, chamado de massa
específica:
Ρ =
M
V
 (V)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Para denotar volume, adotaremos V, com o intuito de diferenciar de velocidade
V
.
Partindo de um volume pequeno, mas que já engloba uma molécula (esfera 1 da imagem a seguir), teremos uma massa
elevada, conforme o ponto 1 do gráfico a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Hipótese do contínuo
Aumentando o tamanho do volume, a massa específica diminui até o ponto 2 do gráfico, na iminência de incluir mais uma
molécula, quando a massa específica dá um salto (ponto 3). Esse processo se repete, mas os saltos diminuem gradativamente,
pois a quantidade de moléculas adicionadas no aumento do volume perde cada vez mais proporção em relação às já incluídas.
Portanto, a partir de determinado volume limite, comumente aceito como 10-12 cm³ para líquidos e gases nas condições
normais de temperatura e pressão (CNTPs), essa oscilação passa a ser desprezível, e o gráfico tem comportamento contínuo.Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
As dimensões tratadas na Engenharia são, praticamente, sempre muito superiores a esse volume limite. Portanto, daqui em
diante, consideraremos o fluido como uma matéria contínua.
Assim temos:
HIPÓTESE
As dimensões mínimas estudadas na Engenharia envolvem um número muito grande de moléculas, o que possibilita considerar
o fluido como um meio contínuo, sem distinção entre moléculas e vazios.

CONSEQUÊNCIA
Em qualquer ponto no espaço, haverá uma partícula fluida que possui todas as grandezas inerentes a um fluido, como massa (
δm
), volume (δ V), velocidade (
→
V
) e temperatura (
T
). A massa específica, por exemplo, será calculada por: ρ =
δm
δV .
 Tabela: Tratamento dos fluidos na Engenharia.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Antes de começar a desenvolver equações, é necessário decidir qual abordagem será adotada – aquela que segue a matéria
(lagrangiana) ou aquela que se mantém fixa ao espaço (euleriana), conforme mostra a imagem a seguir:
EULERIANA
Lê-se: “óileriana”.
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javascript:void(0)
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Abordagem lagrangiana versus abordagem euleriana
Essa decisão se resume ao que mediremos ou calcularemos em termos das grandezas físicas (ex.: velocidade, pressão e
temperatura), conforme a tabelaa seguir:
Onde as grandezas
físicas são
medidas/calculadas?
Lagrangiana Euleriana
Em determinadas partículas de interesse,
que são acompanhadas ao longo de sua
trajetória no tempo.
Nas partículas que passam nas posições
de interesse (domínio de análise) ao
longo do tempo.
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Quadro: Abordagens lagrangiana e euleriana de acordo com as grandezas físicas.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Então, qual é a melhor abordagem?
Depende. Se estamos falando de sólidos, como na análise de estruturas (por exemplo, aço e concreto), os deslocamentos
fazem com que posições em que antes havia a matéria de interesse, em um momento posterior, passe a não haver nada
(apenas ar) ou outro tipo de material. Isso dificulta a aplicação da abordagem euleriana, que monitora as posições do espaço.
Em contrapartida, em se tratando de fluido, os deslocamentos são grandes. Normalmente, há entrada por um contorno e saída
pelo outro, o que dificulta o acompanhamento das partículas, feito pela abordagem lagrangiana.
 DICA
De maneira geral, concluímos que, para sólidos, a abordagem lagrangiana é mais apropriada, enquanto, para fluidos, a
euleriana se adequa melhor.
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Foto: Shutterstock.com
 EXEMPLO
O velocímetro de um automóvel se enquadra na abordagem lagrangiana ou euleriana?
O velocímetro mede a velocidade do automóvel, ou seja, acompanha a “partícula” enquanto se move. Essa situação
corresponde à definição da abordagem lagrangiana.
E o radar?
 
Foto: Shutterstock.com
Os radares medem a velocidade dos veículos que passam em determinado local, ou seja, não acompanham a “partícula”.
Nesse caso, temos uma situação correspondente à abordagem euleriana.
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, GRANDEZAS FÍSICAS E
SUAS PRINCIPAIS UNIDADES
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A seguir, serão apresentadas e comentadas as principais propriedades dos fluidos estudadas em FENTRAN.
MASSA ESPECÍFICA:
Ρ
É definida como a razão entre a massa e o volume de uma partícula fluida:
Ρ =
DM
DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por depender do volume ocupado,
ρ
pode variar com a temperatura e a pressão. Por definição, fluidos incompressíveis não sofrem variação de volume para uma
mesma quantidade de massa. Portanto, nesse caso, a massa específica
ρ
é constante, o que pode ser considerado para os líquidos na maioria das situações e, em alguns casos, até mesmo para gases.
UNIDADES
kg/m³
lb/ft³
→
1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³
lb/in³
→
1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³
oz/gal
→
1 oz/gal = 7,49 kg/m³
 SAIBA MAIS
Em inglês, o termo correspondente à massa específica é density.Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
PESO ESPECÍFICO:
Γ
É definido pela razão entre o peso e o volume de uma partícula:
Γ =
DP
DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se
P = mg
, teremos γ =
dm · g
dV . Como ρ =
dm
dV :
Γ = ΡG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UNIDADES
N/m³ (S.I.)
kN/m³
→
1 kN/m³ = 1000 N/m³
DENSIDADE:
D
OU
Δ
É a razão entre a massa específica do fluido (
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ρ
) e a de referência (
ρref
). Portanto, é adimensional:
D =
Ρ
ΡREF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Normalmente,
ρref
é adotada como a maior massa específica da água (
ρ á gua = 1.000kg /m³
), que ocorre em 4°C.
 SAIBA MAIS
Algumas vezes, encontramos o termo densidade referindo-se à massa específica. A maneira de se assegurar do que se trata é
observar a unidade que acompanha o valor. Densidade é traduzida para inglês por specific gravity (S.G.) ou relative density.
VISCOSIDADE (DINÂMICA):
Μ
Conforme já vimos, viscosidade é uma constante que aparece na Lei da Viscosidade de Newton, dada por:
Τ = Μ
DU
DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto maior a viscosidade, maior será a tensão cisalhante (viscosa) necessária para manter a mesma velocidade.
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Imagine que, entre duas chapas metálicas, seja colocada uma camada fina de óleo. Ao deslizar as superfícies, uma tensão
cisalhante será gerada, e a força necessária para manter o movimento será
F = τA
, conforme mostrado a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Deslizamento entre placas
Quanto mais viscoso for o óleo, maior será essa força. É por isso que, para óleos lubrificantes, desejamos os que possuem a
menor viscosidade. Por um lado, a viscosidade sofre pouca influência da pressão. Por outro, a temperatura, além de ter
influência significativa, causa efeito diferenciado em gases e líquidos:
GASES
+ temperatura
→
+ viscosidade
LÍQUIDOS
+ temperatura
→
- viscosidade
A imagem a seguir ilustra essa influência:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Influência da temperatura na viscosidade de gases e líquidos
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javascript:void(0)
javascript:void(0)
Esse comportamento diferenciado em líquidos tem um efeito benéfico em muitos equipamentos e motores, pois o aumento da
temperatura, que ocorre durante seu uso, causa diminuição da viscosidade do óleo lubrificante, redução da força resistente e,
consequentemente, da potência dissipada.
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades dos fluidos:
Fluido 
(20°C e 1atm)
μ
 
(Pa.s)
ρ
(kg/m³)
Hidrogênio 9,05 x 10-6 0,0839
Ar 1,80 x 10-5 1,20
Gasolina 2,92 x 10-4 680
Água 1,00 x 10-3 998
Álcooletílico 1,20 x 10-3 789
Mercúrio 1,56 x 10-3 13.550
Óleo SAE10 W 1.04 x 10-1 870
Óleo SAE30 W 2.90 x 10-1 891
Água domar 1,07 x 10-3 1.025
Glicerina 1,49 1260
Gáscarbônico 1,48 x 10-5 1,82
Azeitede oliva 84,0 x 10-3 890
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Propriedades dos fluidos mais comuns.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
UNIDADES
kg/m.s (S.I.)
Pa.s: 1 Pa.s = 1 kg/m.s
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P (Poise): 1 P = 0,1 kg/m.s
cP (Centipoise): 1 cP = 0,001 kg/m.s
Viscosidade cinemática:
ν =
μ
ρ
UNIDADES
m²/s (S.I.)
St (Stokes): 1 St = 10-4 m²/s
cSt (Centistoke): 1 cSt = 10-6 m²/s
PRESSÃO:
P
Embora a pressão não seja uma propriedade do fluido, e sim uma condição, seu conceito e a quantidade de unidades adotadas
na Engenharia fazem valer mencioná-la aqui.
Antes de falar de pressão, vamos relembrar de uma grandeza física parecida: a tensão normal (
σ
), que representa a força aplicada por unidade de área (
σ = d
→
F /dA
). Trata-se de uma grandeza vetorial, pois tem direção e sentido, além da intensidade (módulo).
Em uma partícula, que podemos representar como um prisma infinitesimal, pode haver uma tensão normal com valor diferente
para cada face, conforme mostra a imagem a seguir:
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Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Tensões normais em uma partícula fluida
A pressão, por sua vez, é dada por:
P =
DF
DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ela constitui, então, uma grandeza escalar, ou seja, tem apenas um valor para cada partícula. A pressão também pode ser
calculada pela média das tensões normais nas três direções (
x
,
y
e
z
):
P =
ΣX + ΣY + ΣZ
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro detalhe importante é que a tensão normal tem referencial de tração, ou seja, é positiva quando a superfície está sendo
“puxada”. Para a pressão, é o contrário: Um valor positivo significa compressão. Como fluidos não resistem à tração (eles se
separam se tracionados), a pressão passa a ser uma grandeza mais adequadapara avaliar a condição dos fluidos, pois estão
sempre comprimidos.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
UNIDADES
N/m²
→
1 N/m² = 1 Pa (Pascal)
mca (metro de coluna d’água)
→
1 mca = 9,81 kPa
kgf/cm²
→
1 kgf/cm² 98,1 kPa
bar
→
1 bar = 100 kPa
atm
→
1 atm = 101,32 kPa
psi (pound per square inch)
→
1 psi = 6,89 kPa
mmHg
→
1 mmHg = 133,32 Pa
 SAIBA MAIS
Muitos engenheiros dizem, simplificadamente, “quilos” para se referir a kgf/cm². Portanto, se você ouvir que a pressão de projeto
deve ser de “8 quilos”, não pense em uma balança, pois o valor é 8 kgf/cm².
Os manômetros são instrumentos que medem a pressão e indicam a diferença entre a pressão (absoluta) (
p
) no interior da tubulação ou reservatório e a pressão no ambiente externo (
pamb
). Por isso, chamamos de pressão manométrica (Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
pm
), calculada por:
PM = P − PAMB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Normalmente, o ambiente externo é a atmosfera padrão. Portanto:
pamb = patm
.
 SAIBA MAIS
A letra “g”, colocada após a unidade da pressão, refere-se a gauge, o que significa pressão manométrica, assim como a letra “a”
remete à pressão absoluta. Por exemplo, se você ler em um relatório de inspeção que a pressão medida foi de 5,2 kgf/cm²g,
significa que essa é a pressão manométrica.
TEORIA NA PRÁTICA
OS DISCOS RÍGIDOS OU HARD DRIVES (HDS) SÃO DISPOSITIVOS DE
ARMAZENAMENTO UTILIZADOS EM COMPUTADORES.
 
Foto: Shutterstock.com
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CONSIDERE QUE O DISCO TENHA DIÂMETRO DE 2,5”, QUE GIRE A 500
ROTAÇÕES POR SEGUNDO, E QUE HAJA UMA FOLGA DE 1MM ENTRE
CADA UMA DE SUAS SUPERFÍCIES (SUPERIOR E INFERIOR) E AS FACES
INTERNAS DA CAIXA, PREENCHIDA COM AR À TEMPERATURA
AMBIENTE (24°C).
CONSIDERANDO TODAS AS SIMPLIFICAÇÕES NECESSÁRIAS,
CALCULE O TORQUE REQUERIDO PARA MANTER O DISCO GIRANDO.
QUAL A POTÊNCIA REQUERIDA PARA MANTER O DISCO GIRANDO?
QUAL A CONSEQUÊNCIA DO AUMENTO DA TEMPERATURA PARA A
VISCOSIDADE DE GASES?
RESOLUÇÃO
O EFEITO DA VISCOSIDADE NA RESISTÊNCIA AO MOVIMENTO
MÃO NA MASSA
O QUE É ESTUDADO EM FENÔMENOS DE TRANSPORTE (FENTRAN)?
A) A capacidade de fluxo em diferentes modais de transporte, como o rodoviário, ferroviário e aquaviário.
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B) Os fenômenos decorrentes do transporte de partículas sólidas, como o carregamento de grãos e areia em vagões e
caminhões.
C) A transferência de quantidade de movimento, energia térmica e massa.
D) O fluxo de tensões em estruturas como edifícios e pontes.
E) Os fenômenos decorrentes da transferência de dados em fibra óptica e ondas eletromagnéticas.
QUAL SUBSTÂNCIA TEM COMPORTAMENTO AMBÍGUO ENTRE SÓLIDO E FLUIDO?
A) Água
B) Ar
C) Aço
D) Vidro
E) Espuma
QUAL DOS EXEMPLOS A SEGUIR CORRESPONDE À REPRESENTAÇÃO LAGRANGIANA?
A) Termômetro fixado em uma tubulação de gás
B) Sonda lançada em uma adutora
C) Medidor ultrassônico de vazão
D) Manômetro
E) Detector de fumaça
QUAL DAS UNIDADES A SEGUIR PODE SER UTILIZADA PARA VISCOSIDADE?
A) kg/m
B) Pa
C) m.kg/s
D) Pa.s
E) m/s²
QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR REPRESENTA O FLUIDO DE MENOR VISCOSIDADE?
A) Água congelada
B) Ar a 60°C
C) Água a 20°C
D) Ar a 0°C
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E) Água a 90°C
UM FLUIDO OCUPA UM VOLUME DE 1,5M³, E SUA MASSA É 3.000KG. DETERMINE SUA MASSA
ESPECÍFICA:
A) 1.000 kg/m³
B) 1
C) 2.000 kg/m³
D) 500 kg/m³
E) 2
GABARITO
O que é estudado em Fenômenos de Transporte (FENTRAN)?
A alternativa "C " está correta.
A disciplina FENTRAN se refere ao transporte decorrente do movimento de fluidos (transporte de quantidade de movimento), da
transferência de energia térmica (transporte de calor) e de massa.
Qual substância tem comportamento ambíguo entre sólido e fluido?
A alternativa "D " está correta.
O vidro tem um comportamento peculiar, pois escoa muito lentamente, levando muitos anos para que se observe a evolução da
deformação decorrente da tensão cisalhante aplicada. Portanto, analisando-os em um curto prazo, os vidros são classificados
como sólidos, mas, a longo prazo, têm um comportamento de fluido.
Qual dos exemplos a seguir corresponde à representação lagrangiana?
A alternativa "B " está correta.
Na representação lagrangiana, o referencial de coordenadas acompanha a matéria (fluido), enquanto, na euleriana, permanece
fixo no espaço. Assim, a única alternativa que se enquadra na definição lagrangiana é a “sonda lançada em uma adutora”, que
será levada junto com o fluido, realizando as medições (como, por exemplo, temperatura e pressão) das partículas próximas
que a acompanham.
Qual das unidades a seguir pode ser utilizada para viscosidade?
A alternativa "D " está correta.
O QUE É VISCOSIDADE E QUAIS SÃO SUAS UNIDADES USUAIS?
Qual das alternativas a seguir representa o fluido de menor viscosidade?
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A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, devemos excluir a água congelada (gelo), pois não se trata de um fluido, mas sim de um sólido. Entre os
restantes, temos água e ar. A viscosidade de gases é muito inferior à viscosidade de líquidos devido à maior distância e,
consequentemente, à interação entre moléculas. Resta decidir entre ar a 0°C e 60°C.
Em líquidos, o aumento da temperatura causa diminuição da viscosidade, enquanto, em gases, o efeito é o contrário. Portanto,
um gás (nesse caso, ar) com maior temperatura terá maior viscosidade.
Um fluido ocupa um volume de 1,5m³, e sua massa é 3.000kg. Determine sua massa específica:
A alternativa "C " está correta.
A massa específica é definida por:
Ρ =
M
V =
3000
1 , 5 = 2000 KG /M³
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
EM UMA ATIVIDADE DE LABORATÓRIO, SEU GRUPO VERIFICOU COM UMA BALANÇA DE
PRECISÃO QUE A QUANTIDADE DE GASOLINA QUE PREENCHEU UM RECIPIENTE DE 25ML
PESAVA 17G. QUAL É A MASSA ESPECÍFICA DESSA AMOSTRA DE GASOLINA, NO S.I.?
A) 0,680 kg/m³
B) 0,340 g/mL
C) 340 kg/m³
D) 0,680 g/mL
E) 680 kg/m³
(PETROBRAS - ENGENHEIRO DE PETRÓLEO - 2012) 
USANDO UM DINAMÔMETRO, VERIFICA-SE QUE UM CORPO DE DENSIDADE
DC
E DE VOLUME
V = 1, 0 LITRO
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POSSUI UM PESO QUE É O TRIPLO DO “PESO APARENTE” QUANDO COMPLETAMENTE
MERGULHADO EM UM LÍQUIDO DE DENSIDADE
DL
. QUAL A RAZÃO
DC /DL
?
A) 1/6
B) 1/3
C) 1
D) 2/3
E) 3/2
GABARITO
Em uma atividade de laboratório, seu grupo verificou com uma balança de precisão que a quantidade de gasolina que
preencheu um recipiente de 25mL pesava 17g. Qual é a massa específica dessa amostra de gasolina, no S.I.?
A alternativa "E " está correta.
 
A massa específica de um material é calculada pela razão massa por volume:
Ρ =
M
V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A massa medida é 17 g, que, convertida para o S.I., corresponde a:
M = 0, 017 ⋅ 10 − 3 KG = 0, 017 KG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O volume medido é V = 25 mL = 25 · 10 - 3 L:
V = 25 · 10 - 3 DM3 = 25 · 10 - 3 · 10 - 1 3 M3 = 25 · 10 - 6 M3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Então:
Ρ =
0, 017
25 ⋅ 10 − 6
= 680 KG /M3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Petrobras - Engenheiro de Petróleo - 2012) 
Usando um dinamômetro, verifica-se que um corpo de densidade
dC
e de volume
V = 1, 0 litro
possui um peso que é o triplo do “peso aparente” quando completamente mergulhado em um líquido de densidade
dL
. Qual a razão
dC /dL
?
A alternativa "E " está correta.
 
A massa específica do corpo será:
ΡC =
MC
V =
P / G
1 =
P
G
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E pode ser substituída pela definição de densidade
dC = ρC /ρ á gua → ρC = dCρ á gua
:
DCΡ Á GUA =
P
G
→ P = DCΡ Á GUAG (I)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O peso aparente (Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
P ′
) será o peso medido pelo dinamômetro quando o corpo está mergulhado, ou seja, o peso real (
P
) descontado do empuxo (
E
):
P ' = P - E = P - ΡLGV = P - DLΡÁGUAGV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o enunciado,
P = 3P′
. Então:
P
3 = P - DLΡÁGUAGV →
2
3 P = DLΡÁGUAGV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como V = 1 L:
→ P =
3
2 DLΡÁGUAG II
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as equações (i) e (ii):
DCΡ Á GUAG =
3
2 DLΡ Á GUAG →
DC
DL
=
3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
( )
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 Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas
SIMPLIFICANDO PROBLEMAS E EXPANDINDO
HORIZONTES
GRUPOS ADIMENSIONAIS
O conteúdo deste módulo é adotado para resolução de muitos problemas, não só em FENTRAN, mas em diversas disciplinas
de Engenharia. Com esse conhecimento, podemos simplificar a análise dos fenômenos e extrapolar resultados para condições
além daquelas em que há dados disponíveis.
A análise do escoamento, da transferência de calor e de massa pode envolver cálculos complexos, normalmente com equações
diferenciais parciais que não têm solução analítica para condições reais.
Já os grupos adimensionais podem nos dizer muito sobre o fenômeno estudado, de maneira muito prática e simples, e até
ajudar na solução de problemas. Eles são formados pela combinação de grandezas dimensionais, de modo que o resultado não
tenha unidade.
Abordaremos, a seguir, os principais adimensionais utilizados em FENTRAN.
NÚMERO DE REYNOLDS (
RE
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)
É o adimensional mais conhecido de FENTRAN, relevante em quase todos os tópicos dessa disciplina. O número de Reynolds
(Re) é definido como a razão entre forças de inércia e forças viscosas e calculado por:
RE =
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
𝜌
= massa específica
𝑉
= velocidade do escoamento
𝐿
= dimensão de referência (por exemplo, largura ou comprimento)
𝜇
= viscosidade dinâmica
A força inercial, proporcional a
ρVL
, representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade, enquanto a força viscosa, proporcional a
ν
, representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto, quanto menor o denominador (viscosidade), maior é o valor de
Re
e menos “controlado” é o escoamento. Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.
Então, para que valor de
Re
há uma mudança no comportamento do escoamento?
Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. O escoamento no interior de tubulações é um dos fenômenos
de maior interesse na Engenharia. O número de Reynolds auxilia na escolha e no cálculo das equações utilizadas para prever a
perda de pressão que o fluido sofre ao longo do duto.
tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Re Classificação Imagem
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Re Classificação Imagem
Re
< 2300
Laminar
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
2300 <
Re
< 4000
Transição
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
4000 <
Re
Turbulento
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento no interior de tubulações.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo
Quando um fluido atravessa, transversalmente, um sólido (como, por exemplo, a corrente oceânica em um duto submarino),
pode ocorrer o desprendimento de vórtices (recirculações do escoamento), que, por sua vez, tendem a ocasionar a vibração do
corpo. O número de Reynolds nos permite verificar se há susceptibilidade de desprendimento de vórtices, além do cálculo da
força de arrasto.
A tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Re Classificação Imagem
Re
< 40
Esteira laminar e permanente
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
40 <
Re
< 150
Esteira laminar e periódica
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Re Classificação Imagem
150 <
Re
< 300
Transição
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
300 <
Re
Esteira turbulenta
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento ao redor de cilindros.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo
NÚMERO DE EULER (
EU
)
Quando um fluido incide, perpendicularmente, uma superfície sólida, a velocidade
V
(energia cinética) é convertida em acréscimo de pressão (
Δp
) pela relação
Δp =
1
2ρV
2
. Em outros termos, esse é o máximo incremento de pressão que pode ocorrer em um escoamento, desconsiderando a
gravidade.
O número de Euler (
Eu
) representa a razão entre o incremento de pressão, até determinado ponto, e o máximo valor que ele pode ter, ou seja:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
EU =
ΔP
1
2 ΡV
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Δp = p − p0
= diferença entre a pressão local e a pressão na corrente livre (afastado da superfície sólida)
𝜌
= massa específica
𝑉
= velocidade do escoamento
NÚMERO DE FROUDE (
FR
)
O número de Froude (
Fr
) é definido pela razão entre forças de inércia e gravitacionais, sendo calculado por:
FR = 
V
√GL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
𝑉
= velocidade do escoamento
𝐿
= dimensão característica (como, por exemplo, a profundidade de canais e o comprimento de navios)
g
= gravidadeLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
O valor de
Fr
tem relevância em escoamentos em que a gravidade exerce influência significativa, como em rios, em ondas e ao redor de
navios.
O número de Froude é utilizado para classificar o escoamento em canais, conforme a tabela a seguir:
Fr Classificação
< 1 Subcrítico ou fluvial
= 1 Crítico
> 1 Supercrítico ou torrencial
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Froude.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Essa classificação é importante para prever diversos aspectos do comportamento do escoamento. Na transição de um
escoamento torrencial (
Fr > 1
) para fluvial (
Fr < 1
), ocorre um fenômeno chamado ressalto hidráulico, conforme ilustra a imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Ressalto hidráulico
NÚMERO DE WEBER (
WE
)
O número de Weber (Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
We
) é definido pela razão entre forças de inércia e de tensão superficial, sendo calculado por:
WE =
ΡV2L
Γ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
𝜌
= massa específica
V
= velocidade do escoamento
L
= dimensão característica
Γ
= tensão superficial
O valor de
We
indica se a tensão superficial tem influência significativa no escoamento e é relevante quando é da ordem de grandeza de 1
(100) ou menos.
 
Foto: PxHere/Creative Commons Zero (CC0) license
 Ondas com influência da tensão superficial
Se você reduzir demais o tamanhodo modelo físico (
L
), a tensão superficial passa a exercer uma influência que não há no tamanho original. Consequentemente, o modelo não
representará, de forma adequada, o protótipo.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
NÚMERO DE MACH (
MA
)
É definido pela razão entre forças de inércia e de compressibilidade. Conforme vimos em adimensionais anteriores, sabemos
que a inércia é proporcional à velocidade
V
. A compressibilidade, por sua vez, está relacionada à velocidade do som (
c
), que nada mais é do que uma onda de pressão que propaga por compressão de dilatação do fluido. Portanto, o número de
Mach é equivalente à razão entre
𝑉
e
𝑐
:
MA =
V
C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O escoamento pode ser classificado com base no valor de
Ma
, conforme a tabela a seguir:
Ma Classificação
< 1 Escoamento subsônico
= 1 Barreira do som
> 1 Escoamento supersônico
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Mach
Elaborado por: Gabriel de Carvalho NascimentoLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Escoamentos supersônicos, como em aviões a jato, apresentam uma complexidade maior para sua análise, pois os efeitos de
compressibilidade devem ser considerados nos cálculos. A imagem a seguir ilustra esses tipos de escoamentos:
 
Imagem: Rchisena92/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 3.0)
 Escoamento subsônico (subsonic) e supersônico (supersonic)
COEFICIENTE DE ARRASTO E SUSTENTAÇÃO (
CD
E
CL
)
É definido pela razão entre forças de arrasto ou sustentação (
FD
ou
FL
) e forças inerciais, sendo calculado por:
CD / L = 
FD / L
1
2 ΡV
2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
FD
e
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
FL
= força de arrasto (drag) e de sustentação (lift)
𝜌
= massa específica
𝑉
= velocidade do escoamento
A
= área de referência
Os coeficientes de arrasto e sustentação são muito úteis, por exemplo, quando há dados na literatura para seus valores sob
determinada condição, como escoamento ao redor de uma esfera. Nesse caso, basta explicitar a força das equações e calcular.
A área a ser considerada como referência varia com as características do problema. Quando o arrasto causado pela força de
pressão é mais significativo, utiliza-se a área de projeção frontal. Se a força de “atrito” (cisalhante) é preponderante, adota-se a
área que inclua a superfície ao longo da qual a tensão é aplicada, como a área planiforme (vista superior) da asa de avião. A
imagem a seguir apresenta essas áreas de referência:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Área frontal para cálculo do arrasto
ANÁLISE DIMENSIONAL
Imagine que você quer desenvolver um gráfico ou ábaco que forneça a força de arrasto (
FD
) em um corpo com determinada geometria, como, por exemplo, um novo equipamento que deve ser anexado ao casco de um
submarino. Devido à complexidade do fenômeno (escoamento turbulento), é provável que utilize um modelo físico reduzido:
Uma reprodução simplificada do problema em laboratório.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
ÁBACO
Instrumento que permite substituir cálculos numéricos por cálculos gráficos.
Primeiramente, devemos avaliar as grandezas dimensionais que influenciarão no resultado. Devemos considerar a velocidade
do escoamento (
V
), a massa específica e a viscosidade do fluido (
ρ
e
μ
), e a dimensão de referência da geometria (
L
). Desejamos, então, obter a grandeza de interesse a partir das demais:
FD = FD(L, V, Ρ, Μ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se você deseja que seu gráfico tenha uma boa abrangência de possibilidades, é razoável assumirmos 10 valores diferentes
para cada parâmetro de entrada (
L
,
V
e fluido). Então, serão 10 x 10 x 10 = 1000 testes! O estagiário teria de morar no laboratório.
Para contornar isso, existe um método que reduz a quantidade de variáveis e, consequentemente, de testes necessários,
conforme veremos a seguir.
TEOREMA PI DE BUCKINGHAM
Seja um fenômeno que envolve
𝒏
variáveis dimensionais (
ui
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
), em que:
G U1, U2, …, UN = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o Teorema Pi de Buckingham, é possível reduzir o número de variáveis dimensionais (
𝒏
) a um número menor (
𝒌
) de variáveis (grupos) adimensionais
πi
:
G Π1, Π2, …, ΠK = 0
K = N − R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
𝒓
é o número mínimo de grandezas básicas – como, por exemplo, comprimento (
L
), massa (
M
), tempo (
T
) e temperatura (
θ
) – necessário para formar as grandezas de todas as variáveis (
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
ui
).
A metodologia pode ser descrita pelos passos a seguir:
1
Listar as grandezas dimensionais envolvidas (
ui
)
Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas. A velocidade, por exemplo, é definida como comprimento pelo
tempo (
L /T
).
2
3
Determinar o número
k
de termos
Πs
necessários:
k = n − r
.
Obter os
Πs
, escolhendo como
Π1
aquele que contém a variável de interesse.
4Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
5
Expressar o resultado como uma função dos demais adimensionais:
Π1 = f Π2, …, Πk
.
Agora, vamos voltar ao problema exemplificado da força de arrasto, seguindo esses passos. Já fizemos a listagem das
grandezas dimensionais (primeiro passo), contabilizando
n = 5
(
FD
,
L
,
V
,
ρ
e
μ
).
Na tabela a seguir, realizaremos o segundo passo:
Grandeza dimensional Descrição pelas grandezas básicas
FD ML /T2
L L
V L /T
ρ M /L3
μ M /LT
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Tabela: Expressão das grandezas dimensionais em função das dimensões básicas
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Aqui, percebemos que a quantidade r de grandezas básicas necessárias é 3 (
M
,
L
e
T
). Então, a quantidade de adimensionais necessários será:
k = 5 − 3 = 2
.
O próximo passo consiste em formar os dois adimensionais (
Πs
) a partir das grandezas dimensionais. Por praticidade, escolheremos os
Πs
a partir dos adimensionais mais conhecidos.
Observamos, rapidamente, que os adimensionais mais oportunos são o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds. Como
Π1
, devemos escolher o que possui a variável dependente (de interesse), que é
FD
. Então:
Π1 = CD =
FD
1
2 ΡVL
2
Π2 = RE =
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que substituímos a área A, do coeficiente de arrasto
CD
, por
{
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
L2
, pois ambos têm a mesma dimensão (comprimento ao quadrado).
Por fim, expressaremos por
Π1 = f Π2, …, Πk
, ou seja:
CD = F(RE) → 
FD
1
2 ΡVL
2
= F
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, na formulação anterior, realizaríamos 1000 testes para variar 10 vezes cada parâmetro de entrada. Agora,
temos um parâmetro de entrada (
Re
), e são necessários apenas 10 testes. O estagiário agradece!
Outra vantagem dessa metodologia é mostrar do que o resultado será dependente. No exemplo demonstrado, o coeficiente de
arrasto (
CD
) é função do número de Reynolds (
Re
). Então, basta construir um gráfico
CD
versus
Re
, a partir dos resultados do experimento, para obter o que desejávamos desde o início: Um gráfico que pudesse ser utilizado
para obter
FD
em diversas condições.
Esse gráfico já existe na literaturapara diversas geometrias como esfera, conforme mostra a imagem a seguir:
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Gráfico do coeficiente de arrasto (
CD
) versus número de Reynolds (
Re
) para uma esfera lisa
O procedimento final é: Calcule
Re
de seu problema, obtenha
CD
pelo gráfico e, por fim, calcule
FD
a partir de
CD
. São cálculos bastante simples para obter o resultado de um fenômeno complexo. Todavia, lembre-se de que isso só ajudará se
você tiver o gráfico.
 ATENÇÃO
O Teorema Pi de Buckingham auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis, reduzindo a quantidade de
repetições necessárias, mas depende de dados experimentais.
TEORIA DA SEMELHANÇA
Muitas vezes, precisamos saber como se comportará um fenômeno, cujas dimensões ou características inviabilizam reproduzi-
lo em condições de projeto ou protótipo. Uma alternativa amplamente empregada na Engenharia é a utilização de modelos
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
físicos em laboratório, que podem ter não apenas a escala reduzida, mas também outras condições diferentes, como o fluido
utilizado (por exemplo, se o fluido de projeto é perigoso ou caro).
Mas, se medirmos a grandeza física de interesse no modelo, como saberemos qual seria o valor de protótipo
necessário para o desenvolvimento do projeto?
Para isso, aplicamos a Teoria da Semelhança, ilustrada na imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Relação entre modelo e protótipo – semelhança
O emprego da semelhança amplifica a aplicabilidade dos resultados experimentais, com base nos seguintes passos:
PASSO 1
Aplique a análise dimensional para determinar os
Πs
, lembrando que
Π1
é o grupo adimensional que possui a variável a ser medida (dependente).
PASSO 2
Seja
Πi
o grupo adimensional correspondente ao protótipo e
Πim
, ao modelo.
PASSO 3
Faça com que, a partir do segundo, os adimensionais do modelo sejam iguais ao do protótipo:
Π2M = Π2
Π3M = Π3
⋯
ΠKM = ΠK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Essa condição é obtida durante o planejamento do experimento, quando determinamos a dimensão, a velocidade, o fluido
etc.
PASSO 4
Se a condição anterior é garantida, a semelhança é dita completa e, consequentemente:
Π1 = Π1M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que o
Π1
é o que contém a variável de interesse – por exemplo, força de arrasto (
FD
). Isso significa que a medição feita no modelo pode ser utilizada para calcular o
Π1m
e, por fim, o valor da variável de protótipo.
Exemplo
Você está planejando medir a força de arrasto da água em uma peça do sonar a ser instalado na parte externa do submarino
nuclear brasileiro. O teste será feito em laboratório, em um canal de corrente que comporta um modelo reduzido na escala 1:2.
Considere que será utilizado o mesmo fluido (água do mar) e na mesma temperatura.
Qual deve ser a velocidade aplicada no tanque de corrente para que haja semelhança completa ao submarino navegando
a 12m/s?
Qual será a força de resistência (arrasto) adicionada ao submarino se a medida no modelo reduzido é 250N?
SOLUÇÃO
A partir da análise dimensional, o que fizemos no tópico anterior foi:
Π1 = CD
Π2 = RELoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para haver semelhança completa:
Π2M = Π2 → REM = RE → 
ΡMVMLM
ΜM
=
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido e a temperatura do modelo são os mesmos do protótipo, as propriedades (
ρ
e
μ
) também serão:
VMLM = VL → VM = V
L
LM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a escala é de 1:2,
L /Lm = 2
, então:
VM = 12(2) = 24 M /S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a condição necessária para que haja a semelhança completa neste problema. De acordo com a Teoria da Semelhança,
teremos:
Π1 = Π1M → CD = CDM 
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a fórmula de
CD
e substituindo
A
por
L2
:
 
FD
1
2 ΡV
2L2
=
FDM
1
2 ΡMV
2
ML
2
M
→ 
FD
V2L2
=
FDM
V 2ML
2
M
 → FD = FDM
V
VM
2 L
LM
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim:
FD = 250
12
24
2
(2)2 = 250 N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
( ) ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
UM GRUPO DE ESTUDANTES ESTÁ DESENVOLVENDO UMA TURBINA
EÓLICA DE 5,0 KW. O LOCAL ONDE SERÁ INSTALADA TEM VELOCIDADE
DE VENTO MÉDIA DE 5M/S.
APÓS DIVERSAS ANÁLISES EM COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS
(CFD), OU FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL, O GRUPO DECIDE
VALIDAR OS RESULTADOS OBTIDOS ATÉ ENTÃO, TESTANDO O
DESENHO ELABORADO COM UM MODELO REDUZIDO EM TÚNEL DE
VENTO, QUE TEM TAMANHO SUFICIENTE PARA TESTAR UM MODELO
REDUZIDO COM 1:5 DO TAMANHO DO PROTÓTIPO (ESCALA DE
PROJETO). FOI ADOTADA A MESMA VELOCIDADE DE ROTAÇÃO (
Ω
).
 
Foto: Shutterstock.com
CONSIDERANDO QUE, ALÉM DAS VARIÁVEIS JÁ MENCIONADAS, A
MASSA ESPECÍFICA DO AR TAMBÉM É RELEVANTE PARA A ANÁLISE:
QUAIS OS ADIMENSIONAIS NECESSÁRIOS PARA ANÁLISE DO
REFERIDO FENÔMENO FÍSICO?Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
PARA QUE HAJA SEMELHANÇA COMPLETA, QUAL DEVE SER A
VELOCIDADE NO TÚNEL DE VENTO?
RESOLUÇÃO
MODELO REDUZIDO APLICADO PARA ENERGIA EÓLICA
MÃO NA MASSA
QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇAS
INERCIAIS E FORÇAS VISCOSAS?
A)
Eu = Δp / (0, 5ρV2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
Fr = V /√gL
C)
Re = ρVL /μ
D)
We = ρV2L /σ
E)
CD = FD / (0, 5ρV
2A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
E)
EM UM PROBLEMA EM QUE AS GRANDEZAS DIMENSIONAIS RELEVANTES SÃO
Ρ
,
Μ
,
V
,
L
E
F
, DE ACORDO COM O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM, QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO
NECESSÁRIOS?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇA
INERCIAL E FORÇA GRAVITACIONAL?
A)
Eu = Δp / (0, 5ρV2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
Fr = V /√gL
C)
Re = ρVL /μ
D)
We = ρV2L /σ
E)Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
CD = FD / (0, 5ρV
2A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO NECESSÁRIOS PARA AVALIAR A PERDA DE PRESSÃO
CAUSADA POR UMA VÁLVULA?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
PARA O PROBLEMA DA QUESTÃO ANTERIOR (PERDA DE CARGA EM UMA VÁLVULA), QUAL(IS) É
(SÃO) O(S) ADIMENSIONAL(IS) NECESSÁRIO(S)?
A)
Δp
0, 5ρV2
 , 
V
√gL
 e 
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
V
√gL
 e 
Δp
0, 5ρV2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
Δp
0, 5ρV2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
Δp
0, 5ρV2
 e 
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
SE O EXPERIMENTO FOR REALIZADO EM ESCALA 1:10 COM O MESMO FLUIDO, NA MESMA
PRESSÃO E TEMPERATURA, QUAL DEVE SER A RAZÃO ENTRE A VELOCIDADE DO
ESCOAMENTO DE MODELO PARA O PROTÓTIPO, CONSIDERANDOSEMELHANÇA COM O
NÚMERO DE REYNOLDS?
A) 10
B) 0,1
C) 2
D) 0,5
E) 1
GABARITO
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre forças inerciais e forças viscosas?
A alternativa "C " está correta.
Ao analisarmos a alternativa C (número de Reynolds), observamos que há a divisão de
ρVL
por
μ
. O primeiro (
ρVL
) pode ser interpretado pelo produto entre “massa” e velocidade, o que remete à inércia, enquanto o segundo (
μ
) é a viscosidade do fluido, diretamente relacionado à força viscosa. Portanto, nesse adimensional, há a divisão entre força
inercial e força viscosa.
Em um problema em que as grandezas dimensionais relevantes são
ρ
,
μ
,
V
,
LLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
e
F
, de acordo com o Teorema Pi de Buckingham, quantos adimensionais são necessários?
A alternativa "B " está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
k = n − r
, em que
n
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
r
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar
todas as demais grandezas.
No problema em questão, temos
n = 5
grandezas dimensionais, que podem ser formadas com
r = 3
grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Portanto, a quantidade de adimensionais será
k = 5 − 3 = 2
.
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre força inercial e força gravitacional?
A alternativa "B " está correta.
Ao analisarmos a alternativa B (número de Froude), observamos que é a divisão entre a velocidade, diretamente relacionada
com a inércia (quantidade de movimento), e a raiz da gravidade. Esse adimensional é relevante em problemas em que a
gravidade tem influência no comportamento do fluido, como escoamentos com superfície livre (como, por exemplo, rios).
Quantos adimensionais são necessários para avaliar a perda de pressão causada por uma válvula?
A alternativa "B " está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
k = n − r
, em que
n
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
r
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar
todas as demais grandezas. No problema em questão, são relevantes as seguintes variáveis dimensionais:
Perda de pressão (
Δp
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
);
Velocidade ou vazão de escoamento (
V
ou
Q
);
Diâmetro de conexão da válvula (
D
);
Massa específica do fluido (
ρ
);
Viscosidade do fluido (
μ
).
Portanto, temos
n = 5
grandezas dimensionais, que podem ser formadas com
r = 3
grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Logo, a quantidade de adimensionais será
k = 5 − 3 = 2
.
Para o problema da questão anterior (perda de carga em uma válvula), qual(is) é (são) o(s) adimensional(is)
necessário(s)?
A alternativa "D " está correta.
APLICANDO A ANÁLISE DIMENSIONAL NA HIDRÁULICA
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Se o experimento for realizado em escala 1:10 com o mesmo fluido, na mesma pressão e temperatura, qual deve ser a
razão entre a velocidade do escoamento de modelo para o protótipo, considerando semelhança com o número de
Reynolds?
A alternativa "A " está correta.
Para que haja semelhança completa, todos os adimensionais devem ter o mesmo valor no modelo e protótipo. Portanto,
baseando-se no número de Reynolds:
REM = REP
→ 
ΡMVMLM
ΜM
=
ΡPVPLP
ΜP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido é o mesmo e na mesma pressão e temperatura, temos
ρm = ρp
e
μm = μp
. Então:
VMLM = VPLP → 
VM
VP
=
LP
LM
=
10
1 = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
PARA O CÁLCULO DA PERDA DE PRESSÃO POR COMPRIMENTO (
ΔPL
), CAUSADA PELA TENSÃO CISALHANTE COM AS PAREDES AO LONGO DE UM TUBO, SÃO
NECESSÁRIOS COMO DADOS DE ENTRADA:
O DIÂMETRO DO TUBO (
D
);
A VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO (
V
);
A MASSA ESPECÍFICA (
Ρ
);
A VISCOSIDADE DO FLUIDO (
Μ
);
A RUGOSIDADE DA PAREDE DO TUBO (
Ε
).
QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR APRESENTA UM CONJUNTO MÍNIMO DE ADIMENSIONAIS
SUFICIENTE PARA A ANÁLISE DIMENSIONAL?
A)
εVρ
μ
; 
Δp
0, 5ρV2
; 
ε
D
; 
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
Δp
0, 5ρV2
; 
ε
D
; 
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
B)
C)
Δp
0, 5ρV2
; 
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
V
√gD
; 
Δp
0, 5ρV2
; 
ρVD
μ
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
Δp
0, 5ρV2
; 
ε
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
A FORÇA DE ARRASTO SOBRE UM MODELO DE AVIÃO EM ESCALA 1:20 MEDIDA EM
LABORATÓRIO FOI DE 1,5N PARA UMA VELOCIDADE DE 50M/S. QUAL SERÁ A FORÇA SOBRE O
PROTÓTIPO A 100M/S, CONSIDERANDO QUE A PRESSÃO E A TEMPERATURA SERÃO AS
MESMAS?
A) 120N
B) 30N
C) 2,4kN
D) 3,0N
E) 600N
GABARITO
Para o cálculo da perda de pressão por comprimento (
ΔpL
), causada pela tensão cisalhante com as paredes ao longo de um tubo, são necessários como dados de entrada:
O diâmetro do tubo (
D
);
A velocidade média do escoamento (Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
V
);
A massa específica (
ρ
);
A viscosidade do fluido (
μ
);
A rugosidade da parede do tubo (
ε
).
Qual das alternativas a seguir apresenta um conjunto mínimo de adimensionais suficiente para a análise dimensional?
A alternativa "B " está correta.
 
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
k = n − r
, em que
n
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
r
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar
todas as demais grandezas.
No problema em questão, temos
n = 6
(
ΔpL
,
D
,
V
,
ρ
,
μLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
e
ε
), que podem ser formadas com
r = 3
(comprimento, massa e tempo). Portanto:
k = 6 − 3 = 3
. Entre as alternativas apresentadas, a única que possui 3 adimensionais, todos formados apenas com as variáveis envolvidas
no problema, é a letra B.
A força de arrasto sobre um modelo de avião em escala 1:20 medida em laboratório foi de 1,5N para uma velocidade de
50m/s. Qual será a força sobre o protótipo a 100m/s, considerando que a pressão e a temperatura serão as mesmas?
A alternativa "C " está correta.
 
Contemplando a variável de interesse, ou seja, a força de arrasto (
FD
), o adimensional mais conhecido é:
CD =
FD
0, 5ΡV2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O adimensional com a variável de interesse deve ter o mesmo valor para modelo e protótipo. Portanto:
CDP = CDM
FDP
0, 5ΡPV
2
PAP
=
FDM
0, 5ΡMV
2
MAM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a pressão e a temperatura são as mesmas, também será a massa específica (
ρp = ρm
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
):
FDP
V2PAP
=
FDM
V 2MAM
→ FDP = FDM
VP
VM
2 AP
AM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a razão entre áreas é igual à razão entre o quadrado do comprimento de referência (
L
):
FDP = FDM
VP
VM
2 LP
LM
2
→ FDP = 1, 5
100
50
2 20
1
2
= 2, 4 KN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.jsSOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM FLUIDO ESTÁTICO
FLUIDO ESTÁTICO
Neste módulo, estudaremos o fluido quando ele se encontra imóvel (estático). Apesar de ser uma particularização expressiva,
pois quase sempre os fluidos têm algum movimento, ainda assim, há uma grande variedade de situações na Engenharia em
que essa simplificação é válida.
Ao calcular a pressão da água do mar em determinada profundidade, por exemplo, sabemos que há correnteza e ondas, mas
essa hidrodinâmica tem efeito desprezível nas profundidades em que, normalmente, queremos calcular a pressão. Portanto,
podemos considerar que a água do mar está parada. O mesmo ocorre em barragens, aquários e eclusas.
ECLUSAS
Pequeno canal em águas onde há grandes desníveis a fim de possibilitar a descida ou a subida de embarcações.
 Fonte: Dicionário Houaiss eletrônico da língua portuguesa.
PRESSÃO MANOMÉTRICA, PRESSÃO ATMOSFÉRICA E
PRESSÃO ABSOLUTA
Como já vimos no módulo 1, os manômetros informam a pressão manométrica (ou relativa) (p_m), que é definida por:
PM = P − PAMB
Equação 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
Em que:
p
= pressão absoluta (real)
pamb
= pressão do ambiente, ou seja, pressão do meio externo
A pressão ambiente corresponde, normalmente, à pressão atmosférica (
patm
), cujo valor varia ao longo da altitude, conforme a representação típica exemplificada no gráfico abaixo:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Pressão ao longo da atmosfera
De acordo com Porto (2006), para altitudes acima do nível do mar e até 2.000m, a pressão atmosférica pode ser estimada por:
PATM = 10, 8 ⋅ 9, 38 −
H
1000 (KPA)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
h
= altitude (em metros)
patm
= pressão atmosférica (em kPa)
Exemplo
O manômetro instalado na “árvore de Natal” de um poço de produção de gás a 1.500m de profundidade mede 26,40barg de
pressão. Se a água do mar na região tem
ρ
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
= 1.026,5 kg/m³, qual é a pressão absoluta, em kgf/cm²?
SOLUÇÃO
A letra “g” ao final da unidade se refere a gauge, que significa pressão manométrica, e 1bar = 100kPa:
PM = 26, 4 ⋅ 100 KPA = 2640 KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pressão ambiente, por sua vez, é calculada pela coluna de água acima do ponto considerado:
PAMB = ΡGH = 1026, 5 ⋅ 9, 8 ⋅ 1500 = 15.090 KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Explicitando
p
da equação (1):
P = PM + PAMB = 2640 + 15090 = 17.730 KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta converter para kgf/cm². Conforme vimos no primeiro módulo, 1kgf/cm² = 98,1kPa, ou seja, 1kPa = 1/98,1kgf/cm².
Fazendo a conversão do resultado anterior:
P = 17.730 KPA =
17.730
98, 1 KGF /CM
2A = 181, 1KFG /CM2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A letra “a” ao final da unidade indica pressão absoluta.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA FLUIDOSTÁTICA,
TEOREMA DE PASCAL E TEOREMA DE STEVIN
Existem dois tipos de forças que podem atuar em um fluido:
FORÇAS DE CAMPO
Atuam em toda a massa fluida sem que haja necessidade de contato, como, por exemplo, a força gravitacional;
FORÇAS DE CONTATO
Atuam por meio de determinada superfície e se subdividem em força proveniente da tensão normal (
σ
) e cisalhante (viscosa) (
τ
).
A tensão viscosa (“atrito”) pode ser obtida pela Lei da Viscosidade de Newton, que estudamos no módulo 1, definida por
τ = μ du /dy
. Quando um fluido está estático, não há velocidade. Consequentemente, o gradiente de velocidade é nulo (
du /dy
), e não há tensão cisalhante (
τ = 0
). Nessa condição, a pressão será igual à tensão normal (
p = σ
). Portanto, nos próximos tópicos, adotaremos apenas pressão.
Uma partícula fluida pode ser representada por um elemento infinitesimal, conforme mostra a imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Elemento infinitesimal e pressões nas faces perpendiculares ao eixo
x
Adotando
p(x)
como a pressão na face esquerda, a pressão na face oposta será
p(x + dx)
. Para calcular a força, devemos multiplicar a pressão pela área. As faces perpendiculares a
x
têm áreaLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
javascript:void(0)
dAx = dydz
. Portanto, a força resultante da pressão na direção
x
será:
DFPX = P(X) DAX − P(X + DX) DAX = [P(X) − P(X + DX)] DAX
⏟
DYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Multiplicando e dividindo a expressão anterior por
dx
:
DFPX =
P ( X ) - P ( X + DX )
DX DXDYDZ
⏟
DV
= -
P ( X + Δ ) - P ( X )
DX DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que dV é o volume do elemento. O termo
dx
significa
δx
, que tende a zero. Logo:
DFPX = - LIMΔX → 0
P ( X + Δ ) - P ( X )
ΔX DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo entre colchetes dessa equação é a definição da derivada da função
p(x)
. Então:
[ ] [ ]
[ ]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
DFPX = -
∂ P
∂ X DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente:
DFPX = -
∂ P
∂ X DV
DFPY = -
∂ P
∂ Y DV
DFPZ = -
∂ P
∂ Z DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O vetor resultante pode ser expresso em uma única linha:
D
→
FP = - ∇P DV → 
D
→
FP
DV = - ∇P
Equação 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A força gravitacional (força de campo), por sua vez, é calculada por:
D
→
FG = DM 
→G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A massa (
dm
) pode ser obtida a partir da massa específica ρ = dm /dV → dm = ρdV:
{
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
D
→
FG = Ρ DV 
→G → 
D
→
FG
DV = Ρ
→G
Equação 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando as equações (2) e (3), temos:
∑D→F = D→FP + D→FG = − ∇P + Ρ→G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como não há movimento, a aceleração é nula e
∑ d→F = 0
:
∇P = Ρ→G
Equação 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Normalmente, opta-se por alinhar o eixo
z
contrário à gravidade. Assim, o vetor da equação (4) não terá componentes nas direções
x
e
y
:
DP
DZ
= ΡGZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
A componente
gz
será igual a
−g
(eixo contrário à gravidade):
DP
DZ
= − ΡG 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação mostra que, na condição estática, a pressão varia apenas na direção vertical, ou seja, pontos em uma mesma
altura terão a mesma pressão. Integrando-se à expressão anterior:
→ DP = − ΡGDZ → ∫P2P1P = − ∫
Z2
Z1
Ρ G DZ → P2 − P1 = − ∫Z2Z1Ρ G DZ
P2 = P1 − ∫Z2Z1Ρ G DZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que
ρg = γ
:
P2 = P1 − ∫Z2Z1Γ DZ
Equação 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é conhecida como Equação Fundamental da Fluidostática, pois se aplica a qualquer fluido estático e é utilizada para
desenvolver todas as demais equações da Estática. Uma particularização importante ocorre para fluidos incompressíveis (
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
ρ
e
γ
constantes), pois ocorre para maior parte dos problemas na Engenharia. Então:
P2 = P1 −Γ∫Z2Z1DZ
→ P2 = P1 − Γ Z2 − Z1
Equação 6
→ P2 − P1 = − Γ Z2 − Z1 → ΔP = − Γ
⏟
ΡG
ΔZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que, do ponto 1 ao 2, há um aprofundamento (
z2 < z1
) de uma altura
h
, então,
Δz = − h
:
ΔP = P2 − P1 = ΡGH
Equação 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Conforme as considerações feitas no desenvolvimento, essa fórmula só se aplica para fluidos incompressíveis. Caso seu
problema envolva um fluido compressível, será necessário aplicar a equação 5.
TEOREMA DE STEVIN
O cálculo da pressão de um ponto que se encontra na profundidade h de um líquido (fluido incompressível) é um problema
muito comum, conforme mostra a imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Pressão em um ponto submerso na profundidade
h
Para resolvê-lo, podemos aplicar a equação 7, considerando
p1 = patm
e
p2 = p
:
P − PATM = ΡGH
→ P = PATM + ΡGH 
Equação 8
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa fórmula é conhecida como Teorema de Stevin. Se quisermos calcular a pressão manométrica
pm = p − patm
, então:
PM = ΡGH
Equação 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Dois pontos em um fluido incompressível
PRINCÍPIO DE PASCAL
Sejam dois pontos fixos no interior de um fluido incompressível, conforme mostra a imagem a seguir:
Imagine, agora, que a pressão no ponto 1 seja elevada de
p1
para
p ′1
, por um motivo qualquer, como, por exemplo, a atuação de um compressor. Aplicando a equação 7 para as duas situações,
antes e depois da elevação da pressão:
ANTES
p2 − p1 = ρgh
DEPOISLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
javascript:void(0)
p ′2 − p
′
1 = ρgh
Lembre-se de que
ρ = cte
(fluido incompressível), assim como a gravidade e a altura
h
. Subtraindo essas duas equações:
P2 − P
′
2
⏟
ΔP2
− (P1 − P
′
1
⏟
ΔP1
) = 0
→ ΔP1 = ΔP2
Equação 10
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Essa equação nos diz que, em um fluido estático e incompressível, a elevação de pressão em um ponto será igual à elevação
em todos os demais pontos, o que é conhecido como Princípio de Pascal, ilustrado na imagem a seguir:
 
Imagem: Anna Carollina Chaves Braz/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 4.0)
 Representação de uma prensa hidráulica – Princípio de Pascal
Exemplo
Uma prensa hidráulica manual é utilizada para romper corpos de prova (cp) de concreto com capacidade de até 15 toneladas.
Se a razão das áreas entre o êmbolo menor, em que é aplicada a força da haste, e o êmbolo maior, que aplica a carga dos cp, é
1/20, qual é a força requerida no êmbolo menor?
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Foto: Shutterstock.com
SOLUÇÃO
Tendo em vista que o processo é realizado lentamente, podemos assumir condição estática. Consequentemente, é válido o
Princípio de Pascal:
Δp1 = Δp2
. Como
p = F /A
, considerando 1 o êmbolo maior, temos:
ΔF1
A1
=
ΔF2
A2
 → ΔF2 = ΔF1
A2
A1
= 15 TON ⋅
1
20 = 0, 75 TON
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Além da compensação hidráulica, a haste funciona como um braço de alavanca, reduzindo ainda mais a força que o operador
deve realizar.
MÚLTIPLOS FLUIDOS
Há situações em que mais de um fluido entra em equilíbrio estático em camadas diferentes, genericamente representados na
imagem a seguir:
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javascript:void(0)
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Cálculo da pressão ao longo de um percurso com múltiplos fluidos
Para calcular a pressão
pn
, vamos aplicar a equação 6 sucessivamente, partindo do ponto 0 e atravessando todas as camadas:
PN = P0 − Γ1ΔZ0 , 1
⏟
Z1 − Z0
⏟
− H1
− Γ2ΔZ1 , 2
⏟
Z2 − Z1
⏟
− H2
− ⋯ − ΓNΔZN − 1 , N
⏟
ZN − ZN − 1
⏟
− HN
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Em caso de descida, a diferença
Δzk − 1 , k = zk − zk − 1
no
k
-ésimo trecho será igual a
−hk
, pois
zk < zk − 1
. Ao realizar essa substituição:
→ PN = P0 + Γ1H1 + Γ2H2 + ⋯ + ΓNHNLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
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Caso o percurso seja de subida, a parcela resultante será negativa (
−γkhk
). Portanto, a expressão anterior pode ser representada por:
→ PN = P0 +
N
∑
K = 1
± ΓKHK
↓ + ΓKHK
↑ − ΓKHK
ΓK = ΡKG
Equação 11
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Exemplo
Em um reservatório contendo combustível adulterado, houve acúmulo de:
50cm de gasolina (
ρ
= 680 kg/m³);
10cm de etanol (
ρ
= 789 kg/m³);
20cm de água (
ρ
= 998 kg/m³).
Calcule a pressão manométrica no fundo do reservatório.
SOLUÇÃO
Esse é um problema típico para se resolver com a equação (11), pois se trata de múltiplos fluidos. Como ponto 0 (partida),
definiremos a superfície, em que a pressão manométrica é nula (
p0m = 0
), e n-ésimo ponto o fundo do tanque. Como esse trajeto (superfície até o fundo) é apenas de descida, todas as parcelas serão
somadas:
{
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javascript:void(0)
PN = 0 + Γ1H1 + Γ2H2 + Γ3H3
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Embora a ordem das parcelas não altere a soma, os fluidos se estabilizarão de acordo com sua massa específica, ficando os
mais densos em baixo. Como
γ = ρg
, então:
PN = 0 + 998 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 2 + 789 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 1 + 680 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 5 = 6, 1 KPA
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De acordo com o Teorema de Stevin, um dispositivo que medisse a quantidade de gasolina pela pressão no fundo do tanque
marcaria
h =
p
ρg
=
6, 1 ⋅ 103
680 ⋅ 9, 8
= 0, 91m = 91cm
de gasolina, quando, de fato, há apenas 50cm.
FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
Quando uma peça está submersa em um fluido estático, ela sofre a pressão ao longo de toda a sua superfície. É necessário
calcular a força resultante para avaliar o equilíbrio da peça e dimensionar seus apoios, o que pode ser feito por:
F = ∫SP DA
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Para evitar essa integral, apresentaremos uma metodologia simplificadora.
Considere que uma placa plana é submersa em um fluido, conforme mostra a imagem a seguir:
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Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Placa plana submersa
De acordo com o Teorema de Stevin, a pressão variará linearmente do ponto mais alto até o mais baixo. Estamos interessados
em saber qual é a força (
→
F
) resultante dessa pressão, que é aplicada em determinado ponto da placa, chamado de Centro de Pressão (
CP
), conforme mostra a imagem a seguir:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Força aplicada em uma superfície submersa
Posicionaremos a origem do sistema de coordenadas no Centro Geométrico (CG), também conhecido como Centroide da
Geometria. As coordenadas do centroide da superfície S são determinadas por:
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XCG =
∫SX DA
A
YCG =
∫SY DA
A
Equação 12
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Analogamente, a profundidade do CG será:
HCG =
∫SH DA
A
Equação 13
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Para o sistema de coordenadas adotado (origem coincidente com CG), teremos
xCG = 0
e
yCG = 0
.
A placa tem um ângulo
θ
com a horizontal. A distância de um ponto qualquer na placa com coordenada (
x