Derivadas na HP

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5 - DERIVADAS
Neste ensinaremos como se derivar uma função com a calculadora e trabalhar com essa função obtida; como plotar o gráfico de uma função e obter a derivada; como trabalhar com estes gráficos.
Vamos agora a definição de derivada .
Definição de Derivada
A derivada da função f é a função f’ definida por
 ( I )
para todo x para o qual o limite exista.
5.1 - TAXAS DE VARIAÇÃO
Falamos anteriormente que a derivada de uma função é o coeficiente angular da reta que tangencie esta função em um dado ponto. Mas será que é só isso? Não! Uma outra função interpretação muito importante das derivadas é a taxa de variação da função relacionada à variável independente.
Exemplifiquemos: Seja Q uma função que varie com o tempo, ou seja, a variável independente desta função é o tempo. Portanto Q = f(t).
Se diferenciarmos Q em relação a t obteremos a taxa instantânea de variação da função com relação ao tempo.
Vários são os casos, como Edwards & Penney ilustram em seu livro, onde podemos aplicar as taxas de variação:
- Velocidade instantânea de um corpo, no qual o movimento varia de acordo com o tempo.
- Número de habitantes de uma cidade, os quais crescem regidos em função do tempo.
- A quantidade de água em um reservatório com entrada e vazão variáveis.
- O número de reais em uma conta bancária.
Enfim, infinitas são as aplicações das taxas de variação.
5.2 - DERIVANDO COM A CALCULADORA
5.2.1 – Utilizando o menu symbolic
Vamos agora ensinar como derivar com a calculadora.
A opção para se diferenciar uma função está no menu “Symbolic” ( [] [9]).
Ao selecionarmos esta opção aparecerá um quadro com outras opções; selecionaremos a opção “Differentiate” .
Selecionando esta opção poderemos diferenciar as equações; coloque a barra na linha “Differentiate” e aperte [OK].
Aparecerá uma outra tela.
Repare que as opções para as teclas brancas são quase sempre as mesmas.
Neste menu de diferenciação aparecem três campos:
EXPR: que é o campo onde entraremos com a expressão a ser derivada.
VAR: no qual determinaremos a variável na qual a função será derivada.
RESULT: no qual aparecerão duas opções: “Symbolic” e “Numeric”. A opção “Symbolic” dará o resultado da expressão de uma forma simbólica, ou seja, a função derivada com as variáveis; já a opção “Numeric” dará a resposta de uma forma numérica. Se selecionarmos a opção “Numeric” aparecerá mais um campo, onde entraremos com o valor de x para o qual queremos determinar a derivada.
Será mais interessante trabalharmos com a opção “Symbolic”.
Repare que as opções dos outros menus que já trabalhamos, são bem parecidas com a deste menu de diferenciação. Mas aparece aqui uma opção que não tinha aparecido em nenhum outro, a opção [STEP]. Esta opção indicará os “passos” para você diferenciar uma função. Vamos dar um exemplo simples, para que seja bem clara a visualização:
Vamos diferenciar a função x2
Expr: X^2
Var: X
Result: Symbolic
Ficaremos com a tela:
Repare na opção [STEP].
Ficamos com a tela ao lado.
Que resposta é esta? Bom, ela está mostrando quais são os passos para se derivar a função x2.
Pela regra da potência generalizada, tomemos f(x)=x e r = 2. Teremos então:
Repare que foi a mesma coisa que a calculadora escreveu. A única diferença é a nomenclatura que a calculadora utiliza. O nosso 
é o “dX(X)” dela.
Vamos, agora, obter a derivada da função anterior ( x2 ).
Dentro do menu “Differentiate”.
Entremos com os dados:
EXPR: X^2
VAR: X
RESULT: Symbolic 
E basta selecionar a opção [OK] para que a calculadora derive a função x2
A derivada da função aparecerá no nível 1. Podemos salvar essa equação em uma célula para vários fins, como por exemplo plotar o gráfico da derivada.
5.2.2 – Utilizando a opção [FCN]
Há um outro método de se obter a derivada de uma função; ao plotarmos uma função uma das opções que aparecem na tela é a opção [FCN] (abreviação de “function” – função). 
Esta opção nos permite trabalhar com a função. A explicação do restante dos comandos está no APENDICE A.
A outra maneira de se derivar uma função seria plotar a tal função e depois selecionar a opção [F‘], que está dentro da opção [FCN].
Dos dois passos para se derivar uma função, o primeiro é fortemente aconselhável quando quisermos trabalhar com a função (utilizá-la para outro fim, salvá-la em alguma célula, etc); já o segundo será utilizado quando estivermos trabalhando com os aspectos gráficos das funções (pontos de máximo e mínimo, etc).
5.3 - MÁXIMOS E MÍNIMOS EM INTERVALOS FECHADOS
Vários são os casos onde precisamos determinar os valores máximo ou mínimo que uma função pode obter. O problema do reservatório de água apresentado anteriormente (seção 3.9) é um bom exemplo.
Naquele caso nos temos Área em função de y. Teremos um valor de y para o qual a área seja a menor possível, ou seja, teremos um valor de y para o qual a função Área tenha um ponto de mínimo.
Quando estivermos trabalhando com máximos e mínimos, por várias vezes, precisaremos determinar os zeros de uma função. Mas a calculadora somente dá o valor de uma raiz? Não, a calculadora dá o valor das outras. Segue-se alguns métodos para se obter o valor das outras raízes.
Se plotarmos o gráfico da função derivada podemos utilizar a opção [ROOT] (que está dentro do leque de opções [FCN], que aparece quando plotamos o gráfico). Com esta opção, lembre-se, podemos encontrar as raízes, desde que o cursor esteja devidamente posicionado (próximo da raiz). Ao determinarmos f’ podemos encontrar os pontos críticos da função f(x).
Para achar as raízes você também pode utilizar o “Solve equation”. Se você pedir para a calculadora resolver a função ela dará uma resposta. Caso você deseje outra resposta, no nosso caso para determinar outro valor de ponto crítico, será necessário que você de um “chute” inicial, para que a calculadora procure outro valor de raiz da função. Isto ocorre (a necessidade do chute) porque o método numérico que a calculadora utiliza necessita de um valor inicial para que ela comece a fazer os cálculos para achar o valor de x para que a função seja zero. Vocês irão aprender mais sobre este processo mais a frente, com o curso de Cálculo Numérico. 
5.3.1 – Calculando pontos críticos
Exemplo 1 – Vamos calcular os valores dos pontos críticos da função:
f(x) = 
Primeiramente vamos derivar a função; entre no menu “differentiate”.
Expr: X^3/3-4*X+3
Var: X
Result: Symbolic
Selecionamos [OK] e obtemos a função derivada no primeiro nível. 
Repare que a calculadora está multiplicando e dividindo o “X^2” por 3. Há uma opção que a calculadora agrupa os membros da função.
Vamos a ela; o que a calculadora irá realizar será um “trabalho” com a função, para deixá-la mais “enxuta”. Selecionemos [] [Symbolic].
Aparecerão várias opções; repare na primeira, a opção [COLCT] (colect – coletar). Ao selecionarmos esta opção, a calculadora realizará operações de divisão e multiplicação e eliminará casos como este, de multiplicar e dividir pelo mesmo número ou variável.
Vamos a ela: 
Repare agora, que a resposta que obtemos é “-4+0.999999999999*X^2”. O que aconteceu foi que a calculadora primeiro dividiu 1 por 3 e depois multiplicou esse resultado por 3. Isso já foi discutido anteriormente. O fato é: isso não importará significativamente para nossos cálculos.
Salvemos a derivada em uma célula [A].
[ `] [(] [A] [enter] [sto] 
Pronto, agora com a célula salva, entraremos no menu “solve equation”.
Agora, com a barra na linha EQ: selecione a opção [CHOOS]. Aqui iremos selecionar uma equação que esteja salva no diretório [HOME], ou em alguns de seus subdiretórios. Lembre-se que estamos sempre trabalhando com este diretório, e quando salvamos a equação derivada como célula [A], esta célula foi salva na raiz [HOME], ou em algum subdiretório. Pois bem, selecionemos a equação [A].
Ao selecionarmos a célula [A], ela vai para a linha EQ:.
Vamos agora selecionar a opção [SOLVE] para obtemos a resposta de que valorde x a função é igual a zero. Obtemos a resposta 2. 
A resposta é um valor de um ponto crítico da função f(x) = 
.
Mas repare que ainda falta um valor, pois a função derivada é um polinômio do segundo grau e, portanto, temos duas raízes. Agora, teremos que “chutar” um valor para x.
Coloque –1 e, com a barra negra na linha [X]: selecione [solve]. 
Obtemos a resposta –2, que é a outra raiz da equação x2 – 4.
Obtemos que os pontos críticos tem os valores de x igual a 2 e –2.
Para calcularmos o y dos pontos de máximo e mínimo basta substituirmos os valores de x encontrados (2 e –2) na primeira equação (
) e obtermos os valores de y.
5.3.2 – Analisando graficamente pontos críticos
Vamos agora plotar o gráfico da função f(x) e de sua derivada e analisar o que está acontecendo.
EQ:X^3/3-4*X+3
Indep: X
<: RAD
H-view: -5 a 5
V-view: –10 a 15
Repare que neste caso, teremos um ponto de máximo e de mínimo locais. Vamos agora, plotar o gráfico da derivada desta função. Dentro de [FCN] vamos escolher a opção [ F’]. Obtemos o gráfico:
Temos no gráfico da esquerda, apenas as duas funções traçadas (f(x) e f’(x)). O gráfico da direita mostra que quando o valor da função f’(x) = 0 (neste caso) nós temos um ponto de máximo ou de mínimo em f(x); mas o fato de termos f`(x) = 0 (genericamente) não implica em máximo ou mínimo, e sim em ponto crítico. Este ponto crítico pode, aí sim, ser de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
5.4 - ATIVIDADE 1
1) Derive as funções abaixo:
a)
b)
c)
d)
2)Plote os gráficos das funções e das derivadas das funções do exercício 1.
Vamos agora falar de aplicações para os máximos e mínimos.
5.5 - PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMO E MÍNIMO
Vários são os casos em que temos que determinar o valor mínimo ou máximo de uma função, para, com este valor, melhorarmos ou criarmos um sistema sem desperdício, ou seja, com a melhor utilização do material que dispomos para obtermos o melhor resultado possível.
Exemplo 1 – (Edwards & Penney, Vol. 1, 4ª edição,) Um fazendeiro tem 200m de cerca para construir três lados de um cercado retangular; um muro longo, retilíneo, servirá como o quarto lado. Que dimensões maximizarão a área do cercado?
Queremos maximizar a área A do cercado do esquema ao lado.
Seja:
A = xy
Vamos deixar a variável A em função de x ou de y. Optamos por x; Logo y tem de ser expresso em função de x.
Podemos então escrever:
A(x) = x(200-2x) = 200x – 2x2
E qual é o domínio de x? Veja bem, a soma 2x + y = 200 terá valor máximo de x quando y for zero, ou seja, x=100. Já, o valor mínimo de x será quando y valer 200, então x = 0. Temos então 
.
Vamos agora derivar a função A em relação a x.
Expr: 200*X-2*X^2
Var :X
Result: Symbolic.
Obtemos o resultado na figura ao lado: 
Salvemos a equação na célula [A].
[ ` ] [(] [A] [sto]
Agora no menu Solve equation vamos procurar o valor de x para f’(x) = 0.
Obtemos o valor de x= 50m. Determinamos então que quando x = 50 temos um ponto crítico; e este ponto crítico é único pois f’(x) é uma equação do primeiro grau.
Devemos então calcular o valor de A para o ponto crítico e para as extremidades 0 e 100.
A(0) = 0
A(50) = 5000
A(100) = 0
Vemos que o valor máximo para área se dá quando x = 50m. Pela equação 
 vemos que y = 100 quando x = 50. Portanto, o ponto de máximo da função A é (50,100).Tracemos o gráfico para enxergarmos o que está acontecendo:
EQ: 200*X-2*X^2
Indep: X
H-view : 0 a 100 (domínio da função)
V-view : -1000 a 6000
Vamos traçar no mesmo gráfico a derivada da função e pedir o valor da raiz, através da opção [ROOT].
Podemos também pedir para a calculadora traçar a reta tangente à função área nesse ponto, onde x=50. Certifique-se que você está trabalhando com a função A. Você pode fazê-lo selecionando a opção [VIEW] dentro de [FCN] que lhe mostrará a função que você está trabalhando ou com a opção [NEXT] também dentro de [FCN] que alternará as funções que você está trabalhando. Sempre que selecionar esta opção, aparecerá na parte inferior da tela, por alguns segundos, a função para qual a calculadora alternou.
Pois bem, no ponto x=50 vamos, através da opção [TLINE] traçar a tangente à função A. Obtemos o gráfico:
Repare que o coeficiente angular (que é a derivada da função) é zero no ponto de máximo (por este motivo procuramos as raízes de f’(x)).
5.6 - ATIVIDADE 2
Problemas com máximos e mínimos. Seria bom se você plotasse o gráfico da função f(x) e de f’(x) e analisasse o que estaria acontecendo com os pontos de máximo e mínimo.
1)(Edwards & Penney) Um fazendeiro dispões de 600m de material para fazer um curral retangular. Parte do material será utilizado para construir duas divisórias internas, ambas paralelas aos mesmos dois lados do curral. Qual é a área total máxima possível desse curral?
2)(Edwards & Penney) O Volume V (em centímetros cúbicos) de 1kg de água à temperatura entre 0ºC e 30ºC é dado, com boa aproximação, por
A que temperatura a água atinge sua densidade máxima?
3)(Edwards & Penney) Os custos de aquecimento e refrigeração de certa casa sem isolamento são de R$500/ano, mas com x 
 10cm de isolamento, os custos são 1000/(2+x) reais/ano. O material isolante instalado custa R$150,00 para cada centímetro de espessura. Quantos centímetros de isolante devem ser instalados, de modo a minimizar o custo total (inicial mais anual) para um período de 10 anos? Qual será então a economia anual decorrente desse isolamento?
5.7 - FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Se f’(x) > 0 para todo x em (a,b), então f é uma função crescente em [a,b].
Se f’(x) < 0 para todo x em (a,b), então f é uma função decrescente em [a,b].
Exemplo – Onde a função f(x) = x2 – 4x + 5 é crescente? E onde é decrescente?
Expr: X^2-4*X+5
Var: X
Result: Symbolic
Ao derivarmos esta função obtemos outra função, desta vez, do primeiro grau:
Se pedirmos para a calculadora resolver esta equação no “solve equation” obteremos o valor de 2 para raiz desta equação.
Veja que para valores maiores que 2 temos f’(x) > 0, portanto f(x) crescente. Já para valores de x < 2 temos f’(x) < 0 ou seja, f(x) decrescente.
5.8 - DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR E CONCAVIDADE
Teste para Concavidade
Seja a função f duas vezes diferenciável no intervalo aberto I.
1 –Se f’’(x) > 0 em I, então f será côncava para cima em cada ponto de I.
2 –Se f’’(x) < 0 em I, então f será côncava para baixo em cada ponto de I.
Teste do ponto de inflexão
Suponhamos que a função f seja contínua em um intervalo aberto contendo o ponto a. Então, a é um ponto de inflexão de f se f’’(x) < 0 em um lado de a, e f’’(x)>0 no outro lado.
5.9 - ATIVIDADE 3
Plote os gráficos das funções abaixo e determine os máximos e mínimos locais, bem como os pontos de inflexão. Fale em que ponto ocorrem as assíntotas.
1)
2)
3)
4)
5.10 - RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
ATIVIDADE 1
a)
( 
b)
( f’(x)=
c)
(f’(x)=
 
d)
 (f’(x)=
2)Plote os gráficos das funções e das derivadas das funções do exercício 1
a)H-view –5 a 5 e V-view –5 a 5
b)H-view –5 a 5 e V-view de –3 a 3
c) H-view –10 a 10 e V-view de –40 a 30
d)H-view –10 a 10 e V-view –15 a 9
ATIVIDADE 2
1)11250m2.
2)Aproximadamente 3.9665ºC.
3)O valor minimizante de x é 
cm. Com arredondamento para o inteiro mais próximo, use x=6cm de isolamento para uma economia anual de R$285,00
ATIVIDADE 3
1)Não há pontos críticos nem pontos de inflexão, assíntota vertical x=-2, assíntota horizontal y=0, único intercepto em (0,-2/3)
2)Não há pontos críticos nem pontos de inflexão, assíntota vertical x=3/2, assíntota horizontal y=0
3)Mínimo global em (0,0), pontos de inflexão onde 3x2=1 (e y=1/4), assíntota horizontal y=1
4)Mínimo local em (-1/2 , -4/25), assíntota horizontal y=0, assíntotas verticais x=-3 e x=2; não há pontos de inflexão.
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