Projeto Estrutural com Materiais Compostos

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Análise e Projeto Mecânico
 
 
 
 
 
 
 
 
CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
 
 
 
 
PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa 
 
 
 
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000033
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ____________________________________________11 
11..11–– DDeeffiinniiççããoo __________________________________________________________________________________________________________________11 
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo ____________________________________________11 
11..22..11 –– FFiibbrraass ________________________________________________________________________________________________________________11 
11..22..22 –– MMaattrriizzeess ____________________________________________________________________________________________________________11 
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss__________________________________________________________________________33 
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ______________________________________________________________________33 
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss ________________________________________________________________________________77 
11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz ________________________________________________________________99 
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo________________________________________________________________________________________1111 
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo__________________________________________________________________________________1122 
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa________________________________________________________________1133 
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo__________________________________________________________________________________________1144 
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo __________________________________________________________________1144 
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo ____________________________________________________________________________________1144 
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo __________________________________________________________________________________1155 
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo __________________________________________________________________________1166 
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall __________________________________________________________________________1177 
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall __________________________________________________________________________________1188 
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr________________________________________________________________________________________1199 
11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ____________________________________________________________________2200 
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss ______________________________________________________________________________________________________2200 
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee ______________________________________________________________________________________________________2211 
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa __________________2222 
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ______________________________2255 
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ________________________________________________2255 
22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________2299 
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO 
QQUUAALLQQUUEERR ____________________________________________________________________________________________________________________3311 
 
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr____________3311 
33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________3377 
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ________________________________3388 
44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss ________________________________________________________________________________3388 
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa ______________________________________________________________________3388 
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo______________________________________________________________________________4455 
44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________5544 
55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA ______________________________________________________________________________________5588 
55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________________5588 
55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________5599 
55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ______6600 
55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss ________________________________________________________________________________________________6622 
55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess ____________________________________________________________________6622 
55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll ________________________________________________________________________________________________6666 
55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll ________________________________________________________________________________________6677 
55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann ________________________________________________________________________________________6688 
55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu ________________________________________________________________________________________6699 
55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo __________________________________________________________________________________________7788 
66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS 
CCOOMMPPOOSSTTOOSS ________________________________________________________________________________________________________________8888 
66..11 –– CCaammppoo ddee ddeessllooccaammeennttooss ____________________________________________________________________________________8888 
66..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr ________________________________________________________________________9922 
66..33 –– EEnneerrggiiaacciinnééttiiccaa eelleemmeennttaarr ____________________________________________________________________________________9955 
66..44 –– TTrraabbaallhhoo rreeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass ______________________________________________________________9977 
66..55 –– PPrroobblleemmaa eessttááttiiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss______________________________________________9988 
66..55..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess ____________________________________________________________________________9988 
66..66 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee ______________________________________________________110033 
66..66..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo __________________________________________________110033 
66..66..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo ______________________________________________________________________________________110044 
66..77 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo ________________________________________________________________________________________110044 
66..77..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt ______________________________________________________________________________________________110044 
 
66..77..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr ________________________________________________________________________________________110055 
66..77..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))__________________________________________________________________________________110066 
66..77..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss __________________________________________________________________________________________110066 
66..77..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú ________________________________________________________________________110077 
66..77..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann ____________________________________________________________________________________110077 
66..77..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))__________________________________________________________________________________110088 
66..77..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee________________________________________________________________________110088 
77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ______________________________________________________________110099 
77..11 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaass ddee ppllaaccaass __________________________________________________________________________110099 
77..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee ppllaaccaa ccoonnssiiddeerraannddoo aa ffllaammbbaaggeemm __________________________________________________111111 
77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppeerrttuurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm____________________________________________________111144 
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS ____________________________________________________________________________________________________________112222 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 1
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
11..11–– DDeeffiinniiççããoo 
Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas 
diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus 
componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras, 
contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que são impregnados em uma 
matriz de resistência mecânica inferior as fibras. 
 
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo 
11..22..11 –– FFiibbrraass 
 A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas 
características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser curtas 
de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, ou longas 
e que são cortadas após a fabricação da peça. 
 Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro, 
etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas 
segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas 
direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras orientadas 
aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras são orientadas 
no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais). 
 
11..22..22 –– MMaattrriizzeess 
 As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas as 
fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (poliéster, 
epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio). 
Aspectos gerais dos materiais compostos 2 
 
Figura 1.1 – Tecido - padrão 1 
 
 
Figura 1.2 – Tecido - padrão 2 
 
Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas) 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 3
A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da 
aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas elevadas, 
resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em muitos casos 
pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser 
observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes. 
 
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
 O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e 
performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais leve 
que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e 
conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A redução 
na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da aplicação dada 
ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em material composto 
pode ser também sensivelmente menor se comparado com os materiais metálicos. 
O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de componentes 
estruturais, sobretudo no que diz respeito às características mecânicas (resistência a 
ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O caráter anisotrópico dos materiais 
compostos é o fator primordial para a obtenção das propriedades mecânicas requeridas 
pelo componente. 
A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com que 
os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas. 
 
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
 A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica 
devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos 
componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais 
compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais metálicos: 
fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4. 
 Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição dada 
Aspectos gerais dos materiais compostos 4 
inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são 
fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas 
finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma 
forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais 
compostos”, pois combinam diferentes materiais. 
 
Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça 
 
 Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários 
componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore de 
transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5. 
 
Figura 1.5 – Componentes em materialcomposto em helicópteros 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 5
 A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é bem 
mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos somente pára-
choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é utilizado para a 
fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de transmissão, 
molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6. 
 Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos materiais 
compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças com 
superfícies complexas. 
 
Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis 
 
 Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula 1, 
que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em 
muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado 
futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso é 
fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais 
freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a 
confecção da carroceria. 
 Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está 
diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como 
exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o 
que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas 
raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas. 
Aspectos gerais dos materiais compostos 6 
 
Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski 
 
 Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são 
os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, Figura 
1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, confeccionados a partir 
do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10. 
 
Figura 1.9 – Painéis solares de satélite 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 7
 
 
Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite 
 
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss 
M
etais 
 
M
assa 
volum
étrica 
3
M
ódulo de 
elasticidade 
M
ódulo de 
cisalham
ento 
C
oeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura 
à tração (M
Pa) 
Alongam
ento à 
ruptura (%
) 
C
oeficiente de 
dilatação térm
ica 
1
Tem
peratura 
lim
ite de utilização 
 ρ E G ν σ ε α Tmax 
aços 7800 205000 79000 0,3 400 a 
1600 
1,8 a 
10 
1,3.10-5 800 
ligas de 
alumínio 
2800 75000 29000 0,3 450 10 2,2.10-5 350 
ligas de 
titânio 
4400 105000 40300 0,3 1200 14 0,8.10-5 700 
Cobre 8800 125000 48000 0,3 200 a 
500 
 1,7.10-5 650 
 
 
Aspectos gerais dos materiais compostos 8 
Fibras 
 
M
assa 
volum
étrica 
3
M
ódulo de 
elasticidade 
M
ódulo de 
cisalham
ento 
C
oeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura 
à tração (M
Pa) 
Alongam
ento à 
ruptura (%
) 
C
oeficiente de 
dilatação térm
ica 
(°C
-1) 
Tem
peratura 
lim
ite de utilização 
Preço/kg 1985 
 
 ρ E G ν σ ε α Tmax $US 
Vidro 
“R” 
2500 86000 0,2 3200 4 0,3.10-5 700 12 
Vidro 
“E” 
2600 74000 30000 0,25 2500 3,5 0,5.10-5 700 2,8 
Kevlar 
49 
1450 130000 12000 0,4 2900 2,3 -0,2.10-5 70 
Grafite 
“HR” 
1750 230000 50000 0,3 3200 1,3 0,02.10-5 >1500 70 a 
140 
Grafite 
“HM” 
1800 390000 20000 0,35 2500 0,6 0,08.10-5 >1500 70 a 
140 
Boro 2600 400000 3400 0,8 0,4.10-5 500 500 
 
 
M
atrizes 
 
M
assa volum
étrica 
(kg/m
3) 
M
ódulo de 
elasticidade (M
Pa) 
M
ódulo de 
cisalham
ento (M
Pa) 
C
oeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura à 
tração (M
Pa) 
Alongam
ento à 
ruptura (%
) 
C
oeficiente de 
dilatação térm
ica 
( °C
-1) 
Tem
peratura lim
ite 
de utilização (°C
) 
 
Preço/kg 1985 
 
 ρ E G ν σ ε α Tmax $US 
TTEERRMMOORREESSIISSTTEENNTTEESS 
Epóxi 1200 4500 1600 0,4 130 2 a 6 11.10-5 90 a 200 6 a 20 
Fenólica 1300 3000 1100 0,4 70 2,5 1.10-5 120 a 
200 
 
Poliéster 1200 4000 1400 0,4 80 2,5 8.10-5 60 a 200 2,4 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 9
Poli 
carbonato 
1200 2400 60 6.10-5 120 
Termoplásticas 
Poli 
propileno 
900 1200 30 20 a 
400 
9.10-5 70 a 140 
Poliamida 1100 4000 70 200 8.10-5 170 6 
 
11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz 
 As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das 
percentagens de cada componente na mistura. 
a) Percentagem em massa do reforço. 
totalmassa
reforçodemassaMf = 
b) Percentagem em massa da matriz. 
totalmassa
matrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf 
c) Percentagem em volume do reforço. 
totalvolume
reforçodevolumeVf = 
d) Percentagem em volume da matriz. 
totalvolume
matrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf 
e) Massa volumétrica da lâmina. 
totalvolume
totalmassa=ρ 
ou: 
totalvolume
matrizdamassa
totalvolume
reforçodomassa +=ρ 
mf totalvolume
matrizdavolume
totalvolume
reforçodovolume ρ+ρ=ρ 
Aspectos gerais dos materiais compostos 10 
ρ = ρf . Vf + ρm . Vm 
onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente. 
f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas). 
E1 = Ef . Vf + Em . Vm 
ou: 
E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf) 
g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2. 
( )2 m mf f
ft
1E E E1 V V
E
   =  − +  
 
onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal. 
h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12. 
( )12 m mf f
ft
1G G G1 V V
G
   =  − +  
 
onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço. 
i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12. 
ν12 = νf . Vf + νm . Vm 
j) Resistência a ruptura da lâmina. 
( ) m1ruptura f ruptura f f
f
EV 1 V
E
 σ = σ + −  
 
ou: 
1ruptura f ruptura f.Vσ = σ 
k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas. 
 
As propriedades na tabela abaixo correspondem a uma mistura de fibras 
unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras. 
 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 11
 vidro kevlar carbono 
Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530 
σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270 
σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130 
σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42 
σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141 
τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63 
τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90 
módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000 
módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000 
módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200 
coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25 
Coef. de dilatação térmica longitudinal α1 (°C-1) 0,4 a 
0,7.10-5 
-0,4.10-5 -0,12.10-
5 
Coef. de dilatação térmica transversal α2 (°C-1) 1,6 a 
2.10-5 
5,8.10-5 3,4.10-5 
 
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo 
Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas por 
uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os 
processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos 
como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produção), etc. 
 As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
Aspectos gerais dos materiais compostos 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo 
 O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de uma 
resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida 
impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as 
lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) oucura da resina pode 
ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da resina 
pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a 
uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a desmoldagem, a 
peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc. 
 
Fibras Resina 
Impregnação (mistura) 
Colocação da mistura sobre o 
molde/mandril 
Polimerização (estufa) 
Desmoldagem 
Acabamento 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 13
 
Figura 1.11 – Moldagem sem pressão 
 
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa 
 Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas 
impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida 
compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas, 
Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de 
faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A vantagem 
deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série das peças, 
no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao fato das 
fibras serem cortadas. 
 
Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea 
molde 
 rolo
fibras 
resina 
 resina 
 fibra 
 fibra 
cortada 
e resina 
pistola 
Aspectos gerais dos materiais compostos 14 
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo 
Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na moldagem 
sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um contra-
molde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor compactação e 
evitar a formação de bolhas, Figura 1.13. 
 
 
Figura 1.13 – Moldagem a vácuo 
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo 
Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o 
contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há 
casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado de 
compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde, Figura 
1.14. 
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo 
 O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de um 
parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15. 
 
Bomba a
vácuo 
fibras 
resina
contra 
molde
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 15
 
Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio 
 
 
 
Figura 1.15 – Moldagem por injeção 
 
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo 
Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As 
fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas 
entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas dentro 
da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17. 
 
molde 
resina
contra-molde
molde 
aquecido
Contra-molde 
aquecido 
Fibra 
pré-impregnada
aquecida 
Aspectos gerais dos materiais compostos 16 
 
Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas 
 
 
Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas 
 
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo 
 Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde 
em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A 
impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de centrifugação. 
A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Este 
processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das propriedades 
mecânicas da peça. 
estufa
 faca
 rolos
 fibras
 resina 
filme 
desmoldante
filme 
desmoldante
 resina 
 faca 
 fibras 
cortadas
filme 
desmoldante
filme 
desmoldante
 rolos 
 estufa 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 17
 
Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação 
 
Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados 
quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes 
processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final da 
peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos diâmetros e 
grandes comprimentos de alta performance. 
 Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode 
ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o 
bobinamento polar. 
 
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall 
No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril 
rotativo, com um ângulo de deposição de 90° em relação ao eixo de rotação, Figura 
1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais. 
 
 fibra 
 molde
Aspectos gerais dos materiais compostos 18 
 
Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial 
 
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall 
No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo 
com um ângulo de deposição α em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo de 
bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais. 
 
Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal 
 fibras 
 resina 
 mandril 
 guia 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 19
 
 
Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo 
 
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr 
No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a tangenciar 
as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo de deposição 
varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° nas duas aberturas dos domos. O 
bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços longitudinais. 
 A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de 
bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o 
bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os bobinamentos 
circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ]. 
 
 fibras 
mandril 
 fibras 
impregnadas
 estufa 
Aspectos gerais dos materiais compostos 20 
 
Figura 1.22 - Bobinamento polar 
 
11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss 
Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas 
de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação 
dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina 
com relação ao eixo de referência, Figura 1.24. 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 21
 
Figura 1.23 – Constituição de um laminado 
 
 
Figura 1.24 – Designação de um laminado 
 
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee 
O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um 
material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas contra-
placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura final. 
45°45° 0°90°90°30° 
45° 
0° 
45° 
90° 
90° 
30° 
[45/0/45/902/30
Aspectos gerais dos materiais compostos 22 
 
 
 
Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena 
 
 
 
Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca” 
 
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa 
 
Placas rígidas (aço,
placas laminadas, etc)
alma de baixo
peso (espuma,
resina, etc)
Placas rígidas (aço,
placas laminadas, etc) 
Alma de madeira 
Sentido das fibras da
madeira 
 colméia 
alma ondulada 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 23
 Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em 
fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais sãocolados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações 
são medidas pelos extensômetros. 
 Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as 
deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 143e-
6 e ε1y = - 36e-6. Assim: 
x x
1x
x 1E E
σ σε = = , x1
1x
20E
143e 6
σ= =ε − , E1 = 139860 MPa 
 
1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12
1x
εν = − ε , 12
36e 6
143e 6
−ν = − , ν12 = 0,25 
 
 Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as 
deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as 
fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. Assim 
de [1], pag. 332: 
x 
y
 σx
20° x 
y
 σx
Aspectos gerais dos materiais compostos 24 
x
2x
xE
σε = (1) 
4 4
2 2 12
x 1 2 12 1
1 c s 1c s 2
E E E G E
 ν= + + −  
 (2) 
4 4
2 2 12
2x x
1 2 12 1
c s 1c s 2
E E G E
  ν ε = + + − σ     
 (3) 
x
2y xy
xE
σε = −ν (4) 
onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12
2 1E E
ν ν= e yx xy
y xE E
ν ν= : 
( )xy 4 4 2 221
x 2 1 2 12
1 1 1c s c s
E E E E G
ν  ν− = − + + + −  
 (5) 
 
Substituindo (5) em (4): 
( )4 4 2 2122y x
1 1 2 12
1 1 1c s c s
E E E G
  ν ε = − + − + − σ     
 (6) 
 
De (3) e (6) temos: 
12 2
1 0,1325 2,69e 4
G E
+ = − , 
12 2
1 1 1,144e 4
G E
− = − 
 
 A solução é: 
E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 25
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que nos 
casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para os 
materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do qual as 
propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é colocado 
longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado transversalmente as 
fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado ortogonalmente aos dois anteriores, 
Figura 2.1. 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia 
 
 A lei de comportamento do material composto que relaciona deformação/tensão 
pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), contêm 9 
constantes elásticas independentes, e é da seguinte maneira: 
 
11 
22
33
Constantes elásticas dos materiais compostos 26 
3121
1 2 3
32121 1
1 2 3
2 2
13 23
3 31 2 3
23 23
2313 13
12 12
13
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν−ν   −ν−νε σ        ε σ    −ν −ν    ε σ   =    γ τ        γ τ    γ τ           
 (2.1) 
onde: 
εii = deformações normais na direção i 
γij = deformações angulares no plano ij 
σii = tensões normais na direção i 
τij = tensões de cisalhamento no plano ij 
νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida uma solicitação na 
direção i). 
Ei = módulo de elasticidade na direção i 
Gij = módulo de cisalhamento no plano ij 
 
Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que: 
21 12
2 1E E
ν ν= , 31 13
3 1E E
ν ν= , 32 23
3 2E E
ν ν= (2.2) 
 
Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma 
placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e: 
 
 
 
 
 
 
1
2
b
a 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 27
Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal): 
( ) l 11 l
1
∆b
b E
σε = = , ( ) ( )l 12 12 1 12l l
1
∆a
a E
σε = = −ν ε = −ν (2.3) 
 
Deformações devido a σ2 (na direção transversal): 
( ) 2 22 2
2
∆a
a E
σε = = , ( ) ( )2 21 21 2 212 2
2
∆b
b E
σε = = −ν ε = −ν (2.4) 
 
Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2, 
mantendo σ1: 
 1 1 2 2 1 2
1 1W ( a e) ∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b
2 2
= σ + σ + σ (2.5) 
 
Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a 
σ1, mantendo σ2: 
 2 2 1 1 2 1
1 1W ' ( b e) ∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a
2 2
= σ + σ + σ (2.6) 
 
Sendo a energia final a mesma, W = W’: 
1 2 2 1( a e) ∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12
2 1
a e b b e a
E E
   σ σσ −ν = σ −ν      
 (2.7) 
21 12
2 1E E
ν ν= (2.8) 
 
 Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas 
direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções são 
direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos isotrópicos 
transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5 
constantes elásticas independentes: 
 
Constantes elásticas dos materiais compostos 28 
21 21
1 2 2
12 21 1
1 2 2
2 2
12 2
3 31 2 2
23 232
213 13
12 12
12
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
2(1 )0 0 0 0 0E
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν −ν   −ν −νε σ        ε σ    −ν −ν    ε σ   =     γ τ+ ν        γ τ    γ τ           
 (2.9) 
 
onde: 
ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa 
 Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2
23 2
1 2(1 )
G E
+ ν= . 
 
 A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, inversa 
da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1): 
11 12 13 14 15 151 1
21 22 23 24 25 262 2
31 32 33 34 35 363 3
41 42 43 44 45 4623 23
51 52 53 54 55 5613 13
61 62 63 64 65 6612 12
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
σ ε        σ ε        σ ε   =     τ γ       τ γ   τ γ       

 (2.10) 
 
onde os termos não nulos são: 
23 32 21 31 23
11 12 44 23
2 3 2 3
13 31 31 21 32
22 13 55 31
1 3 2 3
32 12 3112 21
33 23 66 12
1 2 1 3
1Q Q Q G
E E ∆ E E ∆
1Q Q Q G
E E ∆ E E ∆
1Q Q Q G
E E ∆ E E ∆
+ ν ν ν + ν ν= = =
+ ν ν ν + ν ν= = =
ν + ν ν+ ν ν= = =
 (2.11) 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 29
com 12 21 23 32 13 31 21 32 13
1 2 3
1 2
∆
E E E
+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν= 
 Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, 
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente 
encontrada da seguinte forma: 
1 11 12 1
2 12 22 2
12 66 12
Q Q 0
Q Q 0
0 0 Q
σ ε         σ = ε        τ γ     
 (2.12) 
 
onde: 
1
11
12 21
2
22
12 21
21 1
12
12 21
66 12
EQ (1 )
EQ (1 )
EQ (1 )
Q G
= − ν ν
= − ν ν
ν= − ν ν
=(2.13) 
 
22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa 
 Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de temperatura 
em estruturas compostas, na lei de comportamento do material deve ser considerada 
as deformações devido a este efeito: 
3121
1 2 3
32121 1 1
1 2 3
2 2 2
13 23
3 3 31 2 3
23 23
2313 13
12 12
13
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E ∆T
010 0 0 0 0G 0
10 0 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν−ν   −ν−νε σ α        ε σ α    −ν −ν    ε σ α   = +    γ τ        γ τ    γ τ           
           
 (2.14) 
Constantes elásticas dos materiais compostos 30 
onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de dilatação 
térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina. 
A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é: 
{ } [ ]{ }1t111 C ε−ε=σ (2.15) 
 
onde ε1t é a deformação térmica. 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 31
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO 
QQUUAALLQQUUEERR 
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr 
Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário 
definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e 
expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para isto 
é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3). 
O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, Figura 3.1. 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência 
 
Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as 
tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de eixos 
de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um elemento 
plano, conforme mostrado na Figura 3.2. 
 
 
 
 
 
1 
2 
3, z
x 
y 
θ 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático: 
→ 0=∑ xF , 
x 1 12
2 12
dA dA cos cos dA cos sen
dA sen sen dA sen cos 0
σ − σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ − τ θ θ = (3.1) 
2 2
x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2) 
 
 ↑ 0=∑ yF , 
σ1
 τ12
 σ2
 1 
 2 
 τ21 
 x 
 y 
+ θ
+ θ 
A
B
C
θ
 σx τxy 
 τ12 
 τ21 
 σ2
 σ1 
 x 
 y 
θ 
 dA 
 σx dA τxy dA 
 τ21 dA senθ 
σ1 dA cosθ 
 x 
 y 
θ 
σ2 dA senθ 
τ12 dA cosθ 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 33
xy 1 12
2 12
dA dA cos sen dA cos cos
dA sen cos dA sen sen 0
τ + σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ + τ θ θ = (3.3) 
2 2
xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4) 
 
A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 
2 2
y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5) 
 
Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se 
determinar a tensão σxz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas 
 
↑ 0=∑ zF , 
xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ = (3.6) 
xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7) 
 
A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz. 
yz 23 13cos senσ = σ θ −σ θ (3.8) 
 τxz 
 τ13
 τ23
1
 x
 y θ
 dA 
 z
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 34 
 
A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma: 
{ } [ ]{ }1x
12
13
23
3
2
1
22
22
22
xy
xz
yz
z
y
x
Tou
sc000scsc
0cs000
0sc000
000100
sc2000cs
sc2000sc
σ=σ














τ
τ
τ
σ
σ
σ












−−
−
−
=














τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ (3.9) 
 
O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma forma 
que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja: 
{ } [ ] { }
2 2
x 1
2 2y 2
z 3 x 1
yz 23
13xz
2 2 12xy
c s 0 0 0 sc
s c 0 0 0 sc
0 0 1 0 0 0 ou T
0 0 0 c s 0
0 0 0 s c 0
2sc 2sc 0 0 0 c s
ε
ε    ε     ε ε−      ε  ε    = ε = ε   γ γ        γγ −      γ γ   − −   
 (3.10) 
 
onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ−ε = 
 
Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do 
material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da seguinte 
forma: 
{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TCTTCTCTT ε=ε=ε=σ=σ σσ−εσσσ (3.11) 
 
Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva [Cx], dada no sistema de eixos de 
referência (x, y, z) é: 
[ ] [ ] [ ][ ] t1x TCTC σσ= (3.12) 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 35
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, 
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de eixos 
de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma: 
x 11 12 16 x
y 21 22 26 y
63 62 66xy xy
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
    σ ε    σ = ε        τ γ    
 (3.13) 
 
com: 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 4 2 2
11 11 22 12 66
4 4 2 2
22 11 22 12 66
2 2 2 2
66 11 22 12 66
2 2 4 4
12 11 22 66 12
2 2 2 2
16 11 22 12 66
2 2 2 2
26 11 22 12 66
Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )
Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )
Q c s Q Q 2Q c s Q
Q c s Q Q 4Q c s Q
Q cs c Q s Q c s Q 2Q
Q cs s Q c Q c s Q 2Q
= + + +
= + + +
= + − + −
= + − + +
 = − − − − + 
 = − − + − + 
 (3.14) 
 
onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados da eq. (2.13). 
 
A matriz de flexibilidade [S], que relaciona deformação/tensão, dada no sistema 
de eixos de referência (x, y, z) é: 
{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TSTTSTSTT σ=σ=σ=ε=ε εε−σεεε (3.15) 
 
ou: 
{ } [ ] [ ][ ] t1x TSTS εε= (3.16) 
 
Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa da 
seguinte maneira [1]: 
 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 36 














τ
τ
τ
σ
σ
σ


















ςµη
ξ
ξ
ςν−ν−
µν−ν−
ην−ν−
=














γ
γ
γ
ε
ε
ε
xy
xz
yz
z
y
x
xyz
z
x
y
x
x
xzyz
yz
xz
xz
yz
xy
xy
zy
yz
x
xz
xy
xy
z
zy
yx
xy
xy
xy
z
zx
y
yx
x
xy
xz
yz
z
y
x
GEEE
GG
GG
GEEE
GEEE
GEEE
100
01000
01000
001
001
001
 (3.17) 
 
Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de 
cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de 
acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angularesηx/Ex, µy/Ex, 
e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão normal, a 
lâmina se deforma da seguinte maneira, Figura 3.4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga normal 
Material isotrópico Material ortotrópico
σx σx 
σx σx 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 37
33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa 
 O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma 
direção qualquer é dado da forma: 
{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18) 
 
ou seja: 
2 2x t
1
2 2y t 2
z t 3
yz t
xz t
2 2
xy t
c s 0 0 0 sc ∆T
∆Ts c 0 0 0 sc
∆T0 0 1 0 0 0
00 0 0 c s 0
00 0 0 s c 0
02sc 2sc 0 0 0 c s
ε    α      ε  α−      ε  α    =   γ         −γ           − −γ   
 (3.19) 
 
A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no 
sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a 
matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10): 
[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xtxt1xtx111t111 TCTTCTCTT ε−ε=ε−ε=ε−ε=σ σσ−εσσσ (3.20) 
 
ou seja: 
{ } [ ]{ }xtxxx C ε−ε=σ (3.21) 
 
A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão é 
do tipo: 
x x tx 11 12 16
y 12 22 26 y y t
16 26 66xy xy xy t
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
   ε − ε σ    σ = ε − ε        τ γ − γ    
 (3.22) 
 
 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 38
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS 
 Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de 
laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e 
espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma 
dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em conseqüência disto, a 
tensão normal na direção da espessura da placa é considerada desprezível (σz = 0). 
 As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos 
definido para o laminado. Na teoria clássica de laminados, na definição do campo de 
deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado nulo (σxz = σyz = 0). Na teoria 
de primeira ordem, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento 
transverso é considerado não nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da 
espessura da placa. 
 
44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss 
 Da definição do campo de deslocamento na teoria clássica de laminados, o 
cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de tensão, 
onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy. 
 
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa 
 No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos, é 
considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada 
uma. As solicitações no plano do laminado são denotadas Nx, Ny (forças normais por 
unidade de comprimento transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de 
comprimento transversal). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme visto no 
item 3. 
Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados da seguinte maneira: 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 39
∑∫
∑∫
∑∫
=−
=−
=−
τ=τ==
σ=σ=
σ=σ=
n
1k
k
k
xy
2/h
2/h
xyxyyx
n
1k
k
k
y
2/h
2/h
yy
n
1k
k
k
x
2/h
2/h
xx
h)1.dz(1.N1.N
h)1.dz(1.N
h)1.dz(1.N
 (4.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v, 
respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes à estas 
solicitações são: 
 y 
z
x 
Ny dx 
Nx dy 
Nyx dx
Nxy dy
dx 
dy
 h 
 z 
hk tensões 
 z
deformações 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 40
x
v
y
u
y
v
x
u
yx
y
x
∂
∂+∂
∂=γ
∂
∂=ε
∂
∂=ε
 (4.2) 
 
As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e z, e 
estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13). 
Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são 
determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina: 
{ }∑
=
γ+ε+ε=
n
1k
kxy
k
16y
k
12x
k
11x hQQQN (4.3) 
 
que de maneira mais compacta pode escrito: 
x 11 x 12 y 16 xyN A A A= ε + ε + γ (4.4) 
 
onde: 
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1k
k
k
1616
n
1k
k
k
1212
n
1k
k
k
1111
hQA
hQA
hQA
 (4.5) 
 
 De maneira análoga: 
y 21 x 22 y 26 xyN A A A= ε + ε + γ (4.6) 
 
com: 
∑
=
=
n
1k
k
k
j2j2 hQA (4.7) 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 41
xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8) 
 
com: 
∑
=
=
n
1k
k
k
j6j6 hQA (4.9) 
 
 Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos: 






γ
ε
ε








=






xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAA
AAA
AAA
N
N
N
 (4.10) 
 
com: 
∑
=
=
n
1k
k
k
ijij hQA (4.11) 
 
Observações: 
9 As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas. 
9 Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é 
simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção 
+θ e -θ) ou anti-simétrico. 
 
A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais 
(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo: 
h
N
h
N
h
N
xy
xy
y
y
x
x
=τ
=σ
=σ
 (4.12) 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 42
A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte 
forma: 






γ
ε
ε








=






τ
σ
σ
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAA
AAA
AAA
h
1 (4.13) 
 
 Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser 
apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em 
relação a espessura total. 
∑
=
=
n
1k
kk
ijij h
hQA
h
1 (4.14) 
 
Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes 
elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado: 






τ
σ
σ












µη
µν−
ην−
=






γ
ε
ε
xy
y
x
xyx
y
x
x
xy
xy
yx
xy
xy
xy
y
yx
x
xy
y
x
GEE
GEE
GEE
1
1
1
 (4.15) 
 
A partir destas constantes elásticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx, 
Ny e Nxy), é possível determinar as deformações. 
 
Exemplo 4.1 – Considere o laminadosimétrico e balanceado (+45°/-45°/-45°/+45°) em 
vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem 
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
 A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é 
da seguinte forma: 
[ ] MPa10
5,400
03,127,3
07,31,46
Q 3








= (4.16) 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 43
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema 
de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
[ ] MPa10
8,1246,846,8
46,80,219,11
46,89,119,20
Q 3450








=+ (4.17) 
 
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema 
de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
[ ] MPa10
8,1246,846,8
46,80,219,11
46,89,119,20
Q 3450








−−
−
−
=− (4.18) 
 
 A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é: 
[ ]
mm
N10
51,2500
091,4189,23
089,2387,41
A 3








= (4.19) 
 
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, 
eq. (4.13) é da seguinte forma: 






γ
ε
ε








=






τ
σ
σ
xy
y
x
xy
y
x
51,2500
091,4189,23
089,2387,41
2
1 (4.20) 
 
 Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas podem 
ser encontradas: 
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, 
Gxy =12,76 103 MPa 
 
e os termos de acoplamento são: 
ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 44
Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+45°/-45°/+45°/-45°) 
em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem 
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
 As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência são 
idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de comportamento em 
membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são idênticas, logo as 
constantes elásticas são também idênticas e são: 
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, 
Gxy =12,76 103 MPa 
e os termos de acoplamento são: 
ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0 
 
Observe que nestes dois exemplos anteriores, o laminado pode ser considerado 
quase isotrópico. 
 
Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(+30°/-45°/-60°/45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se 
cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 
4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq. 
(4.16). Para as lâminas orientadas à +45° e -45°, as matrizes constitutivas das lâminas 
no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), respectivamente. 
Para as lâminas orientadas à +30° e -60°, as matrizes constitutivas das lâminas no 
sistema de referência (x, y, z) são respectivamente: 
[ ] MPa10
7,1075,39,10
75,36,1488,9
9,1088,95,31
Q 3300








=+ (4.21) 
[ ] MPa10
7,109,1074,3
9,106,1488,9
74,388,96,14
Q 3600








−−
−
−
=− (4.22) 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 45
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, é 
da seguinte forma: 
MPa10
45,2357,358,3
57,351,3582,21
58,382,2194,43
2
1 3
xy
y
x
xy
y
x






γ
ε
ε








−
−=






τ
σ
σ
 (4.23)
 
 Logo, as constantes elásticas encontradas são: 
Ex = 15,19 103 MPa, Ey = 15,31 103 MPa, νxy = 0,5131, νyx = 0,5170, 
Gxy =10,94 103 MPa 
 
e os termos de acoplamento são: 
ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502 
 
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo 
 No estudo do comportamento em flexão dos materiais compostos é considerado 
um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As 
solicitações no laminado são denotadas Mx, My (momentos fletores por unidade de 
comprimento em torno dos eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores 
por unidade de comprimento), Figura 4.1. Os eixos x, y, e z são novamente eixos de 
referência. 
Os esforços Mx, My, Mxy e Myx são determinados da seguinte maneira: 
z)1.dz(MM
z)1.dz(M
z)1.dz(M
2/h
2/h
xyxyyx
2/h
2/h
yy
2/h
2/h
xx
∫
∫
∫
−
−
−
τ==
σ=
σ=
 (4.24) 
 
 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 46
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados (T.C.L.) 
 
Os deslocamentos nas direções x, y e z da superfície neutra são uo, vo e wo e 
são definidos como segue (ver Figura 4.1): 
o
o
o
o
o
ww
y
wzvv
x
wzuu
=
∂
∂−=
∂
∂−=
 (4.25) 
 
e as deformações normais e angulares são: 
sem carregamento
 h 
 z 
zk 
zk-1 
uo
wo
com carregamento 
x
w0
∂
∂
x
w0
∂
∂
y 
z
dx 
dy
 x Mx Mxy 
My 
Myx 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 47
0
0
yx
w2z
y
wz
x
wz
yz
xz
o
2
0
xyxy
2
o
2
0
yy
2
o
2
0
xx
=γ
=γ
∂∂
∂−γ=γ
∂
∂−ε=ε
∂
∂−ε=ε
 (4.26) 
 
As deformações ε0x, ε0y e γ0xy são deformações normais e angular da superfície 
neutra. As curvaturas são normalmente escritas da forma: 
2
o
x2
w
x
∂− = κ∂ , 
2
o
y2
w
y
∂− = κ∂ , 
2
o
xy
w2
x y
∂− = κ∂ ∂ , logo as deformações podem ser redefinidas como segue: 
xy
0
xyxy
y
0
yy
x
0
xx
z
z
z
κ+γ=γ
κ+ε=ε
κ+ε=ε
 (4.27) 
 
Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos 
de referência, os momentos são da forma: 
( )zkn k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
M Q Q Q z dz
= −
  = ε + ε + γ   
∑ ∫ (4.28) 
 
que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26): 
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫
= 




 κ+γ+κ+ε+κ+ε=
−
n
1k
z
z
xy
20
xy
k
16y
20
y
k
12x
20
x
k
11x dzzzQzzQzzQM
k
1k
 (4.29) 
 
Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ , se 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 48
anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com 
relação a superfície neutra, logo: 
( ) ( ) ( )∑
=
−−−


 κ−+κ−+κ−=
n
1k
xy
3
1k
3
kk
16y
3
1k
3
kk
12x
3
1k
3
kk
11x 3
zzQ
3
zzQ
3
zzQM (4.30) 
 
que, de forma mais compacta, pode ser colocado: 
x 11 x 12 y 16 xyM D D D= κ + κ + κ (4.31) 
 
com: 
( )3 3n k k 1k
1j 1j
k 1
z z
D Q
3
−
=
−= ∑ (4.32) 
 
 Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim, 
colocados em forma matricial, as expressões de momentos são: 
x 11 12 16 x
y 21 22 26 y
61 62 66xy xy
M D D D
M D D D
D D DM
   κ     = κ         κ    
 (4.33) 
 
com: 
( )3 3n k k 1k
ij ij
k 1
z z
D Q
3
−
=
−= ∑ (4.34) 
 
Observações: 
9 As expressões acimadependem da ordem de empilhamento das lâminas. 
9 Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado 
quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são 
termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente 
momentos de torção. 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 49
Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo 
membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos 
esforços de membrana: 
( )zkn k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
N Q Q Q dz
= −
  = ε + ε + γ   
∑ ∫ (4.35) 
( ) ( ) ( )zkn k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy
k 1 zk 1
N Q z Q z Q z dz
= −
   = ε + κ + ε + κ + γ + κ    
∑ ∫ (4.36) 
 
Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais 
do tipo ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , consideradas para as 
lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo: 
{ }∑
=
γ+ε+ε=
n
1k
k
0
xy
k
16
0
y
k
12
0
x
k
11x hQQQN (4.37) 
 
 Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam 
deformações de flexão. 
 De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ não 
se anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , assim, o comportamento global de um 
laminado é da forma: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
DB
BA
M
M
M
N
N
N
 (4.38) 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 50
onde os coeficientes da matriz [B] são da forma: 
( )∑
=
−−=
n
1k
2
1k
2
kk
ijij 2
zzQB (4.39) 
 
Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em 
vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as 
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq. 
(4.16). Para as lâminas orientadas à +30° e -30°, as matrizes constitutivas das lâminas 
no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e (4.22): 
A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq. (4.38) é 
da forma: 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5000
87,171,959,6000
45,559,697,20000
00039,2100
000012,2977,19
000077,1991,62
0M
0M
0M
0N
0N
1000N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














=
=
=
=
=
=
 (4.40) 
 
 As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o 
sistema dado pela eq. (4.40): 
ε0x = 0,202e-01, ε0y = -0,137E-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 
 
Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-
30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as 
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. 
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma: 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 51
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5087,145,5
87,171,959,687,100
45,559,697,2045,500
087,145,539,2100
87,100012,2977,19
45,500077,1991,62
0M
0M
0M
0N
0N
1000N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














=
=
=
=
=
=
 (4.41) 
 
Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são: 
ε0x = 0,213e-01, ε0y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = -0,127e-01 
 
Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine 
as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem espessura 0,5 mm. 
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é da 
forma: 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
82,705,384,452,035,222,1
05,384,1128,735,260,152,0
84,428,746,1722,152,063,2
52,035,222,139,2100
35,260,152,0051,3583,21
22,152.063,2083,2139,52
0M
0M
0M
0N
0N
1000N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












−−
−−−
−
−−
−−−
−
=














=
=
=
=
=
=
 (4.42) 
 
 Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são: 
ε0x = 0,265e-01, ε0y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = -0,360e-02, κy = 0,329e-02, 
κxy = -0,821e-02 
 
Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as 
curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido à uma força Nx (κx ≠ 0, κy 
≠ 0, κxy ≠ 0). 
 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 52
Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em 
vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as 
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada pela 
eq. (4.40). 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5000
87,171,959,6000
45,559,697,20000
00039,2100
000012,2977,19
000077,1991,62
0M
0M
1000M
0N
0N
0N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














=
=
=
=
=
=
 (4.43) 
 
Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas 
resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43): 
ε0x = 0,0 , ε0y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01 
 
Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-30°) 
em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as 
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma dada 
pela eq. (4.41): 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5087,145,5
87,171,959,687,100
45,559,697,2045,500
087,145,539,2100
87,100012,2977,19
45,500077,1991,62
0M
0M
1000M
0N
0N
0N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














=
=
=
=
=
=
 (4.44) 
 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 53
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as 
curvaturas são: 
ε0x = 0,0, ε0x = 0,0, γ0xy =-0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0 
 
Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido à um momento Mx = 1000 Nmmm/mm. 
Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 
0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é a 
mesma dada pela eq. (4.42): 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
82,705,384,452,035,222,1
05,384,1128,735,260,152,0
84,428,746,1722,152,063,2
52,035,222,139,2100
35,260,152,0051,3583,21
22,152.063,2083,2139,52
0M
0M
1000M
0N
0N
0N













κ
κ
κ
γ
ε
ε












−−
−−−
−
−−
−−−
−
=














=
=
=
=
=
=
 (4.45) 
 
 Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as 
curvaturas determinadas são: 
ε0x = -0,360e-02, ε0y = -0,106e-02, γ0xy = -0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01, 
κxy = -0,366e-01 
 
Conclusão: No comportamento em flexão do laminado, mesmo sendo este simétrico, os 
termos de acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado 
devido à um momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.2: 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 54
 
 
Figura 4.2 – Placas isotrópica e laminada submetidas à um momento fletor 
 
44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa 
 O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o efeito 
da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão, as 
tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira: 






γ
ε
ε








−






κ+γ
κ+ε
κ+ε








=






τ
σ
σ
txy
ty
tx
666261
262221
161211
xy
0
xy
y
0
y
x
0
x
666261
262221
161211
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
z
z
z
QQQ
QQQ
QQQ
 (4.46) 
 
 Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24) 
respectivamente, podem então ser obtidos como sendo: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]














−














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














txy
ty
tx
txy
ty
tx
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
N
N
N
DB
BA
M
M
M
N
N
N
 (4.47) 
 
onde: 
placa isotrópica placa laminada 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 55
{ }∑
=
γ+ε+ε=
n
1k
ktxy
k
16ty
k
12tx
k
11tx hQQQN (4.48) 
e: 
( )zkn k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t
k 1 zk 1
M Q Q Q z dz
= −
  = ε + ε + γ   
∑ ∫ (4.49) 
 
 Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia. 
 
Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (+45°/-30°/-30°/+45°) em 
kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e 
as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C 
oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 
2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1. 
 A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 
3), eq. (2.12), é da seguinte forma: 
[ ] MPa10
0,200
055,594,1
094,17,76
Q 3








= (4.50) 
 
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência 
(x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
[ ] MPa10
6,198,178,17
8,175,235,19
8,175,195,23
Q 3450








=+ (4.51) 
 
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência 
(x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
[ ] MPa10
2,1579,70,23
79,71,101,15
0,231,157,45
Q 3300








−−
−
−
=− (4.52) 
 Comportamento mecânico de placas laminadas 56
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados 
pela eq. (4.47), são da forma: 
0
xx
0
y y
0xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0
N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0
N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0
M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45
M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73
0 0 0 8,45 9,73 12,69M 0
 ε=  −     = ε     =  − γ  =   = κ      = κ    =    κ  
3 3
0,42
0,30
0,07
10 10
0
0
0
 −    −   −  −           
(4.53) 
 
 Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as 
curvaturas obtidas são: 
ε0x = -0,409e-02, ε0y = -0,416e-02, γ0xy = -0,139e-02, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0. 
 
Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-
45°/-30°/45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine 
as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de 
temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 
GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1. 
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 
3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no 
sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as lâminas orientadas à -
45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma: 
[ ] MPa10
6,198,178,17
8,175,235,19
8,175,195,23
Q 3450








−−
−
−
=− (4.54) 
 
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência 
(x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à +30°, a matriz 
constitutiva no sistema de referência é da forma: 
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 57
[ ] MPa10
2,1579,70,23
79,71,101,15
0,231,157,45
Q 3300








=+ (4.55) 
 
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados 
pela eq. (4.47), são da forma: 
x
y
xy
x
y
xy
N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62
N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00
N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10
M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20
M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40
2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 1M 0
=  − = − − −  = − −  = = −  = − −  − −=  
0
x
0
y
0
3 3xy
x
y
xy
0,42
0,30
0,00
10 10
0,003
0,028
1,59 0,034
 ε −       ε  −       γ   −     −κ          κ           κ 
 (4.56) 
 
 Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as 
curvaturas obtidas são: 
ε0x = -0,390e-02, ε0y = -0,445e-02, γ0xy = 0,931e-04, κx = -0,416e-03 , κy = -0,857e-04, 
κxy = 0,235e-02. 
 
Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não 
simétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critérios de ruptura 58 
55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA 
 Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistência 
mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material 
composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz, 
decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas), etc. 
 Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira: 
¾ critério de tensão máxima, 
¾ critério de deformação máxima, 
¾ critérios interativos ou critérios energéticos. 
 
55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa 
 O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina 
analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo 
submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o critério 
pode ser escrito da seguinte maneira: 
SS
YY
XX
12
t2c
t1c
<τ<−
<σ<
<σ<
 (5.1) 
 
onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento no 
plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção longitudinal 
em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências mecânicas na direção 
transversal em compressão e em tração e S representa a resistência mecânica ao 
cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido 
ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12. 
 Como