Aula 7 - maximos e minimos

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Como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de máximos e mínimos deuma
função de duas variáveis ?
Def. para todo em alguma bola aberta com centro em :
máximo local em e é o seu valor máximo local. Se
quando está próximo de , então f tem um mínimo local em e
( , ) ( , )≤f x y f a b ( , )x y ( , )a b
( , )f a b ( , ) ( , )≥f x y f a b( , )a b
( , )x y ( , )a b ( , )a b ( , )f a b
Máximos e Mínimos
é o seu valor mínimo local. Se estas inequações valerem para todos os pontos do domínio
de f, então f tem um máximo absoluto (global) (ou mínimo absoluto) em .( , )a b
Teorema: Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em e as derivadas
parciais de primeira ordem de f existirem nesses pontos, então
( , )a b
( , ) 0 e ( , ) 0.= =x yf a b f a b
Ponto crítico (a,b): ou se uma das derivadas parciais não
existir em (a,b).
( , ) 0 e ( , ) 0= =x yf a b f a b
Pelo teorema anterior, se f tem um máximo ou mínimo local em (a,b), então (a,b) é um ponto
crítico de f. Entretanto, nem todo ponto crítico corresponde a um máximo ou mínimo.
Ex1: (parabolóide elíptico com vértice (1,3,4))
Sol.:
2 2( , ) 2 6 14= + − − +f x y x y x y
Máximos e Mínimos
Sol.:
( ) ( )2 2( , ) 4 1 3 ; ( , ) 2 2 ( , ) 2 6= + − + − = − = −x yf x y x y f x y x f x y y
 0 e 0 quando 1 e 3.= = = =x yf f x y O único ponto crítico é (1,3). 
( ) ( )2 21 0 e 3 0 : ( , ) 4, ( , ) .− ≥ − ≥ ≥ ∀ ∈x y f x y x y domf
f(1,3) = 4 é um mínimo local e além disto um mínimo absoluto de f. 
Ex2: 
Sol.:
2 2( , ) = −f x y y x
 ( , ) 2 ( , ) 2= − =x yf x y x f x y y
 0 e 0 quando 0 e 0.= = = =x yf f x y O único ponto crítico é (0,0). 
Sobre o eixo y: x = 0; 
Sobre o eixo x: y = 0; 2( , ) 0 ( 0)= − < ≠f x y x x
2( , ) 0 ( 0)= > ≠f x y y y
Máximos e Mínimos
Sobre o eixo y: x = 0; ( , ) 0 ( 0)= > ≠f x y y y
Logo um disco em (0,0) contém pontos onde f tem valores positivos e pontos onde f tem
valores negativos. Logo, f(0,0) = 0 não pode ser um valor extremo e f não tem valor
extremo.
Ou seja, uma função pode não ter nem máximo nem mínimo em um ponto crítico.
é um parabolóide hiperbólico: (0,0) é chamado de ponto de sela de f.
2 2= −z y x
Teste da 2ª derivada: Suponha que as 2ª derivadas parciais de f sejam contínuas em uma
bola aberta com centro em (a,b) e suponha que
Seja
a) Se então f(a,b) é um mínimo local.
b) Se então f(a,b) é um máximo local.
( , ) 0 e ( , ) 0.= =x yf a b f a b
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . = = −  xx yy xyD D a b f a b f a b f a b
0 e ( , ) 0> >xxD f a b
0 e ( , ) 0xxD f a b> <
Máximos e Mínimos
c) Se então f(a,b) não é mínimo local nem máximo local.0 <D
OBS: 1) em c), o ponto (a,b) é chamado de ponto de sela.
2) Se D = 0, o teste não fornece informação.
3) ( )2det  = = − 
 
xx xy
xx yy
yx yy
f f
D f f fxy
f f
Ex3: 
Sol.:
4 4( , ) 4 1= + − +f x y x y xy
3 3 ( , ) 4 4 ( , ) 4 4= − = −x yf x y x y f x y y x
Pontos críticos: (0,0); (1,1); (-1,-1). D = ?
( )
( )( ) ( )( )( )
3 3 9 8
4 4 2 2 4
 0 4 4 0 e 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 0 ; 1 ; 1.
= ⇔ − = ⇔ = − = ⇔ − =
⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ = = = −
xf x y y x x x x x
x x x x x x x x x x
Máximos e Mínimos
Pontos críticos: (0,0); (1,1); (-1,-1). D = ?
D(0,0)= -16 < 0: (0,0) ponto de sela
D(1,1) = 128 > 0 e
D(-1,-1) = 128 > 0 e
(1,1) 12 0 e (1,1) 1= > = −xxf f
2
2 2
2
12 4
det 144 16
4 12
 −
= = − − 
x
D x y
y
( 1, 1) 12 0 e ( 1, 1) 1xxf f− − = > − − = −
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos (globais) de uma função contínua f
em um conjunto fechado e limitado D:
1) Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em D
2) Determinar os valores nas extremidades de f (na fronteira de D)
3) O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores
é o valor mínimo absoluto.
Máximos e Mínimos