Lista 01 - Álgebra II

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Lista 01 – Álgebra II (Prof. Dr. Caritá) 
1) Mostre que ℝ munido da operação ∗ definida por
𝑥 ∗ 𝑦 = √𝑥3 + 𝑦3
3
 
é um grupo abeliano. 
2) Mostre que ℚ∗ × ℚ munido da operação ∗ definida por
(𝑎, 𝑏) ∗ (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐, 𝑏𝑐 + 𝑑) 
é um grupo. 
3) Sejam (𝐺1, ⊥) e (𝐺2,⊡) dois grupos. No conjunto 𝐺1 × 𝐺2 defina a
operação
(𝑔1, 𝑔2) ∙ (𝑔1
′ , 𝑔2
′ ) = (𝑔1 ⊥ 𝑔1
′ , 𝑔2 ⊡ 𝑔2′) 
Mostre que 𝐺1 × 𝐺2 com a operação acima é um grupo. 
4) Suponha que em um grupo 𝐺 todo elemento é seu próprio
simétrico. Mostre que 𝐺 é abeliano.
5) Construa a tábua da operação ∗ sobre 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏} sabendo que
(𝐺,∗) é um grupo.
6) Seja 𝐺 um grupo um grupo abeliano. Mostre que (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛, 
para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 e 𝑛 ∈ ℕ.
7) Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 elementos de um grupo multiplicativo 𝐺.
a) Prove que (𝑎𝑏𝑐)−1 = 𝑐−1𝑏−1𝑎−1
b) Obtenha 𝑥 ∈ 𝐺 tal que 𝑎𝑏𝑐𝑥𝑏 = 𝑐
8) Considere
𝐻 = {(
1 𝑎
0 1
) ∶ 𝑎 ∈ ℝ} e 𝐾 = {(
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
) ∶ 𝜃 ∈ ℝ} 
a) Mostre que 𝐻 e 𝐾 são subgrupos do grupo multiplicativo das
matrizes 2 × 2 sobre ℝ invertíveis.
b) Algum deles é abeliano?
9) Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 < 𝐺. Seja 𝑥 ∈ 𝐺 fixado. Considere o 
conjunto 𝑥𝐻𝑥−1 o subconjunto de 𝐺 formado por todos os 
elementos 𝑥ℎ𝑥−1 com ℎ ∈ 𝐻. Mostre que 𝑥𝐻𝑥−1 < 𝐺. 
 
10) Prove que se 𝐻1 e 𝐻2 são subgrupos de um grupo 𝐺, então 
𝐻1 ∩ 𝐻2 também é subgrupo de 𝐺.