Questão resolvida - Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado por z 3y 2x x, (2, 1, 3) - Cálculo II - IFPA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine uma equação do plano tangente á superfície
 
z = 3y² − 2x² + x
 
 no ponto (2, −1, −3).
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a equação de modo que as variáveis fique em um dos membros da 
equação;
 
z = 3y² − 2x² + x 0 = 3y² − 2x² + x - z 3y² − 2x² + x - z = 0→ →
 
Agora, vamos criar a seguinte relação;
 
F x, y, z = 3y²− 2x² + x - z( )
 
Precisamos, agora, do gradiente , ou seja;F x, y, z( )
 
𝛻F x, y, z = F , F , F( ) ( x y z)
 
Onde: são as derivadas parciais da função em relação as respectivas variáveis, F , F e Fx y z
sendo assim;
 
F = - 2 ⋅ 2x + 1 = - 4x + 1, F = 3 ⋅ 2y = 6y e F = - 1x y z
Com isso, temos que;
 
𝛻F x, y, z = -4x + 1, 6y, -1( ) ( )
 
No ponto o gradiente é;P 2, −1, −3( )
 
𝛻F 2,−1,−3 = -4 ⋅ 2 + 1, 6 ⋅ -1 , - 1 𝛻F 2,−1,−3 = -7, -6, -1( ) ( ( ) ( ) ) → ( ) ( )
 
 
O gradiente representa o vetor normal ao plano tangente à supefície;
 
Vamos criar um vetor qualquer, ortogonal ao vetor normal, para chegarmos na equação PQ
do plano tangente à superficie;
 
 = Q-P = x - 2, y - -1 , z - -3 = x - 2, y + 1, z + 3PQ ( ( ) ( )) ( )
 
A equação do plano, tangente a uma superfície, é dada pelo produto escalar entre o vetor 
normal e um vetor ortogonal quaquel, ou seja;
 
⋅ = 0N PQ
 
Perceba que, como os vetores são ortogonais, o escalar é igual a zero. Dessa forma, temos 
que o plano tagente à superfície em questão é;
 
-7, -6, -1 ⋅ x - 2, y + 1, z + 3 = 0( ) ( )
Resolvendo, encontramos a equação do plano tangente à supefície;
 
-7 x - 2 + -6 y + 1 + -1 z + 3 = 0 -7x + 7 - 6y - 6 - z - 3 = 0( ) ( )( ) ( )( ) → →
 
-7x - 6y - z + 4 = 0 × -1( ) ( )
 
 7x+ 6y+ z- 4 = 0
 
 
= -7, -6, -1N ( )
P 2,−1,−3( )Q x, y, z( )
Plano tangente
à superfície
(Resposta )