Aula_4 1_-_Estrutura_dos_slidos_cristalinos_2022

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Aula 4.1
Estrutura Cristalina 2ºQ - 2014
ESTO006-17
Materiais e suas propriedades
Profa. Dra. Vânia Trombini Hernandes - Sala 711-1
E-mail: vtrombini@ufabc.edu.br
Quando estiver lidando com materiais cristalinos, às vezes se torna
necessário especificar algum plano cristalográfico de átomos ou uma
direção cristalográfica.
Foram estabelecidas convenções de nomenclatura onde 3 números inteiros ou índices são
usados para designar direções e planos. A base para determinar valores dos índices é a
célula unitária, com um sistema de coordenadas consistindo de 3 eixos (x, y e z) situados
num dos cantos e coincidindo com as arestas da célula unitária
Coordenadas em Células Unitárias
❖ As direções cristalográficas são usadas para indicar uma orientação específica em um cristal
simples ou em um material policristalino.
❖ O conhecimento de como descrever as direções cristalográficas é de grande utilização em
muitas aplicações.
❖ Os metais, por exemplo, deformam mais facilmente nas direções ao longo das quais os
átomos estão em contato mais próximo (direções mais compactas).
❖ A notação usada para descrever essas direções é denominada índices de Miller.
❖ No sistema cúbico, as direções cristalográficas são obtidas a partir de seus componentes
relativos aos três eixos cartesianos.
Coordenadas em Células Unitárias
Coordenadas em Células Unitárias
Indicação de direções e planos envolve o estabelecimento de posições no cristal, e das suas 
coordenadas. 
Sistemas Cúbicos 
Coordenadas em Células Unitárias
❖ A geometria é definida em termos de seis parâmetros: Os
comprimentos das três arestas do paralelepípedo (a, b e c); e os
três ângulos entre as arestas ( α, β e ).
Esses parâmetros são chamados:
parâmetros de rede
Para sistema cúbico a=b=c e α= β =  = 900 possui o maior grau de
simetria.
O sistema cristalino está baseado na geometria da célula unitária, na forma do paralelepípedo. 
Cada eixo tem um comprimento que 
é medido pela aresta do cubo
Coordenadas de pontos
Sistema Cúbico de 
corpo centrado
Principais posições 
(000) e (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
)
Indicação de direções e planos envolve o estabelecimento de posições no cristal, e das suas 
coordenadas. 
a) Eixos ortogonais x, y, z utilizados para localizar as posições dos átomos nas células unitárias 
cúbicas. (b) Posições atômicas na célula unitária CCC.
Sistemas Cúbicos
Coordenadas de pontos
Determine as posições atômicas dos átomos da estrutura CFC.
Exercício para entrega: dia 08/03
Direções Cristalográficas
❖Direção entre colchetes [ ] sem virgula.
✓Para determinar os índices da direção considera a
projeção que ela faz sobre cada eixo.
✓Sempre a base no vetor vai estar na origem ou
transladada.
✓Direção menores números inteiros se tiver fração usa a
multiplicação.
Definição: vetor entre dois pontos na célula unitária.
Direções Cristalográficas
Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre 2 pontos, ou um vetor. 
As seguintes etapas são utilizadas na determinação dos 3 índices direcionais:
Direções Cristalográficas
✓ Transladar “vetor direção” de maneira que ele passe pela Origen do sistema de coordenadas.
✓ Determinar o comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos de coordenadas;
estes comprimentos são medidos em temos das dimensões da célula unitária a, b e c.
✓Multiplicar ou divididir esses 3 números por um fator comum, para reduzi-los aos menores
valores inteiros;
✓ Representar a direção escrevendo os 3 números entre colchetes: [u v w], não separados por
vírgulas.
✓ Os índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos
Direções Cristalográficas
O vetor, representado passa através da origem do
sistema de coordenadas, portanto não é necessário
qualquer translação.
As projeções sobre os eixos x,y,e,z, são respectivamente
a/2, b, 0c
Determinar os índices para a direção indicada na figura abaixo
(b) 
Direções Cristalográficas
A determinação dos índices da direção pode ser feita considerando os acréscimos entre a 
posição inicial e final. Exemplificando:
Pi
Pf
O
Pi
Pf
O
Direções Cristalográficas para direções negativas
Direções Cristalográficas
O
Direções negativas
Direções Cristalográficas
Ex: Desenhe os seguintes vetores-direção, em célula unitária cúbica:
Direções Cristalográficas
1 - Desenhe os seguintes vetores-direção, 
em célula unitária cúbica:
a) [100]
b) [112]
c) [110]
d) [321]
Direções Cristalográficas
Exercício para entrega: dia 08/03
2 - Determine os índices da direção da 
célula cúbica ao lado 
FAMÍLIA DE DIREÇÕES
Direções Cristalográficas
A simetria desta estrutura permite que as
direções equivalentes sejam agrupadas para
formar uma família de direções:
➢ <111> para as faces
➢ <110> para as diagonais das faces
➢ <100> para a diagonal do cubo
Conjunto de direções equivalentes, ou seja,
conjunto de direções que possuem o mesmo
espaçamento atômico. São representadas
por u v w
✓ No sistema CCC os átomos se tocam ao
longo da diagonal do cubo, que corresponde
a família de direções <111>.
✓ Então, a direção <111> é a de maior
empacotamento atômico para o sistema
CCC.
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
Direções Cristalográficas
✓ No sistema CFC os átomos se tocam ao
longo da diagonal da face, que
corresponde a família de direções <110>.
✓ Então, a direção <110> é a de maior
empacotamento atômico para o sistema
CFC.
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
➢ Baseados num sistema de coordenadas de três eixos, especificados pelos índices de Miller
(hkl).
➢ Planos paralelos são equivalentes e têm índices idênticos.
➢ Os pontos onde o plano cristalográfico (ou um outro paralelo) interceptam cada um dos três
eixos é determinado em termos de parâmetro de rede a, b e c.
➢ Os inversos destes números são obtidos.
➢ Se necessário, estes três números são modificados para os menores inteiros pela multiplicação
ou divisão por um fator comum.
➢ Os índices inteiros, não separados por vírgulas, dentro de parêntesis, representam o plano
cristalográfico: (hkl).
Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos
✓ Os índices de Miller de um plano cristalográfico são definidos
como os inversos das coordenadas de interceptação do plano
com os eixos cristalográficos x, y e z;
✓ As arestas da célula unitária representam comprimentos
unitários; e as interseções do plano são medidas em termos
destes comprimentos unitários.
Determinação dos índices de Miller de um plano cristalográfico:
✓ Para identificar planos cristalinos cúbicos, o sistema de notação de índices de Miller
deve ser utilizado;
Procedimento para determinar os índices de Miller de um plano num cristal
cúbico
1. Plano a ser determinado não pode passar pela origem origem (0,0,0); Se o plano passar pela
origem, transladar o plano para uma nova posição no sistema de coordenadas.
2. Planos paralelos são equivalentes;
3. Obtenção dos pontos de interceptação do plano com os eixos x, y e z;
4. Obtenção dos inversos das interceptações: h=1/a, k=1/b e l=1/c;
5. Obtenção do menor conjunto de números inteiros; índices obtidos devem ser apresentados
entre parênteses: (h k l).
Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos
❖ Se o plano passa pela origem selecionada, um outro plano
paralelo deve ser construído no interior da célula unitária
mediante uma translação apropriada ou uma nova origem
deve ser estabelecida no vértice de uma outra célula unitária.
❖ Feito isso, o plano cristalográfico ou interceptará cada um dos
três eixos ou será paralelo a algum dos eixos; o comprimento
da intersecção do plano com cada eixo é determinado em
termos dos parâmetros de rede a, b e c.
Planos Cristalográficos
❖ Os valores inversos desses números são calculados. Um plano que é
paralelo a um eixo pode ser considerado como tendo uma
intersecção no infinito e, portanto, um índice igual a zero.
❖ Se necessário, esses três números são modificados para o conjunto
de menores números inteiros pela multiplicação ou divisãopor um
fator comum.
❖ Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas, são
colocados entre parênteses, obtendo-se (h k l), os chamados índices
de Miller do plano.
Os planos são representados como sendo 1/h, 1/k e 1/l, ou o inverso dos índices de cada eixo.
Planos Cristalográficos
Cristalograficamente equivalentes; ou seja, planos com o mesmo empacotamento atômico.
As famílias de planos são representadas por {h k l}.
Exemplo, para o sistema cristalino cúbico, a família {111} é composta pelos planos:
Família de Planos: conjunto de planos 
Planos Cristalográficos
Família de Planos: conjunto de planos 
Planos Cristalográficos
(0 1 1)
EXEMPLOS
(2 0 1)
Planos Cristalográficos
Determinar os índices de Miller para o plano mostrado na figura (a).
Construir um plano (011) no interior de uma célula unitária cúbica.
Planos Cristalográficos
_
Sistemas Cúbicos
Planos Cristalográficos
Na Figura, estão representados 3 dos mais importantes planos cristalográficos em estruturas
cristalinas cúbicas.
Índices de Miller de alguns planos importantes, em cristais cúbicos: (a) (100), (b) (110) e (c) (111). 
intercepta os eixos x, y e z
às distâncias 1, ,, 
respectivamente.
As interseções deste 
plano são 1, 1, 
As interseções do plano (Figura c) 
são 1, 1, 1, obtendo-se para os 
índices de Miller deste plano (111).
Planos Cristalográficos
Desenhe os seguintes planos cristalográficos de células unitárias cúbicas: 
a) (101) 
b) (101)
c) (221) 
(a) Em primeiro lugar, determinam-se os inversos dos
índices de Miller do plano (101). Obtém-se 1, ∞, 1.
O plano (101) tem de (interceptar) os eixos do cubo
unitário às distâncias x=1 e z =1 e ser paralelo ao eixo y.
Planos Cristalográficos
Fazer o b e c para entregar dia: 08/03
Coordenadas Sistemas Hexagonais
][]'''[ uvtwwvu →
( )''2
3
1
vuu −=
( )''2
3
1
uvv −=
( )vut +−=
'ww =
Planos Cristalográficos
❖ Os 3 eixos a1 , a2 e a3 estão todos contidos
dentro de um único plano (chamado plano
basal) e em ângulos de 120o entre si.
❖ O eixo z é perpendicular a este plano basal.
Índices direcionais, que são obtidos como
descritos abaixo, serão denotados por 4
índices, na forma [uvtw].
❖ Por convenção, os 3 primeiros índices
pertencem às projeções ao longo dos
respectivos eixos a1 , a2 e a3 no plano basal.
A conversão a partir do sistema de 3 índices 
para o sistema de 4 índices
Planos Sistemas Hexagonais
( )hkil ( )khi +−=
Planos Cristalográficos
Como o sistema hexagonal pode ser mais convenientemente descrito por 4 eixos, como na figura
abaixo, é definido um conjunto de índices Miller-Bravais (h k i l).
❖ Desde que somente 3 eixos são necessários para definir a geometria tridimensional de um
cristal, um dos inteiros no sistema Miller-Bravais é redundante.
❖ Desde que um plano passe por quaisquer dos dois eixos do plano basal da célula unitária
também passa pelo terceiro eixo, pode-se mostrar que h + k = -i
❖ Isto também permite que qualquer plano no sistema hexagonal possa ser representado pelos
índices de Miller-Bravais (h k i l) ou pelos índices de Miller (h k l)
Sistemas Hexagonais
Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos em Metais: 
Sistema Hexagonal 
Planos Cristalográficos
A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenha o mesmo arranjo e densidade;
Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos:
Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior densidade
atômica
CCC
Família de planos {110}:
maior densidade atômica
CFC
Família de planos {111}:
maior densidade atômica
Arranjos atômicos
Arranjos atômicos
CFC
CCC
É possível notar que o 
empacotamento atômico 
é diferente.
Densidade Linear 
DL = 
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐
A densidade linear é definida como o número de átomos por unidade de comprimento
cujos centros estão sobre o vetor direção para uma direção cristalográfica específica.
(a) Célula unitária CFC representada por esferas reduzidas com indicação da direção [110] (b) plano da 
face inferior da célula 
Calcule a densidade atômica linear DL na direção [110] da rede cristalina do cobre, em átomos 
por mm. O cobre é CFC e o parâmetro de rede é a=0,361 nm.
O número de diâmetros atômicos intersectados 
por este comprimento é ½ + 1 + ½ = 2 átomos 
centrados no vetor direção.
Densidade Linear - Exemplo 
A densidade atômica linear é 
a=0,361 nm
DP= 
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔 𝒏𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐
Densidade Planar 
A densidade planar é definida como o número de átomos por unidade de área que estão
contidos em um plano cristalográfica específico.
(a) Célula unitária CCC com as posições atômicas,indicado pelo sombreado do plano(110);
(b) Áreas dos átomos cortados pelo plano (110) em uma célula unitária.
Assim, a densidade atômica planar é:
Densidade Planar - Exemplo 
Calcule a densidade atômica planar DP, em átomos por milímetro quadrado, no plano (110) do 
ferro-α, cuja rede é CCC. O parâmetro de rede do ferro-α é a= 0,287 nm.
1 átomo no centro + 4 x ¼ átomos nos 
quatro vértices do plano = 2 átomos 
A área do plano (110) é
dhkl= distancia entre dois planos de índice de Miller
a = Parâmetro de rede
h,k,l índices de Miller dos planos cristalográficos
No sistema cúbico, a distância entre dois planos
de átomos, paralelos e sucessivos, com os
mesmos índices de Miller, é denominada
espaçamento interplanar (dhkl), e sua equação
geral é dada por:
Metais cúbicos:
Planos Cristalográficos
Espaçamento Interplanares 
Metais hexagonais: 
Estruturas Compactas 
Fração de um plano 
compacto de átomos com 
as posições A, B e C 
indicadas
Sequência de 
empilhamento AB para 
planos compactos de 
átomos
Empilhamento HC
Estruturas Compactas 
Empilhamento CFC
Sabe-se que o ouro (Au) tem um estrutura cristalina CFC, massa 197,0 g e raio atômico é 1,44 Å. 
Calcule:
(a) o parâmetro de rede da célula unitária (ao);
(b) a densidade teórica do ouro;
(c) o fator de empacotamento atômico da estrutura cristalina;
(d) a densidade atômica linear na direção [110];
(e) a densidade atômica planar no plano (100);
(f) o espaçamento entre os planos cristalinos (200);
Exercícios 
Exercícios 
O titânio apresenta uma transformação alotrópica a 880°C. Durante o resfriamento o metal muda 
de uma estrutura CCC (ao = 3,32Å) para uma outra HC (ao = 3,32Å; c = 4,683Å). Calcule a variação de 
volume durante esta transformação, em cm3 por grama de titânio. Massa atômica: 47,9