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PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 1- PROGRESSÃO ARITMÉTICA
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 1- Progressão Aritmética
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Conteúdo Programático desta aula
	Nesta aula você irá:
Identificar uma sequência numérica e suas características básicas.
Reconhecer uma Progressão Aritmética e seus principais elementos.
Relacionar os elementos de sua PA
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Denominamos sequência ou sucessão numérica, qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. 
Exemplo. O conjunto ordenado 
A = ( 7, 10, 13, 16, 19, ... , 40)
é uma sequência cujo primeiro termo da ordenação é 7, o segundo termo é 10, o terceiro termo é 13 e assim sucessivamente.
Sequência ou Sucessão 
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Todas as sequências ou sucessões podem ser finitas ou infinitas e estas características são denominadas PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA).
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)
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Progressão aritmética ( P.A.) 
 Progressão aritmética é a sequência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão. 
Notação: 
Considere a P.A. ( a1, a2, a3, a4, ...., an), onde:
a1= primeiro termo 
an = último termo, termo geral ou nésimo termo 
n = número de termos (se for uma PA finita) 
r = razão
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Exemplo da notação
	
	Exemplo: Seja PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) 
 onde a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25.
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Quanto ao número de termos: 
 
(5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PA de n.° de termos finito é limitada. 
(12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2. Toda PA de n.° de termos infinito é ilimitada. 
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Classificação quanto á razão
Quanto à razão: 
 (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva (r > 0) é crescente. 
 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3. Toda PA de razão negativa (r < 0) é decrescente. 
(2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0. Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ou estacionária. 
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Exemplo
PA (2, 5, 8, 11) => r = 3 > 0 crescente
PA (9, 7, 5, 3) => r = - 2 < 0 negativo
PA (5, 5, 5, 5) => r = 0 constante 
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Propriedades: 
Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. 
 Ex: Consideremos a PA (2,4, 8, 12, 16, 20). Note que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:
2+8/2=4,... 12+20/2 =16
 Portanto, dada uma PA (a1, a2, a3) a propriedade: 
 a2= a1+ a3 / 2
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Propriedades
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PA de três termos
Para a resolução de alguns problemas (relacionados a soma ou produto dos termos da PA) podemos escrever uma PA na seguinte forma: (x, x+r,x+2r) ou (x-r ,x, x+r).
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Exercício
Escreva a PA crescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8.
 Resolução: Temos que a soma dos termos da PA podem ser escritos da forma:
 x-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 
Agora, temos que o produto dos termos é dado da forma: 
 (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = r2 r2 = 9
Logo, r = +3 ou -3 => Uma vez que a PA é crescente temos que r = 3. 
Portanto a PA gerada é (-2,1,4).
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Propriedade - Termos Equidistantes
A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos. 
Considere a PA (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25).
 7 e 22 ;10 e 19 ; 13 e 16 são os termos equidistantes dos extremos 4 e 25.
Então: 7+ 22= 29 ; 10+ 9= 29 ;13+ 16 =29 e 4 + 25 = 29
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Razão
 Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an).
Portanto, o termo geral será: 
Através da definição de PA, podemos escrevê-la da seguinte forma:
a2 = a1 + 1.r  a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r  a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Logo, podemos visualizar a PA como 
 PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)
 ou  PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r)
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Termo geral de uma PA
 
 Portanto, o termo geral de uma PA pode ser escrito:
 
		an = a1 + (n-1)r
 
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Exemplo
Para determinarmos o quarto termo da PA (5, 12, 19,...), identificamos :
a1=5 a2=12 Assim sendo, r = a2 - a1 = 12 – 5 = 7
Logo, teremos:
 a4 = a1 + r + r + r 
=> a4 = a1 + 3r 
=> a4 = 5 + 3.7 
=> a4 = 5+ 21 
Portanto a4 = 26. 
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Soma dos Termos de uma PA finita
Para calcular a soma dos n termos de uma PA, precisamos apenas somar o primeiro com o último termo e observar que esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos concluir que a fórmula para a soma de n termos de uma PA, pode ser escrita como:
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Exemplo: 
Considere a PA ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) de razão r = 2. 
 Vamos supor o cálculo da soma dos 10 termos desta. 
Simplificadamente, poderíamos calcular esta soma de termos 
 
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.
 
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Exemplo
Contudo se esta soma possuísse 10000 termos? Com certeza é necessário uma forma mais objetiva para este tipo de soma. Assim sendo, vejamos primeiramente a seguinte situação: 
a1+a10 = 2 + 20 = 22 
a2+a9 = 4 + 18 = 22 
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22 
a5+a6 = 10 + 12 = 22
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Solução
Observe, que a soma dos termos equidistantes é constante, ou seja, sempre igual a 22, sendo evidenciado exatamente 5 vezes.
 
 Portanto, precisamos apenas fazer apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos a soma dos 10 termos desta PA: S10 = 110.
 
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Exemplo
 Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, 10,...).
 Resolução: Temos que:
 a1 = 2
 r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
 Para calcular a soma dos termos precisamos determinar o a50. Assim sendo:
 a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198
 Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma PA, temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000
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Soma dos termos de uma PA
Considere a PA ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) de razão r = 2. 
 
Vamos supor o cálculo da soma dos 10 termos desta. 
 Simplificadamente, poderíamos calcular esta soma de termos da
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.
 
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Exercício
(FGV) Verifique se 31/20 é termo da sucessão. 
a 1+3n n = ––2–––– n
décimo termo; b) quarto termo; c) sexto termo;
d) oitavo termo; e) n.d.a.
Solução:
a 1+3n 31 n = ––2–––– e an = ––– n 20
–3–1– = 1––+–3–n– e ⇒ 6220 2 n = 20 + 60n n
2n = 20 ⇒ n = 10 (n ∈ IN)
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Relacionou os elementos de uma PA
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