PROVA A5 CÁLCULO APLICADO _ UMA VARIÁVEL

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Pergunta 1
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte
forma:   funções contínuas não deriváveis,  funções contínuas, que
só admitem até 1ª derivada,   funções contínuas, que só admitem até 2ª
derivada e assim sucessivamente até a função de classe  .
Toda função polinomial racional é uma função de classe  , ou seja
admite as derivadas de todas as ordens. 
 LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
 Nesse contexto, encontre a derivada da função  , sabendo que 
 , e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido
para  .
Resposta correta. A derivada correta é igual a  .
Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a
primeira derivada, que é igual a:  . Daí,
deriva-se novamente para obter a segunda derivada, aplicando
novamente a regra do quociente. Portanto, temos:  
   
Pergunta 2
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Um homem, está andando numa rua horizontal, e para a uma distância x
de um poste de 12 metros de altura. Nesse momento ele olha para um
passáro que se encontra no topo do poste sob um ângulo de 30º. 
Considerando que a distância do chão até os olhos do homem é de 1,50
metros, encontre a distância x, aproximada por uma casa decimal e em
seguida assinale o valor encontrado (considere: tg30º =0,58) .
18,1 m
18,1 m
Resposta correta. Justifica-se através dos cálculos: Faça a figura
do triângulo retângulo, em que o cateto oposto ao ângulo de 30
graus mede 12,00-1,50=10,50 m, correspondente à altura da
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
torre menos a altura do chão até os olhos do homem, e x
(distância entre o observador e a torre, o cateto adjacente.
Portanto: 
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário da
resposta:
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos
inicialmente localizá-lo no círculo trigonométrico, e quando este ângulo
não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu
rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal
que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando
o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine o valor de 
 
 
 
 
 
Fonte: elaborada pela autora
 O valor encontrado é:
Resposta correta. 
Pergunta 4
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos
resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do
limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
derivadas das funções elementares para derivar funções com maior
facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere 
  e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 I. ( ) Se  , então  .
 II. ( ) Se  , então  
 III. ( ) Se  , então  .
 IV. ( ) Se   então  .
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se  ,
então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa,
visto que se  , então  , pois a derivada de uma
constante é igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se 
, então  , como consta na tabela de
derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se
então  . Verifique que
a função   é uma função composta e, portanto, através da
regra da cadeia 
Pergunta 5
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
A regra de L’Hospital é usada para resolver limites com a utilização da
função derivada. Inicialmente, deve-se substituir a tendência do limite na
variável x, para avaliar possivelmente o tipo de indeterminação. No caso
de indeterminação 0/0, é possível utilizar a regra de L’Hospital
diretamente. Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o valor do
limite:  .
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois ao
substituir a tendência do limite na variável x, constatou-se que a
indeterminação é do tipo 0/0. Derivando-se ambos os termos da
função polinomial racional (regra de L’Hospital) e resolvendo o
0 em 1 pontos
limite obteve-se o resultado de 11/4. Verifique os cálculos a
seguir:  
    
 
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo
integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da
área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região
limitada simultaneamente pelas curvas  e  . Nesse
sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da
figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
 
 Figura 4.1 - Região limitada pelas funções  e   
 
 
    
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
   
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar
a área proposta, resolvemos a integral
, pois, de   a  ,
a função   limita superiormente e, de   a  , a  função 
 limita superiormente. A região é limitada
1 em 1 pontos
simultaneamente por ambas as funções. Portanto: 
Pergunta 7
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada,
respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo
a condição para que a derivada de uma função exista num ponto  : as
derivadas laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda, 
 , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função
contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema
que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x)
a seguir, definida por várias sentenças:
 FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
  
 
 
 Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
 I. ( ) A função   é derivável em  .
 II. ( ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são: 
 .
 III. ( ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em 
 .
 IV. ( ) A função   é derivável em  , porque   é contínua em  . 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que    é derivável
em , logo,  . De fato:
 
 
. 
 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de  existe, pois
1 em 1 pontos
, pois,  . De fato:
 
. 
 
A afirmativa III é verdadeira, dado que   não é derivável em  ,
porque   não é contínua em  . De fato,   ,
portanto, f não é derivável em x=2. 
  
 
 
 
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que   é derivável em 
 porque   é contínua em  . O fato de uma função ser
contínua não garante a sua derivabilidade.
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Numa fazenda, deseja-se cercar uma região para dividir o pasto em
duas partes. Os dois pastos são retangulares e possuem um lado em
comum. Considere que as dimensões dos pastos são denominadas de a
e b, de forma que o lado a seja comum a ambos. Determine as
dimensões a e b, de forma que cada pasto fique com   de área, tal
que o comprimento da cerca seja mínimo. Ou seja, de forma que o
fazendeiro gaste o mínimo possível. 
 
 Assinale o valor encontrado, para as dimensões solicitadas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a área de um
pasto é dada por  . Por outro lado, temos: 
   .
Pergunta 9
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária
do movimento   em metros,   em segundos, velocidade instantânea   e
aceleração  . Conhecendo-se a função velocidade, é possível
determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio
do cálculo diferencial e integral. Nesse contexto, considere a função 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:Comentário
da resposta:
  e seu gráfico como suporte (figura a seguir) e analise as
afirmativas a seguir.
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. Sabendo que   e   quando  , a equação de s em função
do tempo  é dada por  .
 
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo   e  ,
se, para  , é igual a integral  
 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial  é igual a 
 . 
 .IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento
entre os instantes   e  , em que  .
 
 É correto o que se afirma em: 
   
II, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é
verdadeira, uma vez que, por mudança de variável, fazendo
, temos:     
, substituindo   ,  .
A alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado por
É fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função
velocidade . Por fim,
a alternativa é verdadeira, pois o deslocamento quando a
função é toda positiva e a posição inicial é igual a zero, coincide
com a distância percorrida.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:  
Em relação ao estudo de máximo e mínimos de funções, pontos críticos,
pontos de inflexão e de assíntotas é necessário utilizar como ferramenta
a primeira e a segunda derivada da função. Nesse contexto, considere a
função  , em que  e  e analise o gráfico da 
 , na Figura a seguir. 
 
  
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 Após levantamento dos dados e análise gráfica, avalie as alternativas a
seguir. 
 
 I.  possui valor mínimo local em  .
 II. Existe ponto de inflexão em  .
 III. Existe assíntota vertical em  porque  .
 IV. Existe assíntota vertical em  porque  . 
 
 É correto o que se afirma apenas em:
   
I e IV apenas.
1 em 1 pontos
Sábado, 17 de Abril de 2021 09h45min31s BRT
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
I e IV apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é
verdadeira, porque    e  .  A alternativa II  é
falsa, porque  . A alternativa III  é falsa, porque existe
assíntota vertical em  porque  E por fim, a
alternativa IV é verdadeira, porque existe assíntota vertical em 
porque .