Apresentação de Eletromagnetismo

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Eletromagnetismo
Prof. Marcelo Campos de Oliveira Gonçalves
 marcelo.campos@uninove.br
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Bibliografia Básica
HAYT JR, H. M.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: 7ª Ed. McGraw Hill, 2008.
MARIANO, W. C. Eletromagnetismo: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: Érica, 2003.
NUSSENZVEIG, H. MOISES. Curso de Física. Eletromagnetismo. V. 3. Edgard Blücher, 1997.
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Bibliografia Complementar
FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 1. Edgard Blücher, 1979.
FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 2. Edgard Blücher, 1979.
KRANE, KENNETH S.; RESNICK, ROBERT; HALLIDAY, DAVID. Física. V. 4. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
SIMONE, G. A. Máquinas de Indução Trifásicas: Teoria e Exercícios. São Paulo: Érica, 2000.
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Aula 01
Análise Vetorial
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Escalares e Vetores
O termo escalar refere-se a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único número.
Exemplos: distância, tempo, temperatura, massa, densidade, volume, resistividade, pressão.
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Escalares e Vetores
Uma grandeza vetorial tem um módulo (intensidade), uma direção e um sentido no espaço. Os espaços mais discutidos serão os bi e tridimensionais, porém um vetor pode ser definido em espaços n-dimensionais.
Exemplos: força, velocidade e aceleração.
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Escalares e Vetores
O módulo, a direção e o sentido de um vetor são apresentados abaixo:
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P(7,4)
Componente de P no eixo x: Px
Componente de P no eixo y: Py
O sentido do vetor P é indicado pela seta, e vai do ponto (0,0) ao ponto (7,4). O módulo deste vetor é dado por 
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Campo Vetorial e Escalar
Se a cada ponto K de uma região for associado um vetor que tem ponto inicial, então a coleção destes vetores constitui um campo vetorial.
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A cada ponto da roda corresponde um vetor velocidade. Um campo vetorial deste tipo é um campo de velocidade.
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Campo Vetorial e Escalar
Se a cada ponto K de uma região for atribuída uma quantidade escalar, então a coleção destes pontos constitui um campo escalar.
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Temperatura  é um exemplo de um campo escalar. Em cada ponto (x, y, z) do espaço está associado um número.
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Álgebra Vetorial
A adição vetorial segue a regra do paralelogramo:
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Adição
Esta análise pode ser facilmente estendida a três ou mais vetores.
É possível verificar que A + B = B + A, ou seja, a adição vetorial obedece à lei comutativa.
A adição vetorial também obedece à lei associativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
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Álgebra Vetorial
Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A + B.
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Adição
A + B = (3 + 1)ax + (5 + 2)ay + (2 + 2)az
A + B = 4ax + 7ay + 4az
Resposta:
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Álgebra Vetorial
Segue facilmente a regra da adição, pois podemos expressar A – B como A + (-B): o sinal e o sentido do vetor B são invertidos, sendo este valor então adicionado ao primeiro pela regra da adição vetorial.
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Subtração
Exercício: 
Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A - B.
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Álgebra Vetorial
Neste tipo de multiplicação, o módulo do vetor varia, embora o sentido varie apenas se o escalar for negativo.
A multiplicação d um vetor por um escalar também obedece às leis associativa e distributiva:
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Multiplicação por escalar
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB
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Álgebra Vetorial
A divisão de um vetor por um escalar é simplesmente feita a partir da multiplicação pelo inverso do escalar:
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Divisão por escalar
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Álgebra Vetorial
A definição do produto escalar, que é expresso por A • B é:
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Produto Escalar
A • B = AxBx + AyBy + AzBz
O produto escalar também é definido como o produto do módulo de A pelo módulo de B e pelo co-seno do menor ângulo entre os dois.
A • B = 0
A • B = |A||B| cosθAB
Se A e B forem perpendiculares um ao outro, então:
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Álgebra Vetorial
Dados dois vetores A e B, definiremos o produto vetorial de A por B, como A X B e lido “A vetorial B”.
O resultado do produto vetorial é um vetor. 
O módulo de A X B é igual ao produto dos módulos de A e B e o seno do menor ângulo entre A e B.
A direção de A X B é perpendicular ao plano que contém A e B.
Em forma de equação, podemos escrever:
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Produto Vetorial
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Álgebra Vetorial
O produto vetorial não é comutativo, pois
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Produto Vetorial
B X A = - (A X B)
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Álgebra Vetorial
O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho que o cálculo do produto escalar, pois precisamos não somente encontrar o ângulo entre os vetores, mas também encontrar a expressão para o vetor unitário aN.
Este trabalho pode ser evitado se A X B for escrito em forma de determinante:
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Produto Vetorial
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Álgebra Vetorial
Assim, se A = 2ax -3ay +az e B = -4ax -2ay +5az, temos
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Produto Vetorial
Exercício
Se F = -45i + 70j + 25k e G = 4i – 3j + 2k, determine:
F X G.
O vetor unitário na direção de F X G.
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Exercícios
Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D, são:
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A = i + j + k
B = 2i + 3j
C = 3i + 5j – 2k
D = k - j
Demonstre que as linhas AB e CD são paralelas.
Demonstre que os vetores
A = 2i – j + k
B = i – 3j – 5k
C = 3i – 4j – 4k
formam os lados de um triângulo reto.
Sendo A = -2i + 3j + 5k, B = i + 3j – 4k e C = 4i -2j + 2k, determine:
O módulo de A + 3B.
O vetor unitário na direção de B – C.
A componente de C na direção do vetor B.
O ângulo entre A e C.
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Exercícios
Dados os vetores A = -6i + 2j – 4k e B = 4i + 3j – 2k, encontre:
Um vetor unitário na direção de A + 2B.
O módulo de A + 2B.
Um vetor C tal que A + B + C = 0.
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Os três vértices de um triângulo estão localizados nos pontos A(-1, 2, 5), B(-4, -2, 3) e C(1, 3, -2). Determine:
O perímetro do triângulo.
O vetor unitário na direção do segmento que une os pontos médios dos lados AB e BC, com o sentido do ponto médio de AB para o ponto médio de BC.
Os vetores A = 4i + 5j – 2k e B = 2i + 8j + 3k possuem origens coincidentes com a do sistemas de coordenadas cartesianas. Determine:
A distância entre suas extremidades.
Um vetor unitário na direção de A.
Um vetor C que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B.
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Exercícios
Determine as componentes de um vetor B tal que |B| = 2 e aB = 0,5i – 0,4j + nk, sendo n um escalar positivo.
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O campo de velocidades em um gás é dado por V = 5(xi + yj + zk)/(x2 + y2 + z2 + 2). Para o ponto P(-2, 3, 1), determine:
O módulo da velocidade.
Um vetor unitário especificando a sua direção.
Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade tem módulo unitário.
Dados os campos vetoriais F = 2x2i – 4yz2j + 3(x + y – z)k e G = (yi + zj + xk)/(x2 + y2 + z2), determinar:
|F (2, -1, 3)|.
O vetor unitário no ponto (-1, 2, -2).
F • G no ponto (2, -2, 4).
O ângulo entre F e G no ponto (2, -2, 4).
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Exercícios
Determine o ângulo entre Axax – 7ay + 4az e 5ax + 4ay – 3az sendo Ax = 10. Qual deve ser o valor de Ax de tal modo que o ângulo seja: b) 90º; c) 62,1º?
Dados A = 3ax – 4ay + 5az e B = -ax + 2ay – 3az, determine:
A x B.
A • (A x B).
O ângulo entre A e B.
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Exercícios
Mais exercícios podem ser encontrados no livro de Eletromagnetismo de William H. Hayt Jr.
A maioria das respostas dos exercícios anteriores também estão nesse livro.
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Gradiente
O gradiente de uma função é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre.
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Gradiente
O gradiente da função f, grad f, é o vetor definido por:
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Gradiente
Exemplo:
Seja f(x,y) = x2 – 4xy.
Encontre o gradiente de f no ponto P(1,2).
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Pela definição
Em P(1,2)
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Exercícios
Seja f(x,y) = 2 + x2 + (1/4)y2, encontre a direção segundo a qual f(x,y) cresce mais rapidamente no ponto P(1,2), e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.
Ache o gradiente de f e P.
f(x, y) = (x2 + y2)1/2;	P(-4, 3)
f(x, y) = 7y – 5x;		P(2, 6)
f(x, y) = e3x + tg(y);	P(0, π/4)
f(x, y) = x ln(x – y);		P(5, 4)
f(x, y, z) = yz3 – 2x2;	P(2, -3, 1)
f(x, y, z) = xy2ez; 		P(2, -1, 0)
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