Lista de Exercícios - Polinômios

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LISTA DE EXERCÍCIOS – POLINÔMIOS – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
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1. (Eear) Considere 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, tal que 𝑃(1) = −2 e 𝑃(2) = 6. Assim, os valores de 
𝑏 e 𝑐 são, respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e −2 
c) −1 e 3 
d) −1 e −3 
 
2. (Espm) O resto da divisão do polinômio 𝑥5 − 3𝑥2 + 1 pelo polinômio 𝑥2 − 1 é: 
a) x – 1 
b) x + 2 
c) 2x – 1 
d) x + 1 
e) x – 2 
 
3. (Espcex (Aman)) O polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3 + 𝑥2 + 1, quando dividido por 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 +
2 deixa resto 𝑟(𝑥). 
Sabendo disso, o valor numérico de 𝑟(−1) é 
a) −10. 
b) −4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10. 
 
4. (Ueg) A divisão do polinômio 𝑥3 + 2𝑥2– 5𝑥– 6 por (𝑥 + 1)(𝑥– 2) é igual a: 
a) x – 3 
b) x + 3 
c) x – 6 
d) x + 6 
 
5. (Espm) O quociente e o resto da divisão do polinômio 𝑥2 + 𝑥 − 1 pelo binômio 𝑥 + 3 são, 
respectivamente: 
a) 𝑥 − 2 e 5 
b) 𝑥 + 2 e 6 
c) 𝑥 − 3 e 2 
d) 𝑥 + 1 e 0 
e) 𝑥 − 1 e −2 
 
6. (Unesp) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥3 + 2 ⋅ 𝑥 + 𝑏 é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 
3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são 
a) 1 e 4. 
b) 1 e 12. 
c) –1 e 12. 
d) 2 e 16. 
e) 1 e –12. 
 
7. (Espm) O trinômio 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é divisível por 𝑥 + 2 e por 𝑥 − 1. O valor de 𝑎 − 𝑏 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
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8. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das 
outras raízes é 
a) -1. 
b) -0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 
9. (G1 - cftmg) Se uma das raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é 2 e𝑃( 1) = 9, então 
o valor de 𝑎5 − 4𝑏 é 
a) −64. 
b) −28. 
c) 16. 
d) 24. 
 
10. (Uern) - Divisor: 𝑥2 + 𝑥; 
- Resto: 1 − 7𝑥; e, 
- Quociente: 8𝑥2 − 8𝑥 + 12. 
 
Logo, o dividendo dessa operação é 
a) 8𝑥4 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 1. 
b) 6𝑥4 + 4𝑥2 + 4𝑥 + 3. 
c) 8𝑥4 + 4𝑥2 + 4𝑥 + 1. 
d) 6𝑥4 + 8𝑥2 + 5𝑥 + 1. 
 
11. (G1 - utfpr) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) da 
divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 5x2 + 6pelo polinômio 𝑑(𝑥) = 𝑥2– 3? 
a) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x + 21. 
b) q(x) = x + 5 e r(x) = – (3x + 21). 
c) q(x) = x – 5 e r(x) = – 3x + 21. 
d) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x – 21. 
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21. 
 
12. (Uece) Considerando o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 1, é correto afirmar que o valor 
da soma 𝑃(−1) + 𝑃 (−
1
3
) é um número localizado entre 
a) 5,0 e 5,5. 
b) 4,0 e 4,5. 
c) 4,5 e 5,0. 
d) 5,5 e 6,0. 
 
13. (Espcex (Aman)) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) + 3𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1. 
Sabendo-se que −1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então 𝐴(3) − 𝐵(−1) é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
14. (Espcex (Aman)) Dividindo-se o polinômio 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑘𝑥 − 1 por (𝑥 − 3) e (𝑥 + 2), 
os restos são iguais. Neste caso, o valor de 𝑘 é igual a 
 
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a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
 
15. (Uern) O produto entre o maior e o menor dos coeficientes do quociente da divisão de 
𝑃(𝑥) = 6𝑥5 + 3𝑥4 + 5𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 por 𝐷(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥 é 
a) 3. 
b) 4. 
c) – 2. 
d) – 5. 
 
16. (Uftm) Seja o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2x2 − 4x + 𝑚, sendo m um número real. Sabendo-se 
que P(x) é divisível por (𝑥 − 2), determine: 
 
a) O valor de m. 
b) Todas as raízes de P(x). 
 
17. (Fuvest) Se 3𝑥2 − 9𝑥 + 7 = (𝑥 − 𝑎)3 − (𝑥 − 𝑏)3, para todo número real 𝑥, o valor de 𝑎 + 𝑏 é 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 9. 
e) 12. 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
𝑃(1) = −2 ⇔ 2 ⋅ 13 + 𝑏 ⋅ 12 + 𝑐 ⋅ 1 = −2 ⇔ 𝑏 + 𝑐 = −4 
 
e 
 
𝑃(2) = 6 ⇔ 2 ⋅ 23 + 𝑏 ⋅ 22 + 𝑐 ⋅ 2 = 6 ⇔ 2𝑏 + 𝑐 = −5. 
 
Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos 𝑏 = −1 e 𝑐 = −3. 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Dividindo 𝑥5 − 3𝑥2 + 1 por 𝑥2 − 1, obtemos 
 
  𝑥5 − 3𝑥2 + 1 𝑥2 − 1
−𝑥5 + 𝑥3 𝑥3 + 𝑥 − 3
  𝑥3 − 3𝑥2 + 1
−𝑥3 + 𝑥
−3𝑥2 + 𝑥 + 1
 3𝑥2 − 3
 𝑥 − 2
 
 
Portanto, o resto é 𝑥 − 2. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
𝑥5 + 0𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 0𝑥 + 1 𝑥3 + 0𝑥2 − 3𝑥 + 2 
−𝑥5 + 0𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2𝑥2 + 2 
 
+2𝑥3 − 𝑥2 + 0𝑥 + 1 
−2𝑥3 + 0𝑥2 + 6𝑥 − 4 
 
−𝑥2 + 6𝑥 − 3 
 
Portanto, 𝑟(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 3 e 𝑟(−1) = −(−1)2 + 6(−1) − 3 = −10. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos 
 
 
−1 1 2 −5 −6
2 1 1 −6 0
1 3 0
 
 
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Logo, 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) e, portanto, a divisão do polinômio 𝑥3 + 2𝑥2 −
5𝑥 − 6 por (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) é igual a 𝑥 + 3. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Desde que 𝑥2 + 𝑥 − 1 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + 5, segue o resultado. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que: 
 
P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos: 
 
|
8𝑎 + 4 + 𝑏 = 0
−27𝑎 + 6 + 𝑏 = −45
 
 
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos: 
–35a = –35, ou seja, a = 1. 
 
Substituindo a = 1 na primeira equação, temos: 
8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
2
2
x ax b (x 2)(x 1)
x x 2.
+ + = + −
= + −
 
 
Daí segue que 𝑎 = 1, 𝑏 = −2 e, portanto, 𝑎 − 𝑏 = 1 − (−2) = 3. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Aplicando Dispositivo Prático de Briot-Rufini, temos: 
 
 
 
Obtemos: 
2𝑥2 + 1𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 {
𝑥1 =
1
2
𝑥2 = −1
, cuja soma vale – 0,5. 
 
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Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Se 𝑃(2) = 0, então 
24 − 8 ⋅ 22 + 𝑎 ⋅ 2 + 𝑏 = 0 ⇔ 2𝑎 + 𝑏 = 16. 
 
Ademais, sendo 𝑃( 1) = 9, vem 
14 − 8 ⋅ 12 + 𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 9 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 16. 
 
Resolvendo o sistema em 𝑥 e 𝑦, obtemos 𝑎 = 0 e 𝑏 = 16. 
 
Portanto, a resposta é 
𝑎5 − 4𝑏 = 05 − 4 ⋅ 16 = −64. 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Sendo 𝐷 o dividendo, 𝑑 o divisor, 𝑄 o quociente e 𝑟 o resto, pode-se escrever: 
𝐷 = 𝑄 ⋅ 𝑑 + 𝑟 
𝐷 = (8𝑥2 − 8𝑥 + 12) ⋅ (𝑥2 + 𝑥) + (1 − 7𝑥) 
𝐷 = 8𝑥4 + 8𝑥3 − 8𝑥3 − 8𝑥2 + 12𝑥2 + 12𝑥 + 1 − 7𝑥 
𝐷 = 8𝑥4 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 1 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Efetuando a divisão temos: 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Tem-se que 
𝑃(−1) = 4 ⋅ (−1)3 + 8 ⋅ (−1)2 − 1 + 1 = 4 
e 
 
 
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1 1 1 1
P 4 8 1
3 3 3 3
4 8 2
27 9 3
4 24 18
27
11
1 .
27
     
− =  − +  − − +     
     
= − + +
− + +
=
= +
 
 
Em consequência, vem 
1 11
P( 1) P 4 1
3 27
11
5 .
27
 
− + − = + + 
 
= +
 
 
Portanto, como 
5 < 5 +
11
27
< 5 +
13,5
27
= 5,5, 
 
segue o resultado. 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Como −1 é raiz de 𝐴(𝑥) e 3 é raiz de 𝐵(𝑥), segue que 𝐴(−1) = 0 e 𝐵(3) = 0. Logo, 
 
𝐴(−1) = 𝐵(−1) + 3 ⋅ (−1)3 + 2 ⋅ (−1)2 + (−1) + 1 ⇔ 𝐵(−1) = 1 
e 
𝐴(3) = 𝐵(3) + 3 ⋅ 33 + 2 ⋅ 32 + 3 + 1 ⇔ 𝐴(3) = 103. 
 
Portanto, 
 
𝐴(3) − 𝐵(−1) = 103 − 1 = 102. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Sabendo que os restos são iguais, pelo Teorema do Resto, vem 
𝑃(3) = 𝑃(−2) ⇔ 2 ⋅ 34 − 5 ⋅ 33 + 𝑘 ⋅ 3 − 1 = 2 ⋅ (−2)4 − 5 ⋅ (−2)3 + 𝑘 ⋅ (−2) − 1 
    ⇔ 27 + 3𝑘 = 72 − 2𝑘 
    ⇔ 𝑘 = 9. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Dividindo 𝑃(𝑥) por 𝐷(𝑥), obtemos 
 
 
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  6𝑥5 + 3𝑥4 + 5𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 3𝑥3 − 2𝑥
−6𝑥5 + 4𝑥3 2𝑥2 + 𝑥 + 3
  3𝑥4 + 9𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 5
−3𝑥4 + 2𝑥2
  9𝑥3 − 4𝑥 + 5
−9𝑥3 + 6𝑥
  2𝑥 + 5
 
 
Portanto, o resultado pedido é 3 ⋅ 1 = 3. 
 
Resposta da questão 16: 
 a) Se P(x) é divisível por 𝑥 − 2, então 𝑃(2) = 0. Assim, 
 
𝑃(2) = 23 − 2 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 𝑚 ⇔ 0 = 8 − 8 − 8 + 𝑚 
 ⇔ 𝑚 = 8. 
 
b) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
2 1 −2 −4 8
1 0 −4 0
 
 
Portanto, 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 8 = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 4) = (𝑥 − 2)2(𝑥 + 2), 
 
ou seja, as raízes de P(x) são 2 e –2. 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2 3 3
3 2 2 3 3 2 2 3
2 2 2 3 3
3x 9x 7 (x a) (x b)
x 3ax 3a x a x 3bx 3b x b
(3b 3a)x (3a 3b ) b a .
− + = − − −
= − + − − + − +
= − + − + −
 
 
Em consequência, como os polinômios são idênticos, vem 
|
3𝑏 − 3𝑎 = 3
3𝑎2 − 3𝑏2 = −9
⇒ |
𝑏 − 𝑎 = 1
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) = 3
 
    ⇒ |
𝑏 − 𝑎 = 1
𝑎 + 𝑏 = 3
 .