Matemática Básica 02

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Matemática Básica
Aula 2: Potencialização e Radiciação
Apresentação
Nesta aula estudaremos as potências, apresentando suas principais propriedade. Com isso, estudaremos também o
conceito de radicais e a forma de realizar as operações. Por �m, vamos conhecer as expressões algébricas e suas
classi�cações como também realizaremos as principais operações com essas expressões.
Objetivos
Entender o conceito de potenciação e radiciação e ser capaz de realizar operações que envolvam potências e raízes;
Identi�car uma expressão algébrica e classi�cá-la.
Potências
De�nição:
Potência de expoente m (m inteiro e maior do que 1) do número real a é o
produto de m fatores iguais a a e é representada por “a”. O número a é
chamado de base da potência. Portanto:
a = a x a x a...................x a (observe que o fator a aparece m vezes no
produto indicado.
m
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo
1) 5 = 5 x 5 = 25
2) 2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
3) (-3) = (-3) x (-3) x (-3) = -27
4) (-10) = (-10) x \(-10) x (-10) x (-10) = 10000
2
4
3
4
A potência de expoente 2 do número a, a , recebe o nome de quadrado de a, pois a área do quadrado de lado a é obtida fazendo
a x a, enquanto a potência de expoente 3 do número a, a , chamada de cubo, pois o volume de um cubo de aresta a é obtido
fazendo a x a x a. As potências que apresentam expoentes diferentes dos números 2 e 3 não recebem nomes especiais.
2
3
1
a = a
Para todo número real a.
1
2
a = 1
Para todo número real a diferente de zero.
0
3
a -m = 
1
am
Para todo número real a diferente de zero e todo m inteiro
positivo.
Exemplo
1) 5 = 5
2) (-4) = -4
3) (-5) = 1
4) 5 = 
1
52 = 
1
25
1
4
0
-2
Observações
1
Toda potência de zero com expoente positivo é igual a 0.
2
Toda potência de expoente par e base diferente de zero é positiva e toda potência de expoente ímpar tem o mesmo sinal da
base.
3
Toda potência de base 1 é igual a 1, não importando o expoente.
4
As potências de -1 são iguais a 1 ou -1, conforme o expoente seja par ou ímpar respectivamente.
Propriedades
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Para multiplicarmos potências a mesma base, basta conservar a base e adicionar os expoentes, isto é, a . a = a
Multiplicação de potências de mesma base 
m n m+n
Para dividirmos potências de mesma base (base diferente de zero), conservamos a base e subtraímos os expoente, isto é:
am
am -n
Divisão de potência de mesma base 
Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, multiplicamos a base e conservamos o expoente.
a . b = (ab)
Exemplo: 3 . 2 = 6
Multiplicação de potências de mesmo expoente 
m m m
4 4 4
Para dividirmos potências de mesmo expoente, basta converter o expoente e dividir as bases.
a : b = (a/b) , b ≠ 0
Exemplo: 4 : 2 = (4 : 2)
Divisão de potências de mesmo expoente 
m m m
3 3 3
Para elevarmos uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
(a ) = a
Exemplo: (2 ) = 2 = 2
Potência elevada a um expoente 
m n mn
3 4 3x4 12
Radiciação
De�nição:
Dado um número real e um natural n ≥ 2, de�ne-se 
η
√α (raiz n-ésima de a) como sendo o número real r, se existir, tal que:
1
Para n par
η
√α = r desde que r = a e r ≥ 0n
2
Para n ímpar
η
√α = r desde que r = an
Comentário
Na expressão 
η
√α temos:
n é o índice da raíz
a é o radicando
Propriedades operatórias
P1
√a = √an( )n
P2
n
√an = α( )n
P3
n
√α = 
np
√ap ou 
n
√ak = 
n
p
a
k
p√
P4
n
√ab = 
n
√a . 
n
√b
P5
n a
b = 
n
√a
n
√b√
P6
n v
√a = 
mn
√a√
Redução ao mesmo índice
1
Acha-se o MMC dos índice dos radicais. Esse será o índice comum.
2
Divide-se o índice comum achado pelo índice de cada radical. Os quocientes são multiplicados pelos expoentes dos
respectivos radicandos.
Adição e subtração
Só podemos subtrair radicais semelhantes, isto é, aqueles que
possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
Exemplo
a) 2√3 + 5√3 = 7√3
b) -5
3
√2 + 2
3
√2 + 7
3
√2 = 4
3
√2
Multiplicação
O produto de dois radicais de índices iguais é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao
produto dos radicandos dos fatores.
Exemplo
a) √2 . √3 . √5 = √30
b) 
3
√2 . 
3
√5 . 
3
√7 = 
3
√70
Divisão
Para dividirmos dois radicais de mesmo índice, conservamos o índice comum e dividimos os radicandos.
Exemplo
a) 
3
√15 : 
3
√5 = 
3
√3
b) √20 : √2 = √10
Racionalização
Racionalizar uma fração é determinar uma fração equivalente à fração dada, mas com o denominador sem radical.
Vejamos como achar racionalizantes:
O racionalizante de
n
√ap(a > , n natural e p inteiro) é 
n
√an - p
Exemplo
a) O racionalizante de √a é √a.
b) O racionalizante de 
5
√23 é 
5
√22.
Polinômios
Termo algébrico
É o produto de um número (chamado coe�ciente de termo) por potências de expoentes racionais de variáveis.
Exemplo Coeficiente Parte literal
-3x -3 x
x y 1 x y2 2
Classi�cação
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Todos os expoentes das variáveis são inteiros. As racionais se subdivide em inteiras ou fracionárias.
Racionais 
Pelo menos um dos expoentes das variáveis não é inteiro.
Irracionais 
Nenhum expoente de variável é negativo.
Exemplo: 3x y
Racional inteira 
2
Pelo menos um expoente de variável é negativo.
Exemplo: 3x
1
2y2
Racional fracionária 
Monômios e polinômios
Um monômio é um termo algébrico inteiro. Um polinômio é um monômio ou uma soma de monômios, podendo um dos
monômios se reduzir a uma constante diferente de zero. Os polinômio de dois termos e três termos são chamados de binômio
e trinômio, respectivamente.
Valor numérico
É o valor obtido quando substituímos as letras (variáveis) por valores numéricos dados. Assim, por exemplo:
Exemplo
O valor numérico de 3x ÷ 2y para x=-3 e y=2 é:
3(-3) ÷2.2 =
-9 ÷ 4 = -5
Grau
Grau é um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis. Quando o monômio se reduz a uma constante diferente de
zero, diz-se que o seu grau é zero.
Assim, por exemplo, o grau de 7x y z é sexto grau (2+3+1). Podemos considerar o grau em relação a uma determinada variável
ou a um grupo de variáveis. Em relação à variável x, o monômio é do segundo grau. O grau de polinômio é dado pelo monômio
de mais alto grau que forma o polinômio.
2 3
Exemplo
1) 2x - 3x y - 5x + 1 é do sexto grau.
2) x - 3x 2x + 1 é do terceiro grau.
3 4 6
2 3
Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentam a mesma parte literal.
Exemplo
1) 2x e 3x
2) -5x y e 3x y
3) ab , -ab e 3ab
2 2
2 2 2
Redução de termos semelhantes
Dois ou mais monômios semelhantes de um polinômio podem ser substituídos por um único. Para isso, dá-se como
coe�ciente a soma algébrica dos coe�cientes desses termos e conserva-se a parte literal comum.
Exemplo
1) 5a x – 8a x + 4a x + 2a x = 3a x
2) -10x y + 2x y – 6x y = -14x y
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
4 3 4 3 4 3 4 3
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a) Adição de monômios: escrevemos um ao lado do outro e, em seguida, reduzimos os termos semelhantes, caso exista.
Exemplos:
1) 4ax + (-5ax ) = -ax
2) (3ax) + (5ax) + (-4ax) = 4ax
3) (-5a) + (-2a) + (4b) = -7a + 4b
b) Adição de polinômios: escrevemos um polinômio ao lado do outro e, em seguida, reduzimos os termos semelhantes.
Exemplos:
1) (x – 3x + 5x- 1) + (2x – 4x – 3x – 2) = x – 3x +5x- + 2x – 4x - 3x – 2 = 3x – 7x +2x – 3
2) (5x y + 3xy – 2x y2) + ) -3x y – 2xy +5x y ) = 5x y + 3xy – 2x y – 3x y – 2xy + 5x y = 2x y + xy +3x y
Adição 
2 2 2
3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a) Subtração de monômios: para subtrair um monômio e outro, soma-se ao minuendo o simétrico do subtraendo.
Exemplos:
1) (-5x y) – (-2x y) = -5x y + 2x y = -3x y
2) (-4ax) – (-8ax) = -4ax + 8ax = 4ax
b) Subtração de polinômios: para subtrair um polinômio de outro, soma-se ao primeiro o simétrico do segundo.
Exemplos:
1) (3x y + 2x y – 3xy + x ) – (2x y + 3x y – x ) =
3x y + 2x y – 3xy + x – 2x y – 3x y+x = x y – x y – 3xy + 2x
2) (y – 5y– 3y – 5 – (- 2y - 3y – 2y - 8 )=
(y – 5y – 3y – 5 + 2y + 3y – 2y + 8 = 3y – 2y – 5y + 3
Subtração 
3 3 3 3 3
2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
a) Multiplicação de monômios: é o produto de todos os fatores dos monômio dados.
Exemplos:
1) (2x y).(3xy2) = 6x3y3
2) (4ab2).(-2a b ) = -8a b
b) Multiplicação de polinômio por monômio: polinômio multiplicando por cada termo do polinômio multiplicador.
Exemplos:
1) (x – 2x + 3) (-2x) = -2x + 4x – 6x
2) (a + 2ab – 3b ) (-3ab) = -3a b + 9ab
c) Multiplicação de polinômio por polinômio: para multiplicarmos polinômios, multiplicamos cada termo do polinômio
por cada termo do polinômio multiplicador, reduzindo sempre que possível os termos semelhantes.
Exemplos:
1) (2x + 3) (3x – 1) = 6x2 -2x + 9x – 3 = 6x + 7x – 3
2) (2y – 3y + 1) (y – 2) = 2y – 4y – 3y + 6y + y -2 = 2 y - 7y + 7y – 2
3) (x – 1) (x + x + 1) = x + x + x – x – x -1 = x - 1
Multiplicação 
2
2 3 3 5
2 3 2
2 2 2 3
2
2 3 2 2 3 2
2 3 2 2 3
a) Divisão de monômio por monômio: o quociente de dois monômios é o monômio que, multiplicado pelo divisor, é igual
ao dividendo.
Exemplos:
1) 35x : 5x = 7x pois
7x . 5x = 35x
2) 4a2b : ( (-2ab) = 2a pois
- 2a . (-2ab) = 4 a b
b) Divisão de polinômio por monômio: dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplos:
1) (x – 4x + 3x) : x = x – 4x + 3
2) (10y – 20y + 8y ) : 2y = 5y – 10 + 4y
c) Divisão de polinômio por polinômio: para dividir um polinômio por outro, procede-se da seguinte maneira:
1) ordena-se o dividendo e o divisor;
2) divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor. O resultado é o primeiro termo do quociente;
3) multiplica-se o primeiro termos do quociente por todos os termos do divisor, escrevendo os produtos com o sinal
trocado abaixo do dividendo;
4) faz-se a redução dos termos semelhantes e obtém-se o primeiro resto parcial;
5) Procede-se de modo análogo até se encontrar um resto nulo (se a divisão é exata) ou um resto de grau inferior ao
divisor.
Divisão 
2
2
2
3 2 2
2 3 2
Atividade
1. Multiplique as potências a seguir:
a) 7 x 7
b) 3 x 3
c) 2 x 2
d) 2 x (1/2)
3 5
3 -2
-7 4
-5 -5
2. Divida as potências a seguir:
a) 
27
25
b) 
53
5 - 2
c) 20 : 56 6
3. Eleve 34
5
 a um expoente.( )
Notas
Título modal 1
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Referências
Próxima aula
Produtos notáveis e fatoração.
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