APOL 1-CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir:
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45).
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85.   
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135.   
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65.    
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂f∂u→(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
(livro-base, p. 86). 
	
	D
	−57.−57.   
	
	E
	−85.−85.   
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que:
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=cost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à variável tt:
Nota: 10.0
	
	A
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.   
(livro-base, p. 79)
	
	B
	dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent
	
	C
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos⁡t
	
	D
	dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.
	
	E
	dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46..
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 10.0
	
	A
	11
	
	B
	3/2
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32
(Livro-base p. 43-47). 
	
	C
	1212
	
	D
	5252
	
	E
	7272
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o fragmento de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, temos: 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
(Livro-base, p. 80). 
	
	B
	∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.
	
	C
	∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.
	
	D
	∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.
	
	E
	∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.  
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(livro-base, p. 75-76). 
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01xdydx:
Nota: 10.0
	
	A
	1414
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1/2
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01xdydx=∫01x[∫01dy]dx=∫01x[y]01dx=∫01x[1−0]dx=∫01xdx=[x22]01=122−022=12
(Livro-base página 43-47). 
Questão7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade  ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx  , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais:
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02x2y3dydx==∫−12x2∫02y3dydx=∫−12x2⋅[y44]02dx=∫−12x2⋅[244−044]02dx=∫−12x2⋅[4−0]dx=∫−124x2dx=4⋅[x33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12
(livro-base, p. 43-72). 
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir:
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: 
Nota: 10.0
	
	A
	an=2n
Você acertou!
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
(livro-base, p. 101). 
	
	B
	an=2n+1
	
	C
	an=n+1
	
	D
	an=2n-1
	
	E
	an=n-1
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	3/2
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 10.0
	
	A
	25π√2025π20 u.a.
	
	B
	20π√1020π10 u.a.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222π12 u.a 
	
	D
	23π√1323π13 u.a.
	
	E
	21π√1521π15 u.a.