Avaliação I - Individual Cálculo Diferencial e Integral III

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Avaliação I - Individual (Cod.:741332)
Cálculo Diferencial e Integral III (MAD105)
1 O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em
equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de
massa, precisamos também saber a massa do objeto. Determine a massa de
uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função
densidade é f(x, y) = 3 − x + 2y:
A) 4
B) 10
C) 0
D) 5
2 Um sistema de coordenadas polares em matemática é um sistema em que
cada ponto do plano cartesiano é associado a um ângulo e a uma distância.
Utilizando a mudança de variável cartesiana para polar, calcule a integral
dupla da função e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
na região x2 + y2 ≤ 4.𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥
2+𝑦2)3
π
A) 16
B) 128
C) 64
D) 32
3 O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem
de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de
inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um
disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f(x, y) = 2
em torno do eixo y:
A) 4 pi.
B) 12 pi.
C) 18 pi.
D) 8 pi.
4 Assim como acontece com as integrais duplas, quando calculamos uma
integral tripla, precisamos utilizar certas regras. Com base no exposto, o valor
da integral tripla da função f(x,y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z =
3, x = 0, y = 0 e z = 0 é igual a:
A) 189
B) 54
C) −54
D) −27
5 Assim como acontece com as integrais duplas, quando calculamos uma
integral tripla, precisamos utilizar certas regras. Sobre o valor da integral
tripla apresentada, analise as opções a seguir e, em seguida, assinale a
alternativa CORRETA:
0
1
∫
−1
0
∫
0
𝑦2
∫ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥.
I. 1960
II. 160
III. 426
IV. 19
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.
6 O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em
equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Determine a coordenada x do
centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2),
sabendo que a função densidade é f(x, y) = 3 − x + 2y e que a massa do objeto
é igual a m = 4:
A) 6/7
B) 7/24
C) 24/7
D) 7/6
7 Nem sempre é possível resolvermos integrais duplas e triplas
simplesmente com as técnicas de integrações usuais. Para isso, é
introduzido mais uma técnica de integração chamada de mudança de
variável. Há três tipos de mudanças de variáveis. Sobre as mudanças de
variáveis com a sua transformação e o Jacobiano relacionado, associe os
itens, utilizando código a seguir:
I. Mudança de coordenadas cartesianas para polares.
II. Mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
III. Mudança de coordenadas cartesianas para esféricas.
I. T( eρ, θ, ϕ) = (ρ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 𝑐𝑜𝑠(θ), ρ 𝑠𝑒𝑛(θ) 𝑠𝑒𝑛(ϕ), ρ 𝑐𝑜𝑠(ϕ)),
|𝑗(𝑇)| = ρ2 𝑠𝑒𝑛(ϕ)
II. e𝑇(𝑟, θ) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠(θ), 𝑟 𝑠𝑒𝑛(θ)) |𝑗(𝑇)| = 𝑟
III. e𝑇(𝑟, θ, 𝑧) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠(θ), 𝑟 𝑠𝑒𝑛(θ), 𝑧) |𝑗(𝑇)| = 𝑟
A ordem correta é:
A) II - I - III.
B) III - I - II.
C) I - III - II.
D) III - II - I.
8 A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto,
é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as
regras de integrações. Utilizando tais regras, podemos afirmar que a integral
dupla da função f(x,y) = x + y + 2 na região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x
é igual a
I. − 166415
II. 473615
III. − 473615
IV. 166415
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção II está correta.
9 A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto
é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as
regras de integrações. Utilizando tais regras, calcule a integral dupla da
função e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
f(x,y) = 2yex compreendida pelas retas y = 0, y = 1, x = y e x = 1.
A) e − 2
B) e + 2
C) 2e
D) 2 − e
10 Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é
o Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa
mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a
quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema
de Fubini, concluímos que o valor da integral:
0
π
∫
2
3
∫
−1
1
∫ (𝑥 + 2) 𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
A) É igual a − 3,5.
B) É igual a 0.
C) É igual a − 4.
D) É igual a cos(3).