Barras comprimidas_exercicios_resolvidos (1)

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Barras comprimidas
Capítulo 7
Estruturas metálicas e de madeiras
UNA
2020/01
Prof. Renato de Andrade Nahim Safadi
1.
❑ As barras comprimidas axialmente aparecem junto com as
tracionadas na composição de vigas e pilares treliçados, e também
em alguns tipos de contraventamentos.
❑Pilares onde as vigas ou outros elementos de cobertura se ligam
por rótulas, são também barras axialmente comprimidas.
7.1 Generalidades
1.
❑ No dimensionamento das barras comprimidas, um dos modos de
colapso a ser considerado é a instabilidade da barra como um todo,
com suposta curvatura inicial.
❑O outro modo de colapso é a flambagem local dos elementos
componentes da seção transversal da barra (por exemplo, a
flambagem da alma ou a flambagem das mesas de uma seção H).
7.1 Generalidades
Modos de colapso
1.
❑7.3.1 Flambagem Elástica
❑7.3.1.1 Barras birrotuladas
❑Quando a força axial de compressão em uma barra de eixo
perfeitamente reto atinge um determinado valor, a barra se torna
subitamente encurvada (fig. 7.3) em um fenômeno conhecido como
flambagem por flexão. A partir dessa ocorrência, a barra
praticamente não consegue mais suportar mais acréscimos de força.
7.3 Flambagem por flexão de barras retas
Fig. 7.3 – Instabilidade de uma barra reta bi-rotulada.
1.
❑7.3.1 Flambagem Elástica
❑7.3.1.1 Barras birrotuladas
❑Se a barra for birrotulada, possuir comprimento L, e estiver submetida a
uma força de compressão invariável, o valor da força que causa a
flambagem em regime elástico é dado por:
❑Onde E é o módulo de elasticidade do material e I o momento de inércia
da seção transversal em relação ao eixo de flexão ( eixo em relação ao qual
a barra flete quando ocorre a flamabagem no caso da figura 7.3 o eixo y).
❑Conhecida como carga de Euler ou força axial de flambagem elástica.
7.3 Flambagem por flexão de barras retas
𝑁𝑒 =
π2𝐸 𝐼
𝐿²
(7.1) 
1.
❑7.4.1 Fundamentos teóricos
❑Na prática, as barras geralmente apresentam uma curvatura inicial,
cujo valor máximo aceitável pela ABNT NBR 8800:2008 equivale a
um deslocamento transversal 𝒗𝟎 de 1/1500 do comprimento, na
seção central, conforme se vê na figura 7.4.
7.4 Instabilidade de barras com curvatura inicial
Fig. 7.4 – Curvatura inicial máxima aceitável.
A força resistente de cálculo 𝑵𝑹𝒅, deverá
ser reduzida.
A tensão de escoamento fy deverá ser
reduzida da tensão produzida devido o
momento de 2° ordem, que surgiu devido
o deslocamento do eixo central da barra
após a flambagem elástica.
Então
ν𝟎 = 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔.
1.7.3.2 Força axial resistente de cálculo
7.4 Curva de flambagem NBR 8800:2008
Fig. 7.5 – Gráfico λ𝟎 𝑽𝒔 χ.
1.7.5 Curva de flambagem
❑7.4.1 índice de esbeltez reduzido 𝜆0
❑A norma NBR8800 trabalha com o índice de esbeltez reduzido 𝜆0:
❑Índice de esbeltez reduzido apresenta a introdução do fator de
redução Q relativo à flambagem local apresentada nos próximos
itens.
𝜆0 =
𝑄 𝑓𝑦𝐴𝑔
𝑁𝑒
(7.7)
Tabela 7.2 –Valores de χ de acordo com índice de esbeltez reduzido.
𝜆0 =
𝑄 𝑓𝑦𝐴𝑔
𝑁𝑒
= 1,48 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 χ = 0,4
Exemplo de uso da Tabela para calcular o fator de redução χ
Fig. 7.6 – Gráfico λ𝟎 𝑽𝒔 χ, 𝑐𝑜𝑚 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑠.
𝝌 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟖𝝀𝟎²
𝝌 =
𝟎, 𝟖𝟕𝟕
𝝀𝟎²
𝜆0 =
𝑄 𝑓𝑦𝐴𝑔
𝑁𝑒
7.5.2 Seções duplamente simétricas
Fig. 7.7 – Eixos locais do perfil.
7.5.2 Seções duplamente simétricas
Fig. 7.7 – Eixos locais do perfil.
7.5.2.1 Flambagem por torção pura
𝑂𝑛𝑑𝑒:
J é a constante de torção.(tabela propriedades geométricas do 
perfil).
𝑪𝒘 a constante de empenamento da seção transversal. (tabela 
propriedades geométricas do perfil).
𝑟0 raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de 
cisalhamento. 
𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0²
π²𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽
𝑟0 = 𝑟𝑥² + 𝑟𝑦² + 𝑥0² + 𝑦0²
7.5.2 Seções duplamente simétricas
Fig. 7.7 – Eixos locais do perfil.
7.5.2.1 Flambagem por torção pura
𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0²
π²𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽
𝑟0 = 𝑟𝑥² + 𝑟𝑦² + 𝑥0² + 𝑦0²
𝐶𝑜𝑚 𝑟𝑥 𝑒 𝑟𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜𝑠
𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 de inércia x e y, e 𝑥0 e 𝑦0 as distâncias
do centro geométrico da seção ao centro de
cisalhamento na direção dos eixos x e y, respectivamente
fornecidas na figura 7.8.
7.5 Seções duplamente simétricas
Fig. 7.7 – Eixos locais do perfil.
7.5.2.1 Flambagem por torção pura
𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0²
π²𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽
O coeficiente de flambagem por torção 𝐾﷮𝑧
depende das condições de contorno:
1.7.6 Flambagem Local
Flambagem Local da mesa e da alma de um perfil I.
Na maioria dos perfis a flambagem local é caracterizada pela formação de 
Inúmeras semi-ondas, a cantoneira é caracterizada por apenas uma semi-onda. 
Fig. 7.10 – Foto de flambagem Local da mesa e da alma de um perfil I.
.
1.
❑7.6.1 Ideias básicas
❑A maioria dos perfis usados nas estruturas metálicas é formada de
elementos planos apoiados em uma ou duas bordas longitudinais
conforme mostra a figura:
❑Elementos apoiados em apenas uma borda longitudinal são chamados AL
– apoiados-Livres.
❑Elementos apoiados nas duas bordas longitudinais são chamados AA
apoiados-apoiados.
7.6 Flambagem Local
7.6 Flambagem Local
❑Elementos apoiados em apenas uma borda longitudinal são chamados AL – apoiados-Livres.
❑Elementos apoiados nas duas bordas longitudinais são chamados AA apoiados-apoiados.
Fig. 7.8 – Exemplo de elementos apoiados-livres e elementos apoiados-apoiados.
7.6 Flambagem Local
❑Elementos apoiados em apenas uma borda longitudinal são chamados AL – apoiados-Livres.
❑Elementos apoiados nas duas bordas longitudinais são chamados AA apoiados-apoiados.
Fig. 7.9 –Flambagem local em perfis I, U e cantoneira.
1.
❑7.6.2 Elementos de relação largura/espessura
❑Elementos que possuem uma relação
𝑏
𝑡
ou seja largura(b) x espessura(t),
reduzida, ou seja que não ultrapasse a o valor
𝑏
𝑡 𝑙𝑖𝑚
, não estão sujeitos à
flambagem local, uma vez que seu escoamento ocorre antes.
7.6 Flambagem Local
Elementos AA
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 1
Elementos AL
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 2
1.
❑Exemplo 1 – Verificar a Flambagem local das mesas e da alma do perfil I –
Aço A36 fy=250MPa.
❑W 250 x 17,9 – perfil laminado
7.6 Flambagem Local
FLM – do elemento AL(amarela) ou seja metade de uma mesa 
do perfil:
λ =
𝑏𝑓
2
𝑡𝑓
=
101
2
5,3
= 9,53
Pela tabela 7.3 parte 2 Grupo 4 temos que (b/t)lim:
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 = 0,56
𝐸
𝑓𝑦
= 0,56
20000
25
= 15,84
𝐶𝑜𝑚𝑜
𝑏𝑓
2
𝑡𝑓
= 9,53 <
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 = 15,84 𝒏ã𝒐 𝒆𝒔𝒕á 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒐 à 𝑭𝑳𝑴.
1.
❑Exemplo 1 – Verificar a Flambagem local das mesas e da alma do perfil I –
Aço A36 fy=250MPa.
❑W 250 x 17,9 – perfil laminado
7.6 Flambagem Local
FLA – do elemento AA (cor vermelha)ou seja a parte da alma 
do perfil:
λ =
ℎ
𝑡𝑤
=
240
4,8
= 50
Pela tabela 7.3 parte 1 Grupo 2 temos que (b/t)lim:
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 = 1,49
𝐸
𝑓𝑦
= 1,49
20000
25
= 42,14
𝐶𝑜𝑚𝑜
ℎ
𝑡𝑤
= 50 >
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 = 42,14 𝑬𝒔𝒕á 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂 à 𝑭𝑳𝑨.
1.
❑ Resumo do exemplo 1.
❑Se a relação entre a largura e a espessura dos elementos que formam um
perfil ultrapassar
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 ocorrerá flambagem, isto significa que teremos
que calcular um fator de redução Q, vai reduzir a minha capacidade final
de resistência à compressão.
❑Onde: 𝑄 = 𝑄𝑎 ∗ 𝑄𝑠
7.6 Flambagem Local
1.
❑7.6.3 Elementos AA – Determinação de 𝑸𝒂
❑Se
ℎ
𝑡𝑤
>
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 então
7.6 Flambagem Local – Elementos AA
1.
❑7.6.3 Elementos AA – Determinação de 𝑸𝒂
❑ Devido as tensões não uniformes na chapa dos elementos AA, é
necessário reduzir a largura da chapa para uma largura efetiva 𝑏𝑒𝑓
7.6 Flambagem Local – Elementos AA
1.
❑7.6.3 Elementos AA
❑ Tendo em vista as dificuldades de se obter o valor preciso da largura
efetiva 𝒃𝒆𝒇 que depende da tensão máxima, pode ser usado o seguinte
valor empírico:
❑Onde a tensãomáxima assumida será a tensão de escoamento 𝒇𝒚, de
modo conservador.
❑E 𝑪𝒂 é um coeficiente que vale 0,38 para mesas ou almas de seções
tubulares e retangulares e será 0,34 para os demais perfis.(fator de ajuste,
fórmula empírica).
7.6 Flambagem Local – Elementos AA
𝑏𝑒𝑓 = 1,92 ∗ 𝑡 ∗
𝐸
𝑓𝑦
1 −
𝐶𝑎
𝑏
𝑡
𝐸
𝑓𝑦
≤ 𝑏
1.
❑7.6.3 Elementos AA – Determinação de 𝑸𝒂
❑ As larguras efetivas de todos os elementos AA da seção transversal cuja a
relação b/t ultrapasse (b/t)lim, chega-se a área da seção transversal:
7.6 Flambagem Local – Elementos AA
1.
❑7.6.3 Elementos AA – Determinação de 𝑸𝒂
❑ Finalmente obtém-se o fator de redução da força axial resistente para
consideração da flambagem local dos elementos AA, 𝑸𝒂 por meio da
equação:
❑𝑄𝑎 =
𝐴𝑒𝑓
𝐴𝑔
7.6 Flambagem Local – Elementos AA
1.
❑7.6.3 Elementos AL – Determinação de 𝑸𝒔
❑Se
𝑏𝑓
2
𝑡𝑓
>
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 então
7.6 Flambagem Local – ELEMENTOS AL
1.
❑7.6.3 Elementos AL - – Determinação de 𝑸𝒔
❑ Os elementos AL também possuem resistência pós flambagem embora
muito menos significativa que a dos elementos AA. Após alcançar a tensão
de flambagem local σ𝑓𝑙, as fibras tracionadas transversais fazem com que a
distribuição de tensões na seção transversal se torne não uniforme, com
maiores tensões junto à borda longitudinal apoiada e menores tensões
junto à borda longitudinal livre, com o colapso vindo ocorrer quando a
tensão na borda apoiada alcança a resistência ao escoamento fy.
7.6 Flambagem Local – ELEMENTOS AL
1.
Tabela 7.4 – Valores de 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐀𝐋.
1.
❑7.6.3 Elementos AL
❑ Conforme se viu no item precedente, se os elementos AL - tiverem relação b/t
que não ultrapasse (b/t)lim, dado na Tabela 7.4, não ocorre flambagem local,
com o colapso se dando por escoamento. No entanto, para valores de b/t
situados entre (b/t)lim e um outro limite, (b/t)sup, a flambagem ocorre em
regime inelástico, e para valores de b/t superiores a (b/t)sup, em regime
elástico. O limite (b/t)sup corresponde ao início da plastificação nas partes do
elemento com maiores tensões residuais de compressão, σ𝑟.
7.6 Flambagem Local
1.
❑7.7.1 Força axial resistente
❑ Em resumo, a força axial de compressão resistente nominal de uma barra, 
para o estado- limite de flambagem local dos elementos componentes da seção 
transversal, é dada por: 
❑Nessa expressão, Q é o fator de redução total, dado por: 
❑se uma seção transversal possuir apenas elementos AL, toma-se Qa igual a 1,0
e, se possuir apenas elementos AA, toma-se Qs igual a 1,0.
7.7 Força axial resistente
𝑁𝑐,𝑅𝑘,𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = 𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑄 = 𝑄𝑎𝑄𝑠
1.
❑7.7.2 Dimensionamento aos Estados limites últimos
❑No dimensionamento aos estados-limites últimos de uma barra submetida à
força axial de compressão, deve ser satisfeita a seguinte relação:
❑Onde 𝑁𝑐,𝑆𝑑 é a força axial de compressão solicitante de cálculo, obtida com a
combinação de ações de cálculo apropriada, e 𝑁𝑐,𝑅𝑑 é a força axial de
compressão resistente de cálculo.
A força axial de compressão resistente de cálculo é dada por:
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
χ 𝑄 𝐴𝑔𝑓𝑦
γ𝑎1
7.7 Força axial resistente
𝑁𝑐,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝑐,𝑅𝑑
1.
❑7.8.1 Limite e justificativas
❑O índice de esbeltez máximo das barras comprimidas, como se sabe é dado por: 
❑O valor desse índice, usado no dimensionamento aos estados-limites últimos, não pode 
ser superior a 200. Essa exigência se justifica pelo fato de as barras comprimidas muito 
esbeltas serem bastante sensíveis a variações nas imperfeições iniciais, muito flexíveis e 
passíveis de sofrer vibrações, 
❑Pode-se também determinar o índice de esbeltez em função da força axial de flambagem
elástica Ne, para isso substitui-se na equação o valor do raio de giração 𝑟;
λ = π
𝐸𝐴𝑔
𝑁𝑒
7.8 Limitação do índice de esbeltez
λ =
𝐾𝐿
𝑟
≤ 200
1.
❑7.8.1 Generalidades
É usual o emprego de barras compostas, principalmente aquelas constituídas por dois perfis 
U, duas cantoneiras em forma de T e duas cantoneiras em .forma de cruz, conforme ilustra 
a Figura. A união entre os perfis é comumente feita por chapas espaçadoras soldadas ou 
parafusadas aos mesmos.
Para assegurar que os perfis que compõem uma barra composta trabalhem em conjunto, a 
distância máxima (C) entre duas chapas espaçadoras adjacentes deve ser tal que: 
❑
𝒍
𝒓𝒎𝒊𝒏
≤
𝟏
𝟐
𝑲𝑳
𝒓
7.9 Emprego de barras compostas
1.
❑7.8.1 Generalidades
7.9 Emprego de barras compostas
1.
1°) Conhecer o aço estrutural e a sua tensão de escoamento 𝒇𝒚 transformar a 
tensão de escoamento de Mpa para kN/cm².
RESUMO P/ DIMENSIONAR BARRAS COMPRIMIDAS
1.
2°) Verificar a Flambagem Local( CALCULAR O VALOR DE Q).
- 2.1) FLA – FLAMBAGEM LOCAL DA ALMA – Determinar (Qa). 
- Calcular a esbeltes da alma do perfil 
𝒃
𝒕
=
𝒉
𝒕𝒘
onde h é altura da alma e 𝒕𝒘 é a espessura da alma.
- Ir na tabela 7.3 e buscar a fórmula de 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚, elementos 𝐀𝐀 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝐈 𝐨𝐮 𝐆𝐫𝐮𝐩𝐨𝐈𝐈.
- Comparar a esbeltes do perfil 
𝑏
𝑡
com a esbeltes limite da tabela 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚.
❑Se 
𝒃
𝒕
> 
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 − Poderá ocorrer flambagem local da alma logo, calcular a largura efetiva
𝑏𝑒𝑓 = 1,92𝑡
𝐸
𝑓𝑦
1 −
𝐶𝑎
𝑏
𝑡
𝐸
𝑓𝑦
≤ 𝑏
𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝐴𝑒𝑓 = 𝐴𝑔 −σ 𝑏 − 𝑏𝑒𝑓 𝑡 , com isto calcular 𝑄𝑎 = ൗ
𝐴𝑒𝑓
𝐴𝑔 .
❑ Se 
𝒃
𝒕
<
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 − 𝑄𝑎 = 1,0.
RESUMO P/ DIMENSIONAR BARRAS COMPRIMIDAS
1.
2.2 ) FLM –FLAMBAGEM LOCAL DAS MESAS (Qs).
Geralmente elementos AL –
❑Calcular a esbeltes do perfil 
𝒃
𝒕
, lembrando que cada aba de uma mesa é um 
elemento AL logo 𝑏 = ൗ
𝑏𝑓
2 onde 𝑏𝑓 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑎 e t =
𝑡𝑓 (a espessura da mesa).
❑ Na tabela 7.3 parte 2 descobrir a qual grupo o perfil pertence, grupo 3,4,5 ou 6, depois 
ir na tabela 7.4 e buscar a fórmula da esbeltes limite 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚 referente ao grupo que o 
perfil pertence .
❑Comparar 
𝑏
𝑡
e 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚.
RESUMO P/ DIMENSIONAR BARRAS COMPRIMIDAS
1.
2.2 ) FLM –FLAMBAGEM LOCAL DAS MESAS (Qs).
❑Comparar os valores de 
𝑏
𝑡
com 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚.
❑Se 
𝒃
𝒕
> 
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 poderá ocorrer a flambagem da mesa, logo devemos calcular 
𝒃
𝒕
sup 
(tabela 7.4) verificar qual o intervalo está 
𝒃
𝒕
e calcular 𝑄𝑠 cuja a fórmula está na tabela 
7.4
De acordo com o intervalo onde a esbeltes do perfil 
𝒃
𝒕
está situada.
❑Se 
𝒃
𝒕
<
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 − 𝑸𝒔 = 𝟏, 𝟎 𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍𝒂 𝟕. 𝟒
RESUMO P/ DIMENSIONAR BARRAS COMPRIMIDAS
1.
3°) Verificar a instabilidade Global 
3.1) Calcular a força de flambagem por flexão e esbeltez em relação ao eixo x, y e se 
necessário z.
RESUMO BARRAS COMPRIMIDAS
λ𝑥 =
𝐾𝑥𝐿𝑥
𝑟𝑥
≤ 200
λ𝑦 =
𝐾𝑦𝐿𝑦
𝑟𝑦
≤ 200
1.
3°) Verificar a instabilidade Global 
3.1) Calcular a força de flambagem por flexão e esbeltez em relação ao eixo x, y e se
necessário z.
Escolher o menor valor entre as forças de flambagem, Nex, Ney e Nez.
RESUMO BARRAS COMPRIMIDAS
𝑟0 = 𝑟𝑥² + 𝑟𝑦² + 𝑥0² + 𝑦0²
𝐶𝑤 𝑒 𝐽 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙
𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 = 77000𝑀𝑝𝑎
1.
4°) Calcular o índice de esbeltez reduzido para buscar o χ na tabela 1 ou 
gráfico:
Onde 𝑁𝑒 vai ser o menor valor de 𝑁𝑒𝑥 , 𝑁𝑒𝑦 𝑜𝑢 𝑁𝑒𝑧 .
Com o valor de 𝜆0 ir na tabela 7.2 ou no gráfico da figura 7.6 e retirar o valor do fator
De redução χ.
RESUMO BARRAS COMPRIMIDAS
𝜆0 =
𝑄 𝑓𝑦𝐴𝑔
𝑁𝑒
1.
5°) Verificação dos Estados limites últimos.
𝑆𝑒 𝑁𝑐,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝑐,𝑅𝑑 𝒐𝒌
.
RESUMO BARRAS COMPRIMIDAS
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
χ 𝑄 𝐴𝑔𝑓𝑦
γ𝑎1
1.
❑Exemplo 1 - O pilar ABC abaixo está submetido a uma força axial de
compressão solicitante de cálculo igual a 1500 kN. Verificar se o perfil
soldado escolhido para o mesmo, produzido
em aço estrutural ASTM A242 (fy=345 Mpa), resiste a essa força.
❑Notar que o eixo x do perfil é paralelo ao eixo global U. Em A o
empenamento e a rotação em torno do eixo longitudinal estejam impedidos
e, em B e C,apenas a rotação esteja impedida.
Exemplos de aplicação
-1° Passo é calcular o Q = Qa*Qs
-FLA – FLAMBAGEM LOCAL DA ALMA – Determinar (Qa). 
-
𝒃
𝒕
=
𝒉
𝒕𝒘
=
𝟔𝟑𝟏
𝟖
= 𝟕𝟖, 𝟖𝟖 onde h é altura da alma e 𝒕𝒘 é a espessura da alma.
-Ir na tabela 7.3 e buscar a fórmula de 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚, elementos 𝐀𝐀 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝐈 𝐨𝐮 𝐆𝐫𝐮𝐩𝐨𝐈𝐈.
-Comparar a esbeltes do perfil 
𝑏
𝑡
com a esbeltes limite da tabela 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚.
❑
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝟏, 𝟒𝟗 ∗
𝑬
𝒇𝒚
= 𝟏, 𝟒𝟗 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟑𝟓, 𝟖𝟖
❑
𝒃
𝒕
=
𝒉
𝒕𝒘
=
𝟔𝟑𝟏
𝟖
= 𝟕𝟖, 𝟖𝟖 > 𝟏, 𝟒𝟗 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟑𝟓, 𝟖𝟖 𝐥𝐨𝐠𝐨 𝐩𝐨𝐝𝐞𝐫á 𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐫 𝐚 𝐅𝐋𝐀, 𝐨 𝐐𝐚 𝐝𝐞𝐯𝐞𝐫á 𝐬𝐞𝐫 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐝𝐨:
❑
𝐶𝑎=0,34 sempre no nosso curso devido ao perfil I
𝑏𝑒𝑓 = 1,92𝑡𝑤
𝐸
𝑓𝑦
1 −
𝐶𝑎
𝑏
𝑡
𝐸
𝑓𝑦
≤ 𝑏 = 1,92 ∗ 0,8 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒, 𝟓
∗ 𝟏 −
𝟎, 𝟑𝟒
𝟕𝟖, 𝟖𝟖
∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒, 𝟓
= 33,14𝑐𝑚 < 63,1 𝑜𝑘
𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝐴𝑒𝑓 = 𝐴𝑔 − σ 𝑏 − 𝑏𝑒𝑓 𝑡 = 126 − 63,1 − 33,14 ∗ 0,8 = 102,03 𝑐𝑚², 
com isto calcular 𝑄𝑎 = ൗ
𝐴𝑒𝑓
𝐴𝑔 =
𝟏𝟎𝟐,𝟎𝟑
𝟏𝟐𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟏.
2.2 ) FLM –FLAMBAGEM LOCAL DAS MESAS (Qs).
❑ 1° calcular a esbeltez λ =
𝑏
𝑡
=
400/2
9,5
= 𝟐𝟏, 𝟎𝟓
❑Ir na tabela 7.3 na parte 2 – elementos AL
❑
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟒
𝑬∗𝑲𝒄
𝒇𝒚
= 𝟎, 𝟔𝟒 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎,𝟒𝟓
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟏𝟎, 𝟑𝟒 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝟓
❑𝐾𝑐 =
4
ℎ𝑤
𝑡𝑤
=
4
631
8
= 0,45
❑Como a esbeltez da mesa é maior que o limite poderá ocorrer a flambagem da mesa, logo 
devemos calcular 
𝑏
𝑡
sup (tabela 7.4) verificar qual o intervalo está 
𝒃
𝒕
e calcular 𝑄𝑠 cuja a 
fórmula está na tabela 7.4. De acordo com o intervalo onde a esbeltes do perfil 
𝒃
𝒕
está 
situada.
❑
𝒃
𝒕
𝒔𝒖𝒑 = 𝟏, 𝟏𝟕
𝑬∗𝑲𝒄
𝒇𝒚
= 𝟏, 𝟏𝟕 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎,𝟒𝟓
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟏𝟖, 𝟖𝟗
❑λ =
𝑏
𝑡
=
400/2
9,5
= 𝟐𝟏, 𝟎𝟓
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟒
𝑬 ∗ 𝑲𝒄
𝒇𝒚
= 𝟎, 𝟔𝟒 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓
𝟑𝟒, 𝟓
= 𝟏𝟎, 𝟑𝟒
❑
𝒃
𝒕
𝒔𝒖𝒑 = 𝟏, 𝟏𝟕
𝑬∗𝑲𝒄
𝒇𝒚
= 𝟏, 𝟏𝟕 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎,𝟒𝟓
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟏𝟖, 𝟖𝟗
Ir na (tabela 7.4) verificar qual o intervalo está 
𝒃
𝒕
e calcular 𝑄𝑠 cuja a fórmula está na tabela 7.4. De acordo 
𝑄𝑠 =
0,9 ∗ 𝐸 ∗ 𝐾𝑐
𝑓𝑦 ∗
𝑏
𝑡
2 =
0,9 ∗ 20000 ∗ 0,45
34,5 ∗ 21,05²
= 0,53
Logo Q=Qa*Qs=0,81*0,53=0,43 
3° Passo calcular as forças resistentes de flambagem Ne:
Calcular o Ney e o Nex:
𝑁𝑒𝑥 =
π2𝐸 ∗ 𝐼𝑥
𝐿𝑥²
=
π2 ∗ 20000 ∗ 94695
1000²
= 18692 𝑘𝑁
𝑁𝑒𝑦 =
π2𝐸 ∗ 𝐼𝑦
𝐿𝑦²
=
π2 ∗ 20000 ∗ 10136
500²
= 8003 𝑘𝑁
Escolher o menor valor entre os dois logo será o Ney
𝜆0 =
𝑄 𝑓𝑦𝐴𝑔
𝑁𝑒𝑦
=
0,43 ∗ 126 ∗ 34,5 ∗
8003
= 0,48
4° Passo - Calcular o índice de esbeltez reduzido 
Q=Qa*Qs=0,81*0,53=0,43 já calculado no passo 2 
5° Passo - Calcular o fator de redução χ, pode ser por tabela, gráfico ou 
fórmula:
Pela tabela o χ=0,908 para 𝜆0 = 0,48
6° Passo – A resistência final do perfil
Q=Qa*Qs=0,81*0,53=0,43 já calculado no passo 2 
Pela tabela o χ=0,908 para 𝜆0 = 0,48
Como a força de compressão solicitante no pilar é de 1500 kN e a Força de 
compressão resistente de cálculo é 1543 kN logo o pilar atende.
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
χ 𝑄 𝐴𝑔𝑓𝑦
γ𝑎1
=
0,908 ∗ 0,43 ∗ 126 ∗ 34,5
1,10
= 1543 𝑘𝑁
1.
Tabela 7.4 – Valores de 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐀𝐋.
Elementos AA
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 1
Elementos AL
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 2
Tabela 7.2 –Valores de χ de acordo com índice de esbeltez reduzido.
Fig. 7.6 – Gráfico λ𝟎 𝑽𝒔 χ, 𝑐𝑜𝑚 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑠.
𝝌 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟖𝝀𝟎²
𝝌 =
𝟎, 𝟖𝟕𝟕
𝝀𝟎²
❑Exemplo 2 – Dimensionar a barra BCD à compressão de acordo com os
esforços solicitantes de cálculo do diagrama de força normal da treliça de
cobertura, utilizar duplo perfil U com chapa espaçadora de 8mm de
espessura, o perfil U 152,4x12,2 e a chapa em Aço ASTM A572 grau 50,
fy=345 Mpa conforme figura (eixo x perpendicular ao plano da treliça). Os
nós B,C e D possuem contenção lateral contra os deslocamentos fora do
eixo da treliça.
1.Exemplos de aplicação
DFN- KN
Dados de 1 perfil:
U152,4x12,2
𝐼𝑥 = 546𝑐𝑚
4
𝑟𝑥 = 5,94𝑐𝑚
𝐼𝑦 = 28,8𝑐𝑚
4
𝑟𝑦 = 1,36𝑐𝑚
𝐴𝑔 = 15,5𝑐𝑚
2
𝑥𝑔 = 13𝑚𝑚
𝐼𝑦′ = 2 ∗ 𝐼𝑦 1𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 + 𝐴𝑔 ∗ 𝑑
2
𝐼𝑦′ = 2∗(28,8+15,5∗(1,3+0,4)²)=147,19cm^4
2 perfis logo 𝐼𝑥 = 2 ∗ 546𝑐𝑚
4 = 1092𝑐𝑚4
-1° Passo é calcular o Q = Qa*Qs
-FLA – FLAMBAGEM LOCAL DA ALMA – Determinar (Qa). 
-
𝒃
𝒕
=
𝒉
𝒕𝒘
=
𝟏𝟑𝟓,𝟑
𝟓,𝟎𝟖
= 𝟐𝟔, 𝟔𝟑
-onde h=d-2*tf=152,4 –(2*8,7)=135,3 mm
-Ir na tabela 7.3 e buscar a fórmula de
-
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚, elementos 𝐀𝐀 𝐆𝐫𝐮𝐩𝐨𝐈𝐈.
-Comparar a esbeltes do perfil 
𝑏
𝑡
com a esbeltes limite da tabela 
𝑏
𝑡
𝑙𝑖𝑚.
❑
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝟏, 𝟒𝟗 ∗
𝑬
𝒇𝒚
= 𝟏, 𝟒𝟗 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒,𝟓
= 𝟑𝟓, 𝟖𝟖
Como a esbeltez da alma b/t=26,63 é menor que a esbeltez limite
Não ocorrerá a FLA logo Qa=1,00
Dados de 1 perfil:
U152,4x12,2
𝐼𝑥 = 546𝑐𝑚
4
𝑟𝑥 = 5,94𝑐𝑚
𝐼𝑦 = 28,8𝑐𝑚
4
𝑟𝑦 = 1,36𝑐𝑚
𝐴𝑔 = 15,5𝑐𝑚
2
𝑥𝑔 = 13𝑚𝑚
2.2 ) FLM –FLAMBAGEM LOCAL DAS MESAS (Qs).
❑ 1° calcular a esbeltez λ =
𝑏
𝑡
=
48,8
8,7
= 𝟓, 𝟔𝟏
❑Ir na tabela 7.3 na parte 2 – elementos AL- perfil laminado 
❑
𝒃
𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟔
𝑬
𝒇𝒚
= 𝟎, 𝟓𝟔 ∗
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒,𝟓
= 12,038 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝟒
❑Como a esbeltez da mês b/t =5,61 é menor que a esbeltez limite
❑Não ocorrerá a FLM logo Qs=1,00
❑2° Passo – Q= Qa*Qs=1,00*1,00=1,00
Dados de 1 perfil:
U152,4x12,2
𝐼𝑥 = 546𝑐𝑚
4
𝑟𝑥 = 5,94𝑐𝑚
𝐼𝑦 = 28,8𝑐𝑚
4
𝑟𝑦 = 1,36𝑐𝑚
𝐴𝑔 = 15,5𝑐𝑚
2
𝑥𝑔 = 13𝑚𝑚
Dados de 1 perfil:
U152,4x12,2
𝐼𝑥 = 546𝑐𝑚
4
𝑟𝑥 = 5,94𝑐𝑚
𝐼𝑦 = 28,8𝑐𝑚
4
𝑟𝑦 = 1,36𝑐𝑚
𝐴𝑔 = 15,5𝑐𝑚
2
𝑥𝑔 = 13𝑚𝑚
3° calcular o Ney e o Nex.
5° Passo é pegar o valor de X na tabela.
Como λ𝟎=0,43 pela tabela o X=0,926
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
χ 𝑄 𝐴𝑔𝑓𝑦
γ𝑎1
=
6° calcular a força resistente de flambagem do perfil duplo cantoneira.
Elementos AA
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 1
Elementos AL
Tabela 7.3 – Grupos dos elementos AA e AL – parte 2
1.
Tabela 7.4 – Valores de 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐀𝐋.
Tabela 7.2 –Valores de χ de acordo com índice de esbeltez reduzido.
7.4 Curva de flambagem NBR 8800:2008
Fig. 7.6 – Gráfico λ𝟎 𝑽𝒔 χ, 𝑐𝑜𝑚 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑠.
𝝌 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟖𝝀𝟎²
𝝌 =
𝟎, 𝟖𝟕𝟕
𝝀𝟎²