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Exercício resolvido - Calcule a força elétrica gerada em uma carga por um anel carregado com densidade linear de cargas constante. O que acontece nos regimes assintóticos?
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Aluna: Ana Julia Marchi Crocciari Exercício: Calcule a força elétrica gerada em uma carga (q) por um anel carregado (Q) com densidade linear de cargas (𝜆) constante. Sendo que a carga está alinhada com o centro do anel. O que acontece nos regimes assintóticos? Resolução: Esquema da situação: Para resolver esse problema, vamos dividir (fragmentar) esse anel em muitos pedaços pequenininhos (dl; infinitesimais). De modo que, cada pedacinho apresente uma carga bem pequena em seu interior (dQ). A partir dessa carga (dQ), podemos escrever a Lei de Coulomb: 𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 |r |² �̂� A expressão acima refere-se à força gerada somente por um pedacinho. Para saber a força em todo o anel, faz-se a integração. 𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 |r |² �̂� Antes, é importante ter atenção quanto à simetria do problema, para tentar eliminar a parte vetorial da integral e, dessa maneira, facilitar a resolução do problema. (Os argumentos de simetria são muito importantes para a solução de problemas em Eletromagnetismo) Em que direção a força elétrica apontará? A força que essa carga sentirá é necessariamente para cima, na direção z. Como saber isso? A carga “dQ” provocará uma força “dFe” na direção “r”. No entanto, note que para todo pedacinho de carga, sempre existirá um outro pedacinho diametralmente oposto (os dois pedaços estão separados pelo diâmetro). Como a densidade de cargas é constante, os módulos dessas forças “dFe” são iguais. De modo que as componentes horizontais das forças “dFe” gerada pelo pedacinho e pelo outro pedacinho se cancelam, resultando apenas na componente vertical. Também podemos pensar que, pegando um eixo vertical de referência. Por exemplo, o eixo z. Se todo sistema (pequena carga e anel) girar em torno desse eixo z, no sentido horário ou no sentido anti-horário, o problema permanecerá idêntico. Considerando que a densidade é constante, caso contrário isso não aconteceria. Sempre que for possível fazer uma transformação no problema de forma que ele não se modifique, a solução desse problema terá a mesma simetria pela mesma transformação. Ou seja, eu posso pegar esse problema e girar em torno do eixo z que nada vai mudar. Portanto, descobrindo qual é o vetor de força (vetor Fe), também é possível girar esse vetor em torno do eixo z, de modo que nada se altera. A partir disso, é possível afirmar que esse vetor (vetor Fe) deve estar na vertical. Afinal, se a força estivesse em qualquer outra direção, essa simetria não existiria. A vertical é a única direção em que esse vetor ficará inalterado, independente do sentido (par acima ou para baixo). Não teremos componente horizontal da força, pois elas se cancelam. Sendo assim, é possível fazer a integral somente da componente vertical, o que facilita a solução do problema. Afinal, somando vetores que apontam para uma mesma direção, basicamente podemos somar o módulo deles. Isto é, o aspecto vetorial da questão é simplificado, passando a ter uma integral comum, que pode ser resolvida com mais facilidade. 𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 |r |² �̂� Portanto: 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 r² Definindo certo ângulo teta: Note que: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑑𝐹𝑒𝑣 𝑑𝐹𝑒 Assim, para a componente vertical, basta pegar: 𝑑𝐹𝑒𝑣 = (𝑑𝐹𝑒)𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 r² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Mas: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑑𝐹𝑒𝑣 𝑑𝐹𝑒 = 𝑧 𝑟 Portanto: 𝐹𝑒 = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 r² 𝑧 𝑟 𝐹𝑒 = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑑𝑄 r³ 𝑧 Levando em conta a distribuição de cargas: 𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 Logo: 𝐹𝑒 = ∫ 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝜆𝑑𝑙 r³ 𝑧 𝐹𝑒 = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 ∫ 𝜆𝑑𝑙 r³ Em relação ao fio, (r) também é constante. Observação: Trata-se de um módulo. Apesar do vetor ser diferente, o módulo dele é igual para qualquer ponto do anel. Afinal, a carga está no centro do aro. E a densidade (𝜆) também é constante. Sendo assim: 𝐹𝑒 = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ ∫𝑑𝑙 O que é a integral de (dl)? Trata-se da soma de todos os pedacinhos (pequenos comprimentos; dl) que compõem o fio. Somando todos os pedacinhos do fio, teremos (L), que é o comprimento total do fio. Portanto, essa integração vai de “0” até completar o fio todo (L). 𝐹𝑒 = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ ∫ 𝑑𝑙 𝐿 0 Nesse caso, o comprimento total do fio é “R”. Portanto: 𝐹𝑒 = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ ∫ 𝑑𝑙 2𝜋𝑅 0 𝐹𝑒 = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ 2𝜋𝑅 Sabendo que essa força estará na direção z, teremos uma força de repulsão (duas cargas positivas). Assim: 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ 2𝜋𝑅�̂� No entanto, não podemos deixar a resposta assim, porque o (r) não é um dado inicial da questão. A questão forneceu o raio do anel (R) e que a distância entre o centro do anel e a carga (q) é (z). Pensando nesse triângulo: Por Teorema de Pitágoras, temos: r² = z² + R² Logo: 𝑟3 = (𝑧2 + 𝑅²)3/2 Temos também: 𝜆 = 𝑄 2𝜋𝑅 Sendo assim, substituindo: 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝜆 r³ 2𝜋𝑅�̂� 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝑄 r³ 2𝜋𝑅�̂� 2𝜋𝑅 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝑄 r³ �̂� 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑞 4𝜋𝜀0 𝑄 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� Regimes assintóticos Vamos analisar os limites assintóticos da solução. Perceba que é possível variar o tamanho do anel (raio) e/ou variar a distância entre a carga e o anel. Como a força varia quando alteramos esses parâmetros? Essa solução é plausível? Para averiguar essa coerência, vamos estudar alguns desses limites. Quando o raio tende a zero. lim 𝑅→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� Nesse caso: lim 𝑅→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧²)3/2 �̂� lim 𝑅→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 𝑧³ �̂� lim 𝑅→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑄 𝑧² �̂� Temos a lei de Coulomb. Ou seja, o anel se transforma em uma carga pontual. Quando o raio tende a infinito. lim 𝑅→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� O termo com (R²) será muito maior que (z²), de forma que o (z²) é desprezível. lim 𝑅→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑅²)3/2 �̂� lim 𝑅→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 𝑅² �̂� Assim, a força tenderá a zero. Isso também faz sentido. Conforme uma mesma carga (Q), é distribuída em um comprimento cada vez maior (L), a densidade ficará cada vez menor. Sendo assim, é como se a carga fosse tão diluída que gera uma carga elétrica desprezível. Quando o z tende a zero. lim 𝑧→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� lim 𝑧→0 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 0 Nesse caso, a força elétrica tende a zero. Isso também é coerente. Isso significa que a carga ficará exatamente no centro do anel, de modo que ela não sobre força elétrica do anel, porque os pedacinhos (infinitesimais) de comprimento exercerão forças diametralmente opostos, as quais se cancelam. A posição de equilíbrio é o cetro do anel. Quando o z tende a infinito. lim 𝑧→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2 + 𝑅²)3/2 �̂� (z²) será muito maior que (R²), de forma que (R²) será desprezível. lim 𝑧→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 (𝑧2)3/2 �̂� lim 𝑧→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 𝑧³ �̂� lim 𝑧→∞ 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑄 𝑧² �̂� Nesse caso, temos a Lei de Coulomb. Isso faz sentido, porque conforme uma coisa vai ficando distante, muito distante, ele se parece pontual e, pode ser estudada dessa forma. Com essa análise, se a resposta estivesse incorreta, seria possível perceber isso. Referências bibliográficas: [1] https://youtu.be/bnCDrnLPXSM [2] "Eletrodinâmica" - David J. Griffiths
