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Exercício resolvido - Calcule a força elétrica gerada em uma carga por um anel carregado com densidade linear de cargas constante. O que acontece nos regimes assintóticos?

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Aluna: Ana Julia Marchi Crocciari 
Exercício: Calcule a força elétrica gerada em uma carga (q) por um anel carregado (Q) 
com densidade linear de cargas (𝜆) constante. Sendo que a carga está alinhada com o 
centro do anel. O que acontece nos regimes assintóticos? 
 
Resolução: 
Esquema da situação: 
 
Para resolver esse problema, vamos dividir (fragmentar) esse anel em muitos pedaços 
pequenininhos (dl; infinitesimais). De modo que, cada pedacinho apresente uma carga 
bem pequena em seu interior (dQ). 
 
A partir dessa carga (dQ), podemos escrever a Lei de Coulomb: 
𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
A expressão acima refere-se à força gerada somente por um pedacinho. 
Para saber a força em todo o anel, faz-se a integração. 
𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
 
Antes, é importante ter atenção quanto à simetria do problema, para tentar eliminar a 
parte vetorial da integral e, dessa maneira, facilitar a resolução do problema. 
(Os argumentos de simetria são muito importantes para a solução de problemas em 
Eletromagnetismo) 
 
Em que direção a força elétrica apontará? 
A força que essa carga sentirá é necessariamente para cima, na direção z. 
 
Como saber isso? 
A carga “dQ” provocará uma força “dFe” na direção “r”. No entanto, note que para todo 
pedacinho de carga, sempre existirá um outro pedacinho diametralmente oposto (os 
dois pedaços estão separados pelo diâmetro). Como a densidade de cargas é constante, 
os módulos dessas forças “dFe” são iguais. De modo que as componentes horizontais 
das forças “dFe” gerada pelo pedacinho e pelo outro pedacinho se cancelam, resultando 
apenas na componente vertical. 
 
 
Também podemos pensar que, pegando um eixo vertical de referência. Por exemplo, o 
eixo z. Se todo sistema (pequena carga e anel) girar em torno desse eixo z, no sentido 
horário ou no sentido anti-horário, o problema permanecerá idêntico. Considerando 
que a densidade é constante, caso contrário isso não aconteceria. 
 Sempre que for possível fazer uma transformação no problema de forma que ele 
não se modifique, a solução desse problema terá a mesma simetria pela mesma 
transformação. 
Ou seja, eu posso pegar esse problema e girar em torno do eixo z que nada vai mudar. 
Portanto, descobrindo qual é o vetor de força (vetor Fe), também é possível girar esse 
vetor em torno do eixo z, de modo que nada se altera. 
 
 A partir disso, é possível afirmar que esse vetor (vetor Fe) deve estar na vertical. Afinal, 
se a força estivesse em qualquer outra direção, essa simetria não existiria. A vertical é a 
única direção em que esse vetor ficará inalterado, independente do sentido (par acima 
ou para baixo). 
 
Não teremos componente horizontal da força, pois elas se cancelam. Sendo assim, é 
possível fazer a integral somente da componente vertical, o que facilita a solução do 
problema. 
Afinal, somando vetores que apontam para uma mesma direção, basicamente podemos 
somar o módulo deles. Isto é, o aspecto vetorial da questão é simplificado, passando a 
ter uma integral comum, que pode ser resolvida com mais facilidade. 
 
𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
 
Portanto: 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r²
 
 
 
 
 
 
Definindo certo ângulo teta: 
 
 
Note que: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑑𝐹𝑒𝑣
𝑑𝐹𝑒
 
 
Assim, para a componente vertical, basta pegar: 
𝑑𝐹𝑒𝑣 = (𝑑𝐹𝑒)𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r²
𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
Mas: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑑𝐹𝑒𝑣
𝑑𝐹𝑒
= 
𝑧
𝑟
 
 
Portanto: 
𝐹𝑒 = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r²
𝑧
𝑟
 
𝐹𝑒 = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r³
𝑧 
 
Levando em conta a distribuição de cargas: 
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 
Logo: 
𝐹𝑒 = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝜆𝑑𝑙
r³
𝑧 
𝐹𝑒 =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
∫ 
𝜆𝑑𝑙
r³
 
 
Em relação ao fio, (r) também é constante. 
Observação: Trata-se de um módulo. Apesar do vetor ser diferente, o módulo dele é igual 
para qualquer ponto do anel. Afinal, a carga está no centro do aro. 
 
E a densidade (𝜆) também é constante. 
 
Sendo assim: 
𝐹𝑒 =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
∫𝑑𝑙 
 
O que é a integral de (dl)? 
Trata-se da soma de todos os pedacinhos (pequenos comprimentos; dl) que compõem 
o fio. Somando todos os pedacinhos do fio, teremos (L), que é o comprimento total do 
fio. Portanto, essa integração vai de “0” até completar o fio todo (L). 
 
𝐹𝑒 =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
∫ 𝑑𝑙
𝐿
0
 
 
Nesse caso, o comprimento total do fio é “R”. Portanto: 
𝐹𝑒 =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
∫ 𝑑𝑙
2𝜋𝑅
0
 
 
𝐹𝑒 =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
2𝜋𝑅 
 
Sabendo que essa força estará na direção z, teremos uma força de repulsão (duas cargas 
positivas). Assim: 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
2𝜋𝑅�̂� 
 
No entanto, não podemos deixar a resposta assim, porque o (r) não é um dado inicial da 
questão. A questão forneceu o raio do anel (R) e que a distância entre o centro do anel 
e a carga (q) é (z). 
 
Pensando nesse triângulo: 
 
Por Teorema de Pitágoras, temos: r² = z² + R² 
Logo: 𝑟3 = (𝑧2 + 𝑅²)3/2 
 
Temos também: 
 𝜆 =
𝑄
2𝜋𝑅
 
 
Sendo assim, substituindo: 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝜆
r³
2𝜋𝑅�̂� 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑄
r³
2𝜋𝑅�̂�
2𝜋𝑅
 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑄
r³
�̂� 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑧𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑄
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ =
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
 
Regimes assintóticos 
Vamos analisar os limites assintóticos da solução. 
Perceba que é possível variar o tamanho do anel (raio) e/ou variar a distância entre a 
carga e o anel. 
Como a força varia quando alteramos esses parâmetros? Essa solução é plausível? 
Para averiguar essa coerência, vamos estudar alguns desses limites. 
 
 Quando o raio tende a zero. 
lim
𝑅→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
Nesse caso: 
lim
𝑅→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧²)3/2
�̂� 
lim
𝑅→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
𝑧³
�̂� 
lim
𝑅→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑄
𝑧²
�̂� 
Temos a lei de Coulomb. Ou seja, o anel se transforma em uma carga pontual. 
 
 Quando o raio tende a infinito. 
lim
𝑅→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
O termo com (R²) será muito maior que (z²), de forma que o (z²) é desprezível. 
lim
𝑅→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑅²)3/2
�̂� 
lim
𝑅→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
𝑅²
�̂� 
 
Assim, a força tenderá a zero. Isso também faz sentido. 
Conforme uma mesma carga (Q), é distribuída em um comprimento cada vez maior (L), 
a densidade ficará cada vez menor. Sendo assim, é como se a carga fosse tão diluída que 
gera uma carga elétrica desprezível. 
 
 Quando o z tende a zero. 
lim
𝑧→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
lim
𝑧→0
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 0 
Nesse caso, a força elétrica tende a zero. 
Isso também é coerente. Isso significa que a carga ficará exatamente no centro do anel, 
de modo que ela não sobre força elétrica do anel, porque os pedacinhos (infinitesimais) 
de comprimento exercerão forças diametralmente opostos, as quais se cancelam. 
A posição de equilíbrio é o cetro do anel. 
 
 Quando o z tende a infinito. 
lim
𝑧→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2 + 𝑅²)3/2
�̂� 
 
(z²) será muito maior que (R²), de forma que (R²) será desprezível. 
 
lim
𝑧→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
(𝑧2)3/2
�̂� 
lim
𝑧→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑧
𝑧³
�̂� 
lim
𝑧→∞
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑄
𝑧²
�̂� 
 
Nesse caso, temos a Lei de Coulomb. 
Isso faz sentido, porque conforme uma coisa vai ficando distante, muito distante, ele se 
parece pontual e, pode ser estudada dessa forma. 
 
Com essa análise, se a resposta estivesse incorreta, seria possível perceber isso. 
 
Referências bibliográficas: 
[1] https://youtu.be/bnCDrnLPXSM 
[2] "Eletrodinâmica" - David J. Griffiths

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