Lista 02 - Gabarito

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA
Sinais e Sistemas - Lista 2
4 de outubro de 2015
1. Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) tem valor real e período fundamental T = 8.
Os coeficientes diferentes de zero da série de fourier de x(t) são:
a1 = a−1 = 2, a3 = a∗−3 = 4 j
Expresse x(t) na forma:
x(t ) =
∞∑
k=0
Ak cos(ωk t +φk )
Resposta:
x(t ) = a1e(2π/T )t +a−1e− j (2π/T )t +a3e j 3(2π/T )t +a−3e− j 3(2π/T )t
= 2e j (2π/8)t +2e− j (2π/8)t +4 j e j 3(2π/8)t −4 j e− j 3(2π/8)t
= 4cos(π4 t )−8si n( 6π8 t )
= 4cos(π4 t )+8cos( 3π4 t + π2 )
2. Para o sinal periódico de tempo contínuo
x(t ) = 2+ cos
(
2π
3
t
)
+4sen
(
5π
3
t
)
,
Determine a frequência fundamental ω0 e os coeficientes da série de Fourier ak tais
que
x(t ) =
∞∑
k=−∞
ak e
j kω0t
Resposta:
1
x(t ) = 2+ 12 e j (2π/3)t + 12 e− j (2π/3)t −2 j e j (5π/3)t +2 j e− j (5π/3)t
= 2+ 12 e j 2(2π/6)t + 12 e− j 2(2π/6)t −2 j e j 5(2π/6)t +2 j e− j 5(2π/6)t
A partir disso, conclui-se que a frequencia fundamental de x(t) é 2π/6 = π/3. E os coe-
ficientes não nulos de fourier de x(t) são:
a0 = 2, a2 = a−2 = 1
2
, a5 = a∗−5 =−2 j
3. Use a equação:
ak =
1
T
∫
T
x(t )e− j kω0t d t = 1
T
∫
T
x(t )e− j k(2π/T )t d t
Para calcular os coeficientes ak para o sinal periódico de tempo contínuo
x(t ) =
{
1.5, 0 ≤ t < 1
−1.5, 1 ≤ t < 2
com frequência ω0 =π.
Resposta:
ω0 =π,T = 2π/ω0 = 2
ak = 12
∫ 2
0 x(t )e
− j kπt d t
a0 = 12
∫ 1
0 1.5d t − 12
∫ 2
1 1.5d t = 0
e para k 6= 0
ak = 12
∫ 1
0 1.5e
− j kπt d t − 12
∫ 2
1 1.5e
− j kπt d t
= 32kπ j [1−e − j kπ]
= 3kπe− j k(π/2)si n( kπ2 )
Quando k=0,
ak = 1T
∫
<T> x(t )d t = 2T
ak =
{
2/T, k = 0
bk
j (2π/T )k , k 6= 0
4. Considere um sistema LTI de tempo contínuo cuja resposta em frequência é:
H( jω) =
∫ ∞
∞
h(t )e− jωt d t = sen(4ω)
ω
Se a entrada desse sistema é um sinal periódico
x(t ) =
{
1, 0 ≤ t < 4
−1, 4 ≤ t < 8
com periodo T = 8, determine a saída correspondente do sistema y(t).
2
Resposta:
x(t) é real e impar, ak é puramente imaginario e impar, logo a0 = 0
ak = 18
∫ 8
0 x(t )e
− j (2π/8)kt d t
= 18
∫ 4
0 e
− j (2π/8)kt d t − 18
∫ 8
4 e
− j (2π/8)kt d t
= 1jπk [1−e− jπk ]
ak =
{
0, k = 0,±2,±4...
2
jπk , k =±1,±3,±5, ...
Quando x(t) é passado atraves do sistema LIT com frequencia H( jω), a saida y(t) é dada
por:
y(t ) =∑∞k=−∞ ak H( j kω0)e j kω0t
Onde ω0 = 2πT = π4
ak é não nulo somente para valores ímpares, desta maneira:
H( j kω0) = H( j k(π/4)) = si n(kπ)k(π/4)
é sempre zero para valores impares de k. e:
y(t ) = 0
5. Considere um sistema LIT causal implementado como circuito RLC mostrado na figura
abaixo. Nesse circuito, x(t) é a tensão de entrada. A tensão y(t) no capacitor é conside-
rada a saída do sistema.
a) Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t).
b) Determine a resposta em frequência desse sistema considerando a saída do sis-
tema para as entradas da forma x(t ) = e jωt .
c) Determine a saída y(t ) se x(t ) = sen(t ).
Resposta:
a)
ic =C d y(t )d t
iR = RC d y(t )d t
VL = LC d
2 y(t )
d t 2
Tensão de entrada = VR +VL +VC
3
x(t ) = LC d 2 y(t )d t 2 +RC
d y(t )
d t + y(t )
Substituindo os valores:
d 2 y(t )
d t 2 +
d y(t )
d t + y(t ) = x(t )
b)
H( jω) = 1−ω2+ jω+1
c)
x(t) é periodico com periodo 2π, x(t) pode ser expresso na forma:
x(t ) = 12 j e j (2π/2π)t − 12 j e− j (2π/2π)t
os coeficientes não nulos de fourier de x(t) são
a1 = a∗−1 = 12 j
y(t ) = a1H( j )e j t −a−1H(− j )e− j t
= (1/2 j )( 1j e j t − 1− j e− j t )
= (−1/2)(e j t +e− j t )
=−cos(t )
6. Determine a série de Fourier dos sinais abaixo.
a) f (t ) =
{−1, −T /2 < t < 0
1, 0 < t < T /2
b) f (t ) =
{
0, −π< t < 0
1
π t , 0 < t <π
c) δN [n] =∑+∞l=−∞δ[n − l N ]
d) x[n] =∑+∞k=−∞ p[n −kN ], para N=4,
p[n] =−δ[n +1]+δ[n −1]
e) x[n] =∑+∞k=−∞ p[n −kN ], para N=10,
p[n] = δ[n +1]+δ[n]+δ[n −1]
Resposta:
a)
a0 = 0
an = 2T
∫ 0
−T /2−1cos(nω0t )d t +
∫ T /2
0 1cos(nω0t )d t
an = 0
bn = 2T (
∫ 0
−T /2−1sen(nω0t )d t +
∫ T /2
0 1sen(nω0t ))d t
2
nπ (1− cos(nπ)) =
{
0, n = par
4
nπ , n = i mpar
f (t ) = 4π
∑∞
n=i mpar
1
n si n(nω0t ) = 4π
(
si n(ω0t )+ si n(3ω0t )3 + si n(5ω0t )5 + ...
)
4
b)
an = 22π
∫ π
0
1
π tcos(nω0t )d t
= 1
π2
[( 1
n si n(nt )
)π
0 − 1n
(∫ π
0 si n(nt )d t
)]
= 1
π2n2 (cos(nπ)−1)
an =
{
0, n = par
− 2
π2n2 , n = i mpar
bn = 22π
(∫ π
0
1
π t si n(nω0t )d t
)
=− 1πn cos(nπ) =− 1πn (−1)n
f (t ) = 14 − 2π2
(
cos(t )+ cos(3t )9 + cos(5t )25 + ...
)
− 1π
(
−si n(t )+ si n(2t )2 − si n(3t )3 + ...
)
c)
(Trem de impulsos):
ck = 1N
∑∑+∞
l=−∞δ[n − l N ]exp(− j k 2πN n) = 1N
∑
δ[n]exp(− j k 2πN n) = 1N
Portanto:∑+∞
k=−∞δ[n −kN ] = 1N
∑
exp( j k 2πN n)
Observe que os coeficientes da serie de fourier sao constantes( isto é, de periodo igual
a 1 para qualquer que seja N).
d)
(Pulso impar):
ck = 14
∑2
n=−1 (−δ[n +1]+δ[n −1])exp(− j k 2π4 n)
= 14
(−exp( j k π2 )+exp(− j k 2π ))=− j2 sen(k π2 )
c0 = 0 (valor médio), c1 =− j /2, c2 = 0, c3 =+ j /2 = c−1
x[n] = c1exp( j 2π4 n)+ c−1exp(− j 2π4 n) = sen( 2π4 )
e)
(Pulso par):
ck = 110
∑5
n=−4 (δ[n +1]+δ[n]+δ[n −1])exp(− j k 2π10 n)
1
10
(
1+exp(− j k 2π10 )+exp( j k 2π10
)= 110 (1+2cos(k π5 ))
c0 = 310 (valor médio)= 110
∑5
n=−4 p[n]
ck,k=0,...,9 = [0.30 0.26 0.16 0.04 −0.06 −0.10 −0.06 0.04 0.16 0.26]
7. Calcule a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais:
a) [e−at cosω0t ]u(t ), a > 0
b) e−3|t |sen2t
c) x(t ) =
{
1+ cosπt , |t | ≤ 1
0, |t | > 1
5
d)
∑∞
k=0 a
kδ(t −kT ), |α| < 1
e) [te−2t sen4t ]u(t )
Resposta:
a)
e−at cos(ω0t )u(t ) = 12 e−at e jω0t u(t )+ 12 e−at e− jω0t u(t )
X ( jω) = 12(a− jω0+ jω) +
1
2(a+ jω0+ jω)
b)
x(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t )+e3|t |si n(2t )u(−t )
x1(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t ) → X1( jω) = 2( jω+3+2 j )( jω+3−2 j )
x2(t ) = e3|t |si n(2t )u(−t ) =−x1(−t ) → X2( jω) =− 2(−3−2 j+ jω)(−3+2 j+ jω)
X ( jω) = X1( jω)+X2( jω) = 24 jω(13+4ω+ω2)(−13+4ω−ω2)
c)
X ( jω) = 2si nωω + si nωπ−ω − si nωπ+ω
d)
X ( jω) = 1
1−ae− jωT
e)
x(t ) = (1/2 j )te−2t e j 4t u(t )− (1/2 j )te−2t e− j 4t u(t )
X ( jω) = 8( jω+2)( jω+2−4 j )2( jω+2+4 j )2
8. Determine o sinal de tempo contínuo correspondente a cada uma das seguintes trans-
formadas
a) X ( jω) = 2sen[3(ω−2π)](ω−2π)
b) X ( jω) = cos(4ω+π/3)
c) X ( jω) = 2[δ(ω−1)−δ(ω+1)]+3[δ(ω−2π)+δ(ω+2π)]
Resposta:
a)
x(t ) =
{
e j 2πt , |t | < 3
0, other wi se
b)
x(t ) = 12 e− jπ/3δ(t −4)+ 12 e jπ/3δ(t +4)
c)
x(t ) = 2 jπ si nt + 3πcos(2πt )
9. a) Calcule a convolução de cada um dos seguintes pares de sinais x(t) e h(t) calculando
X ( jω) e H( jω), usando a propriedade de convolução e fazendo a transformada inversa
i. x(t ) = te−2t u(t ), h(t ) = e−4t u(t )
6
ii. x(t ) = te−2t u(t ), h(t ) = te−4t u(t )
iii. x(t ) = e−t u(t ), h(t ) = e t u(−t )
b) Suponha que x(t ) = e−(t−2)u(t − 2) e h(t ) seja como esboçado na figura abaixo.
Verifique a propriedade de convolução para esse par de sinais mostrando que a
transformada de Fourier y(t ) = x(t )∗h(t ) é igual a H( jω)X ( jω)
Resposta:
i)
Y ( jω) = X ( jω)H( jω) =
[
1
(2+ jω)2
][
1
4+ jω
]
= (1/4)4+ jω − (1/4)2+ jω + (1/2)(2+ jω)2
y(t ) = 14 e−4t u(t )− 14 e−2t u(t )+ 12 te−2t u(t )
ii)
Y ( jω) = X ( jω)H( jω) =
[
1
(2+ jω)2
][
1
(4+ jω)2
]
= (1/4)2+ jω + (1/4)(2+ jω)2 − (1/4)4+ jω + (1/4)(4+ jω)2
y(t ) = 14 e−2t u(t )+ 14 te−2t u(t )− 14 e−4t u(t )+ 14 te−4t u(t )
iii)
Y ( jω) = X ( jω)H( jω)
=
[
1
1+ jω
][
1
1− jω
]
= 1/21+ jω + 1/21− jω
y(t ) = 12 e−|t |
b)
y(t ) =

0, t < 1
1−e−(t−1), 1 < t ≤ 5
e−(t−5) −e−(t−1), t > 5
Y ( jω) = 2e− j 3ωsi n(2ω)ω(1+ jω)
=
[
e− j 2ω
1+ jω
]
e jω2si n(2ω)
ω
= X ( jω)H( jω)
10. A entrada e saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação
diferencial
d 2 y(t )
d t 2
+6 d y(t )
d t
+8y(t ) = 2x(t )
7
a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema.
b) Qual é a resposta desse sistema se x(t ) = te−2t u(t )?
c) Repita o item a) para o sistema LIT estável e causal descrito pela equação:
d 2 y(t )
d t 2
+
p
2
d y(t )
d t
+ y(t ) = 2 d
2x(t )
d t 2
−2x(t )
Resposta:
a)
H( jω) = Y ( jω)X ( jω) = 2−ω2+2 jω+8
H( jω) =1jω+2 − 1jω+4
h(t ) = e−2t u(t )−e−4t u(t )
b)
X ( jω) = 1(2+ jω)2
Y ( jω) = X ( jω)H( jω) = 2−ω2+2 jω+8 1(2+ jω)2
Y ( jω) = 1/4jω+2 − 1/2( jω+2)2 + 1( jω+2)3 − 1/4jω+4
y(t ) = 14 e−2t u(t )− 12 te−2t u(t )+ 12 t 2e−2t u(t )− 14 e−4t u(t )
c)
H( jω) = Y ( jω)X ( jω) = 2(−ω
2−1)
−ω2+p2 jω+1
H( jω) = 2+ −
p
2−2p2 j
jω− −
p
2+ jp2
2
+ −
p
2+2p2 j
jω− −
p
2− jp2
2
h(t ) = 2δ(t )−p2(1+2 j )e(−1+ j )t/
p
2u(t )−p2(1−2 j )e−(1− j )t/
p
2u(t )
11. Considere o sinal x(t):
a) Encontre a transformada de Fourier X ( jω) de x(t ).
b) Esboce o sinal:
F (t ) = x(t )∗
∞∑
k=−∞
δ(t −4k)
.
8
c) Encontre outro sinal g(t) diferente de x(t) e tal que
F (t ) = g (t )∗
∞∑
k=−∞
δ(t −4k)
.
d) Argumente que,embora G( jω) seja diferente de X ( jω), G( j πk2 ) = X ( j πk2 ) para to-
dos os k inteiros. Você nao deve obter explicitamente G( jω) para responder a este
item.
Resposta:
a)
x(t ) = x1(t )∗x1(t )
onde x1(t ) =
{
1, |ω| < 1/2
0, other wi se
X1( jω) = 2 si n(ω/2)ω
X ( jω) = X1( jω)X1( jω) =
[
2 si n(ω/2)ω
]2
b)
c)
d)
F ( jω) = X ( jω)π2
∑∞
k=−∞δ( j (ω−k π2 )) =G( jω)π2
∑∞
k=−∞δ( j (ω−k π2 ))
Pode ser reescrito como:
F ( jω) = π2
∑∞
k=−∞ X ( jπk/2)δ( j (ω−k π2 )) = π2
∑∞
k=−∞G( jπk/2)δ( j (ω−k π2 ))
Isso é possível se:
G( jπk/2) = X ( jπk/2)
9
12. Na figura abaixo, é mostrado uma implementação de um filtro passa-faixa usando mo-
dulação senoidal e filtros passa-baixas. Demonstre que a saída y(t) do sistema é idên-
tica àquela que seria obtida através da modulação com portadora exponencial com-
plexa retendo apenas a parte real da saída.
Resposta:
g1(t ) é a resposta de H1( jω) a x(t )cosωc t e
g2(t ) a resposta de H2( jω) a x(t )si nωc t
y(t ) = x(t )e jωc t = x(t )cosωc t + j x(t )si nωc t
ω(t ) = g1(t )+ j g2(t )
f (t ) = e− jωc tω(t ) = [cosωc t − j si nωc t ][g1(t )+ j g2(t )]
A parte real de f(t):
g1(t )cosωc t + g2(t )si nωc t
13. Esboce a representação por diagrama de blocos na forma direta I e II das equações
diferenciais e das equações das diferenças abaixo.
a) y(t ) = x(t )+0,5x ′(t )+3y ′(t ).
b) y(t )+ dd t y(t )−4 d
3
d t y(t ) = x(t )+3 d
5
d t x(t ).
c) 3y(t ) = x(t )−2x ′(t )+x ′′(t )−0,3x ′′′(t ).
d) y[n] = x[n]+2x[n −1]+3x[n −2]+0,9y[n −1].
e) 2y[n]+ y[n −1]−4y[n −3] = x[n]+3x[n −5].
f) y[n] = x[n]−x[n −1]+2x[n −2]−3x[n −4].
14. Considerando a condição inicial de repouso, encontre as respostas ao impulso dos sis-
temas LIT descritos pelas equações a seguir (Dica: questões 2.55 e 2.56 do Oppenheim).
10
a) y ′′(t )+3y ′(t )+2y(t ) = x(t ).
Resposta:
Condições iniciais: y(0+) = 0, y ′(0+) = 1.
Equação homogênea: s2 +3s +2 = 0 → s =−2;−1.
Solução: h(t ) = Ae−2t +Be−t ,t ≥ 0
Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−t −e−2t )u(t )
b) y ′′(t )+2y(t )+2y(t ) = x(t ).
Resposta:
Condições iniciais: y(0+) = 0, y ′(0+) = 1.
Equação homogênea: s2 +2s +2 = 0 → s =−1± j .
Solução: h(t ) = Ae(−1+ j )t +Be(−1− j )t = e−t [Ae j t +Be− j t ],t ≥ 0
Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−t sin t )u(t )
c) y[n]− 15 y[n −1] = x[n].
Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] = 15 y[n −1]+x[n]
n x[n] 15 y[n −1] y[n]
0 1 0 1
1 0 1 1
2 0 1 1
3 0 1 1
4 0 1 1
h[n] =
{
0 , n < 0
1 , n ≥ 0
d) y[n]− y[n −2] = x[n].
Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] = y[n −2]+x[n]
n x[n] y[n −2] y[n]
0 1 0 1
1 0 0 0
2 0 1 1
3 0 0 0
4 0 1 1
5 0 0 0
6 0 1 1
11
h[n] =
{
0 , n < 0 e n > 0, ímpar
1 , n ≥ 0, par
e) y[n]− y[n −2] = 2x[n]−3x[n −4].
Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] = y[n −2]+2x[n]−3x[n −4]
n 2x[n] −3x[n −4] y[n −2] y[n]
0 2 0 0 2
1 0 0 0 0
2 0 0 2 2
3 0 0 0 0
4 0 −3 2 −1
5 0 0 0 0
6 0 0 −1 −1
h[n] =

2 , n = 0 e n = 2
−1 , n ≥ 4
0 , caso contrário.
15. (Computacional) A partir do link http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?
database=nstdb&tool=plot_waveforms, baixe um sinal de ECG em formato mat de
duração de 1 minuto. Em seguida, carregue-o no matlab:
load signal.mat
x = val(1,:)
t = linspace(1,60,length(x));
plot(t,x); A imagem deve ser semelhante a:
12
http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?database=nstdb&tool=plot_waveforms
http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?database=nstdb&tool=plot_waveforms
Em seguida, insira um ruido gaussiano branco com SNR de 10dBw:
y = awgn(x,10,’measured’);
a) Construa um filtro de média movel de duas amostras e convolua com o sinal de
entrada. Plote o sinal resultante da convolução.
b) Construa um filtro de média movel de três amostras e convolua com o sinal de
entrada. Plote o sinal resultante da convolução.
c) O que se pode inferir dos resultados de a) e b).
d) Plote a fase e magnetude dos filtros média móvel de duas e três amostras. Discuta
o resultado.
e) Plote as curvas de nível para a forma generalizada do filtro de média móvel, para
M=0,1,...,10 e N=0,1,...,10 e convolua cada uma com o sinal de ECG ruidoso. Dis-
cuta os resultados.
Resultado Esperado:
13
14