Exercício resolvido - Calcule a força elétrica gerada em uma carga por um aro semicircular com densidade linear de cargas constante.

Aluna: Ana Julia Marchi Crocciari 
Exercício: Calcule a força elétrica gerada em uma carga (q) por um aro semicircular (Q) 
com densidade linear de cargas (𝜆) constante. Sendo que a carga está alinhada com o 
centro desse pedaço de anel. 
 
Resolução: 
Esquema da situação: 
 
Para resolver esse problema, vamos dividir (fragmentar) esse aro semicircular em 
muitos pedaços pequenininhos (dl; infinitesimais). De modo que, cada pedacinho 
apresente uma carga bem pequena em seu interior (dQ). 
 
A partir dessa carga (dQ), podemos escrever a Lei de Coulomb: 
𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
A expressão acima refere-se à força gerada somente por um pedacinho. 
Para saber a força em todo o fio, faz-se a integração. 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
 
Antes, é importante ter atenção quanto à simetria do problema, para tentar eliminar a 
parte vetorial da integral e, dessa maneira, facilitar a resolução do problema. 
(Os argumentos de simetria são muito importantes para a solução de problemas em 
Eletromagnetismo) 
 
Em que direção a força elétrica apontará? 
A força que essa carga sentirá é necessariamente para baixo, passando pelo centro do 
aro semicircular. 
 
 
Como saber isso? 
A carga “dQ” provocará uma força “dFe” na direção “r” (diagonal). No entanto, note que 
para todo pedacinho de carga, sempre existirá um outro pedacinho oposto a ele, em 
relação ao eixo semicircular. 
Como a densidade de cargas é constante, os módulos dessas forças “dFe” são iguais, 
bem como a angulação. De modo que as componentes horizontais das forças “dFe” 
gerada pelo pedacinho e pelo outro pedacinho se cancelam, resultando apenas na 
componente vertical. 
 
Não teremos componente horizontal da força, pois elas se cancelam. Sendo assim, é 
possível fazer a integral somente da componente vertical, o que facilita a solução do 
problema. 
Afinal, somando vetores que apontam para uma mesma direção, basicamente podemos 
somar o módulo deles. Isto é, o aspecto vetorial da questão é simplificado, passando a 
ter uma integral comum, que pode ser resolvida com mais facilidade. 
 
𝑑𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
|r |²
�̂� 
 
Portanto: 
𝐹𝑒 = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r²
 
 
Acima temos o módulo da força elétrica. 
Para pegar a componente vertical, precisamos definir certo ângulo teta. 
Essa escolha é arbitrária. 
 
 
Note que: 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 
𝑑𝐹𝑒𝑣
𝑑𝐹𝑒
 
 
Assim, para a componente vertical, basta pegar: 
𝑑𝐹𝑒𝑣 = (𝑑𝐹𝑒)𝑐𝑜𝑠 𝜃 
Portanto: 
 
𝐹𝑒 = ∫ 
1
4𝜋𝜀0
 
𝑞𝑑𝑄
r²
𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
Nesse problema, o ângulo (𝜃) varia para cada (dl). 
Vamos tentar simplifica-lo mais para frente. 
 
Levando em conta a distribuição de cargas: 𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 
 
Em relação ao fio, (r) também é constante. 
Observação: Trata-se de um módulo. Apesar do vetor ser diferente, o módulo dele é igual 
para qualquer ponto do anel. Afinal, a carga está no centro do aro. 
E a densidade (𝜆) também é constante. 
 
Logo: 
𝐹𝑒 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆∫𝑑𝑙. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
Existem duas maneiras de resolver esse problema: 
 O cosseno varia dependendo do (dl). Portanto, o ângulo (𝜃) pode ser escrito em 
termos do comprimento do fio (mais complicado). 
 No entanto, como trata-se de um aro circular, tratar o problema utilizando 
ângulos é mais fácil. Afinal, o ângulo é definido justamente pra facilitar questões 
que envolvem circunferência. 
 
Para cada (dl), pode-se definir uma pequena seção circular (infinitesimal), com certo 
ângulo (também infinitesimal; 𝑑𝜃). 
 
Lembre-se: 
𝜃 =
𝑙
𝑅
 
 L = comprimento do arco 
 R = raio da semicircunferência 
 𝜃 = ângulo varrido pelo comprimento. 
 
Como temos infinitesimais: 
𝑑𝜃 =
𝑑𝑙
𝑅
 
Ou seja: 𝑑𝑙 = 𝑅.𝑑𝜃 
 
Portanto: 
𝐹𝑒 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆∫𝑑𝑙. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝐹𝑒 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆∫(𝑅.𝑑𝜃). 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝐹𝑒 =
𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆∫ 𝑑𝜃. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
Quais serão os limites de integração? 
O ângulo (𝜃) foi definido a partir da reta que passa pelo centro (direção da força). 
Sendo assim, temos que ir de (-𝜋/2) até (𝜋/2), para varrer o fio todo. 
 
𝐹𝑒 =
𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆∫ 𝑑𝜃. 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜋/2
−𝜋/2
 
 
Uma outra possibilidade seria perceber que uma das metades do fio produzirá uma 
contribuição de força igual a outra metade. Dessa maneira, integrar de zero até (𝜋/2) e 
multiplicar essa integral por 2. 
 
𝐹𝑒 =
𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆[𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜋/2) − 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜋/2)] 
𝐹𝑒 =
𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆[1 − (−1)] 
𝐹𝑒 =
2𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝜆 
Como (𝜆) é constante, podemos escrever: 
𝜆 = 
𝑄
𝜋𝑅
 
(meia circunferência) 
 
Portanto: 
𝐹𝑒 =
2𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝑄
𝜋𝑅
 
 
Definindo uma direção (-�̂�) de cima para baixo, da direção da força elétrica, temos: 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = −
2𝑅
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅²
𝑄
𝜋𝑅
�̂� 
Logo: 
𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ = −
𝑞𝑄
2𝜋²𝜀0
1
𝑅²
�̂� 
 
Referências bibliográficas: 
[1] https://youtu.be/7B2qJOT5nQY 
[2] "Eletrodinâmica" - David J. Griffiths