ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA DE CÁLCULO VETORIAL

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CÁLCULO VETORIAL 
 
 
Nome Completo 
Matrícula 
Curso Engenharia Mecânica 
Sendo o campo vetorial “F” definido como F(x,y,z) = -1/1xi – 1/2yi + 1/4k, e a 
curva definida por r(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk, calculamos o trabalho feito pela 
partícula entre os pontos (1,0,0) e (-1,0,4𝜋). 
Primeiramente, para que seja possível realizar o cálculo, é necessário utilizar a 
integral de linha, definida como: 
W = ∫ 𝐹𝑐 . dr = ∫ 𝐹
𝑏
𝑎
 (x(t), y(t), z(t)) . r´(t) dt 
Posteriormente, resta agora calcular os valores do campo “F” com os parâmetros 
(x(t), y(t), z(t)) e o vetor tangente r´(t). Sabendo como definisse o r(t), temos: 
r(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk = x(t) i + y(t) j + z(t) k 
Onde teremos o x(t), y(t) e o z(t): 
x(t) = cos(t) 
y(t) = sen(t) 
z(t) = t 
Assim, reescreve-se o campo F em função dos novos parâmetros: 
F (x(t), y(t), z(t)) = - 
1
2
(cos(t))i – 
1
2
(sen(t))j + 
1
4
k 
Calculando-se, assim o r´(t): 
R(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk r´(t) = 
𝜕 cos(𝑡)𝑖
𝜕𝑡
 + 
𝜕 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗
𝜕𝑡
 + 
𝜕𝑡𝑘
𝜕𝑡
 = -sen(t)i + cos(t)j + 
k 
Por fim, tendo calculado o vetor tangente r´(t), resta apenas efetuar o cálculo do 
trabalho a partir da definição de integral de linha: 
W = ∫ 𝐹𝑐 . dr = ∫ 𝐹
𝑏
𝑎
 (x(t), y(t), z(t)) . r´(t) dt = 
∫
𝑏
𝑎
(- ½ (cos(t))i – ½ (sen(t))j + ¼ k) . (- sen(t)i + cos(t)j + k) dt = 
∫
4𝜋
0
(- ½ sen(t) cos(t) - ½ sen(t) cos(t) + ¼) dt = 
∫
4𝜋
0
(¼) dt = ¼ 𝑡| 0
4𝜋 = 
4𝜋
4
 
 
Outra forma muito comum de integral de linha é definida com base no campo 
vetorial F(x,y) = Mi + Nj e a curva C, que é da forma: 
r(t) = x(t)i + y(t)j 
Essa forma é chamada de forma diferencial, e em uma curva C descrita na forma: 
∫ 𝐹𝑐 .dr = ∫ 𝑀𝑐 dx + Ndy 
No entanto, a definição acima é válida quando se trata de duas variáveis. Para 
usar esta integral de linha para três variáveis, deve-se adicionar outro coeficiente 
ao parâmetro z: 
∫ 𝐹𝑐 .dr = ∫ 𝑀𝑐 dx + Ndy + Pdz 
Outro ponto importante sobre integrais de linha é o Teorema Fundamental das 
Integrais de Linha, que é muito semelhante ao Teorema Fundamental do Cálculo 
e permite calcular integrais. Portanto, devemos considerar os seguintes campos 
conservativos: 
F(x,y) = Mi + Nj 
Considerando também M e N contínuos, e a curva C dada pela expressão: 
r(t) + x(t)i + y(t)j 
Levando em conta que ela varia da forma a ≤ t ≤ b. A partir desses dados, 
seguimos o teorema: 
∫ 𝐹𝑐 .dr = ∫ 𝛻𝑓𝑐 .dr = 𝑓 (x(b), y(b)) - 𝑓 (x(a), y(a)) 
Recordando-se que a equação F(x,y) = ∇f(x,y) se refere ao campo conservativo, 
ou seja, existe uma função escalar f(x,y), chamada de função potencial, o que 
torna esta equação verdadeira. Variáveis, desde que mais uma coordenada 
espacial seja considerada, a igualdade acima pode ser pensada. A equação que 
define este teorema para três variáveis seria: 
∫ 𝐹𝑐 .dr = ∫ 𝛻𝑓𝑐 .dr = 𝑓 (x(b), y(b), z(b)) - 𝑓 (x(a), y(a), z(a)) 
Sob as mesmas condições do teorema, a afirmação equivalente é que os 
caminhos na região são independentes. Dado um campo F atuando nessa região 
particular, e esse campo é conservativo, o caminho percorrido em algum ponto 
pré-fixado (por exemplo, entre (0,0) e (1,1)) resulta na mesma integração 
numérica ∫ 𝐹𝑐 .dr. Assim, esta interpretação nos mostra que o resultado da 
integração é independente do caminho escolhido entre os pontos pré-
determinados. Pode-se pensar também que caminhos cíclicos, ou seja, 
caminhos que começam e terminam no mesmo ponto, resultam em zero. Em 
outras palavras, a integral ∫ 𝐹𝑐 .dr = 0. 
Vale ressaltar que, a recíproca é verdadeira, ou seja, caso a integral fosse 
independente do caminho, o campo F seria conservativo. Toda essa 
interpretação é válida somente porque essa curva conecta dois pontos pré-
fixados em uma região denominada “aberta” e “conectada”. 
 
 
 
REFERENÊCIAS 
ANTON, H.; BIVIENS, I.; STEHPEN, D. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2014, v. 1. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 
2012. 
FERREIRA, Juliano Cezar; PIERMATEI, Orestes. Integral de linha de campos 
vetoriais/trabalho realizado: imagem de conceito e definição de conceito. 
2013. Disponível em: http://funes.uniandes.edu.co/18558/. Acesso em 30 mar. 
2022. 
http://funes.uniandes.edu.co/18558/