Cap37

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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m.
Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a TERCEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37,
pa´gina 316] 2
37.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma
Lista Proviso´ria – (1/2) . . . . . 2
37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos
– (3/5) . . . . . . . . . . . . . . 2
37.2.3 Corrente de Deslocamento –
(6/15) . . . . . . . . . . . . . . 3
37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista
Completa – (16/20) . . . . . . . 4
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(lista3.tex)
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37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37, pa´gina 316]
37.1 Questo˜es
Q 37-3.
Por que e´ ta˜o fa´cil mostrar que “um campo magne´tico
varia´vel produz um campo ele´trico”, mas e´ ta˜o difı´cil
mostrar de um modo simples que “um campo ele´trico
varia´vel produz um campo magne´tico”?
� Porque os campos magne´ticos devidos a campos
ele´tricos varia´veis sa˜o extremamente fracos. Isto deve-
se ao coeficiente �������	�
�
�
do termo ����������� na lei
de Ampe`re-Maxwell ser muito pequeno em relac¸a˜o ao
outro termo da equac¸a˜o. A constante � representa a ve-
locidade da luz.
37.2 Problemas e Exercı´cios
37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma Lista Pro-
viso´ria – (1/2)
E 37-1.
Verifique o valor nume´rico da velocidade escalar da luz
usando a Eq. 37-1 e mostre que a equac¸a˜o esta´ dimen-
sionalmente correta. (Veja o Apeˆndice B.)
� No Apeˆndice B, pa´g. 321, encontramos que
����� ff�fiffifl��� ! �"$#&%� 'ff)(*",+-ff�%/.10 H/m 2
3
�
� 4'fi 4*�5(6ff�4$#&4'ff7#& *fl8+-ff�%/.
:9
F/m fi
Portanto,
�;�
<
ff
�������
�=fl/fi >�>�#?>�"$�6+-ff�%*@ m/s fi
O Apeˆndice B informa que o valor experimental de � e´
�;�Afl'fi >*>$#?>$fl5(B��4,+CffD%�@ m/s fi
Na˜o deixe de fazer a ana´lise dimensional pedida!
E 37-2.
(a) Mostre que E � � �5� � �F"$#�#HG . (Esta grandeza e´
chamada de “impedaˆncia do va´cuo”.) (b) Mostre que a
frequ¨eˆncia angular correspondente a *% Hz e´ igual a "$#*#
rad/s. (c) Compare os itens (a) e (b). Voceˆ acha que esta
coincideˆncia tenha influido ma escolha de �% Hz para os
geradores de corrente alternada? Lembre-se de que na
Europa usam ��% Hz.
� (a)
<
� �
���
�
<
ff�fiffifl��� ! �"$#;%� IffJ(*"8+-ff�%
.10
H/m
4'fi 4*��(Kff�4�#?4'ff5#? *fl8+-ff�%
.
L9
F/m
� "�#5 'fiM#5"*%;GNfi
(b) O
0
�N�Afl�PNQ	�=fl5PR �%K�="$#� 'fi >�>Iff Hz fi Por outro lado,
O�SL�B�T"'ffU(VfiWff7��> Hz fi
(c) Espac¸o reservado para sua resposta:
37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos – (3/5)
E 37-3.
Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, quais as possı´veis
distaˆncias onde o campo magne´tico induzido se reduz
a` metade do seu valor ma´ximo?
� Seja X o raio da placa do capacitor e Y a distaˆncia a
partir do eixo do capacitor. Para pontos tais que Y[ZAX
a magnitude do campo magne´tico e´ dada por
\H]
Y�^��
���D���_Y
fl
�$`
���
enquanto que para Y8abX ela e´ dada por
\[]
Y5^��
�
�
�
�
X
9
fl5Y
�$`
���
fi
O campo magne´tico ma´ximo ocorre nos pontos em que
YR�TX sendo enta˜o seu valor dado por qualquer uma das
fo´rmulas acima:
\
max �
��������X
fl
�$`
���
fi
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Existem dois valores de Y para os quais \H] Y�^c�
\
max ��fl : um menor do que X e um maior. O valor
menor do que X pode ser encontrado resolvendo-se em
termos de Y a equac¸a˜o
\H]
Y�^)�
� � � � Y
fl
�$`
�*�
�
� � � � X
(
�*`
�*�ed
�
\
max
fl f
fi
O resultado e´ Y-�gXK��flh�i�*�*��flh�ifl*#/fi � mm fi O valor
que e´ maior do que X e´ obtido resolvendo-se para Y a
equac¸a˜o
\H]
Y�^)�
��������X
9
fl5Y
�*`
�*�
�
��������X
(
�$`
���
fi
O resultado e´ YR�Afl�X=�=fl8+j���R�kff*ff�% mm fi
37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15)
E 37-6.
Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de
placas paralelas pode ser escrita como
l:m
�An
��o
���
fi
� A corrente de deslocamento e´ dada por
lpm
�T����q
�*`
�*�
2
onde q e´ a a´rea de uma das placas e ` e´ a magnitu-
de do campo ele´trico entre as placas. O campo entre as
placas e´ uniforme, de modo que `r�so��5� , onde o e´ a
diferenc¸a de potencial entre as placas e � e´ a separac¸a˜o
das placas. Portanto
l
m
�
���Dq
�
��o
���
�Tn
��o
�*�
2
uma vez que ���DqN�5� e´ a capacitaˆncia n de um capacitor
de placas paralelas “cheio de va´cuo”.
E 37-7.
Dispo˜e-se de um cacitor de placas paralelas de fft� F. Co-
mo seria possı´vel obter uma corrente de deslocamento
(instantaˆnea) de ff A no espac¸o entre as placas?
� Para tanto basta variar o potencial entre as placas a
uma taxa de
��o
���
�
l:m
n
�
ff A
ff�%
.u0
F
�vff�%
0 V/s fi
E 37-8.
Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, mostre que a densida-
de de corrente de deslocamento w m para Y[ZxX , e´ dada
por
w
m
�T���
�*`
�*�
fi
� Considere uma a´rea q , normal a um campo ele´trico
y
. A densidade de corrente de deslocamento e´ uniforme
e normal a` a´rea. Sua magnitude e´ dada por w m � l m �zq .
Nesta situac¸a˜o temos
l:m
�T���Dq
�$`
���
2
de modo que
w
m
�
ff
q
����q
�*`
���
�A���
�$`
���
fi
P 37-14.
Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir di-
retamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamen-
to
l:m
entre as placas de um capacitor de placas paralelas,
submetido a uma diferenc¸a de potencial alternada, como
esta´ sugerido na Fig. 37-1. Ele usou placas circulares
cujo raio efetivo era de (*% cm e cuja capacitaˆncia era
de ffD%�% pF. A diferenc¸a de potencial aplicada tinha um
valor ma´ximo oI{ de ff5#7( kV na frequ¨eˆncia de ��% Hz.
(a) Qual foi a corrente de deslocamento ma´xima obtida
entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferenc¸a
de potencial ta˜o elevada? (A delicadeza destas medidas
e´ tal que elas so´ foram realizadas diretamente mais de
60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito
de corrente de deslocamento!)
� (a) Use os resultados do Exercı´cio 37-6, com oc�
o
{ sin
]
fl5P|Ou�L^ . A derivada em relac¸a˜o ao tempo e´
��o������c� fl�P|O�o
{C}_~$
]
fl�P|Ou�L^ , de modo que l:m �
fl�P|O�nRo
{C}_~$
]
fl�P|Ou�L^ , sendo a corrente de deslocamen-
to ma´xima dada por
l
m
max � fl5P|O�nRoV{
� fl5P
]
��%*^
]
ffD%�%€+CffD%/.
L9
^
]
ff7#5(+CffD%�‚U^
� �/fi (�#6+-ff�%
.1‚ A fi
(b) A corrente de deslocamento ma´xima e´ diretamente
proporcional a` ma´xima diferenc¸a de potencial aplicada.
Um valor grande de o { produz um valor de l:m max mais
facilmente mensura´vel do que com oV{ menor.
P 37-15.
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O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas cir-
culares de raio Xi�ƒffD4 cm esta´ ligado a uma fonte de
fem „…�F„/{ senQJ� , onde „�{†�‡fl�fl�% V e Qˆ�eff�"*%
rad/s. O valor ma´ximo da corrente de deslocamento e´
l:m
�‰#�fi €� A. Despreze a distorc¸a˜o do campo ele´trico
nas bordas das placas.(a) Qual e´ o valor ma´ximo da
corrente
l ? (b) Qual e´ o valor ma´ximo de �����?�5�*� , onde
��� e´ o fluxo ele´trico na regia˜o entre as placas? (c) Qual
e´ a separac¸a˜o � entre as placas? (d) Determine o valor
ma´ximo do mo´dulo de Ł entre as placas a uma distaˆncia
YK�kff*ff cm do centro.
� (a) Para qualquer instante � , a corrente de desloca-
mento
l:m
existente no espac¸o entre as placas e´ igual
a` corrente conduc¸a˜o l nos fios. Portanto ‹ max �
l m
max �=#/fi �� A.
(b) Como l:m �T��� ] �/���������L^_2
d
�/�
�
���
f max
�
l
m
max
�
�
�
#�fi ,+CffD%
.u0
A
4'fi 4*�€+-ff�%
.
:9
F/m
� 4'fiffi��>8+-ff�%
S V Œm/s fi
(c) De acoˆrdo com o Exercı´cio 37-6
l:m
�
����q
�
�$o
�*�
fi
Na situac¸a˜o em questa˜o, a diferenc¸a de potencial atrave´s
do capacitor coincide em magnitude com a fem do
gerador, de modo que o �„ { sen QJ� e ��o��5�*�Ž�
QJ„/{
}U~*
QJ� . Portanto
l:m
�
�
�
q&QJ„/{
�
 z‘ ’
“[”–•
max
}U~*
QJ�zfi
donde se tira facilmente que
� �
�
�
q&QJ„/{
l
m
max
�
]
4'fi 4*�8+-ff�%
.
L9
^—P
]
%'fi˜ff�4$^
9
]
ff�"*%*^
]
fl�fl�%*^
#/fi 8+-ff�%
.u0
� "Ifi "*>8+CffD%
.u‚ m 2
onde usamos o fato que q=�™P—X
9
.
(d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell na forma š8ŁsŒD�$›K�
�
�
‹
m
, onde o caminho de integrac¸a˜o e´ um cı´rculo de
raio Y entre as placas, paralelo a elas. ‹ m e´ a corren-
te de deslocamento atrave´s da a´rea limitada pelo ca-
minho de integrac¸a˜o. Como a densidade da corren-
te de deslocamento e´ uniforme entre as placas, temos
‹
m
�
]
Y
9
��X
9
^
l m
, onde l m e´ a corrente de deslocamen-
to total entre as placas e X e´ o raio da placa. As li-
nhas de campo sa˜o cı´rculos no eixo das placas, de modo
que B e´ paralelo ao vetor �*› . A magnitude do campo
e´ constante ao longo da trajeto´ria circular, de modo que
š8ŁkŒD�*›N�Tfl5P�Y
\
. Logo,
fl�P�Y
\
�œ���
d
Y
9
X
9
f
l:m
dando
\
�
� �
l m
Y
fl�P—X
9
fi
O campo magne´tico ma´ximo e´ dado por
\
max �
� �
l m
max Y
fl�P—X
9
�
]
(�P-+-ff�%
.1
^
]
#�fi ,+-ff�%
.10
^
]
%'fi˜ff�ff7^
fl5P
]
%'fi˜ff�4$^
9
� �/fi˜ff� 8+CffD%
.
:9
T fi
37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista Completa –
(16/20)
P 37-20.
Uma longa barra cilı´ndrica condutora, de raio X , esta´
centrada ao longo do eixo ž como mostra a Fig. 37-11.
A barra possui um corte muito fino em žŸ�T  . Uma cor-
rente de conduc¸a˜o l , aumentando no tempo e dada por
l
�k¡¢� , percorre a barra da esquerda para a direita; ¡ e´
uma constante de proporcionalidade (positiva). No ins-
tante �J�A% na˜o existe cargas nas faces do corte pro´ximo
a žh�x  . (a) Determine o mo´dulo da carga nessas faces
em func¸a˜o do tempo. (b) Use a Eq. I da Tabela 37-2
para determinar ` no intervalo entre as faces em func¸a˜o
do tempo. (c) Esboce as linhas de Ł para YH£=X , onde
Y e´ a distaˆncia ao eixo ž . (d) Use a Eq. IV da Tabela 37-
2 para determinar \[] Y�^ no intervalo entre as faces para
YCZsX . (e) Compare a resposta do item (d) com \[] Y�^
na barra para Y€Z¤X .
� (a) No instante � a carga na face direita e´ dada por
¥
�A¦	§
�
l
�*�)�A¦	§
�
¡¢�¨�*�J�
ff
fl
¡¢�
9
fi
Para o mesmo instante, o valor da carga na face esquerda
e´ ©;¡|�
9
��fl .
(b) Use uma superfı´cie Gaussiana com a forma de um
cilindro, conceˆntrica com a barra condutora, com um
extremo dentro do intervalo onde existe o corte e o outro
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dentro da barra a` esquerda do corte, (conforme ilustra-
do na figura a` direita). O campo ele´trico esta´ na direc¸a˜o
positiva do eixo ž de modo que precisamos apenas con-
siderar as faces do cilindro. A magnitude do campo
ele´trico na face esquerda e´ dado por ªIw , onde ª e´ a re-
sistividade da barra e w e´ a densidade de corrente.
Denotemos por ` a magnitude do campo na face direita.
Ale´m disto, suponhamos que a densidade de corrente e´
uniforme na face esquerda e que o campo ele´trico e´ uni-
forme na face direita. Neste caso,
«
y
ŒD�*¬r�v©&ªIw—q®­®`KqK2
onde q e´ a a´rea de uma das faces. No´s supomos ainda
que a resistividade e´ ta˜o pequena que nos permita des-
prezar o termo acima no qual ela aparece. A lei de Gauss
fica `Kqx�A¯€�5��� , onde ¯ e´ a carga na barra e dentro da
superfı´cie Gaussiana. A a´rea da face do cilindro Gaus-
siano e´ q°�sP�Y
9
, onde Y e´ o raio, e a carga englobada
pela Gaussiana e´ ¯ˆ� ] Y
9
�5X
9
^
¥
, onde ¥ e´ a carga na
face da barra. Portanto
`v�
¥
P—�
�
X
9
�
¡¢�
9
fl5P—�±X
9
2
onde o resultado obtido no item (a), ¥ �A¡|� 9 ��fl , foi usa-
do.
(c) As linhas de campo magne´tico formam cı´rculos que
sa˜o conceˆntricos com o eixo da barra (eixo ž ), estando
em planos paralelos a`s faces da barra.
(d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell:
«
ŁvŒU�$›B�T���
l
­²���D�³�
���
�
�*�
fi
Como caminho de integrac¸a˜o escolha um cı´rculo que
coincida com uma linha de campo magne´tico. Suponha
que o raio do caminho de integrac¸a˜o seja Y (com Y€£™X )
e que
\
seja a magnitude do campo para pontos sobre o
caminho. Enta˜o š€ŁxŒ��*›B�
\
fl�P�Y . Na regia˜o do corte a
corrente e´ zero e apenas a corrente de deslocamento con-
tribui no lado direito da equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell.
Como temos
�/���
�*�
�Tq
�*`
�*�
�œP�Y
9
¡¢�
P—� � X
9
�
¡¢�pY
9
� � X
9
2
a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell nos fornece
\
fl�P�Y´�T�������
¡|�pY
9
� � X
9
fi
Portanto
\
�
����¡¢�pY
fl�P—X
9
fi
O campo magne´tico dentro da barra, a uma distaˆncia Y
do seu eixo, e´ dado exatamente pela mesma expressa˜o.
Neste caso, somente a corrente de conduc¸a˜o contribui
no lado direito da lei de Ampe`re-Maxwell. Tome o ca-
minho de integrac¸a˜o como sendo um cı´rculo centrado
no eixo e paralelo a`s faces da barra. A corrente atrave´s
do cı´rculo e´
]
Y
9
�5X
9
^
l
e a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell
fornece
\
fl�P�Y´�T�
�
Y
9
X
9
l
2
de modo que
\
�
�
�
l
Y
fl�P—X
9
�
�
�
¡¢�pY
fl5P—X
9
2
onde substituimos l por ¡¢� .
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