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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 Exercı´cios Resolvidos de ´Optica Fı´sica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a TERCEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a SEXTA edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 37 Difrac¸a˜o 2 37.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es dos mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz difratada por uma fenda — me´todo quantitativo . . . . . . . . 3 37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 37.5 Difrac¸a˜o por duas fendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 37.6 Redes de difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 37.7 Redes de difrac¸a˜o: dispersa˜o e resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 37.8 Difrac¸a˜o de raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 37 Difrac¸a˜o 37.1 Problemas e Exercı´cios 37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es dos mı´nimos E 37-1 (41-3/4 � edic¸a˜o) Um feixe de luz de comprimento de onda de ����� nm in- cide em uma fenda estreita. O aˆngulo entre o primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o de um lado do ma´ximo central e o primeiro mı´nimo do outro lado e´ ��� �� . Qual e´ a largura da fenda? � Basta usar a fo´rmula � sen ������ , com ����� e ������ �� ����ff�flfiffi� � . Portanto ��� � sen � �����! �"fi$#&% sen fiffi� � � � fiffi� ')( m � E 37-4 (41-5/4 � edic¸a˜o) A distaˆncia entre o primeiro e o quinto mı´nimo de uma figura de difrac¸a˜o de uma fenda e´ fiffi� ��* mm, com a tela a '�fi cm de distaˆncia da fenda, quando e´ usada uma luz com um comprimento de onda de *�* fi nm. (a) determine a largura da fenda. (b) Calcule o aˆngulo do primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o. � (a) Chamando de + a posic¸a˜o do primeiro mı´nimo ( ��,-�.� ) na tela, e de +0/21�+ a posic¸a˜o do quinto mı´nimo ( �435� * ), temos que 687�9 , � + :<; 687�9 3 � +ff/=1�+ : � que nos fornecem 6>7�9 3@? 687�9 , � 1A+ : � Como +CBD1A+ , podemos aproximar 687�9 3 � +E/F1A+ : G 1�+ : � fiffi� ��* 'Hfi�fi �flIffi�KJ *� �Lfi #NM � Este nu´mero pequeno nos informa que vale a aproxima- c¸a˜o 687�9 35G 3 e, como ,@O 3 , que 687�9 ,@G , . Nestas aproximac¸o˜es podemos escrever 6>7�9 P3 ? 6>7�9 �, G P3 ? �,)�fl1� �� 1�+ :Q� Por outro lado, sabemos que � sen �,@�<��,R� e � sen P35�S�43)� ; donde tiramos facilmente sen 3R? sen ,@G 3@? , �T1� A� U � 3@? � ,WV � � � Comparando as duas expresso˜es para 1� vemos que 1�+ : � U � 3@? � ,�V � � � U 1�� V � � � Portanto �!� : � U � 3)? � ,�V 1�+ � U '�fi�fi V U *�* fi �"fi$#&X V U * ? � V fiY� �H* � �ffi� * mm � (b) Para �Z�2� sen A� ��� � � U � V U *�* fi �"fi$#&X V �$� * �T�$� � �"fi #[M ; e, portanto, o aˆngulo pedido e´ A� sen # , U �$� � �Lfi #[M V �fl�ffi� � �"fi #NM rad � P 37-6 (41-9/4 � edic¸a˜o) Ondas sonoras com uma frequ¨eˆncia de � fi�fi�fi Hz e uma velocidade de � ' � m/s passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande au- dito´rio. A abertura, que tem uma largura horizontal de � fi cm, esta´ voltada para uma parede que fica a �"fi�fi m de distaˆncia (Fig. 37.32). Em que ponto desta parede um ouvinte estara´ no primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o e, portanto, tera´ dificuldade para ouvir o som? (Ignore as reflexo˜es.) � Suponha que o primeiro mı´nimo esteja a uma distaˆncia + a partir do eixo central, perpendicular ao alto-falante. Neste caso, para �Z��� temos sen E� + \ : 3 /=+ 3 � �4� � � � � � Resolvendo esta equac¸a˜o para + obtemos +�� : \ U �ffi��� V 3 ? � � : \ U �$]^�`_�a V 3 ? � � �Lfi�fi \ b U fiffi� � V U � fi�fi�fi V � � ' ��c 3 ? � � '[��� � m � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz difratada por uma fenda — me´todo quantitativo E 37-9 (41-13/4 � edic¸a˜o) Quando a largura de uma fenda e´ multiplicada por � , a intensidade do ma´ximo central da figura de difrac¸a˜o e´ multiplicada por ' , embora a energia que passa pela fenda seja multiplicada por apenas � . Explique quanti- tativamente o que se passa. � E 37-10 (41-12/4 � edic¸a˜o) Uma luz monocroma´tica com um comprimento de on- da de *�� I nm incide em uma fenda com uma largura de fiffi� fi�� * mm. A distaˆncia entre a fenda e a tela e´ � � * m. Considere um ponto na tela a ���d� cm do ma´ximo cen- tral. (a) Calcule o valor de neste ponto. (b) Calcule o valor de e . (c) Calcule a raza˜o entre a intesidade neste ponto e a intensidade no ma´ximo central. � (a) �� sen # ,[f ���d� � � *hg �flfiffi�d�"I � (b) Da Eq. 37.6 temos que ei� fffij � � g sen � j U fiY� fiH� * V *�� I sen fiY�k�LI � fiffi� ' * I rad � (c) Da Eq. 37.5 tiramos que l U V lWm � f sen e e g 3 � f sen fiffi� ' * I fiY� ' * I g 3 �Sfiffi� n � �$� 37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular E 37-15 (41-18/4 � edic¸a˜o) Os dois faro´is de um automo´vel que se aproxima de um observador esta˜o separados por uma distaˆncia de ��� ' m. Qual e´ (a) a separac¸a˜o angular mı´nima e (b) a distaˆncia ma´xima para que o olho do observador seja capaz de resolveˆ-los? Suponha que o diaˆmetro da pupila do ob- servador seja * mm e que use um comprimento de onda de luz de *�* fi nm para a luz dos faro´is. Suponha tambe´m que a resoluc¸a˜o seja limitada apenas pelos efeitos da difrac¸a˜o e portanto que o crite´rio de Rayleigh possa ser aplicado. � (a) Use o crite´rio de Rayleigh, Eq. 37.14. Para resol- ver duas fontes puntiformes o ma´ximo central da figura de difrac¸a˜o de um ponto deve cair sobre ou ale´m do pri- meiro mı´nimo da figura de difrac¸a˜o do outro ponto. Is- to significa que a separac¸a˜o angular das fontes deve ser pelo menos Pop�q��� �����&�Pr , onde � e´ o comprimento de onda e r e´ o diaˆmetro da abertura. Portanto `os� ��� ��� U *�* fi �"fi$#&% V *! �Lfi #&t �u��� � ' �Lfi #NM rad � (b) Sendo v a distaˆncia dos faro´is ao olho quando os faro´is puderem ser pela primeira vez resolvidos, e : a separac¸a˜o dos faro´is, enta˜o : �<v 687�9 Posw<vx Po ; onde foi feita a aproximac¸a˜o de aˆngulos pequenos 687�9 Poyw� Po , va´lida se Po for medido em radianos. Portanto v=� : o � ��� ' ��� � ' �Lfi #[M �u�"fiY� ' km � E 37-19 (41-23/4 � edic¸a˜o) Estime a separac¸a˜o linear de dois objetos no planeta Marte quemal podem ser resolvidos em condic¸o˜es ini- ciais por um observador na Terra. (a) a olho nu e (b) usando o telesco´pio de ��fi�fi polegadas (= * �k� m) do Mon- te Palomar. Use os seguintes dados: distaˆncia entre Mar- te e Terra = I �Lfi�z km; diaˆmetro da pupila = * mm; comprimento de onda da luz = *�* fi nm. � (a) Use o crite´rio de Rayleigh, Eq. 37.14: dois ob- jetos podem ser resolvidos se sua separac¸a˜o angular na posic¸a˜o do observador for maior que o �{��� �����&�Pr , onde � e´ o comprimento de onda da luz e r e´ o diaˆmetro da abertura (do olho ou espelho). Se v for a distaˆncia do observador aos objetos, enta˜o a menor separac¸a˜o + que eles podem ter e ainda ser resolvidos e´ +|�Tv 6>7�9 `opw v} Po , onde Po e´ medido em radianos. Portanto, +~� ��� ����v� r � ��� ��� U I �Lfi , V U *�* fi �"fiffi#N% V *! �"fi #Nt � ���d� �Lfi z m �u���d� �"fi M km � Esta distaˆncia e´ maior do que o diaˆmetro de Marte. Por- tanto, na˜o e´ possı´vel resolver-se totalmente a olho nu dois objetos diametralmente opostos sobre Marte. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 (b) Agora r�� * �d� m e +�� ��� ����v� r � ��� ��� U I �"fi , V U *�* fi �"fiffi#N% V * �d� � ���d� �"fi M m ����� km � Esta e´ a separac¸a˜o mı´nima entre objetos para que pos- sam ser perfeitamente resolvidos com o telesco´pio. E 37-20 (41-25/4 � edic¸a˜o) O sistema de radar de um cruzador emite microondas com um comprimento de onda de ��� � cm, usando uma antena circular com �$� � m de diaˆmetro. `A distaˆncia de � � � km, qual e´ a menor separac¸a˜o entre duas lanchas para que sejam detectadas como objetos distintos pelo radar? � + min � v} o �flv f ��� ����� r g � U � � � �Lfi t V ��� ��� U ��� �! �Lfi$# 3 V �ffi� � � *�� m � P 37-22 (41-29/4 � edic¸a˜o) Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida da Estac¸a˜o ´Optica da Forc¸a Ae´rea, em Maui, Havaı´, e re- fletida pelo oˆnibus espacial Discovery, que estava em o´rbita a uma altitude de �H* ' km. De acordo com as notı´cias, o ma´ximo central do feixe luminoso tinha um diaˆmetro de nffi�d� m na posic¸a˜o do oˆnibus espacial e o comrpimento de onda da luz usada foi * fi�fi nm. Qual o diaˆmetro efetivo da abertura do laser na estac¸a˜o de Maui? (Sugesta˜o: O feixe de um laser so´ se espalha por causa da difrac¸a˜o; suponha que a saı´da do laser tem uma abertura circular.) � A equac¸a˜o que o primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o para aberturas circulares e´ sen A�u��� ��� � r onde � e´ o comprimento de onda da luz e r e´ o diaˆmetro da abertura. A largura + do ma´ximo central e´ definida como a distaˆncia entre os dois primeiros mı´nimos. Portanto, te- mos 687�9 A� +Y��� : ; onde : e´ a distaˆncia entre o laser e o oˆnibus espacial. Como ~BffB� , podemos aproximar 687�9 !w sen �wfl o que nos fornece +Y��� : �2��� ��� � r ; donde tiramos r � ��� ��� � : +Y��� � ��� ��� U * fi�fi �"fi$#&% V U ��* ' �Lfi�t V nY�k�P��� �S'Y�KJ cm � 37.5 Difrac¸a˜o por duas fendas E 37-27 (41-35/4 � edic¸a˜o) A envolto´ria central de difrac¸a˜o de uma figura de difrac¸a˜o por duas fendas conte´m ��� franjas claras e os primeiros mı´nimos de difrac¸a˜o eliminam (coincidem com) franjas claras. Quantas franjas de interfereˆncia existem entre o primeiro e o segundo mı´nimos da en- volto´ria? � Franjas claras de interfereˆncia ocorrem para aˆngulos dados por � sen -��4� , onde r e´ a separac¸a˜o das fendas, � e´ o comprimento de onda, e � e´ um inteiro. Para as fendas deste problema r��2���"�ffi��� , de modo que � sen E�T�P���&� ��� . O primeiro mı´nimo do padra˜o de difrac¸a˜o ocorre num aˆngulo , dado por � sen , �� e o segundo ocorre para um aˆngulo 3 dado por � sen 3 ���� , onde � e´ a largura da fenda. Desejamos contar os valores de � para os quais , B �B 3 ou, o que e´ a mesma coisa, os valores de � para os quais sen , B sen �B sen 3 . Isto implica termos �B ��� ��� BD� ; que e´ satisfeita para �Z� � ; J ; I ; n ; �"fi ; fornecendo-nos um total de cinco franjas claras. P 37-31 (41-40/4 � edic¸a˜o) (a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mı´nimos da envolto´ria de difrac¸a˜o a` direita e a` esquerda do ma´ximo central em uma figura de difrac¸a˜o de duas fendas se �Ł� *�* fi nm, r!�flfiffi�d� * mm e �~� � fi)( m? (b) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 Qual e´ a raza˜o entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central? � (a) A posic¸a˜o angular das franjas claras de inter- fereˆncia e´ dada por r sen ��D��� , onde r e´ a separac¸a˜o das fendas, � e´ o comprimento de onda, e � e´ um intei- ro. O primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o ocorre para um aˆngulo �, dado por � sen �,0��� , onde � e´ a largura da fen- da. O pico de difrac¸a˜o extende-se de ? �, ate´ / �, , de modo que precisamos determinar o nu´mero de valores de � para os quais ? �,SB qB/ �, ou, o que e´ a mesma coisa, o nu´mero de valores de � para os quais ? sen , B sen ~BD/ sen , . Esta u´ltima relac¸a˜o significa termos ? �P�P�<B��PrflB �`��� , ou seja, ? r � B��B r � ; onde r � � fiffi�d� *! �"fi$#&t � fi �"fi #NX � * � Portanto, os valores possı´veis de � sa˜o �Z� ? ' ;�? � ;�? � ;"? � ; fi ; /�� ; /� ; / � ; /' ; perfazendo um total de nove franjas. (b) A intensidade na tela e´ dada por l � l m�W� 3h0f sen e e g 3 ; onde e�� j � � sen ; � j r � sen ; e l m e´ a intensidade no centro do padra˜o. Para a terceira franja clara de interfereˆncia temos r sen 0� � � , de modo que � � j rad e WH 3 �� . Analogamente, e� � j �ffi�PrS� � j � * �fiffi� � j rad, de modo que l lWm � f sen e e g 3 � f sen fiffi� � j fiffi� � j g 3 �<fiffi� � *�* � P 37-32 (41-41/4 � edic¸a˜o) Uma luz de comprimento de onda de '�'Hfi nm passa por duas fendas, produzindo uma figura de difrac¸a˜o cujo gra´fico de intensidade l em func¸a˜o da posic¸a˜o angular aparece na Fig. 37.36. Calcule (a) a largura das fendas e (b) a distaˆncia entre as fendas. (c) Calcule as intensida- des das franjas de interfereˆncia com ��� e ��� e compare os resultados com os que aparecem na figura. � (a) Da figura vemos que o primeiro mı´nimo do pa- draa˜o de difrac¸a˜o ocorre para * , de modo que �!� � sen � fiY� '�'�fi@( m sen * � * � fi * ( m � (b) Da figura vemos tambe´m que a quarta franja clara esta´ ausente e, portanto, r��S'H���<' U * � fi * ( m V �T��fiffi� �R( m � (c) Para a franja clara com ���� temos D���� � * (veja a figura), e a Eq. 37.18 nos diz que e � j � � sen A� j U * � fi * V fiffi� '�' sen ��� � * �flfiffi�KJPIHJ rad ; � j r � sen �� j U ��fiffi� � V fiffi� '�' sen ��� � * � � �k�"' ��� rad � NOTE: para ma´ximos sempre teremos U �� V 3 �u� pois enta˜o r sen T�Q��� , de modo que �� j , isto e´, �� � U ? � V m e, portanto, U �� V 3 �� qualquer que seja o valor de � . Na verdade, poderı´amos usar o fa- to que U WH V 3 �� para determinar com precisa˜o no gra´fico o valor de onde ocorrem os ma´ximos de inten- sidade. Perceba que acima obtivemos � � �k�"' ��� em vez de � j � � �d��'Y� * por havermos usado !�q��� � * em vez do valor exato da posic¸a˜o do ma´ximo no gra´fico. Da figura vemos que a intensidade l m do ma´ximo cen- tral vale l m �TJ mW/cm 3 , de modo que a intensidade l da franja com �Z��� e´ dada por l � l m U �� 3h V f sen e e g 3 � U J V U � V f sen fiffi�KJPI J fiY� J�IHJ g 3 � * �KJ mW/cm 3 ; que concorda com o que a Fig. 37.36 mostra. Analogamente, para � � � a figura nos diz que q��$� * , de modo que e���� * J � , [ � � � ��nY��� , �� �� ] e l ��ffi� I � mW/cm 3 , tambe´m de acordo com a Fig. 37.36. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 37.6 Redes de difrac¸a˜o E 37-33 (41-43/4 � edic¸a˜o) Uma rede de difrac¸a˜o com ��fi mm de largura possui � fi�fi�fi ranhuras. (a) Calcule a distaˆncia r entre ranhu- ras vizinhas. (b) Para que aˆngulos ocorrera˜o ma´ximos de intensidade em uma tela de observac¸a˜o se a radiac¸a˜o incidente na rede de difrac¸a˜o tiver um comprimento de onda de * I�n nm? � (a) r�� ��fi � fi�fi�fi �Sfiffi� fi�fi ����� mm � � � ��� ( m � (b) Para determinar as posic¸o˜es dos ma´ximos de in- tensidade usamos a fo´rmula r sen F���4� , determi- nando todos os valores de � que produzem valores de � �N��r|BT� . Explicitamente, encontramos para �Z�flfi! ��<fi para �Z�u� �� sen # ,~ � r � sen # ,~ fiffi� * I�n � � � � �Lfiffi� � para �Z�T�� �� sen # , � U fiY� * I�n V � � � � ��fiffi�KJ para �Z� � �� sen # ,~ � U fiY� * I�n V � � � � � �$� � para �Z�<'� �� sen # ,~ ' U fiY� * I�n V � � � � ' * para �Z� * �� sen # , * U fiY� * I�n V � � � � � �$� � Para �� � obtemos � �&�PrT � , indicando que os ma´ximos acima sa˜o todos os possı´veis. E 37-37 (41-49/4 � edic¸a˜o) Uma luz de comprimento de onda de � fi�fi nm incide normalmente (perpendicularmente!!) em uma rede de difrac¸a˜o. Dois ma´ximos de difrac¸a˜o sa˜o observados em aˆngulos dados por sen S�fiffi� � e sen D�fiffi� � . Os ma´ximos de quarta ordem esta˜o ausentes. (a) Qual e´ a distaˆncia entre ranhuras vizinhas? (b) Qual e´ a menor largura possı´vel desta rede de difrac¸a˜o? (c) Que ordens de ma´ximos de intensidade sa˜o produzidas pela rede, supondo que os paraˆmetros da rede sejam os calculados nos itens (a) e (b)? � (a) Os ma´ximos de um padra˜o de interfereˆncia de duas fendas ocorrem para aˆngulos dados por r sen A� ��� , onde r e´ a separac¸a˜o das fendas, � o comprimento de onda, e � em inteiro. As duas linhas sa˜o adjacen- tes, de modo que suas ordens diferem de uma unidade. Seja � a ordem da linha com sen ��Zfiffi� � e �Z/2� a ordem da linha com sen 4��fiffi� � . Enta˜o fiY� ��r4���� e fiY� � r0� U �¡/� V � . Subtraindo ambas equac¸o˜es encon- tramos fiffi�d�"r��fl� , ou r�� � fiffi�d� � � fi�fi �"fi #&% fiffi�d� � � ( m � (b) Mı´nimos de um padra˜o de difrac¸a˜o por fenda u´nica ocorrem para aˆngulos dados por � sen ~�T�4� , onde � e´ a largura da fenda. Como o ma´ximo de interfereˆncia de quarta ordem encontra-se ausente, ele deve cair num destes aˆngulos.Se � e´ a menor largura da fenda para a qual esta ordem esta ausente, o aˆngulo deve ser dado por � sen A�fl� , sendo tambe´m dada por r sen ��S'H� , de modo que ��� r ' � �� �"fi$#&X ' �2��� * ( m � (c) Primeiro, coloque p�Zn�fiH para encontrar o maior valor de � para o qual ���4Br sen . Esta e´ a maior or- dem difratada na tela. A condic¸a˜o equivale a �BTr$��� e como r ���-� U �0 �"fi$#&X V � U � fi�fi �"fiffi#N% V �¢�Lfi , a or- dem mais alta que se pode ver e´ ��yn . A quarta e a oitava ordem esta˜o ausentes, de modo que as ordens observa´veis sa˜o os ordens �¢�<fi ; � ; � ; � ; * ; � ; J ; nffi� 37.7 Redes de difrac¸a˜o: dispersa˜o e reso- luc¸a˜o E 37-47 (41-62/4 � edic¸a˜o) Uma fonte contendo uma mistura de a´tomos de hi- drogeˆnio e deute´rio emite luz vermelha com dois com- primentos de onda cuja me´dia e´ �H*�� � � nm e cuja separac¸a˜o e´ fiffi�d�"I nm. Determine o nu´mero mı´nimo de ranhuras necessa´rias para que uma rede de difrac¸a˜o pos- sa resolver estas linhas em primeira ordem. � Se a grade apenas consegue resolver dois comprimen- tos de onda cuja me´dia e´ � e cuja separac¸a˜o e´ 1�� , enta˜o seu poder de resoluc¸a˜o e´ definido (veja Eq. 37.28) como sendo £2�fl�&��1�� . Sabemos (Eq. 37.29) que £�fl¤�� , onde ¤ e´ a quantidade de ranhuras e � e´ a ordem das linhas. Portanto �N��1��C�<¤� , donde tiramos ¤� � ��1�� � �H*�� � � U � V U fiffi�d�"I V � ����* fi ranhuras � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27 E 37-48 (41-61/4 � edic¸a˜o) Uma rede de difrac¸a˜o tem � fi�fi ranhuras/mm e * mm de largura. (a) Qual e´ o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede e´ capaz de resolver em terceira or- dem para �<� * fi�fi nm? (b) Quantas ordens acima da terceira podem ser observadas? � (a) Usando o fato que �&��1��C�fl¤�� , obtemos 1!�0� � ¤� � * fi�fi �"fi$#&% U � V U � fi�fi V U * V � *�* � *� �Lfi # ,3 m � (b) A posic¸a˜o dos ma´ximos numa rede de difrac¸a˜o e´ de- finida pela fo´rmula r sen ��S�4� ; de onde obtemos que sen �� ��� r � Na˜o observarmos difrac¸a˜o de ordem � equivale a dizer que para tal � obtemos ��Sn�fi� , ou seja, que temos sen n�fi ���w � max � r � Isolando-se � max, e substituindo os dados do problema em questa˜o encontramos que � max � r � � �"fi$#&t"� � fi�fi * fi�fi �"fi #N% � � � � � Tal resultado nos diz que a maior ordem observa´vel com tal grade e´ a terceira, pois esta e´ a u´ltima ordem que pro- duz um valor fisicamente significativo de . Portanto, na˜o se pode observar nenhuma ordem supe- rior a` terceira com tal grade. 37.8 Difrac¸a˜o de raios-X E 37-53 (41-70/4 � edic¸a˜o) Raios X de comprimento de onda de fiffi�d�L� nm sofrem reflexa˜o de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lı´tio para um aˆngulo de Bragg de ��I� . Qual e´ a distaˆncia interplanar dos planos cristalinos responsa´veis pela re- flexa˜o? � A lei de Bragg fornece a condic¸a˜o de ma´ximo, Eq. 37.31, como sendo ��r sen ��D��� ; onde r e´ o espac¸amento dos planos do cristal e � e´ o comprimento de onda. O aˆngulo e´ medido a partir da normal aos planos. Para reflexa˜o de segunda ordem usa- mos �Z�fl� , encontrando r�� ��� � sen � U � V U fiY�k�`� �"fiffi#N% V � sen ��I �Sfiffi� � � nm � P 37-60 (41-80/4 � edic¸a˜o) Na Fig. 37.40, um feixe de raios X de comprimento de onda fiffi�d�L� * nm incide em um cristal de NaCl a ' * com a face superior do cristal e com uma famı´lia de planos refletores. O espac¸amento entre os planos refletores e´ de r0�2fiffi� � * � nm. De que aˆngulo o cristal deve ser girado em torno de um eixo perpendicularmente ao eixo do pa- pel para que estes planos refletores produzam ma´ximos de intensidade em suas reflexo˜es? � Os aˆngulos de incideˆncia que correspondem a` in- tesidade ma´xima do feixe de luz refletida satisfazem��r sen E�<��� , ou sen �� ��� ��r � � U fiffi�d�L� * V � U fiffi� � * � V � � '[� fi � � � Como e´ preciso ter sen Bu� , vemos que os valores permitidos de � sa˜o �Z�u� ; � ; � ; ' ; aos quais correspondem os aˆngulos A�2�"'Y� ' ; ��nffi�KJ ; '�IY�k� ; I��ffi� I � Portanto o cristal deve ser girado no sentido anti-hora´rio de '�IY�k� ? ' * � � �d� ; I��ffi� I ? ' * � � J$� I ; sentido hora´rio de ' * ? ��'[� ' � � fiY� � ; ' * ? ��nY� J ��� * � � � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 7
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