Teorias de potências elétricas.

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6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA1 
 
A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um 
assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No 
entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um 
desafio da engenharia elétrica [5-11]. 
Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de 
potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que 
mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos 
e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de 
medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc. 
Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator 
de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas 
lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as 
cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de 
potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior 
destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados. 
6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA 
 
Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente 
contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa 
eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das 
técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.), 
começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos, 
tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas 
adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo, 
de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio 
entre as fases. 
Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como 
tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados 
que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo. 
O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa, 
aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser 
utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas. 
 
Notação adotada: 
• Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, p~ ); 
• Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por 
letra minúscula barrada (V,I,P, p ); 
• Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I); 
 
1
 A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a 
quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e 
à comparação entre as teorias [54,55]. 
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• Grandezas vetoriais (multivariáveis) são representadas através de letras em negrito e com 
ponto superior ( I,i,V,v &&&& ); 
• Parâmetros reais e grandezas complexas também são representados por letras maiúsculas 
(S=P+jQ, Z=R+jX , Y=G+jB); 
• Indicadores são representados por siglas maiúsculas (FP, FD, DHTV, DHTI). 
 
Simbologia: 
v, V, Vv &&, tensões instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (V); 
i, I, Ii &&, correntes instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (A); 
p, P potência ativa instantânea e média (W); 
q, Q potência reativa instantânea e máxima (Var); 
s, S potência aparente instantânea e média (VA); 
FP, FD fator de potência e fator de deslocamento; 
Z, R, X impedância, resistência e reatância; 
Y, G, B admitância, condutância e susceptância; 
DHTV, DHTI distorção harmônica total de tensão e corrente (%) 
ω freqüência angular (rd/s); 
ϕ ângulo de fase entre tensão e corrente senoidais (°); 
I* corrente complexa conjugada; 
T período do sinal periódico. 
 
6.1.1 Sistemas Senoidais Monofásicos: Definições e interpretação física 
6.1.1.1 Potência instantânea monofásica 
A potência instantânea transferida entre uma fonte e uma carga bipolar é definida pelo 
produto dos sinais de tensão e corrente: 
 
 v 
 i 
Fonte Carga 
 
Figura 1 - Sistema de alimentação monofásica. 
i.vp =
 (1) 
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Esta definição aplica-se tanto para corrente contínua como alternada. Notar que a potência 
expressa o efeito combinado da fem (força eletromotriz) disponível entre os terminais no ponto 
de medição e a corrente que circula através da carga por conta dessa fem. 
Caso monofásico senoidal: 
Considerando que o sistema é monofásico senoidal, com a tensão e corrente dadas por: 
 
tsenV2tsenV)t(v p ω=ω= (2) 
)t(senI2)t(senI)t(i p ϕ−ω=ϕ−ω= (3) 
onde: Vp , Ip são os valores de pico ou máximos das ondas senoidais; 
e V , I são os valores eficazes das ondas senoidais. 
 
O valor eficaz corresponde ao valor quadrático médio, definido para um sinal senoidal com 
período T, como sendo: 
 
2
V
V
2
1dtv
T
1V p2pT
2
=== ∫ (4) 
 
A potência instantânea, portanto, será dada por: 
)tsen(I.tsenV)t(p pp ϕ−ωω= (5) 
desenvolvendo o produto, resulta: 
[ ])t2cos(IVcos.IV
2
1)t(p pppp ϕ−ω−ϕ= (6) 
ou, em termos dos valores eficazes: 
)t2cos(VIcosVI)t(p ϕ−ω−ϕ=
 (7) 
ou ainda 
t2sen.senVI)t2cos1(cosVI)t(p ωϕ−ω−ϕ= (8) 
 
Percebe-se de (6) ou (7) que a potência instantânea contém uma parte constante e uma 
parte oscilatória com o dobro da freqüência (2ω) das ondas de tensão e corrente. 
A parte constante corresponde ao valor médio por período T: 
∫==ϕ=
T
dti.v
T
1PcosVIp (9) 
e a parte oscilatória vale: 
)t2cos(VIp~ ϕ−ω−=
 (10) 
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Essa parte oscilatória pode ainda ser desenvolvida na forma: 
t2sen.senVIt2cos.cosVIp~ ωϕ−ωϕ−=
 (11) 
Verificamos, portanto, que a parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em 
quadratura: uma parcela oscila com cos2ωt e vale P=VIcosϕ e a outra parcela oscila com sen2ωt 
e vale VIsenϕ. Essa segunda parcela que oscila em quadratura com a potência ativa P, é chamada 
de potência reativa: 
ϕ= senVIQ (12) 
Portanto, em termos das potências média (ativa) e reativa, a potência instantânea (8) pode 
ser expressa como sendo: 
t2sen.Q)t2cos1(P)t(p ω−ω−=
 (13) 
 Como se vê na figura 2, a corrente pode ser decomposta em uma parcela senoidal em fase 
com a tensão e um segundo termo em quadratura com o primeiro. A parcela I da potência é 
devida exclusivamente à parte da corrente em fase com a tensão, enquanto a parcela II se deve ao 
termo em quadratura. 
 
Figura 2 - Formas de onda de tensão, corrente e parcelas de potência instantânea. 
6.1.1.2 Análise da potência em termos de fasores 
A tensão e a corrente senoidais das equações (2) e (3), podem ser representadas através dos 
fasores correspondentes no plano complexo:Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
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0VV ∠=& (14) 
ϕ−∠= II& (15) 
Define-se a potência aparente complexa S como sendo o produto: 
ϕ+ϕ=ϕ∠== senjVIcosVIIVI.VS *&&
 (16) 
Portanto, considerando as equações (9) e (12) concluímos que a potência aparente 
complexa é dada por: 
jQPS +=
 (17) 
Usualmente o módulo da potência complexa, dado pelo produto dos valores eficazes da 
tensão e da corrente é denominado potência aparente. Os valores eficazes das grandezas são 
importantes para a especificação de uma instalação, ou seja, a bitola dos condutores é 
determinada pelo valor eficaz da corrente que deverá circular pelos mesmos, enquanto a tensão 
define a isolação necessária entre os condutores. 
As potências ativa e reativa correspondem às projeções de S nos eixos real e imaginário do 
plano complexo, formando o triângulo de potências. Para relacionar as parcelas de potência do 
plano complexo com as do domínio do tempo, temos que lembrar da analogia com os vetores 
girantes usados na análise fasorial. A figura 3 mostra essa relação: 
 
Figura 3 - Parcelas ortogonais de potência no plano complexo. 
A evolução temporal das parcelas associadas a P e Q , de acordo com a figura (3), pode ser 
interpretada da seguinte forma: enquanto os círculos representam, no plano complexo, o Lugar 
Geométrico (LG) das parcelas girantes Qej2ωt e P(1- ej2ωt), as projeções ortogonais ℑm[Qej2ωt] = 
Q.sen2ωt e ℜe[P(1- ej2ωt)] = P(1-cos2ωt) representam as variações temporais desses vetores 
girantes sobre os eixos do plano complexo. 
Para encontrar a evolução temporal de S = P + jQ, é necessário fazer a soma temporal das 
ondas em quadratura Q.sen2ωt e P(1-cos2ωt). Naturalmente essa soma deve fornecer p, como 
mostrado na figura (4). 
 
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Figura 4 - Interpretação de p no plano complexo. 
É interessante notar que, de acordo com a figura 4, deve haver uma distinção ente os 
conceitos de p(t) e s(t) já que P e S correspondem a círculos distintos. O LG de p(t) deve ser o 
círculo com raio P, enquanto que o LG de s(t) deve ser o círculo de raio S. Da mesma forma, o 
LG de q(t) deve ser o círculo de raio Q. Além de preservar as relações de quadratura no plano 
complexo das amplitudes das parcelas S = P + jQ, essa notação também preserva a relação de 
ortogonalidade no domínio do tempo, adotando-se as seguintes definições: 
s(t) = p(t) + q(t) = P(1- cos2ωt) – Qsen2ωt (18) 
p(t) = P(1-cos2ωt) (19) 
 q(t) = -Qsen2ωt 
(20) 
e, para manter a consistência, deve-se utilizar as seguintes formas matemáticas para relacionar 
tensão e corrente com as parcelas da potência instantânea: 
s(t) = v(t).i(t) (21) 
p(t )= v(t)• i(t) (22) 
 q(t) = v(t) x i(t) 
(23) 
onde (• ) significa produto escalar e (x) significa produto vetorial. 
Como no produto escalar a contribuição do termo em quadratura é nula, essa operação 
automaticamente fornece apenas o produto das componentes em fase de v(t) e i(t). No produto 
vetorial, ao contrário, é a contribuição das componentes de v(t) e i(t) que estão em fase que se 
anula, sobrando apenas a das parcelas ortogonais entre si. 
Estas considerações mostram que o problema com as teorias de potência instantânea já 
começam com as definições mais elementares adotadas tradicionalmente. Nos próximos itens 
veremos que os problemas com tais discrepâncias conceituais ainda se ampliam à medida que se 
tenta estender os conceitos para sistemas não senoidais, trifásicos e desbalanceados. 
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6.1.1.3 Potência consumida pela carga, perdas de transmissão e de geração 
Voltando ao exemplo inicial, vamos considerar uma impedância ZS representando a rede de 
alimentação, uma impedância ZG representando a fonte e uma impedância ZC representando a 
carga: 
 
 v 
 i Fonte Carga 
ZG ZS 
ZC e 
1 2 
 
Figura 5 - Sistema monofásico com perdas. 
Se a tensão for medida no ponto 2, então o produto v.i mede a potência efetivamente 
consumida pela carga. Se, por outro lado, a tensão for medida no ponto 1, o produto v.i mede, 
além da potência consumida pela carga, também as perdas de transmissão na rede. O produto e.i 
inclui também as perdas de geração da fonte. Portanto, a potência obtida depende do ponto de 
medição escolhido. Quando as perdas a considerar são importantes, deve-se escolher 
cuidadosamente o ponto de medição. Uma escolha inadequada do ponto de medição pode gerar 
erros de tarifação e/ou de escolha do sistema de condicionamento de energia. 
É claro que se a impedância e a corrente na rede forem conhecidas é possível calcular as 
perdas ôhmicas (as mais importantes em baixa tensão) através da relação: 
 
∆ p = RS .i 2 (24) 
 
e, neste caso, saberíamos a potência instantânea consumida pela carga (pc), mesmo medindo a 
tensão no ponto 1, pois: 
pc = v1.i - ∆p (25) 
No caso monofásico, Rs deve incluir a resistência dos dois condutores (ida e volta da 
corrente). 
6.1.1.4 Fator de potência 
Define-se como Fator de Potência (FP) a relação entre a potência ativa e a aparente: 
 
S
PFP = (26) 
Para o caso monofásico senoidal, essa relação também pode ser escrita como sendo: 
 0,1cos
VI
cosVIFP ≤ϕ=ϕ= (27) 
 
Percebe-se que o FP mede a fração da potência máxima que poderia ser transferida, 
considerando as magnitudes de tensão e corrente dadas. A fração deixa de ser máxima quando a 
potência reativa é diferente de zero, ou seja, pode-se dizer que a potência reativa reduz o fator de 
utilização da linha. Essa é uma razão importante para se querer reduzir a circulação de potência 
reativa na rede. Além disso, a potência reativa, por ser uma energia oscilatória, com média nula, 
teoricamente não necessita de fonte primária de energia para existir. Basta excitar os campos 
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elétricos (em capacitâncias) ou magnéticos (em indutâncias) com tensões senoidais para essa 
energia reativa se estabelecer. 
A rigor, portanto, não dá para eliminar a potência reativa de um circuito de corrente 
alternada, apenas se pode restringir o seu efeito, associando elementos reativos de forma a 
trocarem de energia reativa entre si. Esse é o processo de compensação reativa ou de correção de 
FP, realizado ao se instalar bancos de capacitores próximo de cargas indutivas (motores, 
reatores, indutores, etc). 
 
6.1.1.5 Princípio da correção do FP 
Um motor de indução é uma carga típica com FP indutivo (corrente atrasada em relação à 
tensão aplicada). Essa situação, comum em instalações industriais, causa um baixo FP, com 
“absorção” de potência reativa (Q>0). Para compensar o baixo FP conecta-se um capacitor em 
paralelo com o motor, de modo que a potência reativa “fornecida” pelo capacitor seja igual à 
potência reativa requerida pelo motor, como ilustrado nas Figuras 6 e 7. 
 
 v 
 i 
Fonte Motor C 
 
Figura 6 - Correção de FP de motor CA. 
 
 Sm 
Pm = Smin 
Qm 
Qcap =- Qm 
ϕ 
 
Antes da compensação: 
ϕ== cos
S
PFP
m
m
m 
Depois da compensação: 
0,1
S
PFP
min
m
max == 
Figura 7 - Compensação Reativa de Carga Indutiva.Se, antes da compensação, a corrente na fonte estava atrasada de um ângulo ϕ em relação à 
tensão, após a compensação a corrente está em fase com a tensão. Considerando que a potência 
útil do motor não mudou, pode-se concluir que a corrente na fonte, após a compensação, ficou 
reduzida para seu valor mínimo, dado por: 
ϕ=ϕ=== cosI
V
cosVI
V
P
V
SI minmin (28) 
Portanto, a compensação do FP traz como benefício para a concessionária, a minimização 
da corrente na rede para o atendimento de uma dada carga P, alimentada na tensão V. Além de 
reduzir as perdas de transmissão, resulta uma folga na capacidade da linha, que permite atender 
novos consumidores, utilizando os mesmos condutores. 
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6.1.1.6 Efeito de harmônicas na rede monofásica 
Vejamos o que ocorre se adicionarmos, por ex., uma 3a. harmônica na tensão medida, ou 
seja: 
t3senVtsenV)t(v 1p31p1 ω+ω= (29) 
O valor eficaz dessa função periódica com período T será dado por: 
( ) 23212p32p1T 2 VVVV2
1dtv
T
1V +=+== ∫ (30) 
Essa expressão corresponde ao teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo e mostra 
que a soma das magnitudes das tensões harmônicas não é direta, mas sim ortogonal,conforme 
figura 8: 
 
V 
V1 
V3 
 
Figura 8 - Valor eficaz de tensões harmônicas. 
Essa conclusão pode ser estendida para um número qualquer N de harmônicas e se aplica 
também para correntes: 
∑
=
=
N
1h
2
hVV (31) 
∑
=
=
N
1h
2
hII (32) 
Neste ponto vale a pena introduzir o conceito de Distorção Harmônica Total (DHT) de 
tensão e de corrente: 
 
2
1
50
2h
2
h
V V
V
DHT
∑
=
= (33) 
 
2
1
50
2h
2
h
I I
I
DHT
∑
=
= (34) 
Essas duas grandezas, normalmente dadas em porcentagem, medem a razão entre a 
magnitude equivalente das 50 primeiras harmônicas em relação à magnitude da fundamental. 
O que acontece quando se aplica uma tensão com harmônicas a uma carga? Vamos supor 
que a carga seja linear, com impedância Z=R+jωL. Supondo que R independa da freqüência, 
teremos diferentes impedâncias para diferentes freqüências: 
LjRZ 11 ω+= para h = 1 (35) 
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L3jRZ 13 ω+= para h = 3 (36) 
Conclui-se que o circuito se apresenta bem mais “indutivo” para as harmônicas do que para 
a fundamental (XL3 = 3XL1). Para elementos capacitivos, ocorre o contrário, a reatância diminui 
com o aumento da ordem harmônica (XC3 = 1/(3ω1C) = XC1/3). 
Isto significa que as correntes harmônicas, além de terem suas amplitudes diminuídas em 
circuitos indutivos, sofrerão aumentos dos ângulos de atraso em relação às respectivas tensões 
harmônicas. Em circuitos capacitivos, a amplitude das correntes harmônicas aumenta 
proporcionalmente à ordem harmônica, ao passo que a defasagem diminui. Por essa razão os 
capacitores correm o risco de sofrer sobre-corrente quando submetidos a tensões distorcidas. 
A potência em uma carga do tipo RL, nessas condições, pode ser expressa por: 
 
)]t3sen(I)tsen(I).[t3senVtsenV(vi)t(p 31p311p11p31p1 ϕ−ω+ϕ−ωω+ω== (37) 
ou 
1i3v3i1v3i3v1i1v)3i1)(i3v1(vvip(t) +++=++== (38) 
 
Os dois primeiros termos de (38) podem ser interpretados como potências instantâneas da 
fundamental e da 3a. harmônica. Essas parcelas oscilatórias senoidais são do mesmo tipo já 
analisado anteriormente, e podem apresentar valor médio (P1 e P3) e parcela em quadratura (Q1 e 
Q3). Muda apenas a freqüência com que oscilam (2ω1 e 6ω1). 
Os dois últimos termos correspondem à interação de freqüências distintas de tensão e 
corrente. Essas parcelas são oscilatórias e apresentam, por definição, valor médio nulo por 
período, uma vez que: 
 
∫ =ωωT ba 0dt.tsen.tsen para ωb = kωa, k inteiro (39) 
 
É muito difícil representar tais parcelas no plano complexo, justamente por oscilarem em 
freqüências distintas. Essa é uma das razões que complicam a sua visualização e interpretação 
física. 
No entanto, os valores médios podem ser obtidos e interpretados com relativa facilidade 
como sendo: 
 
 31333111 PPcosIVcosIVP +=ϕ+ϕ= 
 (40) 
31333111 QQsenIVsenIVQ +=ϕ+ϕ= (41) 
Notar que P1 e P3 são, de fato, somáveis, por serem médias temporais constantes. No 
entanto, Q1 e Q3 a rigor não são somáveis por se tratar de parcelas de potência que oscilam com 
freqüências distintas. A soma Q, portanto, não tem um significado físico que sirva para 
compensação reativa. 
Por essa mesma razão, a potência aparente complexa dada por S = V.I* também não tem 
uma interpretação física clara. Se analisarmos o produto de fasores complexos: 
 
 jQPI.VS * +== (42) 
ou ainda a relação de magnitudes: 
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( )( )232123212 II.VVS ++= (43) 
e assumindo que os produtos de termos cruzados não contribuem para os valores médios, resulta: 
2
3
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2 SSIVIVS +=+=
 (44) 
e, portanto: 
 
2
3
2
1
2
3
2
1
2 QQPPS +++= (45) 
 
S1 
P1 
Q1 
S3 
P3 
Q3 S 
 
Figura 9 - Potências aparente, ativa e reativa para sinais com 3a harmônica. 
Apesar de ser comum encontrar esse tipo de figura (planar) para representar a combinação 
das potências, ela pode estar errada se levarmos em conta que as potências reativas, devidas às 
freqüências distintas, não são colineares, como representado, mas sim ortogonais, gerando uma 
representação espacial: 
 
S1 
P1 
Q1 
S3 
P3 
Q3 
S 
 
Figura 10. Soma em quadratura das potências médias. 
Podemos agora perceber a dificuldade em definir o FP na presença de harmônicas. O que 
seria a relação seguinte? 
S
PP
S
PFP 31 +==
 (46) 
Temos que lembrar que essas relações fasoriais correspondem apenas às parcelas médias 
por período (obtidas em função de valores eficazes das tensões e correntes). Os produtos 
cruzados nessa contas não são nulas instantaneamente, o que significa que podem existir 
interações entre freqüências que não estão sendo computadas através dos valores médios. 
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6.1.2 Extensão dos conceitos para sistemas trifásicos balanceados 
Define-se como trifásico senoidal balanceado um sistema composto por três circuitos 
iguais interligados entre si na forma estrela (Y) ou triângulo (∆), e alimentado por três fontes 
alternadas senoidais com mesmas amplitudes e defasadas de 120o entre si. 
 
 
va 
ia Fase A 
ZG ZS 
ZC ea 
1 2 
vb 
ib Fase B 
ZG ZS 
ZC eb 
1 2 
vc 
ic Fase C 
ZG 
ZC ec 
1 2 ZS 
Zn Neutro in 
 
Figura 15. Sistema trifásico com retorno. 
No caso senoidal balanceado, com seqüência a,b,c no sentido trigonométrico, teremos: 
ea = 2 E senωt (62) 
eb = 2 E sen(ωt-120o) (63) 
ec = 2 E sen(ωt-240o) (64) 
No sistema balanceado a soma das tensões e correntes instantâneas é zero: 
ea+ eb+ ec = 0 (65) 
ia+ ib+ ic = in = 0 (66) 
va+ vb+ vc = 0 (67) 
 
Como não há corrente de retorno, também não há queda de tensão no neutro. Aliás, o 
condutor de retorno pode ser eliminado, sem afetar a operação balanceada. 
A potência trifásica no ponto de medição 2 será definida como a soma das potências 
instantâneas nas três fases a,b,c: 
ccbbaa i.vi.vi.vp ++= (68) 
 Com base no caso monofásico podemos escrever essa soma comosendo: 
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−−ω−+−ω−+ω−= )]}240t(2cos1[)]120t(2cos1[]t2cos1{[Pp 
)]240t(2sen)120t(2sent2[senQ −ω+−ω+ω−
 (69) 
 ou ainda: 
−−ω+−ω+ω−= )]240t(2cos)120t(2cost2[cosPP3p 
)]240t(2sen)120t(2sent2[senQ −ω+−ω+ω−
 (70) 
 
 
Figura 16 - Potências trifásicas instantâneas como vetores girantes no plano complexo. 
É fácil verificar que cada soma entre colchetes em (70) resulta zero. Portanto, a potência 
trifásica reduz-se a: 
p = 3P (71) 
ou seja, a potência trifásica instantânea no caso equilibrado é constante e igual à potência média 
das três fases. Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes 
para as cargas no sistema trifásico senoidal balanceado não é oscilatória. Essa tem sido a grande 
motivação para se buscar manter o sistema trifásico senoidal e balanceado. 
Notar que as partes oscilatórias, proporcionais a P e Q, somam zero, restando apenas o 
valor correspondente ao centro do círculo de raio P, sobre o eixo real, e que vale 3P. 
6.1.2.1 Energia ativa: parcela consumida pela carga, perdas de geração e transmissão 
Da mesma forma que no caso monofásico, a parcela consumida pelas cargas é dada pelo 
produto das tensões medidas junto à carga (ponto 2) pelas correntes das respectivas fases. 
Se as tensões forem medidas no ponto 1, estaremos incluindo as perdas de transmissão, 
sobre ZS. Como o sistema é balanceado não há perdas no neutro (in = 0) e só haverá perdas nos 
condutores das fases. 
Se utilizarmos as tensões das fontes no produto com as correntes, estaremos incluindo 
também as perdas de geração (ZG). Em todos os casos teremos potências trifásicas não 
oscilatórias (constantes), enquanto o sistema for senoidal e balanceado. 
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6.1.2.2 Energia reativa: parcelas utilizadas pelas cargas, pela geração e transmissão 
 Uma vez que o cálculo da potência instantânea fornece apenas a potência ativa P, como se 
obtém a potência reativa Q no sistema trifásico? 
Para isso vamos fazer o cálculo da potência complexa utilizando fasores. Sabemos que o 
produto do fasor tensão de fase pelo conjugado do fasor corrente da mesma fase dá a potência 
aparente dessa fase. Portanto, no caso trifásico balanceado, devemos obter a soma das 3 fases: 
***
3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++= (72) 
 )240I).(240V()120I).(120V(I.V ϕ+∠−∠+ϕ+∠−∠+ϕ∠= (73) 
 
)senjVIcosVI(3VI3 ϕ+ϕ=ϕ∠=
 (74) 
 
Q3jP3 +=
 (75) 
Notar que essa soma é diferente da anterior (69) no domínio do tempo, onde as potências 
reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nesta soma complexa se apresentam as 
demandas de potências ativa e reativa das três fases separadamente. 
Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para o caso trifásico é 
importante, porque ela esconde o fato de que se pode compensar a demanda instantânea de 
reativos das fases sem a necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que a soma 
instantânea é zero no caso senoidal balanceado. Essa interação entre fases também é um 
fenômeno complexo de se interpretar na presença de harmônicas. 
Bastaria teoricamente utilizar chaves (eletrônicas) para fazer a transferência de reativos de 
uma fase para a outra, pois a todo instante se dispõe de reativos positivos (indutivos) e negativos 
(capacitivos) em alguma das fases. Através de uma lógica de chaveamento adequada se buscaria, 
a cada instante, os reativos necessários na fase onde estivessem disponíveis. Essa possibilidade 
só foi vislumbrada por Akagi/Nabae em 1983 [12], como será explorado adiante. 
6.1.3 Potência e fator de potência em sistemas trifásicos desbalanceados 
No caso das tensões ou correntes estarem desbalanceadas temos que analisar se o sistema 
tem ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, haverá corrente nesse condutor, 
dada pela soma das correntes nas fases. 
ia+ ib+ ic = in ≠ 0 (76) 
Da análise de componentes simétricos [1], que essa soma corresponde a 3i0. Também 
sabemos que as componentes de seqüência positiva e negativa podem ser obtidas 
respectivamente pelas seguintes somas das tensões de fase: 
( )c2baa iai.ai3
1i ++=+
 (77) 
 ( )cb2aa i.ai.ai3
1i ++=− (78) 
onde a = e j120° é um operador de ganho unitário, que adianta a fase em 120°. 
Pode-se mostrar que vale a soma: 
0
a aaa
iiii ++= −+
 (79) 
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Essa decomposição também pode ser aplicada para as tensões trifásicas desequilibradas. 
No caso de se medir as tensões de fase e de neutro com relação a uma referência comum 
qualquer (zero virtual), podemos expressar a potência trifásica em termos dos componentes 
simétricos, resultando: 
)i.vi.vi.v(3i.vi.vi.vi.vp 0a0aaaaannccbbaa ++=+++= −−++ (80) 
ou, desenvolvendo a tensão e corrente de neutro: 
)iii).(vvv(i.vi.vi.vp cbacbaccbbaa +++++++= (81) 
)ii(v)ii(v)ii(v)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (82) 
ou 
)vv(i)vv(i)vv(i)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (83) 
 
No caso balanceado, as somas duplas entre parênteses fornecem o negativo da terceira 
variável (p.ex. ia+ib = -ic ou va+vb = -vc., de modo que essas parcelas se cancelam com a 
primeira parte, resultando a expressão usual da potência p=3P, vista anteriormente. 
No caso desbalanceado, todas as parcelas resultam oscilatórias, cuja soma não é constante 
como no caso balanceado. Quanto mais desequilibrado maior a amplitude da oscilação de 
potência resultante. Como todos os termos em (83) são produtos de senóides com freqüência 
fundamental, essas oscilações tem o dobro da freqüência fundamental, como no caso 
monofásico. 
6.1.3.1 Efeito do desbalanceamento sobre sistemas trifásicos 
Conclui-se que basta o sistema estar desequilibrado para que a potência trifásica se torne 
oscilatória. Isto tem um sério e indesejável impacto sobre motores elétricos, que desenvolvem 
conjugado oscilatório, mesmo sob carga mecânica constante. 
No caso de sistemas de proteção, o desbalanceamento pode causar desligamento por sub ou 
sobretensão, e nos sistemas de medição pode causar erros causados por mau funcionamento do 
instrumento (elementos de indução), como também pelo tipo de conexão dos TP´s (∆ ou Y), que 
filtram componentes de seqüência zero. 
Com base na análise monofásica, podemos escrever as potências por fase como sendo: 
 
 
−−ϕ+ω−+−ϕ+ω−+ϕ+ω−= )]240t2cos(1[P)]120t2cos(1[P)]t2cos(1[Pp ccbbaa 
)240t2sen(Q)120t2sen(Q)t2sen(Q ccbbaa −ϕ+ω−−ϕ+ω−ϕ+ω− (84) 
onde ϕa, ϕb, ϕc, são os ângulos entre as tensões e correntes das respectivas fases. 
 Pa = Va Ia cosϕa é a potência média na fase a 
 
Qa = Va Ia senϕa é a potência reativa na fase a 
A potência média corresponde à soma das potências ativas das 3 fases: 
cba PPPp ++= (85) 
Para assinalar que existe uma parcela oscilatória, costuma-se representar as partes como 
sendo: 
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p~pp +=
 (86) 
 
Figura 17 - Representação das potências para o caso desequilibrado. 
 
 p 
tempo 
Pp =p
~
 
Figura 18 - Potência trifásica média e oscilatória. 
Uma vez que a potência trifásica não explicita as parcelas reativas. Para se achar tais 
valores, costuma-se recorrer ao cálculo por fasores, como no caso equilibrado: 
***
3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++=(87) 
)IVI.VI.V cccbbbaaa ϕ∠+ϕ∠+ϕ∠= (88) 
Por analogia ao caso equilibrado temos que: 
)QcQbQa(jPcPbPajQPS 333 +++++=+= (89) 
e, por conseguinte, teremos como fator de potência trifásico: 
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ScSbSa
PcPbPa
S
PFP
3
3
3 ++
++
==
 (90) 
Notar que esse valor pode ser calculado como uma média por período T em função dos 
valores eficazes das tensões, correntes e respectivas defasagens. 
A equação (89) sugere uma soma direta das potências por fase, cuja representação gráfica é 
mostrada na figura seguinte: 
 
S3 Qa+Qb+Qc 
Pa+Pb+Pc 
Q3 
P3 
 
Figura 19 - Potências trifásicas para o caso desbalanceado (no caso balanceado as potências por 
fase são iguais). 
6.1.3.2 Compensação reativa trifásica 
Parece óbvio que a correção do FP trifásico, tanto no caso balanceado como 
desbalanceado, requer o cancelamento das potências reativas das três fases. No caso balanceado 
isso pode ser obtido pela conexão de capacitores (iguais) em paralelo com a carga. No caso 
desbalanceado a compensação exigiria capacitores distintos por fase, e isso perpetuaria a 
condição de desequilíbrio da rede. O melhor que se pode fazer nesse caso é conectar capacitores 
iguais, calculados pela potência reativa média. Isso não compensa o FP de cada fase, porém não 
introduz novo desequilíbrio na rede. Pode-se perceber que a fase a será sobre-compensada 
enquanto que a fase b será sub-compensada. 
 
b 
a 
Q3 /3 S3 
P3 /3 
Q3 
P3 
 
Figura 20. Compensação reativa pela média das 3 fases. 
6.1.4 Potência e Fator de Potência em Sistemas Trifásicos Desbalanceados e com 
Formas de Onda Não-Senoidais 
Ainda falta analisar o efeito de harmônicas no sistema trifásico, balanceado ou 
desebalanceado. No entanto, como vimos para o caso monofásico, as análises com componentes 
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harmônicas são bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso trifásico, 
essa situação se complica ainda mais, pois existem também interações entre as fases. 
A questão central é: como se pode medir e compensar a potência não-ativa e o FP nessas 
condições? 
A teoria tradicionalmente mais aceita e utilizada, no tratamento deste caso geral, é a teoria 
proposta por Budeanu em 1927 [3]. Muitas normas e recomendações para medição, tarifação e 
compensação de energia, assim como grande parte dos equipamentos disponíveis no mercado, 
baseiam-se nos conceitos definidos por este autor. Entretanto, como será discutido a seguir, tal 
teoria apresenta vários pontos equivocados e pode levar a conclusões enganosas, principalmente 
em relação à compensação de reativos e distorções do sistema. Desta forma, faz-se necessário o 
estudo de teorias alternativas e a definição e validação de novos conceitos. 
 
6.2 TEORIAS DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS NÃO-LINEARES 
 
Ao longo dos últimos cem anos, mas sobretudo nas últimas três décadas, diversas 
contribuições têm sido apresentadas e as principais propostas vêm de especialistas de três 
grandes grupos de estudos: o grupo de estudos do IEEE para Situações Não-Senoidais, o qual é 
presidido pelo professor Alexander E. Emanuel [5,13,14]; o grupo de estudos presidido pelo 
professor Alessandro Ferrero, o qual vem se reunindo na Itália a cada dois anos, desde 1991, em 
encontros específicos sobre definições de potência (International Workshop on Power 
Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions) [6,15-20]; e por fim, apesar de 
não constituírem um grupo formal, destacam-se os esforços de vários pesquisadores sobre as 
propostas de teorias de potências instantâneas, principalmente relacionando definições de 
potência, com técnicas de filtragem ativa [12,21-25]. 
Buscando discutir, identificar as possíveis fontes de confusões e eventuais soluções para as 
questões anteriores, este capítulo apresenta um histórico detalhado de algumas teorias e o cálculo 
de potência sob condições não-ideais de transferência de energia. 
As definições e comentários apresentados a seguir têm o objetivo de criar um contexto no 
qual se possa observar as diferentes linhas de pesquisa e identificar as semelhanças e diferenças 
entre elas, principalmente no que tange o objetivo pelo qual cada proposta de teoria de potência 
foi desenvolvida (medição, análise, tarifação ou compensação). 
A seguir, as principais teorias serão analisadas de acordo com o domínio do 
equacionamento proposto, domínio da freqüência ou do tempo. 
6.2.1 Ferramentas matemáticas básicas 
Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência mais relevantes, faz-se 
necessário uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos, os quais foram utilizados por 
diferentes autores para a definição de diversas parcelas de potência. 
6.2.1.1 Valor Eficaz ou Valor RMS 
O valor eficaz por fase e por freqüência harmônica é dado por: 
2
0
1
.
T
h hV v dtT
= ∫ (91) 
Onde “V” representa o valor eficaz e “v” representa a variável instantânea. 
 O valor eficaz total por fase pode ser calculado como: 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
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∫=
T
0
2 dt)t(v
T
1V
 ( 92) 
 Note que este valor total é diferente da simples soma dos valores eficazes de cada 
componente espectral. 
6.2.1.2 Série Trigonométrica e Transformada de Fourier 
Através da Série Trigonométrica de Fourier pode-se decompor um sinal temporal periódico 
qualquer f(t), em um somatório de sinais temporais de freqüências distintas, múltiplas entre si, ou 
seja: 
0
0 0
1
( ) [ cos( . . ) sin( . . )]
2 h hh
af t a h t b h tω ω
∞
=
= + +∑ (93) 
0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )hf t f t f t f t f t= + + +L (94) 
Por outro lado, a Transformada de Fourier permite efetuar uma decomposição 
correspondente, mas neste caso, no domínio da freqüência, ou seja: 
1 2( ) ( ) ( ) ( )hF j F j F j F jω ω ω ω= + + +L (95) 
 
Figura 21 – Função temporal composta por fundamental e terceira harmônica 
 
 
Figura 22 - Decomposição do espectro harmônico. 
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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 20
6.2.1.3 Álgebra Vetorial 
Considerando dois vetores tridimensionais instantâneos (v, i), tais como: 
a
b
c
v
v v
v
 
 
=  
  
 
a
b
c
i
i i
i
 
 
=  
  
 (96) 
o produto escalar entre os dois vetores é definido como: 
. . . ( )a a b b c cv i v i v i v i p t⋅ = + + = (97) 
e equivale ao produto do vetor v pelo vetor i transposto: Tv.i 
 A Norma Euclidiana ou Norma 2 destes mesmos vetores pode ser calculada como: 
2 2 2( ) a b cv v v v v v= ⋅ = + + . (98) 
 Outra definição importante é a de ortogonalidade de vetores. Diz-se que dois vetores são 
ortogonais se satisfazem a seguinte relação (o valor médio do produto escalar é nulo): 
0 0
1 1( ) ( . . . ) 0T T a a b b c cv i dt v i v i v i dtT T⊥⋅ = + + =∫ ∫ (99) 
 Assim, se for possível decompor um sinal qualquer em uma parcela proporcional e outra 
ortogonal ao sinal original, tem-se: 
vv
i i i⊥⇒ + (100) 
onde: 
2 2 2
vv
i i i⊥= + (101) 
vv v
v i v i v i v i⊥⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ (102) 
pois 0vv i⊥⋅ = (103) 
6.2.1.4 Valores Coletivos (Buchholtz) 
Instantâneos: 
iiii
c,b,a
2
⋅== ∑
=υ
υ∑ vvvv
c,b,a
2
⋅== ∑
=υ
υ∑ (104) 
Eficazes: 
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∫ ⋅== ∑∑
T0
22 iidti
T
1I ∫ ⋅== ∑∑
T
0
22 vvdtv
T
1V (105) 
6.2.2 Propostas no domínio da freqüência 
A maioria destas propostas tem como motivação principal a definição de grandezas que 
possam ser aplicadas a sistemas de medição e tarifação de energia. 
6.2.2.1 Definições propostas por Budeanu (1927) 
O método proposto em [3], por sua simplicidade, ainda é a base de conceitos aceitos e 
utilizados, seja no universo acadêmico, nas concessionárias de energia ou na indústria. 
Originalmente, tal método foi proposto para sistemas monofásicos. 
A proposta baseia-se na definição da Potência Aparente como: 
2
BD
2
BQ
2P
1h h
I.hV
2S ++∑
∞
=
== (106) 
onde Vh e Ih são as tensões e correntes eficazes da componente harmônica h. 
Assim, S deveria representar a máxima capacidade de geração ou transmissão de energia 
em um dado sistema elétrico, com uma carga que consumisse uma Potência Ativa média P, dada 
por: 
∫=∑
∞
=
φ=∑∞
=
=
T
0
dti.v
T
1
1h h
coshI.hV1h h
PP
 (107) 
e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada 
por: 
∑
∞
=
φ=∑∞
=
=
1h h
sinhI.hV1h h
QBQ (108) 
sendo esta, ortogonal à Potência Ativa, por definição. Deve-se observar que o termo Potência 
Reativa, aqui é definido usando todo o conteúdo harmônico dos sinais. O ângulo Φh é a 
defasagem entre tensões e correntes da componente harmônica h. Budeanu também definiu a 
parcela de potência DB, a qual foi denominada de Potência Distorciva e seria expressa pela 
combinação quadrática: 
2
BQ
2P2SBD −−= (109) 
A Potência Distorciva é constituída por produtos cruzados de tensões e correntes 
harmônicas, de diferentes ordens e só será zero se as componentes harmônicas forem nulas. DB é 
uma formulação matemática que fecha o chamado “tetraedro de potências”. 
A proposta de Budeanu é bastante interessante em se tratando da compreensão da 
existência de uma parcela de potência que contém os efeitos distorcivos do sistema em análise. 
Entretanto, uma vez que DB não parte diretamente dos sinais reais (mensuráveis) das tensões e 
correntes, depara-se com alguns problemas quando da sua implementação em sistemas de 
medição, análise ou compensação de energia. 
 
• Principais dificuldades e inconsistências do método: 
Uma das grandes dificuldades na implementação do método de Budeanu é baseada na 
necessidade de decompor as tensões e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e 
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cosseno). O que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da 
presença de distorções, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita 
para cada freqüência, independentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje 
disponíveis, simplesmente não existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a 
dificuldade da aplicação do método proposto. 
Além disto, em determinados casos, a utilização do método de Budeanu resulta em 
inconsistências, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por 
uma tensão distorcida. Neste caso as correntes também serão distorcidas, mas DB indicará um 
valor igual a zero [26]. A falta de associação das componentes de potência com os fenômenos 
físicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas 
monofásicos, são algumas outras limitações do método. 
Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o cálculo de parcelas de potência que possam 
ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas através de algum tipo de compensador, 
sem influir no valor das outras parcelas de potência. No caso da teoria de Budeanu, 
principalmente pelo fato de não isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmônicas, tal 
objetivo não é facilmente atingido. 
Entretanto, sabendo que o método de Budeanu é provavelmente o mais difundido e 
utilizado na engenharia elétrica, fica uma pergunta: Como pode tal método ter sido adotado e 
utilizado com bons resultados? 
 
• Simplificações e a teoria convencional: 
Na verdade a melhor resposta é que simplificações foram feitas no equacionamento 
anterior, de forma que apenas as componentes de freqüência fundamental fossem consideradas. 
E é fato que tal simplificação era válida e extremamente útil até algumas décadas atrás, quando 
as distorções de corrente e principalmente de tensão, podiam ser desprezadas. Assim: 
1cos1I.1V1P φ= (110) 
e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada 
por: 
1sin1I.1V1BQ φ= (111) 
2
1BQ1PI.V1S 11 +== (112) 
Neste sistema senoidal, o tetraedro de potências é reduzido para o famoso “triângulo de 
potências”, onde DB = 0. Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para o projeto de um 
compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo). 
Outra definição extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os 
descritos pelo equacionamento anterior, é o fator de potência: 
1
1
1
cos
PFP
S
φ= = . (113) 
o qual, nestas condições, também é conhecido como fator de deslocamento. Mesmo não tendo 
sido proposto pela primeira vez por Budeanu [2], o fator de potência tem sido utilizado em 
conjunto com suas definições e aplicado à tarifação de energia ou mesmo para projeto de 
instalações e sistemas de potência (por exemplo, projeto de cabos e transformadores). 
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Além da consideração de sinais senoidais, outra simplificação bastante utilizada para 
sistemas multi-dimensionais, é a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P, QB e S, para 
sistemas trifásicos, por exemplo, podem ser definidos como: 
1cos1I.f1V.331
P φ=
φ
 (114) 
1sin1I.f1V.331BQ φ=φ (115) 
11f I.V.3
31
S =
φ
 (116) 
onde o índice f representa tensões de fase. 
Nos sistemas elétricos atuais, nos quais distorções de forma de onda e assimetrias estão 
quase sempre presentes, as simplificações acima discutidas perdem sua validade e as equações 
originais, as quais contemplam todo o espectro harmônico, deveriam ser utilizadas em conjunto 
com algum tipo de adaptação para sistemas polifásicos assimétricos, como por exemplo, as 
definições de médias aritméticas ou geométricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e 
discutidas em [27]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplificações ou 
modificações não produzem resultados confiáveis nos sistemas elétricos atuais, especialmente no 
caso de circuitos com condutor de retorno e, deveriam ser abandonadas [5,6,9-11,18,26]. 
Interessantes propostas de aprimoramento da teoria de Budeanu podem ser encontradas em 
[28,29]. 
 
6.2.2.2 Definições propostas por Czarnecki (1988) 
Czarnecki é um dos grandes críticos no que se refere à utilização da teoria de Budeanu 
[26]. Além disto, utilizando-se de uma abordagem vetorial bastante sofisticada, este autor 
defende uma proposta que busca associar as parcelas de potência ativa, reativa, harmônica, etc. 
com suas respectivas variáveis de origem (tensões e correntes) e os fenômenos físicos 
associados. 
Apesar do método proposto em [30] utilizar a definição de corrente ativa apresentada por 
Fryze no domínio do tempo [4], sua abordagem foi desenvolvida no domínio da freqüência e se 
aplica tanto para sistemas monofásicos, quanto polifásicos. 
A motivação, bem como as principais contribuições de Czarnecki, estão centradas na busca 
por uma metodologia de decomposição dos sinais de corrente e potênciaque estivesse tão 
relacionada quanto possível, aos fenômenos físicos do sistema elétrico que as origina. Como 
apresentado a seguir, sua proposta utiliza os valores das várias condutâncias (G), susceptâncias 
(B) e admitâncias (Y) dos circuitos elétricos, bem como procura encontrar as parcelas de corrente 
relacionadas com harmônicos, assimetrias, reativos, etc. 
Inicialmente, o autor assume uma fonte trifásica senoidal equilibrada, alimentando um 
circuito trifásico assimétrico e define condutância e susceptância equivalente utilizando algumas 
das ferramentas matemáticas discutidas anteriormente, como segue: 
Assim, partindo da norma da tensão RMS, que permite incluir harmônicas h∈N, de modo 
que: 
 
2
h
2
2
2
1 V...VVV +++= (117) 
Vh é o valor eficaz de cada harmônica. 
 Czarnecki define condutância e susceptância equivalentes como: 
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2e V
PG ≡ (118) 
2e V
QB −≡ (119) 
e, para um sistema trifásico (R,S,T), define as potências ativa e reativa totais como: 
{ }*TT*SS*RRe IVIVIVRP ++= (120) 
{ }*TT*SS*RRm IVIVIVIQ ++= (121) 
As correntes trifásicas da fonte são decompostas em três componentes ortogonais: 
 iiii gra ++= (122) 
v.Gi ea = (123) 
)t(d
dv
.Bi 
1
er
ω
= (124) 
rag iiii −−= (125) 
Como essas componentes são mutuamente ortogonais, os valores RMS satisfazem: 
2
g
2
r
2
a
2 iiii ++= (126) 
v.Gi ea = (127) 
v.Bi er = (128) 
( ) 22e2e2g v.BGii +−= (129) 
Neste modelo aparece a separação clara entre corrente reativa e corrente harmônica. O 
autor generaliza ainda mais, introduzindo distorção harmônica na fonte, e assumindo que as 
harmônicas introduzidas pela carga sejam distintas das existentes na fonte. Seguindo o caminho 
análogo ao anterior, o método é aplicado para cada harmônica e as parcelas correspondentes são 
então somadas, resultando uma decomposição em 5 componentes ortogonais de corrente, 
designadas por: 
gusra iiiiii ++++= (130) 
 
satisfazendo a relação de ortogonalidade: 
 
2
g
2
u
2
s
2
r
2
a
2 iiiiii ++++= (131) 
de modo que 
2i
 corresponde ao valor da corrente CC que produz o mesmo efeito térmico que 
as correntes das fases TR i,i,i S produziriam em um sistema trifásico simétrico. 
 Segundo Czarnecki, as diversas parcelas ortogonais têm as seguintes interpretações: 
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ia: correntes ativas similares às de Fryze (como será discutido a seguir) para ondas não-
senoidais: 
 
v.Gi ea = (132) 
 
ir: correntes reativas devido a indutores e capacitores nas diferentes freqüências harmônicas: 
fonte da harmônicoconj.Nv.Bi u
2
1
2
n
Nn
2
ner
u
=







= ∑
∈
 (133) 
 
is: correntes devido à dispersão com a freqüência (scattered current): 
( )
 vGGi
2
1
2
n
2
Nvn
enes 





−= ∑
∈
 (134) 
 
iu: correntes de desequilíbrio: 
( )[ ] 21
Nvn
2
n
2
ne
2
ne
2
nu v.BGii 





+−= ∑
∈
 (135) 
 
ig: correntes geradas devido à não-linearidade ou variação de parâmetros da carga: 
carga da harmônicoconj.N ii g
2
1
Ngn
2
ng =







= ∑
∈
 (136) 
Desta forma, multiplicando-se cada termo de norma das correntes identificadas pela norma 
da tensão em um PAC qualquer, resultaria em termos de potência a seguinte relação: 
2 2 2 2 2 2
r s u gS P Q D D D= + + + + (137) 
A proposta de Czarnecki, apesar de interessante, não tem sido muito utilizada por outros 
autores, provavelmente pela complexidade do equacionamento no domínio da freqüência. No 
entanto, é interessante notar que tal proposta, além de auxiliar na compreensão dos fenômenos 
físicos que compõe o sistema elétrico, poderia ser implementada tanto em sistemas de análise e 
monitoração de energia, quanto em sistemas de condicionamento de energia, desde que 
utilizando sistemas adequados de processamento digital de sinais [31]. 
Seja do ponto de vista de análise, quanto de controle, a proposta parece muito interessante 
se o objetivo for a identificação, tarifação ou compensação das “correntes” de distúrbio, 
entretanto, ainda deixa algumas dúvidas como, por exemplo: como atribuir responsabilidades ou 
compensar distúrbios na “tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nas decomposições 
propostas se a tensão fundamental do sistema for assimétrica (este tipo de distúrbio parece não 
ter sido abordado)? Além disto, destaca-se que, por se tratar de uma definição no domínio da 
freqüência, eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão e corrente, podem não ser 
interpretadas corretamente. Para isto, a complexidade matemática e implementacional das 
análises seriam ainda maiores. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 26
No entanto, é importante destacar que Czarnecki tem sido um dos autores mais ativos nas 
discussões sobre teorias de potência. Como resumido, sua abordagem objetiva subdividir a 
corrente de um sistema ou circuito elétrico em várias sub-parcelas, cada qual associada com um 
tipo diferente de fenômeno físico e conseqüentemente, responsável por uma componente de 
potência distinta. Czarnecki também tem contribuído para discussões como a necessidade ou não 
da definição de potência aparente, visto que esta é muito mais uma interpretação matemática do 
que física; bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos; e ainda para 
desmistificar determinadas teorias [26,32,33] ou questionar sobre quais seriam os verdadeiros 
requisitos para uma “teoria de potências”. 
Uma vez que o foco de sua proposta é a associação com os fenômenos físicos, em 
trabalhos recentes o autor vem denominando tal proposta de Teoria das Componentes Físicas de 
Corrente, do inglês, Theory of the Current's Physical Components (CPC) [33]. 
Como será visto adiante, a abordagem de Czarnecki no domínio da freqüência tem muitas 
semelhanças com as definições de Depenbrock no domínio do tempo [17]. 
 
6.2.2.3 Definições da IEEE Standard 1459 (2000) 
Desde o princípio da década de 90, o IEEE definiu um “Grupo de Trabalho'” (Working 
Group) para Situações Não-Senoidais. Tal grupo é presidido pelo professor A. Emanuel, um dos 
grandes responsáveis pela publicação em 2000, da recomendação IEEE STD 1459-2000 [34]. 
Em 1990, um tutorial foi organizado, contendo 12 trabalhos de autores como o próprio 
Emanuel, Czarnecki, Arseneau, Cox, Filipski, Baghzouz, Gunther, dentre outros, os quais 
abordavam os problemas das definições e instrumentação usuais, sob formas de onda distorcidas 
ou assimétricas, bem como novas propostas [5]. De certa forma, os trabalhos deste tutorial 
formaram a base para os trabalhos seguintes do grupo. Provavelmente os dois trabalhos mais 
referenciados do grupo são de 1996. No primeiro deles, as principais questões sobre as 
definições de potência em condições não-ideais foram explicitadas em um questionário 
distribuído para várias concessionárias de energia e depois discutidas ponto a ponto [13]. No 
segundo, uma metodologia alternativa foi proposta para adequar as definições de potência para o 
caso geral com distorções e assimetrias [14]. 
Assim, em [14] o grupo sugere algumas definições como, por exemplo, a utilização de 
valores de tensão e corrente “equivalentes” para o sistema trifásico, bem como a “Potência 
Aparente Efetiva”, como uma alternativa ao cálculo da potência aparente de forma “vetorial” ou 
“aritmética”,como proposta pelo próprio IEEE anteriormente. Neste trabalho o grupo também 
defende a separação da contribuição das ondas fundamentais de seqüência positiva, das outras 
parcelas de potência, bem como define várias parcelas de potência como, por exemplo, as 
potências não-ativa (tudo que não gera P) e não-fundamental ( 1h ≠ ), parcela atribuída aos 
harmônicos, inter-harmônicos e suas interações. 
A seguir, os principais conceitos e definições apresentadas na proposta da STD 1459 são 
resumidos e discutidos. 
Sistemas trifásicos equivalentes: 
 
Os sistemas elétricos trifásicos normalmente são projetados para gerar, transmitir e 
distribuir a energia elétrica, sob formas de ondas senoidais e em condições praticamente 
equilibradas e simétricas, conectadas em delta ( ∆ ) ou em estrela ( Υ ), como ilustrado na Figura 
23. 
Quando duas cargas, uma ligada em Y e outra em ∆ , são equivalentes em termos de 
potência consumida, isto pressupõe que ambas causam as mesmas perdas de transmissão. Em 
condições balanceadas e sob tensões simétricas resulta a conhecida relação entre os valores das 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 27
impedâncias das duas formas de conexão (Z∆ = 3ZY). Essa hipótese também é feita para analisar 
sistemas desbalanceados, sob condições não-senoidais. 
No caso de correntes desequilibradas deve-se analisar se o sistema possui ou não condutor 
de retorno. Caso haja condutor de retorno, Figura 23a, poderá haver corrente nesse condutor, 
dada pela soma das correntes nas 3 fases. 
r lb Ib
vb
r lc Ic
vc
r la Ia
va
rn lnn
C
A
R
G
A
0In ≠≠≠≠
 
r lb
Ie
vb
r lc
Ie
vc
r la
Ie
va
rn lnn
In=0
R
R
R
R
R
R
VeVe Ve
 
a) Sistema com carga desbalanceada b) Sistema equivalente 
Figura 23 - Sistema trifásico com condutor de retorno. 
É claro que se a resistência e a corrente eficaz na rede forem conhecidas, é possível 
calcular as perdas em cada fase através da seguinte relação: 
 rIP 2=∆ (138) 
Assim, a perda total para o sistema da Figura 23a será definida como as soma das perdas 
nas três fases mais a perda no condutor de retorno (neutro): 
 
2
nn
2
c
2
b
2
at Ir)III(rP +++=∆ (139) 
Para uma dada potência na carga e condições otimizadas de operação, as correntes nas 
linhas serão mínimas se a carga for resistiva e balanceada, resultando FP = 1 (Figura 23b). 
Nessas condições, as intensidades das correntes eficazes serão dadas por ecba IIII === e 
0In = . Para as mesmas perdas de transmissão, tem-se a seguinte relação: 
2
et rI3P =∆ (140) 
onde a corrente eficaz equivalente ( eI ) é definida em função das perdas do sistema real, 
aplicadas a um sistema equivalente balanceado. Logo, igualando as equações (139) e (140) tem-
se: 
 
)IIII(
3
1I 2n
2
c
2
b
2
ae ρ+++= (141) 
onde 
r
rn
=ρ é a relação entre a resistência do condutor de retorno (rn) e a resistência dos 
condutores das fases (r), as quais em geral, não são iguais. 
Uma análise semelhante é feita para a tensão eficaz equivalente ( eV ), obtida considerando 
que a carga no circuito real (Figura 23a) consiste de grupos de cargas conectadas em Υ e em ∆ . 
Cada grupo é caracterizado por uma resistência equivalente ΥR e ∆R respectivamente (Figura 
23b), e a potência absorvida no sistema real, é dada em função das tensões eficazes de fase e de 
linha: 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 28
 
∆
++
+
++
=
R
VVV
R
VVV
P
2
ca
2
bc
2
ab
Y
2
cn
2
bn
2
an
T (142) 
 
e, no modelo equivalente fictício, é dada em função da tensão eficaz equivalente: 
 
∆
+=
R
V9
R
V3P
2
e
Y
2
e
e (143) 
Dado que 
R
VP
2
= , para o circuito da Figura 23b (equivalente) resulta: 
 
Υ
Υ = R
V3
P
2
e
, e 
∆
∆ = R
V9
P
2
e
 
e, assim, tem-se a relação das potências absorvidas entre os grupos de cargas ligadas em ∆ e Y: 
 
∆
Υ
Υ
∆
Υ
∆
===ξ
R
R3
R
V3
R
V9
P
P
2
e
2
e
 
(144) 
Substituindo a equação (142) nas equações (143) e (144) e igualando estas duas equações 
obtém-se: 
 
ξ
+=
ξ
++
+
++
ΥΥ R3
V9
R
V3
R3
VVV
R
VVV 2e
Y
2
e
2
ca
2
bc
2
ab
Y
2
cn
2
bn
2
an
 
 
( ) ( )
)1(9
VVVVVV3
V
2
ca
2
bc
2
ab
2
cn
2
bn
2
an
e ξ+
ξ+++++
=
 
(145) 
considerando 1=ξ que, segundo a equação (144), implica potências iguais dos grupos de cargas 
em Y e em ∆ ou que Υ∆ = PP e Υ∆ = R3R , resulta da equação (145): 
 
( ) ( )
18
VVVVVV3
V
2
ca
2
bc
2
ab
2
cn
2
bn
2
an
e
+++++
= (146) 
Para sistemas trifásicos com três condutores sem neutro ( 0=nI ) a equação (141) é 
simplificada para: 
 
)III(
3
1I 2c
2
b
2
ae ++= (147) 
Para a tensão equivalente efetiva com três condutores considera-se 0=ΥP , ∞→ξ , 
∞→ΥR , 3/∆= RRe , e assim a equação (146) é simplificada para: 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 29
 
)VVV(
9
1V 2ca
2
bc
2
abe ++= (148) 
Os valores Ve e Ie calculados dessa maneira representam valores por fase do sistema 
equivalente balanceado. A potência aparente efetiva total é definida como: 
 eee IV3S = (149) 
Esta definição de potência aparente é diferente das usadas nas definições clássicas, por 
incluir a corrente e resistência do condutor de retorno (neutro), além de considerar o sistema 
trifásico como um sistema polifásico de fato, e não um somatório de sistemas monofásicos. 
Quanto à definição de potência ativa (P) existe um consenso de que seja calculado como o 
valor médio, sobre um ou mais períodos do sinal, do produto das tensões de fase-neutro pelas 
respectivas correntes: 
 
( )dtvivivi
kT
1P
kTt
t
ccbbaa∫
+
++=
 (150) 
onde T é o período das tensões e correntes, “t” é o instante inicial de integração e k é um número 
inteiro de períodos para o cálculo da média (em geral k=1). 
Desta forma, o fator de potência efetivo é definido como a razão entre a potência ativa 
equação (150) e a potência aparente efetiva (149): 
 
e
e S
PFP = (151) 
 
Sistemas trifásicos equivalentes sob condições distorcidas 
Como já discutido, as análises na presença de harmônicos ficam bem mais complexas, 
devido às interações entre freqüências. No caso polifásico, essa situação se complica ainda mais, 
pois aparecem também interações entre as fases. 
Desta forma, a corrente e tensão efetiva foram separadas em duas componentes, as 
componentes fundamentais e harmônicas, ou seja: 
 
2
eH
2
1ee III += (152) 
e 
 
2
eH
2
1ee VVV += (153) 
onde o índice “1” representa a componente fundamental 60/50Hz e “H” o conjunto das 
componentes harmônicas do sistema. 
As componentes fundamentais equivalentespor fase da corrente e tensão por fase podem 
ser obtidas por: 
 
( )21n21c21b21a1e IIII3
1I ρ+++=
 
(154) 
e 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 30
 
( )[ ]2 1ca2 1bc2 1ab21c21b21a1e VVVVVV318
1V +++++=
 
(155) 
Assim, conhecendo eV e 1eV , pode-se calcular a parcela correspondentes às harmônicas da 
tensão: 
 
2
1e
2
eeH VVV −= (156) 
Da mesma forma para a parcela de correntes tem-se: 
 
2
1e
2
eeH III −= (157) 
Portanto, a potência aparente efetiva pode ser expressa por: 
 
2
eN
2
1e
2
e SSS += (158) 
onde o primeiro termo corresponde à potência aparente efetiva fundamental: 
 1e1e1e IV3S = (159) 
e o segundo termo é a potência efetiva não-fundamental: 
 
2
1e
2
eeN SSS −= (160) 
Notar que essa parcela de potência, causada pela presença de componentes harmônicos e 
inter-harmônicos distintos nas tensões e correntes, tem caráter oscilatório. 
Sistemas trifásicos equivalentes em condições desequilibradas 
Para cargas desbalanceadas, define-se a potência aparente fundamental de desequilíbrio, 
pela diferença: 
 
2
1
2
1e1U )S(SS +−= (161) 
onde +1S é a potência aparente fundamental de seqüência positiva, dada por: 
 
+++++
=+= 11
2
1
2
11 IV3)Q()P(S (162) 
Sendo: 
 
++++ φ= 1111 cosIV3P (163) 
e 
 
++++ φ= 1111 sinIV3Q (164) 
Estas definições de potência ativa de seqüência positiva e potência reativa de seqüência 
positiva são similares às usadas em sistemas trifásicos senoidais equilibrados. 
Assim, define-se também o fator de potência fundamental de seqüência positiva, como a 
relação entre a potência ativa e a potência aparente, ambas de seqüência positiva. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
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 +
+
+
=
1
1
1 S
PFP
 (165) 
Esta relação pode ser associada com o fator de deslocamento ( 1cosφ ) dos sistemas elétricos 
senoidais e equilibrados. 
Várias outras parcelas de potência ou relações entre estas, ainda podem ser extraídas da 
abordagem proposta em [34], no entanto, já é possível tecer alguns comentários sobre vantagens, 
desvantagens e semelhanças desta proposta em relação a outras referências: 
Vantagens: 
• O fato de separar as componentes fundamentais e de seqüência positiva das demais 
parcelas da tensão, corrente e potência, é um ponto importante no que tange à 
compreensão dos fenômenos físicos, bem como em relação à medição e tarifação das 
potências envolvidas no processo de fornecimento de energia; 
• Por utilizar as definições de grandezas equivalentes de Buchholz, o método procura tratar 
de forma adequada sistemas trifásicos com três ou quatro fios (embora trabalhos recentes 
apontem algumas inconsistências [10]); 
• O método permite uma certa flexibilidade em relação a quantas e quais parcelas de 
potência se deseja calcular, dependendo da necessidade ou objetivo do usuário; 
• As novas definições têm uma estreita relação com os conceitos convencionais para o caso 
senoidal e balanceado; 
• A definição de Potência Aparente Efetiva parece mais rigorosa e útil do que as definições 
convencionais; 
Desvantagens: 
• Uma vez que o foco principal dos trabalhos desenvolvidos pelos autores em questão 
sempre foi a normalização dos protocolos de medição e tarifação de energia em 
condições não-senoidais e/ou desbalanceadas, todas as definições são baseadas em 
valores eficazes, quando na verdade poderiam ter sido generalizadas no domínio do 
tempo e, então, aplicadas para tarifação; 
• Mesmo permitindo a identificação de parcelas de potência que poderiam ser 
compensadas (eliminadas) através de compensadores ativos (SeN) ou passivos (Q12), por 
não ser este o objetivo principal do grupo, tais vertentes da proposta ainda não foram 
suficientemente exploradas; 
• Um ponto crítico em quase todas as propostas de teoria de potência é a identificação do 
sentido do fluxo de potência harmônico, o que nesta proposta também não foi 
solucionado; 
• Outro ponto que ainda requer aprimoramento, tratando-se de uma recomendação IEEE, é 
o fato de que os algoritmos e protocolos para os cálculos das componentes fundamentais, 
harmônicas ou de seqüência positiva não foram abordados; 
Discussão: 
Baseado nos comentários anteriores, pode-se afirmar que a proposta atual do grupo do 
IEEE apresenta inovações em relação às recomendações anteriores do próprio IEEE. Tal 
proposta também traz várias semelhanças com as propostas de outros autores contemporâneos, 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 32
principalmente com os trabalhos de Czarnecki e Depenbrock (apresentado na próxima seção). 
Semelhanças estas que vem sendo moldadas ao longo das duas últimas décadas através das 
várias publicações e discussões de artigos destes autores. 
 
6.2.3 Propostas no domínio do tempo 
Nos últimos anos, várias propostas têm sido apresentadas baseadas em abordagens no 
domínio do tempo. Diferente das propostas no domínio da freqüência, a maioria destas tem como 
motivação principal a compensação de distúrbios. Entretanto, isto tem sido uma grande fonte de 
confusões e distorções sobre o que deveria contemplar uma “teoria de potências”, sendo algumas 
propostas extremamente úteis do ponto de vista de compensação, mas impraticáveis em 
aplicações como análise, medição ou tarifação de energia. Outro problema de interpretação 
oriundo destas propostas é a utilização do termo “instantâneo” no contexto das teorias de 
potência: tal termo vem sendo empregado para demonstrar que determinadas parcelas de 
corrente podem ser calculadas ou mesmo compensadas de forma “instantânea”, no entanto, de 
forma geral, não deveria ser empregado na definição dos nomes das diferentes componentes de 
corrente ou potência. A não ser em condições muito especiais, tais componentes podem ser 
calculadas no domínio do tempo, mas não sem algum tipo de pré-processamento, média temporal 
ou filtro (não-instantâneo). 
6.2.3.1 Definições propostas por Fryze (1932) 
Apesar de não ter sido adotada em escala mundial, a teoria proposta em [4] apresenta 
vários aspectos interessantes, uma vez que trata de uma decomposição no domínio do tempo, não 
necessitando da decomposição do sinal em seus harmônicos. Sendo este último fator 
especialmente importante por volta de 1930, pela indisponibilidade de instrumentos que fizessem 
tais análises. 
 Considerando variáveis periódicas (T) uni-dimensionais instantâneas v e i, Fryze propõe a 
decomposição da corrente total em duas componentes, iw que corresponde à parte ativa da 
corrente e ib que corresponde à parcela denominada de reativa (corrente não-ativa). São elas: 
2( ). .ww e
Pi v G v
V
= = (166) 
a qual corresponde à parcela que efetivamente transfere potência para a carga e possui a mesma 
forma de onda da tensão (como já definido, Pw é a potência ativa média e V é o valor RMS da 
tensão). E 
b wi i i= − (167) 
a qual representa uma corrente adicional de ocupação do sistema elétrico. 
É importante destacar que, desde que seja assumida uma dada periodicidade para os sinais 
detensão e corrente, as expressões anteriores são válidas para qualquer forma de onda. 
A corrente ativa é obtida através da “condutância equivalente” (Ge) do sistema, e 
representa a corrente de uma carga puramente resistiva, a qual, para uma mesma tensão, absorve 
a mesma potência ativa (Pw) da carga realmente utilizada. Se a corrente ib fosse completamente 
eliminada ou compensada, o fator de potência seria unitário. 
Uma vez que estas duas componentes de corrente são ortogonais, o produto escalar entre 
elas é igual a zero e seus valores RMS podem ser associados como: 
2 2 2
w bI I I= + (168) 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 33
Desta forma, a Potência Aparente (Ps) seria composta por: 
2 2 2
s w bP P P= + (169) 
sendo (Pw) a Potência Ativa dada por: 
0
1
. .
T
w wP V I v i dtT
= = ∫ (170) 
a qual, obviamente, está associada à transferência de energia em um determinado período e 
.b bP V I= (171) 
que é a Potência Reativa de Fryze e também pode ser encontrada na literatura com o nome de 
Potência Fictícia ou Não-Ativa. 
Além disto, utilizando a desigualdade de Schwartz que diz que: 
dx)x(gdx)x(fdx)x(g).x(f b
a
2b
a
2
2b
a ∫∫∫ ⋅≤



 (172) 
Fryze pôde mostrar que: 
PS ≥ Pw = λ.VI (173) 
onde λ = cosϕ no caso particular de funções senoidais, e que a igualdade de Schwartz só ocorre 
se a relação )x(g
)x(f
 for constante. 
 Isso significa que Ps = Pw apenas no caso em que a corrente é proporcional à tensão (carga 
resistiva) e a relação v/i se mantiver constante no período: 
cteR
i
v
==
 (174) 
ou seja, corresponde a uma resistência invariante no tempo. 
 Devemos, portanto, a Fryze a prova de que a potência aparente de um resistor invariante 
coincide com a potência ativa, qualquer que seja a forma de onda (pois a corrente é proporcional 
à tensão). 
Vantagens: 
• Uma grande contribuição da teoria de Fryze foi a introdução do conceito de 
ortogonalidade não entre as parcelas de potência, mas sim em sua origem, ou seja, às 
componentes da corrente ativa e residual; 
• O fato de calcular a corrente ativa diretamente a partir da condutância equivalente 
também deve ser ressaltado, uma vez que evitava a necessidade das análises em 
freqüência, como vinha sendo proposto por autores da época; 
• Se o objetivo é quantificar o total de energia supérflua (não-ativa) de um sistema elétrico, 
as componentes ib e Pb podem ser utilizadas com bastante precisão; 
• A proposta permite o projeto de filtros ativos de potência, para eliminação de ib, mesmo 
se em seu tempo, tal solução ainda não fosse uma realidade. 
Desvantagens: 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 34
• Pelo fato de agrupar todos os “distúrbios” de corrente na parcela ib ou conseqüentemente 
na potência Pb, tal teoria não permite o aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de 
fenômeno físico envolvido na transferência de energia, bem como não permite a 
monitoração para fins de tarifação ou compensação “seletiva” de determinadas parcelas 
de corrente e potência; 
• Não separa nem mesmo as contribuições das fundamentais do sistema, das demais 
componentes. Portanto, não permite o projeto em separado de compensadores de energia 
passivos, usualmente econômicos e ainda de utilidade para muitas instalações; 
• Foi definido para sistemas monofásicos. 
Discussão: 
É importante ressaltar que algumas das definições de Fryze, como por exemplo, a 
definição de corrente e potência ativa, vem sendo utilizadas e aprimoradas por vários outros 
autores, dos quais pode-se destacar [15-18,30,34]. 
O resultado destes novos trabalhos foi a expansão da teoria de Fryze para sistemas multi-
dimensionais [15-17,35], bem como propostas para o cálculo instantâneo da parcela de corrente 
ativa (iw) [15-17], o que possibilitou o desenvolvimento de filtros ativos de potência, para 
maximização do fator de potência de uma instalação. 
Outros trabalhos permitiram a expansão das parcelas de corrente ativa e não-ativa em sub-
parcelas que possibilitam estudos sobre os fenômenos ou distúrbios presentes em um 
determinado sistemas [16,17,22,25,35], de forma similar à proposta apresentada no domínio da 
freqüência em [34]. 
Como será discutido adiante, a linha de trabalho baseada no aprimoramento da proposta de 
Fryze, bem como a possibilidade de separar as tensões e correntes em suas várias possíveis sub-
parcelas, parece a forma mais adequada de se encontrar uma teoria de potências aplicável seja 
para os estudos, como também para tarifação e compensação, de sistemas elétricos sob condições 
não-ideais. 
 
6.2.3.2 Definições propostas por Depenbrock (1962/1992) – Método FBD 
Apesar da proposta de Depenbrock ter sido formulada em 1962 [38], a mesma só passou a 
ser referenciada e utilizada por outros autores, após a sua publicação no IEEE [39]. Baseando-se 
nos trabalhos de Fryze [4] e Buchholz [37], o autor apresentou a teoria que ele batizou como o 
método FBD “Fryze-Buchholz-Depenbrock”. 
Seu trabalho busca considerar algumas premissas básicas ao desenvolvimento adequado de 
uma teoria de potências [39] e no contexto de condicionamento de energia. Pode-se destacar: 
• o fato de que correntes não-ativas não contribuem para a transferência de energia de um 
sistema, sendo relacionadas apenas com perdas e problemas de interferência 
eletromagnética; 
• a demanda de informações sobre as funções temporais, para avaliar ou mesmo compensar 
os efeitos das correntes não-ativas; 
• o fato de que normas e recomendações deveriam trazer regras claras sobre como 
determinar tais funções temporais, sendo que tais regras deveriam ser aplicáveis para 
sistemas genéricos, sem restrições e da forma mais simples possível; 
• “potências” não-ativas são grandezas de importância secundária, uma vez que são 
derivadas das ``correntes'' não-ativas e não o contrário; 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio 
LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 35
• a única componente de corrente que possui uma definição livre de contradições, é a 
corrente ativa, no entanto, a decomposição da corrente não-ativa em sub-componentes 
pode ser de importância em determinadas aplicações. Assim, as normas deveriam definir 
os métodos e algoritmos necessários para tais decomposições, permitindo que o número 
de parcelas a serem calculadas varie de acordo com a aplicação final. 
O autor utiliza variáveis chamadas coletivas instantâneas de tensão e corrente como: 
)t()t(ii
m
1
2 ii ⋅== ∑
=υ
υ∑ )t()t(vv **
m
1
2
**
vv ⋅== ∑
=υ
υ∑ , (175) 
onde “m” indica o número de condutores que ligam a fonte à carga e o * indica que os valores 
das tensões foram medidos em relação à referência virtual. 
O método FBD considera como ativos todos os condutores do sistema polifásico, inclusive 
o condutor neutro (usualmente considerado retorno). Para o cálculo das tensões, toma como 
referência um “ponto virtual”, Figura 23b, e não o condutor de neutro (retorno) como é 
realizado usualmente, inclusive na proposta da STD 1459-2000. 
r lb
Ib
vb
r lc Ic
vc
r la
Ia
va
r l
n
In
C
A
R
G
A
 
 
r l b
ib
vb
r l cic
vc
r l a
ia
va
r l
n
in
C
A
R
G
A
Va* Vb* Vc* Vn*
(*) referência virtual
 
a) Condição inicial b) Circuito equivalente (ponto virtual) 
Figura 23: Sistema trifásico com m=4 condutores. 
Da forma como foi definido o ponto virtual (centro de “gravidade” das tensões), valem as 
seguintes relações: 
0i
m
1
=∑
=υ
υ 
0v
m
1
*
=∑
=υ
υ (176) 
A potência