201584_175343_Apostila_Calculo_II

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Cálculo II 
Estudo da Integral 
 
 
 
 
2 
CAPÍTULO 1 
 
 
1. FUNÇÕES 
 
Definição: 
 Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. 
Diz-se que temos uma função de A em B (f: A  B) quando existe uma relação entre os elementos 
desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em 
B. 
 
Seja f: A  B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, 
ou seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o 
contra-domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar 
relacionados aos elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os 
elementos x e y. 
 
 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A  B, y = x + 1. Essa 
função pode ser representada como no esquema abaixo: 
 
 Nesse caso, D(f) = {1, 2, 3}, Im(f) = {2, 3, 4} e CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4}. 
 
 É comum expressarmos uma função somente por sua lei, como por exemplo, 
1xy 
. 
Num caso assim, subentende-se que o domínio de f é o maior conjunto possível. Para essa função 
temos D(f) = [1, +∞). 
 
Classificação de funções: 
 Uma função pode ser classificada em injetora (injetiva), sobrejetora (sobrejetiva) ou 
bijetora (bijetiva). 
 
Função injetora (ou injetiva) 
 É a função na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a 
elementos diferentes no contra-domínio. 
 
Função sobrejetora (ou sobrejetiva) 
 É a função na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contra-
domínio é correspondido por ao menos um elemento do domínio. 
 
Função bijetora (ou bijetiva) 
 É a função injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, cada elemento do domínio 
corresponde a um único elemento do contra-domínio e vice versa. Esse tipo de função é conhecida 
como função um a um. 
 
3 
 Observe os diagramas abaixo que simbolizam funções de A em B. 
 
 
 Função injetora e não-sobrejetora Função sobrejetora e não-injetora Função bijetora 
 
 Graficamente é fácil de perceber quando uma função f é ou não injetora, através do teste 
da reta horizontal. Se for traçada uma reta horizontal e esta interceptar o gráfico de f mais de 
uma vez, então a função não é injetora (e, portanto, também não é bijetora). 
 
Exemplo de uma função não-injetora: 
 
 
1.1 Função inversa 
 Seja f uma função de A em B injetora. Isto significa que a cada y pertencente a imagem 
de f, existe em correspondência um único elemento x de A tal que 
  yxf 
. A função que faz 
essa correspondência chama-se função inversa de f e é designada por 
1f 
. Temos então que se 
  yxf 
, então 
 yfx 1
. Valem, portanto, as igualdades: 
 
   yyff 1
, para todo y no domínio de 
1f 
 e 
 
   xxff 1
, para todo x no domínio de 
f
 
 
Em outras palavras, 
1f
 desfaz o que f faz, pois f leva x até y, enquanto que 
1f
 leva y 
até x. Quando estas duas funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da 
outra. 
 
Obs.: 
i) Se f é crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, então essa função é injetora. 
ii) O domínio de 
1f 
 é a imagem de f e a imagem de 
1f 
 é o domínio de f. 
iii) As representações gráficas de f e 
1f 
 são simétricas à reta y = x. 
iv) A notação 
1f 
 tem significado diferente de 
f
1
. 
4 
Exemplos: 
1) Determine a função inversa 
1f 
 da função 
2x)x(f 
 e faça a representação gráfica de 
ambas. Em seguida faça o gráfico da reta y = x e verifique a simetria de f e 
1f 
. 
 
 
 
 
2) Considere a função 
3x4x)x(f 2 
. Determine uma restrição para o domínio da função f 
para que exista a função inversa 
1f 
 e determine sua lei. Em seguida faça o gráfico de 
ambas as funções. 
 
 
 
3) Encontre uma fórmula para a inversa de 
1x
4x2
)x(f



 e dê o domínio de 
1f 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1.2 Funções trigonométricas inversas 
 Observe o gráfico da função 
x seny 
. Perceba que essa função não é injetora e, 
portanto, não tem inversa. Assim, para definir funções trigonométricas inversas, primeiro temos 
que restringir os domínios para torná-las injetoras. 
 
 Assim, a função 
  sen(x)f(x) , 1,1
2
,
2
:f 




 

, cujo gráfico é mostrado abaixo, 
admite inversa. 
 
 A função inversa do seno, denotada por 
(x) arcsen
 ou 
)x(sen 1
, define-se como 
(x) arcseny 
 se, e somente se, 
y senx 
 para 
1x1 
 e 
2
y
2




. O gráfico da função 
(x) arcseny 
 é mostrado abaixo. 
 
 Como sen(x) e arcsen(x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades: 
i) sen (arcsen x) = x se 
1x1 
 
ii) arcsen (sen x)= x se 
2
x
2




 
6 
A função inversa do cosseno, denotada por arccos x, define-se como 
(x) arccosy 
 se, e 
somente se, 
y cosx 
 para 
1x1 
 e 
 y0
. Abaixo o gráfico da função cosseno (com sua 
restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arccos (x). 
 
 
 
 
 Como cos (x) e arccos (x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades: 
i) cos (arccos x) = x se 
1x1 
 
ii) arccos (cos x)= x se 
 x0
 
 
 
A função inversa da tangente, denotada por arctg x, define-se como 
)x(arctgy 
 se e 
somente se 
y tgx 
 para todo x e 
2
y
2




. Abaixo o gráfico da função tangente (com sua 
restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arctg (x). 
 
 
7 
 
 
 Tal como as funções arcsen (x) e arccos (x), temos: 
i) tg (arctg x) = x para todo x 
ii) arctg (tg x) = x se 
2
x
2




 
 
 
 
 
1.3 Derivadas das funções trigonométricas inversas 
 
  'u
u1
1
u sen arc
dx
d
2



 
  'u
u1
1
u cos arc
dx
d
2




 
  'u
u1
1
u tg arc
dx
d
2



 
  'u
1u|u|
1
u secarc
dx
d
2



 
  'u
1u|u|
1
u cossec arc
dx
d
2




 
  'u
u1
1
u gcotarc
dx
d
2




 
 
 
 
Exemplos: 
1) Ache 
dx
dy
 se 
)x(arcseny 2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se 
)x4arccos()x(f 
, determine 
).x('f
 
 
 
 
 
 
 
8 
3) Se 
(2x) arctg)1x(y 32 
, determine 
'y
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Ache 
dx
dy
 se 
x
)xsec(arc
y
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Ache 
dx
dy
 se 
)x2(arcseny 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Se 
)x2( cosy 
, determine 
)1(f 1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 1: Funções inversas 
 
1) Verifique se os pares de funções abaixo são uma a inversa da outra. 
a) 
x4)x(f 
 e 
4
x
)x(g 
 
b) 
1x3)x(f 
 e 
1x3)x(g 
 
c) 
3 2x)x(f 
 e 
2x)x(g 3 
 
d) 
4x)x(f 
 e 
4 x)x(g 
 
 
2) Determine quais das funções abaixo são injetoras. 
a) 
2x3)x(f 
 
b) 
1x)x(f 
 
c) 
|x|)x(f 
 
d) 
3x)x(f 
 
e) 
2x2x)x(f 2 
 
f) 
)x(sen)x(f 
 
 
3) Verifique se a função 
f
 definida pela tabela é injetora. 
a) 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) -2 -1 0 1 2 3 
b) 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) 4 -7 6 -3 1 44) (a) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função 
f
 sobre seu domínio 
8x8 
. Explique 
por que 
f
 tem uma inversa e use seu gráfico para encontrar 
)2(f 1
, 
)1(f 1 
 e 
)0(f 1
. 
(b) Encontre o domínio e a imagem de 
1f 
. 
(c) Esboce o gráfico de 
1f 
. 
 
 
10 
5) Encontre uma fórmula para 
)x(f 1
 em cada função abaixo: 
a) 
6x7)x(f 
 
b) 
5x3)x(f 3 
 
c) 
3 1x2)x(f 
 
d) 
2x
3
)x(f 
, para 
0x 
 
 
 
6) Encontre uma fórmula para 
)x(f 1
 e dê o domínio de 
1f 
. 
a) 
4)2x()x(f 
, para 
0x 
 
b) 
x23)x(f 
 
c) 
2x5x)x(f 
, para 
1x 
 
d) 
)x2cos(y 
, para 
2
x0


 
 
 
 
7) Encontre 
dx
dy
. 
 
a) 
(3x) senarcy 
 
b) 







x
1
 secarcy
 
c) 
 3x tg arcy 
 
d) 
x cos arc x senarcy 
 
e) 
x cossec arc x secarcy 
 
f) 
 x cotg arcy 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1.a) SIM 
 b) NÃO 
 c) SIM 
 d) SIM 
 
2.a) SIM 
 b) SIM 
 c) NÃO 
 d) SIM 
 e) NÃO 
 f) NÃO 
 
3.a) SIM 
 b) NÃO 
11 
4.a) O gráfico tem inversa porque a função é injetora e 
8)2(f 1 
, 
1)1(f 1 
 e 
0)0(f 1 
. 
 b) 
2] ,2[))x(f(D 1 
 e 
8] ,8[))x(fIm( 1 
 
 c) 
 
5.a) 
)6x(
7
1
)x(f 1 
 
 b) 
3
1
3
)5x(
)x(f


 
 c) 
2
1x
)x(f
3
1 
 
 d) 
x
3
)x(f 1 
 
 
6.a) 
2x)x(f 4
1
1 
, para 
16x 
 
 b) 
)x3(
2
1
)x(f 21 
, para 
0x 
 
 c) 
 x2011
10
1
)x(f 1 
, para 
4x 
 
 d) 
2
(x) arccos
)x(f 1 
, para 
1x1 
 
 
 
7.a) 
2x91
3
'y


 
 b) 
1x|x|
1
'y
2 

 
 c) 
6
2
x1
x3
'y


 
 d) 
0'y 
 
 e) 
0'y 
 
 f) 
)x1(x2
1
'y


 
 
 
12 
CAPÍTULO 2 
 
 
2. FUNÇÕES EXPONENCIAL 
 
 
2.1 Revisão de potência 
 
a) 23 = 
b) (-4)2 = 
c) -32 = 
d) 71 = 
 
 
Propriedades 
 Multiplicação de potências de mesma base: 
a) 53 . 57 = 
b) 34 . 35 = 
Propriedade: Na multiplicação de potências de mesma base, __________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
 Divisão de potências de mesma base: 
a) 57  53 = 
b) 610  65 = 
Propriedade: Na divisão de potências de mesma base, _______________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
 Potência da potência: 
a) (23)2 = 
b) (32)4 = 
Propriedade: Quando ocorrer potência de potência, ________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
Potências com expoentes inteiros e racionais 
a) 30 = 
b) 4-2 = 
c) 3-3 = 
d) (-2)-4 = 
e) 
2
1
4
= 
f) 
2
3
4
 = 
g) 
3
1
27
 
h) 
c
b
a
= 
 
13 
2.2 Função exponencial 
Considere o seguinte problema: 
Uma colônia inicialmente com cerca de 1200 bactérias é cultivada e apontamentos indicam 
que sua população dobra a cada hora. Sendo assim, complete a tabela abaixo com o número de 
bactérias previsto levando em conta que haverá espaço e alimento suficientes. 
 
tempo (em horas) 0 1 2 3 4 ... 10 t 
População (P) 
 
Funções com esse tipo de característica são classificadas como exponencial. Sendo mais 
rigoroso, uma função f:  , tal que 
xb)x(f 
, em que b > 0 e b ≠ 1 é denominada função 
exponencial de base b. 
 São exemplos de funções desse tipo 
x2)x(f 
, x
2
1
)x(f 






 e 
xe)x(f 
. 
 
 
Gráfico de uma função exponencial 
 
 
Exemplo: 
Construa o gráfico das funções 
x2y 
 e x
2
1
y 






. 
 
14 
A função exponencial natural 
A função exponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e 
econômicos é a função exponencial natural, cuja base é o número especial e (número de Euler). 
Esse número é irracional e seu valor é de aproximadamente 2,718281828 para nove casas 
decimais. 
 As funções exponenciais do tipo 
kxey 
, onde k é uma constante diferente de zero, são 
frequentemente usadas como modelos de crescimento ou decaimento exponencial. Além disso, a 
função 
xe)x(f 
 tem uma particularidade interessante: qualquer reta tangente tem sempre a 
inclinação da ordenada (y) do ponto de tangência. 
 
Número de Euler 
 Usando sua calculadora, verifique que 
718281828,2e 
. 
 
Complete a tabela abaixo: 
x
 
x
1
1 
 
x
x
1
1 






 
1 
10 
100 
1000 
10.000 
100.000 
1.000.000 
 
Portanto, o número de Euler, representado pela letra e, é dado por x
x x
1
1lim 







. Esse 
limite é equivalente a 
x
1
)x1(lim
0x


. 
 
  ex1lim
x
1
1lim x
1
0x
x
x








 
15 
2.3 Logaritmos 
 Dado um número a, positivo e diferente de 1, e um número b, positivo, se a x = b, dizemos 
que o expoente x é o logaritmo de a na base b. Indicamos por loga b e lemos logaritmo de a na 
base b. 
 
 
 
 
 Se x = logb a , dizemos que: 
 b é a base do logaritmo (b > 0 e b  1) 
 a é o logaritmando ou antilogaritmo (a > 0) 
 x é o logaritmo 
 
 
Exemplos: 
Determine os logaritmos pedidos: 
a) 
8log2
 
 
 
 
b) 
9log3
 
 
 
 
 
c) 
32log
2
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de logaritmos 
 Chamamos de sistemas de logaritmos de base b o conjunto formado pelos logaritmos, 
nesta base, de todos os números reais positivos. Dois sistemas são mais usados: 
 
 Sistemas de logaritmos decimais: 
 É o sistema de logaritmos de base 10. Estes logaritmos também são chamados logaritmos 
comuns, ou de Briggs (Henry Briggs, 1561-1630, matemático inglês). O logaritmo decimal de um 
número é indicado por log x (ficando implícito que a base é 10). 
 
Exemplo: 
1) Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo: 
a) 
10log
10
 log 10 = 
b) 
2log
10
 log 2 = 
c) 
5log
10
 log 5 = 
logb a = x  b
 x = a 
16 
 Sistemas de logaritmos naturais: 
 É o sistema de logaritmos cuja base é o número de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), 
visto anteriormente, representado por e. Indica-se um logaritmo desse sistema por n x. 
 
Exemplo: 
2) Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo: 
a) 
10log
e
 ln 10 = 
b) 
2log
e
 ln 2 = 
c) 
elog
e
 ln e = 
 
 
Propriedades operatórias 
 
 Logaritmo do produto 
 
  clogalogaclog bbb 
 
 
 
 Logaritmo da divisão 
 
  clogaloglog bbcab 
 
 
 
 
 Logaritmo da potência 
 
alogmalog b
m
b 
 
 
 
 Mudança de base 
 
blog
alog
alog
c
c
b 
 
 
 
 
Função inversa 
Teorema: Se b > 0 e b ≠ 1, então 
xby 
 e 
xlogy b
 são funções inversas. 
 
Prova: Se 
xby 
, para determinarmos a inversa fazemos 
ybx 
. Ora, 
ybx 
 é equivalente a 
yxlogb 
. Portanto, 
xlogy b
 é inversa de 
xby 
. 
 
 
 
17 
Gráfico da função logarítmica 
 O padrão de crescimento de 
xe
 e 
x ln
 são bem distintos. Ambas as funções crescem sem 
cota, mas 
xe
 cresce muito rápido enquanto o crescimento de
x ln
 é muito lento. Para ter uma ideia, 
para10x 
, 
xe
 supera 22000 enquanto 
x ln
 não atinge nem 7. Abaixo o gráfico da função 
x lny 
. 
 
 
 
 Use a malha abaixo e construa o gráfico de 
xlogy 2
 e 
xlogy 
. 
 
 
 
 
 
18 
Derivadas de funções logarítmicas 
 Lembremos como obtemos a derivada de uma função pela definição: 
 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
0h



 
 
 Para calcular a derivada de 
)xln()x(f 
, fazemos então: 
h
)xln()hxln(
lim)]x[ln(
dx
d
0h



 
 )xln()hxln(
h
1
lim)]x[ln(
dx
d
0h


 





 

 x
hx
ln
h
1
lim)]x[ln(
dx
d
0h
 







 x
h
1ln
h
1
lim)]x[ln(
dx
d
0h
 
 v1ln
vx
1
lim)]x[ln(
dx
d
0v


 
 v1ln
v
1
lim
x
1
)]x[ln(
dx
d
0v


 
  v
1
v1lnlim
x
1
)]x[ln(
dx
d
0v


 
  





v
1
v1limln
x
1
)]x[ln(
dx
d
0v
 
 eln
x
1
)]x[ln(
dx
d

 
 
x
1
)]x[ln(
dx
d

 
 
 
 Além disso, para logaritmo em outra base temos: 
  )xln(
bln
1
)bln(
)x(n1
dx
d
xlog
dx
d
b 






 
 
 
blnx
1
xlog
dx
d
b 
 
 
 
 Se u é uma função diferenciável de x e se 
0)x(u 
, então: 
 
1) 
  'u
u
1
)uln(
dx
d

 
 
2) 
  'u
blnu
1
)u(log
dx
d
b 


 
 
 
 
Propriedade operatória dos logaritmos. 
Fazendo h/x = v, temos h = vx. Além disso, se h 
tende a zero, v = h/x também tende a zero. 
Propriedade operatória dos logaritmos. 
Como ln(x) é uma função contínua,podemos mover 
o limite através do símbolo da função. 
Como x é fixo nesse cálculo (não varia), 
podemos removê-lo através do limite. 
0x 
 
0x 
 
19 
Exemplos: 
1) Se 
)2xln()x(f 3 
, determine 
).x('f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se 
)xcosx5ln(y 
, determine 
dx
dy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine 


















x1
)x(senx
ln
dx
d
2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Se 
|)x(sen|ln)x(f 
, determine 
)x('f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Teorema: Diferenciabilidade da função inversa 
 Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja diferenciável 
e injetora nesse intervalo. Então 
1f 
 é diferenciável em qualquer ponto da imagem de f no qual 
0))x(f('f 1 
 e sua derivada é: 
 
 )x(f'f
1
)x(f
dx
d
1
1

 
 
 
 
Exemplo: 
Encontre a derivada da inversa de f(x) = x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas das Funções Exponenciais 
 As funções 
xby 
 e 
xlogy
b

 são funções inversas. Além disso, 
 
blnx
1
xlog
dx
d
b

. Pela 
fórmula da derivada da inversa, tomando 
xlog)x(f
b

 e 
x1 b)x(f 
, temos: 
 
  blnb
blnb
1
1
)b('f
1
b
dx
d x
x
x
x 
 
 
 
 Em particular, 
  xxx eelnee
dx
d

 
 
 
 
Se u é uma função diferenciável de x, então: 
 
1) 
  'u)bln(bb
dx
d uu 
 2) 
  'uee
dx
d uu 
 
 
 
21 
Exemplos: 
1) Se 
x2)x(f 
, determine 
)x('f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se 
)x3ln(e)x(f
2x 
 determine 
)x('f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine 
 )x2cos(e
dx
d
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quando se dá um fármaco a um paciente, a droga entra na corrente sanguínea. Ao passar pelo 
fígado e rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que depende da droga. Uma dose típica de 
Ampicilina é de 250mg. Seja 
t)6,0(250)t(Q 
 a quantidade de Ampicilina, em mg, na corrente 
sanguínea, t horas desde que a droga foi dada. A partir disso, pede-se: 
a) Após 4 horas, qual é a quantidade de Ampicilina no organismo ? 
b) Após 4 horas, com que velocidade o remédio está sendo eliminado do organismo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
5) A expressão que modela o decaimento do antibiótico Axetil Cefuroxina no organismo é 
t231,0e250)t(C 
, em que C é a quantidade do medicamento, em mg, e t representa o tempo 
após a ingestão, em horas. 
(a) Após 1 hora, com que rapidez o antibiótico está sendo eliminado do organismo? 
(b) Após quanto tempo a quantidade de antibiótico no organismo estará em 20% da 
quantidade inicialmente ingerida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança em idade 
pré-escolar. Se A(t) denota a altura (em centímetros) na idade t (em anos) para 
6t4
1 
, 
então A(t) pode ser aproximada por A(t) = 70,228 + 5,104t + 9,222 ln t. 
a) Qual a altura esperada para uma criança de 2 anos, segundo essa lei? 
b) Com que rapidez uma criança de 3 anos está crescendo, segundo essa lei? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 2: Funções exponenciais e logarítmicas 
 
1) Encontre 
dx
dy
. 
(a) 
)x5( lny 
 
(b) 
|x1|lny 
 
(c) 
|1x|lny 2 
 
(d) 








2x1
x
 lny
 
(e) 
2x lny 
 
(f) 
x lny 
 
(g) 
x lnxy 
 
(h) 
)x23( logxy
2
2 
 
(i) 
xlog1
x
y
2


 
(j) 
x) (ln lny 
 
(k) 
x) (tg lny 
 
(l) 
x) (ln cosy 
 
(m) 
x) (sen logy 2
 
(n) 
 423 )1x(1)-(x lny 
 
(o) 









23x-4
x cos
 lny
 
 
 
2) Encontre 
dx
dy
. 
(a) 
x7ey 
 
(b) 
x3exy 
 
(c) 
xx
xx
ee
ee
y





 
(d) 
x tg xey 
 
(e) 
)x3ex(ey 
 
(f) 
)xe1ln(y x
 
(g) 
x secarc ey x
 
 
 
3) A função 
t2,021000)t(N 
 indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t 
é o número de horas decorridas. 
(a) Depois de quantas horas haverá 5000 bactérias na colônia? 
(b) Após 2h, com que rapidez a cultura estará crescendo? 
 
 
 
24 
4) Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade, após t anos, dada por 
1000
t
0 )4,1(M)t(M


, onde M0 representa a quantidade inicial. Qual é a meia-vida dessa 
substância? 
Obs.: Meia-vida é o tempo necessário para a massa da substância se reduzir pela metade. 
 
 
 
5) Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento limitado 
de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial 
t16,0e391
400
)t(N


 
 onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do experimento. Após quanto 
tempo a população será de 100 drosófilas? 
 
 
 
6) A expressão que modela o comprimento (em cm) de um peixe típico do Pacífico com t anos de 
idade é de aproximadamente 
)e956,01(200)t(f t18,0
. 
(a) Após quanto tempo esse peixe atinge 180cm? 
(b) Após 5 anos, com que rapidez esse peixe está crescendo? 
 
 
 
7) Resolva as equações abaixo: 
(a) 
64e2 4t3 
 
(b) 
0)xln()1xln( 
 
(c) 
2)5x3log()xlog( 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.(a) 
x
1
 
(b) 
x1
1

 
(c) 
1x
x2
2 
 
(d) 
)x1(xx1
2
2


 
(e) 
x
2
 
(f) 
x lnx2
1
 
(g) 
x ln1 
 
(h) 
)x23)(2(ln
x2
)x23(log x2
2
2


 
25 
(i) 
2)xlog1(
)10ln(/x)xlog1(x2


 
(j) 
x ln x
1
 
(k) 
x cos x sen
1
 
(l) 
x) (ln sen
x
1

 
(m) 
)10ln(
x cotg 2
 
(n) 
1x
x8
1x
3
2 


 
(o) 
2x34
x3
x tg


 
 
 
2. (a) 
x7e7
 
(b) 
)3x(ex x2 
 
(c) 
2xx )ee(
4

 
(d) 
x tg x2 x)e tgx secx( 
 
(e) 
x3exx3 e)e31( 
 
(f) 
xe
1x
x 

 
(g) 
x secarc e
1x|x|
e x
2
x


 
 
 
3. (a) 11h 36min 
 (b) 182,9 bactérias/hora 
 
 
4) 2060 anos 
 
 
5) 16 dias 
 
 
6. (a) 12,5 anos 
 (b) 14 cm/ano 
 
 
7. (a) -0,797 
 (b) 0,618 
 (c) 5 
 
 
 
26 
CAPÍTULO 3 
 
 
3. FORMAS INDETERMINADAS 
 
 Quando calculamos limites por vezes chegamos a algumas situações que chamamos de 
indeterminação. Para exemplificar, considere o limite abaixo: 
1x
1x
lim
2
1 x 


 
 Perceba que quando quando x se aproxima de 1, tanto numerador como denominador se 
aproximam de zero, gerando uma indeterminação que chamamos do tipo 
0
0
. Nesse capítulo 
estudaremos essas indeterminações e técnicas para obter resultados a partir delas. 
 São indeterminações matemáticas os seguintes resultados que aparecem no cálculo de 
limites: 
0
0
 ; 


 ; 
0
 ; 

 ; 
00
 ; 
0
 ; 
1
 
 
 
3.1 Regra de L’Hôpital 
 
TEOREMA: 
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x = a exceto, 
possivelmente, em x = a, e que: 
0)x(flim
ax


 e 
0)x(glim
ax


 


)x(flim
ax
 e 


)x(glim
ax
 
Se existe 
)x('g
)x('f
lim
ax
 ou se esse limite é 

, então: 
)x('g
)x('f
lim
)x(g
)x(f
lim
axax 

 
 
Obs.: Válido também para 
 ax
, 
 ax
, 
x
 ou 
x
. 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
3x
9x
lim
2
3 x 


 
 
 
2) 
)xcos(
)x(sen1
lim
2
 x


 
 
27 
3) 
3
x
0x x
1e
lim


 
 
 
4) 
x
)x2(sen
lim
0 x
 
 
 
5) 
2
0 x x
)x(tg
lim

 
 
 
6) 
20 x x
)xcos(1
lim


 
 
 
 
7) 
x x e
x
lim

 
 
 
 
8) 
2x
6x
lim
2
3 x 


 
 
 
 
9) 
)(sen
x
lim
x
1
3
4
 x


 
 
 
 
28 
3.2 Outras formas indeterminadas 
 Discutimos até agora apenas as formas indeterminadas do tipo 
0
0
 e 


. Vamos analisar 
outras formas de indeterminação, como 
0
 ; 

 ; 
00
 ; 
0
 ; 
1
. É importante salientar que 
essas expressões são resultados de limites envolvendo duas funções. 
 Por exemplo, o limite 
x ln x lim
0x 
 corresponde ao que chamamos de forma indeterminada 
0
, 
pois ao mesmo tempo que o primeiro fator influencia o resultado do limite para zero, o segundo fator 
“puxa” o resultado para -. 
 
 Para determinar o resultado desse limite, fazemos uso de algumas manipulações algébricas. 
 
Vamos resolver dois exemplos: 
 
1)
x ln x lim
0x 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
2x secx) tg-(1 lim
4
x 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de indeterminações do tipo 

 
3) 
 
x sen
1
x
1
 lim
0x








 
 
 
 
 
 
 
4) 
 x)(1 ln - x ln lim
x


 
 
 
 
 
 
 
5) 
 1)(x ln - x lim 2
x


 
 
 
 
 
29 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 3: Formas indeterminadas 
 
1) Encontre o limite: 
a) 
x sen
1e
 lim
x
0x


 
 
b) 



tan
 lim
0
 
 
c) 
 x
x sen
 lim
x
 
 
d) 
x
x ln
 lim
x 
 
 
e) 
x ln
x gcot
 lim
0x 
 
 
f) 
x
100
x e
x
 lim

 
 
g) 
x
2x sen arc
 lim
0x
 
 
h) 
x
x
e xlim 

 
 
i) 
x
 senx lim
x



 
 
j) 
5x cos3xec s lim
2
x


 
 
k) 
 xxx lim 2
x


 
 
 
 
 
2) Encontre o erro: 
1
2x6
2x6
 lim
x2x3
1x2x3
 lim
xx
1xxx
 lim
1x2
2
1x23
23
1x










 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.a) 1 
 b) 1 
 c) -1 
 d) 0 
 e) - 
 f) 0 
 g) 2 
 h) 0 
 i)  
 j) 
3
5

 
 k) 
2
1
 
 
 
 
 
30 
CAPÍTULO 4 
 
 
4. ANTIDERIVADAS 
 Uma função F(x) é chamada antiderivada (ou primitiva) da função f(x) se para todo x do 
domínio da função f, 
).x(f)x('F 
 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) = 2x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
2) Se f(x) = x2, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
3) Se f(x) = cos x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
4) Se f(x) = x7 + sen x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
5) Estabeleça uma expressão para a primitiva de f(x) = xn. 
 
 
 
 
 
 
4.1 Integral indefinida 
 O processo de determinar antiderivadas é chamado de antiderivação (antidiferenciação) ou 
integração. 
 
Notação: 
 Se F(x) é tal que F’(x) = f(x), então 
C)x(Fdx )x(f 
, onde C é a constante de 
integração e dx nos indica a variável de integração. 
 Por exemplo, 
Cx
3
1
dx x 32 
 e, por consequência, 
  23
3
1 xCx
dx
d

. 
 
 A expressão 
 dx )x(f
 é denominada integral indefinida. 
 
 
 
31 
 Através da fórmula da derivada temos condições de estabelecer a fórmula de integração. 
Veja alguns exemplos: 
 
 
  34 x20x5
dx
d

  
Cx5dx x20 43 
 
 
  21x
2
1
x
dx
d 

  
Cxdx x
2
1
2
1


 
 
  tsect tg
dt
d 2
  
  Ct tgdt tsec
2
 
 
2
1
2
3
u
2
3
u
du
d





  
Cudu u
2
3
2
3
2
1

 
 
 
 
Observação: 
1) 
  dxdx 1
 
2) 
  33 x
dx
dx 
x
1
 
 
 
 
Propriedades da integral indefinida 
 
1) 
  dx f(x)c dx f(x) c
 
 
 
2) 
   dx )x(gdx f(x) dxg(x)] f(x) [
 
 
 
3) 
   dx )x(gdx f(x) dxg(x)] f(x) [
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
  dx 1)2x x3(
2
 
 
 
 
 
2) 
 




 
dx 
x
1x2xx4 23
 
 
 
 
32 
Tabela de integrais 
 
1) 
  Cxdx
 
2) 
 


C
1r
x
dx x
1r
r
 
)1r( 
 
3) 
  Cx sendx xcos
 
4) 
  Cx cos-dx x sen
 
5) 
  Cx gtdx xsec
2
 
6) 
  Cx cotgdx xseccos
2
 
7) 
  Cx ecsdx x tg xsec
 
8) 
  Cx -cossecdx x cotg x seccos
 
 
9) 
  Cedxe
xx
 
10) 
  Cb ln
b
dx b
x
x
 
1)b ,b0( 
 
11) 
  Cx lndxx
1
 
12) 
Cx tg arcdx 
x1
1
2


 
13) 
 

Cx senarcdx
x1
1
2
 
14) 
 

Cx secarcdx
1xx
1
2
 
 
Exemplos: 
 
1) 
 dx x cos 4
 
 
 
2) 
 dx x
 
 
 
3) 
 

dx 
x
2x
 
 
 
4) 
   dx 7x3x4
25
 
 
 
5) 



 d sen
 cos
 
2
 
 
 
 
6) 
 

dt 
t
t2t
4
427) 
 
dx 
1x
x
2
2
 
 
 
 
 
 
33 
4.2 Integral por substituição 
 Vamos exemplificar a integração usando a técnica da substituição a partir do exemplo 
abaixo: 
 
  dx x2)1x(
22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exemplos: 
1) 
  dx x3)1x(
2103
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
  dx )9x( sen
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
  dx x2)2x( sec
22
 
 
 
 
 
34 
4) 
 dx 5x cos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 







5
8x
3
1
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 






 dx x cos xsenx
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
 dx x senxcos
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
 dx xcos
3
 
 
 
 
 
 
35 
9) 
 dx 
x
e x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 
 

dx
e1
e
x2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 
  dx 1xx
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
  22 xa
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Consequências do exemplo (12): 
 
1) 
 
C
a
u
 tg arc 
a
1
ua
du
22
 
2) 
 

C
a
u
 senarc
ua
du
22
 
3) 
 

C
a
u
 secarc
a
1
auu
du
22
 
 
 
 
Exemplo: 
 
13) 
 
 2x2
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) 
 

d 
4cos
 sen
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
4.3 Substituição trigonométrica 
 
Exemplos: 
 
15) 
 dx x-1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) 
 
 22 x4x
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 4: Integrais indefinidas 
 
1) Determine as integrais pedidas: 
 
a) 
 dx xx
3
 
b) 
 




 dx
x3
2
x5
5
 
c) 
 


  dxx8x3x 24
13
 
d) 
  dx)x1(x
3
 
e) 
 dx)x2(x
23
1
 
f) 
 

dx 
x
1x2x
4
25
 
g) 
 




 dxe3
x
2 x
 
h) 
  dx xsec 2-x sen3
2
 
i) 
  dx x) tg xx(sec sec
 
j) 
 

d 
 cos
sec
 
k) 
 dx xcos
x sen
2
 
l) 
  d )cossec sen1(
2
 
m) 
 










dx 
x1
3
x12
1
22
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 
Cx
9
2 29

 
b) 
C
x6
1
x
2
5
4
2 
 
c) 
Cx
3
8
x
5
12
x
2
1 3452  
 
d) 
C
5
x
2
x 52

 
e) 
Cx
10
3
x
7
12
x3 3
10
3
7
3
4

 
f) 
C
x3
1
x
2
2
x
3
2

 
g) 
Ce3x ln2 x 
 
h) 
Cx tg 2xcos3 
 
i) 
Cxsec x tg 
 
j) 
Ctan 
 
k) 
Cx sec 
 
l) 
Ccos 
 
m) 
C x tgarc 3-x sen arc
2
1

 
 
 
 
39 
 
Lista 5: Integral por substituição 
 
 
Determine as integrais pedidas: 
 
1) a)
  dx1)(x x2
232
 
b) 
 dx (x) sen x)(cos
3
 
c) 
 dx xsen
x
1
 
d) 
 
 5x4
dx x3
2
 
 
2) a) 
 dx xcossec x gcot
2
 
b) 
  dt t cost) sen1(
9
 
c) 
 dx2x cos
 
d) 
 dx xsec x
22
 
 
 
3) a) 
  xlnx 
dx
 
 
b) 
 
 dx e x5
 
c) 
 

d 
3 cos1
3 sen
 
d) 
 
dx 
e1
e
x
x
 
 
 
 
4) 
  dx 3)(4x
9
 
 
5) 
 dx7x sen
 
 
6) 
 dx4x tg4x sec 
 
 
7) 
 dx e
2x
 
 
8) 
 

 
4x1
dx
2
 
 
9) 
  dt 127tt
2
 
 
10) 
 
dx 
)x21(
6
3
 
 
11) 
 
dx 
)2x5(
x
34
3
 
 
12) 
 dx x cos e
 xsen
 
 
13) 
 dxex
3-2x2
 
 
14) 
 
dx 
e1
e
x2
x
 
 
15) 
 dx x
)x/5( sen
2
 
 
16) 
 dt 3t sen 3t cos
4
 
 
17) 
 dx )(xsecx 
22
 
 
18) 
  d 4 sen24 cos
 
19) 
 
 xtg1
dx xsec
2
2
 
 
20) 
 dx2x tg x2sec
3
 
 
21) 
 xe
dx
 
 
22) 
 x2e x
dx
 
 
23) 
 

dy
1y2
y
 
 
24) 
  d 2sen
3
 
 
25) 
 

dt
t
1t
 
 
 
26) 
  
 dx )eln()(e ln xx
 
27) 
 
 2x9
dx
 
 
 
28) 
  2x5
dx
 
 
 
29) 
 
2xx
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
Respostas: 
 
1. a)  
C
24
1x
242


 
b) 
C
4
xcos4

 
c) 
Cxcos2 
 
d) 
C5x4
4
3 2 
 
 
 
2. a)
Cxgcot
2
1 2 
 
b) 
Ct) sen1(
10
1 10 
 
c) 
Cx2 sen
2
1

 
d) 
  Cxtg
2
1 2 
 
 
3. a) 
C| xln|ln 
 
b) 
Ce
5
1 x5  
 
c) 
C)3 cos1ln(
3
1

 
d) 
C)e(1 ln x 
 
 
 
4) 
C)3x4(
40
1 10 
 
5) 
C 7x cos
7
1

 
6) 
C4x sec
4
1

 
7) 
Ce
2
1 x2 
 
8) 
C2x sen arc
2
1

 
9) 
C)12t7(
21
1
2
3
2 
 
10) 
C
)x21((2
3
2


 
11) 
C
)2x5(40
1
24



 
12) 
Ce xsen 
 
13) 
Ce
6
1 3x2  
 
14) 
Ce tg arc x 
 
15) 
C)x/5cos(
5
1

 
16) 
Ct3cos
15
1 5 
 
17) 
C)(x tg
2
1 2 
 
18) 
  C4 sen2
6
1
2
3

 
19) 
C x)(tg sen arc 
 
20) 
Cx2sec
6
1 3 
 
21) 
Ce x  
 
22) 
Ce x2  
 
23) 
C)1y2(
2
1
)1y2(
6
1
2
1
2
3

 
24) 
C2cos
6
1
2 cos
2
1 3 
 
25) 
C|t| lnt 
 
26) 
C
 
27) 
Cx
3
1
 sen arc 





 
28) 
C
5
x
 tgarc 
5
1








 
29) 
C
x
sec arc 
1









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
CAPÍTULO 5 
 
 
5. INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
Problema geral da área 
 Muitos povos antigos sabiam como calcular a área de polígonos através de fórmulas ou 
pelo processo de decomposição. Contudo, os matemáticos tinham muitas dificuldades para 
determinar áreas em regiões com contornos curvos. 
 Foi o grego Arquimedes que trouxe avanços na determinação dessas regiões, num 
procedimento que ficou conhecido como método da exaustão. 
 As figuras abaixo dão uma idéia clara do processo. Com o objetivo de determinar a área 
do círculo, criaram-se polígonos regulares inscritos ao círculo com quantidade de lados cada vez 
maior. Pode-se visualizar que a área do círculo vai sendo exaurida à medida que aumentamos o 
número de lados. Para um número suficientemente grande lados, temos uma aproximação boa para 
a região interna do círculo. 
 
 
 
 
 
 Sabe-se, hoje, que a área de um círculo é 
2RA 
. A tabela abaixo, mostra a área de um 
polígono de n lados inscrito num círculo de raio 1. Observe que à medida que o número de lados 
aumenta, a área se aproxima cada vez mais do valor do  ( = 3,14159265358979...) 
 
n A(n) 
100 3,13952597 
200 3,14107591300 3,14136298 
500 3,14150997 
1.000 3,14157198 
10.000 3,14159245 
 
 
 
 
42 
O problema da área 
 Dada uma função f contínua e não negativa em um intervalo [a, b], encontre a área da 
região gerada entre o gráfico de f e o intervalo {a, b] no eixo x. 
 
 
 
Método dos retângulos 
 Uma abordagem ao problema da área, utilizando a ideia da exasutão de Arquimides é a 
utilização de retângulos na determinação da região abaixo da função f. Considere as seguintes 
ações: 
 Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada um deles construir um 
retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto y = f(x) acima do subintervalo. 
 Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como um aproximação da área 
exata sob a curva acima do intervalo [a, b]. É facilmente percebido que à medida qua n 
cresce as aproximações ficam cada vez melhores. Portanto, se A é a área exata sob a 
curva e An é a aproximação da área usando n retângulos, então: 
 
n
n
A limA


 
 
 
 
Se subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, então temos que a medida da 
base de cada retângulo será 
n
ab
x


. Construindo os retângulos de tal modo que 
)c(f 1
 seja a 
altura do retângulo no 1º subintervalo, 
)c(f 2
 seja a altura do retângulo no 2º subintervalo, e 
assim por diante, até que 
)c(f n
 seja a altura do retângulo no n-ésimo subintervalo, então temos 
os retângulos com áreas equivalentes a 
x)c(f 1 
, 
x)c(f 2 
,  , 
x)c(f n 
. 
A união dos n retângulos forma uma região Rn que pode ser considerada como uma 
aproximação da área A da região R, ou seja: 
x)c(fx)c(fx)c(fA n21  
 
 
 Tal notação pode ser representada mais adequadamente por um somatório, a saber: 
  xcfA
n
1i
i


 
43 
 É possível que não seja seja conveniente subdividir a região abaixo da curva que 
desejamos calcular a área em retângulos de mesmo comprimento. Consideremos que, nesse caso, 
uma das partições seja maior ou igual a outra, como sugere a figura abaixo: 
 
 
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: 
 
An = f(c1)x1 + f(c2)x2 + ... + f(cn)xn = 
 
i
n
1i
i
xcf 

 
 
 Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). 
 
 Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi , i = 1, 2, ..., n, torna-se 
muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos 
como área de A. 
 Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a curva y = 
f(x), de a até b, é definida por 
 
i
n
1i
i
0ix máx
xcflimA  


 
 
 onde para cada i = 1, 2, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi]. 
 
 
 
Integral Definida 
 A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a 
formalização matemática dos problemas de áreas. 
 Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann de f 
existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por 
 
   dxxfxcflimA
b
a
i
n
1i
i
0ix máx
 


 
 
 O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de integração 
e b é o limite superior. 
 É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas 
diferentes. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma 
função ou uma família de funções. 
 Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema abaixo. 
 
44 
Teorema: 
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b]. 
 
Propriedades da Integral Definida 
 Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: 
     dx xf dx xfdx xf
b
c
c
a
b
a
 
 
 
 Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes propriedades 
são verdadeiras: 
(a) 
   dxxfkdx xkf
b
a
b
a
 
 (b) 
        dx xg dx xfdx xgxf
b
a
b
a
b
a
 
 
 
 Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e 
   xgxf0 
 para 
bxa 
, então as 
seguintes propriedades são verdadeiras: 
(a) 
 dx xf0
b
a

 (b) 
    
b
a
b
a
dx xg dx xf
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Seja f uma função contínua e não negativa em um intervalo [a, b]. Nesse caso, a área A 
sob o gráfico de f e acima do intervalo [a, b] é representada por: 
 
 dxxfA
b
a

 
 
Sabemos que: 
 
)x(f)x('A 
 
 
0)a(A 
 A área sob a curva de a até a é a área acima de um único ponto e, portanto, é zero. 
 
A)b(A 
 A área sob a curva de a até b é A. 
 
 
Teorema: Se f for contínua em [a, b] e F for uma antiderivada de f em [a, b], então: 
 
)a(F)b(Fdx)x(f
b
a

 
 
 
 Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos encontrar 
uma antiderivada de f. 
 Ao aplicar este teorema, a notação 
        aFbFxFdxxf ba
b
a

 é bastante útil. 
 
 Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da 
antiderivada, já que 
              aFbFCaFCbFCxFdxxf ba
b
a

 
 
45 
Exemplos: 
1) Determine a área da região abaixo através do conceito de integral definida. Após, compare 
com o valor da área obtida através das fórmulas de geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule 
 
2
0
dx )1x(
 e 
 
1
0
dx )1x(
. 
 
 
 
 
 
 
3) Determine 



2
4
dx 
x
1
 
 
 
 
 
46 
4) Calcular a área da região limitada pelas curvas: 
 











0y
2x
0x
xy 2
 
 
 
 
 
 
5) Calcule a área da região compreendida entre as curvas 
2xy 
 e 
x2y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
6) Calcule 
 
1
0
2)x53(
dx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine a área total entre a curva 
2x1y 
 e o eixo x sobre o intervalo [0, 2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
Lista 6: Integral definida 
 
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral 
usando uma fórmula apropriada de Geometria onde for necessário. 
 
1) (a) 


4
1
dx x
 (b) 

5
0
dx 2
 
 
 
 
(c) 


0
dx x cos
 (d) 


2
1
dx |32x|
 
 
 
 
 
 
 
49 
(e) 


1
1
2 dx x1
 
 
 
2) Em cada parte, calcule a integral, sabendo que 






0 x se , 2
0 xse , |2x|
)x(f
. 
 
(a) 


0
2
dx (x)f
 
 
(b) 


2
2
dx (x)f
 
 
(c) 

6
0
dx (x)f
 
 
(d) 


6
4
dx (x)f
 
 
 
3) Obtenha 



2
1
dx 2g(x)](x)f[
 se 
5dx (x)f
2
1


 e 
3dx g(x)
2
1


. 
 
 
4) Determine: 
 
(a) 


3
1
dx 5x)(4
 
 
(b) 

1
0
2 dx )x12(x
 
 
50 
5) Calcule as integrais definidas: 
(a) 


1
2
2 dx 12)6x(x
 
 
(b)
4
1
2
dx 
x
4
 
 
(c) 

9
4
dx x2x
 
 
(d) 



2/
2/
d sen
 
 
(e) 



4/
4/
d cos
 
 
(f) 

3
2ln
x dx 5e
 
 
(g) 

2/1
0
2
 
x-1
dx
 
 
(h) 



2
2
2
 
1xx
dx
 
 
 
(i) 









4
1
dt t3 
t
1
 
 
 
(j) 









2/
6/
2
xd 
xsen
2
x
 
 
 
6) Encontre a área abaixo da curva 
1xy 2 
 e acima do intervalo [0, 3]. Faça um esboço da 
região. 
 
 
51 
7) Encontre a área abaixo da curva 
x sen 3y 
 e acima do intervalo [0, 2/3]. Faça um esboço da 
região. 
 
8) Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x. 
(a) 
xxy 2 
 [0, 2] 
 
(b) 
1ey x 
 [-1, 1] 
 
 
52 
Respostas: 
1. (a) 
 
 
 (b) 
 
 
 (c) 
 
 
 (d) 
 
 
 
(e) 
 
 
 
53 
 
2. (a) 4 
 (b) 6 
 (c) 10 
 (d) 18 
 
 
3. 



2
1
dx 2g(x)](x)f[
 = -1 
 
 
4. (a) -4 
 (b) 
2
1 
 
 
 
5. (a) 48 
 (b) 3 
 (c) 
5
844
 
 (d) 0 
 (e) 
2
 
 (f) 
10e5 3 
 
 (g) 
4

 
 (h) 
12

 
 (i) -12 
 (j) 
32
9
2


 
 
 
6. 
 
 
54 
 
7. 
 
 
 
8. (a) 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
CAPÍTULO 6 
 
 
6. ÁREA ENTRE CURVAS 
 
Vamos iniciar esse capítulo determinando novamente a área da região compreendida entre as 
curvas 
2xy 
 e 
x2y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Fórmula para área: 
 Se f e g forem funções contínuas no intervalo [a, b] e se 
)x(g)x(f 
 para todo x em [a, b], 
então a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a 
e à direita por x = b é 
 
b
a
dx)]x(g)x(f[A
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
56 
Exemplo: 
Encontre a área da região englobada por 
2yx 
 e 
2xy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
2ª Fórmula para área: 
 Se w e v forem funções contínuas e 
)y(v)y(w 
 para todo y em [c, d], então a área da 
região limitada à esquerda por x = v(y), à direita por x = w(y), acima por y = d e abaixo por y = c é 
 
d
c
dy)]y(v)y(w[A
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
Revertendo os papéis de x e y 
 Em algums situações é possível evitar a divisão da região em partes integrando-se em relação 
a y ao invés de x. Observe o exemplo: 
 
Encontre a área da região englobada por 
2yx 
 e 
2xy 
, integrando em relação a y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
Exemplos: 
1) Encontre a área entre as curvas 
2xy 
 e 
6xy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre a área da região sombreada considerando as curvas 
x)x(f 
 e 
x2)x(g 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 7: Área entre curvas 
 
Encontre a área da região sombreada: 
 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) Encontre a área da região englobada pelas curvas 
2xy 
e 
x4y 
 integrando (a) em relação 
ao eixo x e (b) em relação ao eixo y. 
 
 
4) Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área: 
(a) 
2xy 
, 
xy 
, 
4
1x 
, 
1x 
 
(b) 
2x cosy 
, 
0y 
, 
4
x


, 
2
x


 
(c) 
y senx 
, 
0x 
, 
4
y


, 
4
3
y


 
(d) 
xey 
, 
x2ey 
, 
0x 
, 
2 lnx 
 
(e) 
2
x1
2
y


, 
xy 
 
 
 
 
60 
Respostas: 
1) 4,5 
2) 1 
3) 32/3 
 
4) (a) (b) 
 
 
 
 (c) (d) 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
CAPÍTULO 7 
 
 
7. VOLUME 
 
1º caso: Discos 
Vamos considerar a função f(x) abaixo. Consideremos agora o volume do sólido gerado pela 
rotação da região R em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 Podemos resolver esse problema por fatiamento. O volume do disco fatiado na figura é 
dado por 
x)]x(f[V 2 
. Portanto, o volume do sólido é dado por: 
 
 
b
a
2 dx)]x(f[V
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 
xy 
 no intervalo [1, 4] é 
girada em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
62 
2º caso: Arruelas 
 
 
 
 Nesse caso, o volume do sólido vazado é dado por: 
 
 
 
b
a
22 dx]))x(g())x(f[(V
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre os gráficos de 
2
2
1 x)x(f 
 e 
x)x(g 
 que está acima do intervalo [0, 2] é girada em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
2) Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por 
xy 
, 
2y 
 e 
0x 
 é 
girada em torno de eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por 
xy 
, 
x6y 
 e 
0y 
 
gira em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 8: Volumes 
 
1) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo x. 
 
 
 
2) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo y. 
 
 
 
3) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira 
em torno do eixo x. 
(a) 
xcosy 
, x = /4, x = /2, y = 0 
(b) 
2x25y 
, y = 3 
(c) 
yx 
, x = y/4 
(d) 
xey 
, y = 0, x = 0, x = ln 3 
(e) 
2x4
1
y


, x = –2, x = 2, y = 0 
 
 
4) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira 
em torno do eixo y. 
(a) 
y1x 
, x = 0, y = 3 
(b) 
ycossec x 
, y = /4, y = 3/4, x = 0 
(c) 
2yx 
, 
2yx 
 
(d) 
xlny 
, x = 0, y = 0, y = 1 
 
 
65 
5) Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por 
1xy 
, 
x2y 
 e 
0y 
 gira em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) 
π8
 
2) 
6
13π
 
3) (a) 
π









2
2
1
 
(b) 
3
256π
 
(c) 
15
2048π
 
 (d) 
π4
 
(d) 
4
2π
 
 
4) (a) 
π8
 
(b) 
π2
 
(c) 
5
72π
 
(d) 
 1e
2
2 
π
 
 
5) 
π
 
 
 
 
 
 
 
66 
CAPÍTULO 8 
 
 
8. INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 O objetivo é resolver integrais do tipo 
  dx )x(g)x(f
, em que as funções não são a 
derivada uma da outra. 
 
Temos: 
 
dx
du
v
dx
dv
u]vu[
dx
d

 
 
Integrando em ambos os lados, temos: 
 
  du vdv uvu
 
 
Segue que: 
 
 
  du v-vudv u
 
 
 
Exemplos: 
Determine as integrais obtidas abaixo: 
a) 
 dx e x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existe uma outra estratégia útil para escolher u e dv, que pode ser aplicada quando o 
integrandoé um produto de duas funções de categorias distintas. 
 
 
L I A T E 
Logarítmica – Inversa trigonométrica – Algébrica – Trigonométrica – Exponencial 
 u dv 
67 
b) 
 dx x ln x
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 dx x senx
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 dx x ln
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
e) 

1
0
dx x senarc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 dx x cose
 x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
Funções hiperbólicas 
 Certas combinações de ex e e-x são denominadas de funções hiperbólicas. Tais funções 
têm muitas propriedades em comum com as funções trigonométricas. 
 
 
Definição de funções hiperbólicas 
Seno hiperbólico: 
2
ee
(x) senh
xx 

 
Cosseno hiperbólico: 
2
ee
(x) cosh
xx 

 
Tangente hiperbólica: 
xx
xx
ee
ee
(x) tanh





 
Cossecante hiperbólica: 
xx ee
2
(x) cossech


 
Secante hiperbólica: 
xx ee
2
(x) sech


 
Cotangente hiperbólica: 
xx
xx
ee
ee
(x) cotg





 
 
 
 
Exemplo: 
Determine a derivada e a integral de seno, cosseno e tangente hiperbólicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 9: Integral por partes 
 
1) Calcule a integral: 
 
a) 
 dx e x
-2x
 
b) 
 dx e x
x2
 
c) 
 dx 3x sen x
 
d) 
 dx x cos x
2
 
e) 
 dx x ln x
 
 
f) 

2
0
2x dx e x
 
g) 

e
1
2 dx x ln x
 
h) 
 
1
1-
dx 2)(x ln
 
i) 


0
dx 2x sen x
 
 
2) (a) Encontre a área da região determinada por 
x lny 
, a reta 
ex 
 e o eixo x. 
(b) Encontre o volume do sólido gerado quando a região do item (a) gira em torno do eixo x. 
 
 
3) Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre 
x seny 
 e 
0y 
 para 
 x0
 
gira em torno do eixo y. 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) 
C
4
1
2
x
e x2 





 
 
(b) 
Ce2xe2ex xxx2 
 
(c) 
Cx3sen
9
1
x3cosx
3
1

 
(d) 
C x sen 2x cos 2x x senx2 
 
(e) 
C
4
x
xln
2
x 22

 
(f) 
)1e3(
4
1 4 
 
(g) 
9
)1e2( 3 
 
(h) 
23ln3 
 
(i) 
2


 
 
 
2) (a) A = 1 
(b) 
)2e(V 
 
 
 
3) 
22V 
 
 
71 
 
CAPÍTULO 9 
 
 
9. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Função racional 
Em matemática, uma função racional é uma razão de polinômios. Para uma simples variável 
x, uma típica função racional é: 
)X(Q
)x(P
)x(f 
 
 
 Em alguns casos, a integração de uma função racional envolve manipulações nas funções 
que a compõem. Observe: 
 



 1x
3
4x
2
 
 
 
Portanto: 
 



 dx4x3x
10x5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como proceder: 
 
)1x)(4x(
B4Ax)BA(
)1x)(4x(
B4BxAAx
)1x)(4x(
)4x(B)1x(A
1x
B
4x
A
)1x)(4x(
10x5
4x3x
10x5
2 

















 
Então: 





10B4A
5BA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
1º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau e sem repetição. 
 
Exemplo: 
 
dx
6x5x
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
2º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau, mas há fatores que se repetem. 
 
Exemplo: 
 

dx
xx2x
6x20x5
23
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
3º caso: O denominador apresenta fatores de 2º grau sem possibilidades de decomposição e sem 
repetição. 
 
Exemplo: 
 

dx
)4x)(xx(
8x4x2
22
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Função racional imprópria 
 Uma função é dita imprópria se o grau do numerador for maior que o grau do 
denominador. Para poder ser utilizado o método das frações parciais nesse caso é preciso antes 
fazer a divisão e expressar a resposta como o quociente mais o resto sobre o divisor. 
 
Exemplo: 
dx 
2xx
7x7xx2
2
23
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 Em alguns casos uma manipulação algébrica simplifica o cálculo da integral. Veja: 
 
Exemplos: 
 

dx
4x3x
1x
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

dx
)2x2x)(2x(
2xx
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 10: Frações parciais 
 
1) Calcule a integral: 
 
a) 
 

dx 
1x2x
4x5x
2
2
 
b) 
 
dx 
1x
2x2
 
c) 
 

dx 
)11)(x(x
x3x
2
2
 
d) 
 
dx 
)11)(x(x
2
2
 
e) 
 

dx 
xx
4x3x
3
2
 
f) 
 

dx 
xx
2x3x
3
2
 
g) 
 

dx 
)2x)(4x(
20x1211x
2
2
 
h) 
 

dx 
x9x
9x
24
4
 
i) 
 

dx 
x9x
81x
3
4
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) 
C
1x
10
|1x|ln7x 


 
(b) 
C|1x|ln2x2x2 
 
(c) 
C
1x
1
|1x|ln2|1x|ln 


 
(d) 
C)xarctan()1xln(
2
1
|1x|ln 2 
 
(e) 
C)xarctan()1xln(
2
1
|x|ln4 2 
 
(f) 
C|1x|ln|x|ln2 
 
(g) 
C|2x|ln5)4xln(3 2 
 
(h) 
C
3
x
arctan
3
10
x
1
x 






 
(i) 
C)9xln(9|x|ln9
2
x 2
2

 
 
 
78 
CAPÍTULO 10 
 
 
10. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 Na definição de integral definida 

b
a
dx )x(f
, supõe-se que o intervalo [a, b] seja finito. 
Além disso, o Teorema Fundamental do Cálculo, que usamos para calcular integrais definidas, é 
válido para funções contínuas em [a, b]. 
 
 Nosso objetivo principal nesse capítulo é ampliar o conceito de integral definida para 
permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com assíntotas verticais 
(descontinuidades infinitas) dentro dos imites de integração. Essas integrais serão chamadas de 
integrais impróprias. 
 
Exemplos: 
(1) Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos 


1
2x
dx
 ou 


 
2x1
dx
 
 
(2) Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração 


3
3
2x
dx
 ou 
 
2
1 1x
dx Integrais impróprias com limites de integração infinitos 
Vamos calcular a integral abaixo e fazer algumas considerações: 
 

b
1
2x
dx
 
 
 
 
 Tomando o limite quando 
b
, temos 
 
1
b
1
1lim
x
dx
lim
x
dx
b
b
1
2b
1
2
















 
79 
Podemos interpretar essa integral como a área da região ilimitada entre o gráfico de 
2x
1
)x(f 
 
e o eixo x (à direita de x = 1). 
 
 
Definição de integrais impróprias com limites de integração infinitos 
 
(1) Se f é contínua no intervalo [a, ), então 
dx )x(flimdx )x(f
b
a
b
a
 


 
(2) Se f é contínua no intervalo (-, b], então 
dx )x(flimdx )x(f
b
a
a
b
 


 
(3) Se f é contínua no intervalo (-,+), então 
dx )x(fdx )x(fdx )x(f
c
c






 
 
Em cada caso, se existir o limite dizemos que a integral imprópria converge, caso contrário 
dizemos que a integral imprópria diverge. No caso (3), se uma das integrais à direita diverge, 
então a integral da esquerda também diverge. 
 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais impróprias: 
(a) 


1 x
dx
 
 
 
 
 
 
 
(b) 



0
x dxe
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
(c) 


0
dx )x(sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 


0
x- dx x)e-1(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
(e) 


 
2x1
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O sólido formado pela rotação da região limitada entre o gráfico de 
x
1
)x(f 
 e o eixo dos x 
)1x( 
 é chamado de Trombeta de Gabriel. Determine o volume desse sólido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 11:Integrais impróprias 
 
Calcule as integrais que convirjam. 
 
1) 


0
2x- dx e
 
2) 


3
2
dx 
1x
2
 
3) 


e
3
dx 
xln x
1
 
4) 

 
0
3
 
)1(2x
dx
 
5) 


0
3x dx e
 
6) 
dx x


 
7) 
dx 
)3(x
x
22 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 0,5 
2) ln 2 
3) 0,5 
4) -0,25 
5) 1/3 
6) Divergente 
7) 0