GEOMETRIA PLANA - AULA 02 - ÂNGULOS

Prévia do material em texto

GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 02 
Prof. Wellington Nishio 
ÂNGULOS 
 
Definição 
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de 
mesma origem, não contidas numa mesma reta (não 
colineares). 
 
O ponto O é o vértice do ângulo. 
As semirretas são os lados do ângulo. 
 
Ângulos Consecutivos 
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um 
lado de um deles é também lado do outro (um lado 
de um deles coincide com um lado do outro). 
 
 
Ângulos adjacentes 
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e 
somente se, não tem pontos internos comuns. 
 
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
Classificação dos Ângulos 
 
Ângulo reto: ângulo cuja a medida é igual a 90°. 
Ângulo agudo: ângulo cuja a medida é maior do que 
0° e menor que 90°. 
Ângulo obtuso: ângulo cuja a medida é maior do que 
90° e menor que 180°. 
Ângulo raso: ângulo cuja medida é igual a 180°. 
Também conhecido como ângulo de meia volta. 
Ângulo de uma volta: é aquele cuja medida é 360º. 
Ângulo nulo: é aquele cuja medida é 0º. 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértive (o.p.v) 
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente 
se, os lados de um deles são as respectivas semirretas 
opostas aos outros lados do outro. 
 
OBS: Duas retas concorrentes determinam dois pares 
de ângulos opostos pelo vértice. 
 
Se os ângulos forem opostos pelo vértice, então eles 
são congruentes. 
 
Exemplo: Observe o esquema e determine o valor de 
x e y respectivamente. 
a) 20° e 80° 
b) 136° e 34° 
c) 34° e 80° 
d) 34° e 136° 
 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao 
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide 
em dois ângulos congruentes. 
 
Medida de um ângulo 
A medida de um ângulo é um número real positivo 
associado ao ângulo. 
Ângulos congruentes são ângulos que possuem a 
mesma medida. 
 
Exemplo: O ângulo AOC = 80° e seja OB sua bissetriz. 
Então o ângulo AOB é igual a: 
a) 60° 
b) 40° 
c) 20° 
d) 30° 
 
Exemplo: Na figura, OC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ é bissetriz de BÔD. Então 
CÔE mede 
a) 140°. 
b) 130°. 
c) 120°. 
d) 110°. 
 
 
Unidades de medidas de um ângulo 
Os ângulos podem ser medidos em grau(°), minuto(') e 
segundo("). 
Um grau é equivalente a sessenta minutos.(1º = 60’) 
Um minuto é equivalente a sessenta segundos.(1’ = 
60”) 
 
 
GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 02 
Prof. Wellington Nishio 
Classificação dos Ângulos 
Ângulo reto: ângulo cuja a medida é igual a 90°. 
Ângulo agudo: ângulo cuja a medida é maior do que 
0° e menor que 90°. 
Ângulo obtuso: ângulo cuja a medida é maior do que 
90° e menor que 180°. 
Ângulo raso: ângulo cuja medida é igual a 180°. 
Também conhecido como ângulo de meia volta. 
Ângulo de uma volta: é aquele cuja medida é 360º. 
Ângulo nulo: é aquele cuja medida é 0º. 
 
Observação 
Tanto o ângulo nulo quanto o ângulo de uma volta, são 
formados por retas coincidentes. A diferença é que o 
ângulo nulo não possui abertura e o ângulo de uma 
volta torna-se coincidente após uma volta. 
 
Transformações de Medidas 
Assim como nas unidades de comprimento, área, 
volume, tempo, podemos transformar as unidades de 
medida de ângulos. 
 
Exemplo: Transformar 2º em minutos. 
 
Exemplo: Transformar 3º 15’ em segundos. 
 
Exemplo: Transforme 5’ 54'' em minutos. 
 
Simplificação de Ângulos 
Quando os ângulos possuírem as medidas de minutos 
e segundos maiores ou iguais a 60, devemos 
transformá-los para as medidas maiores. 
 
Exemplo: Simplificar o ângulo 21º 74’ 23” 
 
Exemplo: Simplificar o ângulo 45º 93’ 123” 
 
Medidas fracionárias de um ângulo 
Se a medida de ângulo for um valor fracionário, significa 
que podemos reescrevê-la na forma de grau, minutos e 
segundos. 
E, da mesma maneira, podemos reescrever a forma de 
grau, minutos e segundos na forma fracionária. 
 
Exemplo: Transforme 24,5º em graus e minutos. 
 
Operações com Ângulos 
 
Soma e Subtração de Ângulos 
Para somar ou subtrair ângulos, devemos somar ou 
subtrair, na ordem: segundo por segundo, minuto por 
minuto e grau por grau. 
 
Exemplo: 43º 18’ 20'' + 25º 20’ 30‘’ 
 
Exemplo: Se A = 10º 20’ 30” e B = 30º 50’ 10”, é correto 
afirmar que o valor de A + B é igual a 
a) 20º 30’ 20” 
b) 40º 59’ 40” 
c) 41º 30’ 40” 
d) 41º 10’ 40” 
e) 51º 10’ 40” 
 
Exemplo: 70º 25' - 30º 15’ 
Exemplo: Sendo A = 33º 53' 41" e B = 14º 12' 49", o 
resultado da operação A – B é: 
a) 19º 41’ 52" 
b) 19º 41’ 08" 
c) 19º 40’ 52" 
d) 19º 40’ 08" 
 
Multiplicação e Divisão por Número Natural 
Para efetuar a multiplicação, utilizaremos o seguinte 
modelo: iniciaremos pelos segundos, depois para os 
minutos e, por fim, vamos para o grau. 
Na divisão, iniciaremos pelo grau, depois minutos e, por 
fim, segundos. 
 
Exemplo: 2 . (36º 25’) 
 
Exemplo: 5 . (12º 36’ 40'') 
 
Exemplo: (40º 20') : 2 
 
Exemplo: Dividindo o ângulo de 32 em 6 partes iguais, 
obtemos: 
a) 530’ 
b) 620’ 
c) 420’ 
d) 520' 
 
Ângulos complementares e ângulos suplementares 
 
Dois ângulos são denominados complementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Um é 
complemento do outro. 
Dois ângulos são denominados suplementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Um é 
suplemento do outro. 
 
Exemplo: (EEAr) O complemento do suplemento do 
ângulo de 112° mede 
a) 18° 
b) 28º 
c) 12° 
d) 22° 
 
Exemplo: (EEAr) Seja α um ângulo agudo. Se 
somarmos a medida de um ângulo reto à medida de α 
e, em seguida, subtrairmos dessa soma a medida do 
suplemento de α, obteremos sempre a medida de um 
ângulo 
a) nulo, qualquer que seja a medida de α. 
b) reto, qualquer que seja a medida de α. 
c) agudo, desde que 45º < med α < 90º. 
d) raso, desde que med α < 45º. 
 
Retas paralelas cortadas por transversal 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 02 
Prof. Wellington Nishio 
Exemplo: Duas retas paralelas r e s são cortadas por 
uma reta transversal t, formando, no mesmo plano, 
dois ângulos obtusos alternos internos que medem 
(
𝑥
2
+ 30º) e (
3𝑥
5
+ 15º). Então o suplemento de um 
desses ângulos mede 
a) 75º 
b) 80º 
c) 82º 
d) 85º 
e) 88º 
 
Exemplo: Nesta figura, as retas r e s são paralelas 
entre si. Os valores de “x”, “y” e “z” são, 
respectivamente, 
 
a) 23º 45’, 85º e 95º. 
b) 25º, 90º e 90º. 
c) 23º 7’5’’, 95º e 85º. 
d) 26º 15’, 85º e 95º. 
 
Exemplo: (EEAr) Na figura, BA // EF. A medida x é 
 
a) 105° 
b) 106° 
c) 107° 
d) 108°