GEOMETRIA PLANA - AULA 09 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Prévia do material em texto

GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 09 
Prof. Wellington Nishio 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
Seja o triângulo ABC reto em A. Assim temos os 
seguintes elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a- Hipotenusa 
b e c – Catetos 
h – Altura relativa à hipotenusa 
m – É a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa 
n – É a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa 
 
Exemplo: (EEAr) Se ABC é um triângulo retângulo em 
A, o valor de n é 
a) 22/3 
b) 16/3 
c) 22 
d) 16 
 
Exemplo: (EEAr) Num triângulo retângulo, a 
hipotenusa mede 20 m, e um dos catetos, 10 m. A 
medida da projeção deste cateto sobre a hipotenusa, 
em metros, é igual a 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 
 
Exemplo: (EEAr) O perímetro de um triângulo 
retângulo é 30 cm. Se a soma das medidas dos catetos 
é 17 cm, e a soma das medidas da hipotenusa e do 
cateto menor é 18 cm, então a medida, em cm, do 
cateto maior é 
a) 8. b) 9. c) 12. d) 15. 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Quando utilizamos ângulos nos triângulos retângulos 
muitas vezes recorremos a trigonometria. Observe que 
os catetos sofrem pequena variação quando pensamos 
em algum ângulo no triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos Notáveis 
 
Exemplo: (EEAr) Uma escada é apoiada em uma 
parede perpendicular ao solo, que por sua vez é plano. 
A base da escada, ou seja, seu contato com o chão, 
dista 10 m da parede. O apoio dessa escada com a 
parede está a uma altura de 10√3 m do solo. Isto posto, 
o ângulo entre a escada e o solo é de 
a) 60º b) 45º c) 30º d) 15º 
 
Exemplo: (EEAr) Os pontos A, B, C e D estão 
alinhados entre si, assim como os pontos A, E e F 
também estão. Considerando G o ponto de interseção 
de FC e ED, o valor de tg α é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 0,2 b) 0,5 c) 2 d) 4 
 
Exemplo: (EEAr) Seja ABC um triângulo retângulo em 
B, tal que AC = 12 cm. Se D é um ponto de AB, tal que 
𝐵�̂�𝐶 = 45º então CD = ________ cm. 
a) 3 
b) 6 
c) 3√2 
d) 6√2 
 
 
 
 
 
 
 
s
ã
o 
o
s 
l
a
d
o
s
. 
• �̂�, �̂�, �̂�, �̂� 
s
ã
o 
1. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
2. 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ 
3. ℎ2 = 𝑚𝑛 
4. 𝑏2 = 𝑎𝑚 
5. 𝑐2 = 𝑎𝑛 
6. 𝑎 = 𝑚 + 𝑛 
7. 
1
ℎ2
=
1
𝑏2
+
1
𝑐2
 
 
GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 09 
Prof. Wellington Nishio 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS 
QUAISQUER 
Lei dos Cossenos 
 
a² = b² + c² - 2bc.cos α 
b² = a² + c² - 2ac.cos β 
c² = a² + b² - 2ab.cos γ 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) No triângulo, cujos lados medem 5 
cm, 10 cm e 6 cm, o maior ângulo tem cosseno igual a 
a) 7/10 b) 9/20 c) -13/20 d) -8/10 
 
Exemplo: (EEAr) Considerando √37 = 6, o valor de x 
na figura é 
 
 
 
 
 
 
a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5 d) 5,5 
 
Lei dos Senos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Considerando sen 40º = 0,6, o lado 
BC do triângulo ABC, mede, em cm, aproximadamente 
 
a) 6,11 b) 7,11 c) 8,33 d) 9,33 
 
Exemplo: (EEAr) Em um triângulo ABC, o lado AB 
mede 6√3 cm e o ângulo �̂�, oposto ao lado AB, mede 
60º. O raio da circunferência que circunscreve o 
triângulo, em cm, mede 
a) 6 b) 12 c) 6√3 d) 3√6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝜸
= 2𝑹