GEOMETRIA PLANA - AULA 10 - APÓTEMAS E ÁREAS

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GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 10 
Prof. Wellington Nishio 
APÓTEMAS E ÁREAS 
 
Revisão – Polígonos Regulares 
Polígonos convexos que são simultaneamente 
equiláteros e equiângulos são denominados de 
polígonos regulares. 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, e as 
circunferências inscrita e circunscrita no polígono são 
concêntricas. 
 
Lado e Apótema 
Chamamos de apótema de um polígono regular à 
distância do centro do círculo circunscrito a um dos 
lados. Para todo polígono convexo segue que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo Central de um Polígono Regular 
Ângulo central de polígono regular é o ângulo AÔB. 
onde O é o centro do circuncírculo e AB é um lado do 
polígono. Um polígono regular de n lados possui n 
ângulos centrais, todos valendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo dos Polígonos Regulares Convexos 
Inscritos em uma Circunferência de Raio R mais 
cobrados 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hexágono Regular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado e Apótema 
Chamamos de apótema de um polígono regular à 
distância do centro do círculo circunscrito a um dos 
lados. Para todo polígono convexo segue que: 
 
 
Estudo dos Polígonos Regulares Convexos 
Circunscritos em uma Circunferência de Raio R 
mais cobrados. 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
Quadrado 
 
 
Hexágono Regular 
 
Exemplo: (EEAr) Seja um triângulo equilátero de 
apótema medindo 2√3 cm. O lado desse triângulo 
mede ______ cm. 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
 
𝒂𝒏 = ඨ𝑹
𝟐 − 
ሺ𝜾𝒏ሻ
𝟐
𝟒
 
𝜽𝒏 =
𝟑𝟔𝟎º
𝒏
 
𝒂𝟑 =
𝑹
𝟐
 
𝜾𝟑 = 𝑹√𝟑 
𝒂𝟒 =
𝑹√𝟐
𝟐
 
𝜾𝟒 = 𝑹√𝟐 
𝒂𝟔 =
𝑹√𝟑
𝟐
 
𝜾𝟔 = 𝑹 
 
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Exemplo: (EEAr) Dado um hexágono regular de 6 cm 
de lado, considere o seu apótema medindo a cm e o 
raio da circunferência a ele circunscrita medindo R cm. 
O valor de (𝑅 + 𝑎√3) é 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 25 
 
ÁREAS DE REGIÕES PLANAS 
Área do Quadrado 
 
Área do Retângulo 
 
Área do Paralelogramo 
 
Exemplo: (EEAr) A figura mostra um paralelogramo 
sombreado formado pela superposição de dois 
retângulos, e apresenta uma dimensão de cada 
retângulo. Se um dos lados do paralelogramo mede 3,5 
cm, então a sua área é _____cm2. 
a) 12 
b) 18 
c) 21 
d) 23 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Os lados de um paralelogramo 
medem 4 cm e 1 cm, e um ângulo formado por eles é 
de 60°. A área desse paralelogramo, em cm2, é 
a) 2 
b) 
1
2
 
c) 
√3
2
 
d) 2√3 
 
 
Área do Losango 
 
 
Exemplo: (EEAr) A figura representa o logotipo de uma 
empresa que é formado por 2 triângulos retângulos 
congruentes e por um losango. Considerando as 
medidas indicadas, a área do losango, em cm2, é 
a) 3√3 
b) 4,5√3 
c) 5√3 
d) 6,5√3 
 
 
Área do Trapézio 
 
Exemplo: (EEAr) Um trapézio tem 12 cm de base 
média e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é 
______ cm2. 
a) 13 
b) 19 
c) 44 
d) 84 
 
Área do Triângulo 
 
 
Outras Fórmulas para Área do Triângulo 
 
 
 
 
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Observação: Triângulo Equilátero 
 
 
Exemplo: (EEAr) Na figura, que representa parte da 
estrutura de um telhado, 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ é altura do triângulo ABC, 
CEDF é um quadrado de lado 3 m, o ponto E pertence 
a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e o ponto F pertence a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Assim, a área do 
triângulo ABC é _____m2. 
a) 12√3 
b) 15√3 
c) 18 
d) 20 
 
Comprimento da circunferência 
O comprimento ou perímetro de uma circunferência é 
dado por: 
 
Comprimento de um arco. 
O comprimento ou perímetro de um arco de 
circunferência de abertura igual a  é dado por 
 
 
ÁREAS DE REGIÕES CIRCULARES 
Área do Círculo 
Seja um círculo de raio R sua área será 
 
Setor Circular 
 
Segmento Circular 
 
Coroa Circular 
 
 Exemplo: (EEAr) Com um fio de arame, deseja-se 
cercar dois jardins: um circular, de raio 3 m, e o outro 
triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da 
circunferência do primeiro. Considerando π = 3,14, 
para cercar totalmente esses jardins, arredondando 
para inteiros, serão necessários ____ metros de arame. 
a) 29 
b) 30 
c) 35 
d) 38 
 
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Exemplo: (EEAr) Da figura, sabe-se que OB = r é raio 
do semicírculo de centro O e de diâmetro AC. Se 
AB = BC, a área hachurada da figura, em unidades 
quadradas, é 
a) 
𝑟2𝜋
2
− 1 
b) 𝑟2 (
𝜋
2
− 1) 
c) 𝑟2ሺ𝜋 − 2ሻ 
d) 𝑟2𝜋 −
1
2
 
 
Exemplo: (EEAr) Considere a figura composta de três 
círculos concêntricos de raios medindo, 
respectivamente, 5 cm, 4 cm e 3 cm. A área, em cm2, 
da parte hachurada é 
a) 9π 
b) 16π 
c) 18π 
d) 24π