Calculo II - Derivadas e Aplicações

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Cálculo II - Derivadas e Aplicações 0 
 
 
 
Faculdade de Tecnologia de Tatuí 
“Prof. Wilson Roberto Ribeiro de Camargo” 
 
 
Calculo II 
 
 
Sumário 
 
1. Derivação Implícita ...................................................................................................................... 1 
2. Taxas Relacionadas ...................................................................................................................... 7 
3. Estudos da função .......................................................................................................................... 15 
3.1. Análise do Comportamento das Funções ............................................................................ 15 
3.2. Valor funcional Máximo ..................................................................................................... 15 
3.3. Valor máximo e mínimo absoluto num intervalo p(220) ........................................................ 20 
3.4. Extremo absoluto .................................................................................................................... 21 
3.5. Teorema do valor Extremo ..................................................................................................... 22 
3.6. Concavidade e pontos de inflexão (p241) ............................................................................... 23 
3.7. Pontos de inflexão ................................................................................................................... 24 
3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos ................................................................ 26 
4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (p.231) .................................................................. 31 
5. Aplicações Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado ............................................. 35 
 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 1 
 
 
1. Derivação Implícita 
 
 
A equação 
0122  yx
 como sabemos, é a equação da circunferência de centro na 
origem C (0,0) e raio r = 1. 
 
Tal circunferência não é gráfico de uma função, pois existe uma reta vertical que encontra a 
circunferência em dois pontos. Isto fica também evidente se explicitarmos y: 
0122  yx
 
22 1 xy 
 
21 xy 
 
 
Podemos obter uma função g escolhendo um arco da circunferência acima do eixo Ox, caso 
em que ela tem por expressão: 
21)( xxgy 
 
 
Escolhendo um arco abaixo do eixo Ox, obteremos uma função h, que tem por expressão: 
21)( xxhy 
 
 
Note que: 
01))(( 22  xgx
 e 
01))(( 22  xhx
 
Chamando 
1),( 22  yxyxF
, essas relações ficam: 
0))(,( xgxF
 e 
0))(,( xhxF
 
Com os exemplos introduzidos, acreditamos que fica inteligível a seguinte definição: 
 
Definição: 
 
Seja 
0),( yxF
 uma equação em x e y. Se existir uma função f tal que para todo x do seu 
domínio se tenha 
0))(,( xfxF
, diz-se que f é dada implicitamente por essa equação. 
 
De acordo com essa definição, as funções g e h vistas são dadas implicitamente pela equação 
122  yx
 
 
Observação: 
No exemplo que vimos para motivar a definição acima, pudemos explicitar g e h em termos 
de x. Mas isto não ocorre em geral. 
a
b
rC
P(x,y)
y
x
222 )()( rbyax 
a
b
rC
P(x,y)
y
x
222 )()( rbyax 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 2 
 
Por exemplo: 
Sendo 
1),( 2244  yxyxyxyxF
, 
 
A equação 
0),( yxF
 é: 
012244  yxyxyx
, 
 
E neste caso não há como explicitar y em termos de x. 
 
Mas pode suceder que exista uma função f que “satisfaz” a equação, no sentido que: 
1)())(())(( 2244  xfxxfxxfx
 para todo x do domínio. Alias, o nosso interesse é que 
exista tal função com a qualidade de ser derivável, pois queremos calcular sua derivada. Isto de fato 
ocorre, porém não temos meios no momento para justificar a afirmação, pois usa conceitos relativos 
a funções de duas variáveis, e por isso não será dado no momento. Nos exemplos e exercícios, será 
sempre admitida a existência de uma tal função. 
 
Exemplos: 
1) Dada à equação abaixo, derive implicitamente. Ache
dx
dy
. 
a) 
122  yx
 
)1()( 22
dx
d
yx
dx
d

 
022 
dx
dy
yx
 
y
x
dx
dy
2
2

 
y
x
dx
dy

 
 
 
b) 
12244  yxyxyx
 
)1()( 2244
dx
d
yxyxyx
dx
d

 
012244 33 
dx
dy
dx
dy
yx
dx
dy
yx
 
024124 33 
dx
dy
dx
dy
y
dx
dy
yxx
 
0)124(124 33 
dx
dy
yyxx
 
124
124
3
3



xx
yy
dx
dy
 
 
 
c) 
352  yyx
 
)3()( 52  y
dx
d
yx
dx
d
 
dx
dy
x
dx
dy
yxy  152 245
 
dx
dy
yx
dx
dy
xy 425 52 
 
 
dx
dy
yxxy 425 512 
 
42
5
51
2
yx
xy
dx
dy


 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 3 
 
d) 
2566 32 yyyxx 
 
yyy
x
dx
dy
2518
26
45
5



 
 
𝑒) 3𝑥4𝑦2 − 7𝑥𝑦3 = 4 − 8𝑦 
3[(𝑥4)´ ∙ 𝑦2 + [(𝑦2)´ ∙ 𝑥4]] − 7[(𝑥)´ ∙ 𝑦3 + (𝑦3)´ ∙ 𝑥] = (4)´ − (8𝑦)´ 
3 [4𝑥3𝑦2 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥4] − 7 [𝑦3 + 3𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥] = 0 − 8
𝑑𝑦
𝑑𝑥 
12𝑥3𝑦2 + 6𝑥4𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 7𝑦3 − 21𝑥𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −8
𝑑𝑦
𝑑𝑥 
6𝑥4𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 21𝑥𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 8
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 7𝑦3 − 12𝑥3𝑦2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(6𝑥4𝑦 − 21𝑥𝑦2 + 8) = 7𝑦3 − 12𝑥3𝑦2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7𝑦3 − 12𝑥3𝑦2
6𝑥4𝑦 − 21𝑥𝑦2 + 8 
 
𝑓) (𝑥 + 𝑦)2 − (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥4 + 𝑦4 
2(𝑥 + 𝑦)2−1[(𝑥)´ + (𝑦)´] − 2(𝑥 − 𝑦)2−1[(𝑥)´ − (𝑦)´] = (𝑥4)´ + (𝑦4)´ 
2(𝑥 + 𝑦) [1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
] − 2(𝑥 + 𝑦) [1 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
] = 4𝑥3 + 4𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (÷ 2) 
(𝑥 + 𝑦) (1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) − (𝑥 + 𝑦) (1 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 2𝑥3 + 2𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑥 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 − 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥3 + 2𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 2𝑥3 + 2𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (÷ 2) 
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 𝑦 
(𝑥 − 𝑦3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥3 − 𝑦
𝑥 − 𝑦3
 
 
g) 
1coscos  xyyx 
[(𝑥)´ ∙ cos 𝑦 + [(cos 𝑦)´ ∙ 𝑥]] + [(𝑦)´ ∙ cos 𝑥 + [(cos 𝑥)´ ∙ 𝑦]] = (1)´ 
[1 ∙ cos 𝑦 + [(−sen 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙ 𝑥]] + [
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙ cos 𝑥 + [(−sen 𝑥) ∙ 𝑦]] = 0 
cos 𝑦 − 𝑥 sen 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 sen 𝑥 = 0 
(cos 𝑥 − 𝑥 sen 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 sen 𝑥 − cos 𝑦 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 4 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 sen 𝑥 − cos 𝑦
cos 𝑥 − 𝑥 sen 𝑦 
 
 
2) Dada à equação 
922  yx
 ache: 
a) 
dx
dy
 por derivação implícita; 
Vamos derivar implicitamente. 
022 
dx
dy
yx
 
x
dx
dy
y 22 
 
y
x
dx
dy

 
b) As duas funções definidas pela equação; 
922  yx
 
29 xy 
 
 
Sejam f1 e f2 as duas funções para as quais: 
2
1 9)( xxf 
 e 
2
2 9)( xxf 
 
 
 
 
c) A derivada de cada função obtida na parte; 
2
1
)9()( 21 xxf 
  
22
2
1
992
2
)2()9(
2
1
)´( 2
1
x
x
x
x
xxxf





 
2
1
)9()( 22 xxf 
  
22
2
2
992
2
)2()9(
2
1
)´( 2
1
x
x
x
x
xxxf






 
 
d) Comprove que o resultado obtido na parte (a)esta de acordo com os resultados obtidos na parte 
(c). 
- Para 
2
1 9)( xxfy 
, segue da parte (c) que: 
y
x
x
x
xf 


2
1
9
)´(
 
- Para 
2
2 9)( xxfy 
, segue da parte (c) que: 
y
x
y
x
x
x
xf 




2
2
9
)´(
 
O que também esta de acordo com o resultado obtido na parte (a). 
 
 
3) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva 𝑥3 + 𝑦3 = 9 no ponto (1,2) e o ângulo de 
inclinação da reta tangente e normal. 
Vamos derivar implicitamente em relação a x. 
3𝑥2 + 3𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
3𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3𝑥2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
3𝑥2
3𝑦2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥2
𝑦2
 
 
Logo, no ponto (1,2), 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥2
𝑦2
= −
12
22
= −
1
4
 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 5 
 
A equação da reta tangente no ponto 
),( oo yx
é, então: 
)( oo xx
dx
dy
yy 
 (Guidorizzi, 204) 
)1(
4
1
2  xy
 
  )1(24  xy
 
184  xy
 
094  yx
 
 
A equação da reta normal no ponto 
),( oo yx
é, então: 
)(
1
oo xx
dx
dy
yy 
 (Guidorizzi, 204) 
)1(
1
2
4
1


 xy
 
)1(42  xy
 
442  xy
 
0424  xy
 
024  xy
 
O ângulo de inclinação da reta tangente. 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
4
) = 165,96𝑜 
O ângulo de inclinação da reta normal. 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
−
1
4
) = 𝑎𝑟𝑡𝑔(4)
= 75,96𝑜 
 
4) Ache uma equação e função da reta tangente e normal à curva 16𝑥4 + 𝑦4 = 32 no ponto 
)2;1(
 e 
o ângulo de inclinação da reta tangente e normal. 
16 ∙ 4𝑥3 + 4 ∙ 𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
64𝑥3
4𝑦3
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
16𝑥3
𝑦3
 
Logo, no ponto (1,2), 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
16 ∙ 13
23
= −
16
8
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 
 
Angulo da tangente 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 𝑎𝑟𝑡𝑔(−2) 
𝛼 = 116,57𝑜 
Equação da reta tangente 
)( oo xx
dx
dy
yy 
 
)1(22  xy
 
222  xy
 
042  xy
 
 
Função da reta tangente 
42  xy
 
 
Ângulo da normal. 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
= 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
−2
) 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (
1
2
) = 26,56𝑜 
A equação da reta normal 
)(
1
oo xx
dx
dy
yy 
)1(
2
1
2 

 xy
 
)1(
2
1
2  xy
 
1)2(2  xy
 
142  xy
 
032  xy
 
 
Função da reta normal 
2
3
2

x
y
 
 
5) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 = 10 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 6 
 
no ponto (2;3). 
(𝑥2)´ + [(𝑥)´𝑦 + (𝑦)´𝑥] + (𝑦2)´ − (3𝑦)´ = (10)´ 
2𝑥 + 1𝑦 + 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
(2𝑦 + 𝑥 − 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −(2𝑥 + 𝑦) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥 + 𝑦
2𝑦 + 𝑥 − 3
 
Logo, no ponto (2,3), 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2 ∙ 2 + 3
2 ∙ 3 + 2 − 3
= −
4 + 3
6 + 2 − 3
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
7
5
 
 
 
O ângulo de inclinação da reta 
tangente. 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
7
5
)
= 125,54𝑜 
 
O ângulo de inclinação da reta 
normal. 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 (−
1
−
7
5
)
= 𝑎𝑟𝑡𝑔 (
5
7
)
= 35,54𝑜 
 
Equação da reta tangente 
)( oo xx
dx
dy
yy 
 
)2(
5
7
3  xy
 
  )2(735  xy
 
147155  xy
 
0141575  xy
 
02975  xy
 
 
Em função 
5
297 

x
y
 
5
29
5
7

x
y
 
A equação da reta normal 
)(
1
oo xx
dx
dy
yy 
 
)2(
5
7
1
3 

 xy
 
)2(
7
5
3  xy
 
  )2(537  xy
 
105217  xy
 
0211057  xy
 
01157  xy
 
 
Em função 
7
11
7
5

x
y
 
 
6) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva 
19 33  yx
 no ponto (1,2). 
Respostas: 
A equação da reta tangente no ponto 
),( oo yx
é, então:
0194  xy
 
A equação da reta normal no ponto 
),( oo yx
é, então: 
02249  xy
 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 7 
 
2. Taxas Relacionadas 
 
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de 
problema de taxas relacionadas. 
Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas 
envolvendo taxas relacionadas. 
 
1 – Faça uma figura, se isso for possível; 
2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem 
de t. 
3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 
4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 
5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 
6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da 
quantidade desejada. 
 
Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. 
 
Exemplos: 
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da 
escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por 
segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de 
comprimento da parede? 
- Figura (desenho esquemático) - Definição das variáveis: 
 t  tempo decorrido desde que a 
escala começou a deslizar pela 
parede em segundos. 
y  distância do chão ao topo da 
escada. 
x  distância do pé da escada ate a 
parede. 
z  comprimento da escada. 
- Fatos numéricos 
conhecidos: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=? Quando x = 15 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 0 
 
 
- Equação envolvendo as 
variáveis que dependem de t: 
Teorema de Pitágoras: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
 
- Derivando em relação a t: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 (÷ 2) 
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na 
equação: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
𝑦 = √𝑧2 − 𝑥2
2
= √252 − 152 = √400 
𝑦 = 20 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
] = −
𝑥
𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −
15
20
∙ 3 = −2,25 
 
 
 
Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. O 
sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce. 
x
y
25
x
y
25
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 8 
 
2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A 
água “flui” no tanque a uma taxa de 2 𝑚3 𝑚𝑖𝑛⁄ . Com que velocidade o nível da água estará se 
elevando quando sua profundidade for de 5m? 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
 
t  tempo em (min) com que a água “flui” no 
tanque. 
V  volume em m3 de água. 
h  nível em (m) com que a água esta se 
elevando no tanque. 
r  raio em (m) do nível da água no tanque. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
min
3
2 m
dt
dV

 
min
? m
dt
dh

 quando
mh 5
 
 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
mh 16
 para 
mr 4
 
4
4
h
rrh 
 
hrV  2
3

 
3
2
16343
hh
h
V 








 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
163
hV 



 
dt
dhh
dt
dh
h
dt
dV16
3
163
2
2 


 
dt
dV
hdt
dh



2
16

 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
5



hdt
dh
 
min22
5 25
32
2
5
1616 m
dt
dV
hdt
dh
 

 
min
5
407,0 m
dt
dz



 
 
 
4m
r m
h m
16 m
4m
r m
h m
16 m
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 9 
 
3) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a 
uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual 
eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o 
segundo a 0,15km? 
Resolução: 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
 
2- Definição das variáveis: 
t  tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. 
x  distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). 
y  distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). 
z  distância em (km) entre os dois carros. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
 x = 0,2km 𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −90𝑘𝑚
ℎ
 
 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 
 y = 0,15km 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −60𝑘𝑚
ℎ
 
 
- Encontrando z: 
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2
2
= √0,22 + 0,152
2
= √0,0625
2
 
𝑧 = 0,25 z = (?) km 𝑑𝑧
𝑑𝑡
= (? ) 𝑘𝑚
ℎ
 
 
5- Derivando em relação a t: 
2𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= (÷ 2) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑧
 
6- Substituindo os valores de quantidades 
conhecidas: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
] =
0,2(−90) + 0,15(−60)
0,25
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
] = −108𝑘𝑚/ℎ 
 
 
4) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste, 
tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da 
projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer 
iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a 
distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610m? 
 
Norte 
Sul 
Leste Oeste 
 
P
y (km)
x (km)
z (
km
)
direção 
sul
direção 
leste
P
y (km)
x (km)
z (
km
)
direção 
sul
direção 
leste
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 10 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
t  tempo em (s) com que o avião se desloca na 
direção oeste. 
 
  ângulo de elevação (em radianos) do feixe 
luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. 
 
x  distância em (m) medida horizontalmente entre 
o holofote e a projeção vertical do avião em relação 
ao solo. 
 
y  distância em (m) medida verticalmente entre o 
holofote e a projeção vertical do avião no solo. 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
x = 610m 𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −152,4
𝑚
𝑠
 
y = 1220km 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
  = (?) km 𝑑𝜃
𝑑𝑡
= (? ) 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 
 
5- Derivando em relação a t: 
(tan 𝜃)´ = (1220𝑥−1)´ 
 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 1220 ∙ (−1)𝑥−1−1 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −1220 ∙ 𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −
1220
𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −
1220
𝑥2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
6- Substituindo os valores das grandezas 
conhecidas temos: 
tan 𝜃 =
1220
𝑥
= 
1220
610
= 2 
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 1 + 22 = 1 + 4 = 5 
 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −
1220
6102 ∙ 5
(−152,4) 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 0,1
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
 
5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 
0,5m
3
/s. Determine a velocidade de subida do nível da água. 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
 
t  tempo em (s) com que a água esta sendo vazada 
no tanque. 
h  altura em (m) do tanque cúbico (aresta vertical). 
V  volume do tanque cúbico. 
 

P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste

P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 11 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dV 3
5,0
 
hhAV b 
22
 
s
m
dt
dh
(?)
 
mh 2
 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
hV  4
 
 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dh
dt
dV
 4 dt
dV
dt
dh

4
1
 
 
6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: 
s
m
dt
dh
125,0
4
5,0
5,0
4
1

 
 
 
6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinando-a de tal forma que ela 
se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que 
velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
 
t  tempo em (s) com que a criança empina a pipa 
 
x  distância em (m) medida horizontalmente entre a 
criança e a projeção vertical da pipa no solo. 
 
y  distância em (m) medida verticalmente entre a 
pipa e o solo. 
 
z  distância em (m) medida entre a pipa e a criança. 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dx
3
 
mx (?)
 
s
m
dt
dy
0
 
my 40
 
s
m
dt
dz
(?)
 
mz 50
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 yxz 
 
 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dz
z 222 
 
z
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dz


 
x
y
z
P
x
y
z
P
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 12 
 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar z, substituindo na equação: 
222 yxz 
 
900160025004050 2222  yzx
 
30x
 
Encontrando agora 
50



zdt
dz
 
50
90
50
040330



dt
dz
 
s
m
dt
dz
5
9

 
 
 
7) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 
5m
3
/min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12m? 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
 
t  tempo (em min.) com que o balão esta sendo 
inflado. 
d  diâmetro (em m) do balão esférico. 
V  volume (em m3) do balão esférico. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
.min
(?)
d m
dt
d

 
md 12
 
.min
e 35
V m
dt
d

 
mVe (?)
 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
3
33
3
683
4
23
4
3
4
d
dd
rVe 







 
2
2
d
rrd 
 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
6
dVe 

 
dt
d
d
dt
d
d
dt
dVe d
2
d
3
6
22 

 
dt
dV
dt
d e
2d
12d

 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
12
d




ddt
d
 
.min22 72
5
144
10
5
21
12
d
12d me
dt
dV
dt
d
 
 
.min.min
022,0
72
5d mm
dt
d
 
 
 
dd
Cálculo II - Derivadas e Aplicações13 
 
 
8) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm
3
/min. 
Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. 
 
1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: 
 
t  tempo (em min.) com que a bola de neve esta 
se formando. 
r  raio (em cm) com que a bola de neve esta 
crescendo. 
V  volume (em cm3) da bola de neve que esta se 
formando. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
.min
(?)
r cm
dt
d

 
cmr 2
2
4

 
.min
e 38
V cm
dt
d

 
cmVe (?)
 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
3
3
4
rVe  
 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
3
4
rVe  
 
dt
d
r
dt
d
r
dt
dVe r4
r
3
3
4 22  
 
dt
dV
rdt
d e


24
1r

 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
2
r




rdt
d
 
 2
1
16
8
44
8
8
24
1r
2





dt
d
 
.min2
1r cm
dt
d


 
 
9) Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior (exercício 8) for de 6cm, 
ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm
3
/min. Ache a taxa segundo a qual o 
raio estará variando, quando o raio for de 2cm. 
.min64
1r cm
dt
d


 
 
10) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m
3
/min, formando um monte 
cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará 
crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 
 
11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do 
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de 
aumento do volume do tumor naquele instante? 
dd
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 14 
 
dia
cm
dt
dV 3
001,0 
 
 
12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do 
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de 
crescimento da sua área? 
dia
cm
dt
dA 2
004,0 
 
 
13) Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o 
tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do circulo 
limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6} 
s
cm
dt
dA 2
1203202   
 
14) Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma 
taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio 
vale 2m. 
s
m
dt
dV 3
8,0 
 
 
15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma 
taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de 
expansão do volume do cubo no instante t0. 
s
cm
dt
dV 3
15
 
 
16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de 
variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num 
instante em que o diâmetro mede 1cm. 
cm
dt
dd
dt
dA
2


 
 
17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em 
um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,3m/s. 
Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. 
sm
dt
dy
/094,0
 
 
18) Uma escada, 6m de comprimento, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede 
vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 3,6m do chão, e a sua base afasta-se da parede vertical à 
taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0. 
sm
dt
dy
/
3
4

 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 15 
 
3. Estudos da função 
 
3.1. Análise do Comportamento das Funções 
 
Dada uma curva y = f(x) usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva. 
Discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos onde a curva é crescente ou 
decrescente. A interpretação geométrica da derivada de uma função é a inclinação da reta tangente 
no gráfico da função em um ponto. Esse fato possibilita aplicar derivadas como recurso auxiliar no 
esboço de gráficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta 
tangente é horizontal, ou seja, onde a derivada é zero. Antes de empregar a derivada para fazer 
esboços de gráficos, precisamos de algumas definições e teoremas. 
 
s
t
A
By
y0
x0 x
x
y
 
C
 
Figura 1 – Interpretação geométrica da derivada de uma função. 
 
 
3.2. Valor funcional Máximo 
 
Definição 1 
 
A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual 
f(x) esteja definida, tal que 
)()( xfcf 
 para todo x nesse intervalo. 
 
As Figuras 2 e 3 mostram o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor 
máximo relativo em c. 
 
 
Figura 2 – Valor máximo relativo para 
f´(c) = 0. 
Figura 3 – Valor máximo relativo para o qual f´(c) 
não existe. 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 16 
 
 
Definição 2 
 
A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual 
f(x) esteja definida, tal que 
)()( xfcf 
 para todo x nesse intervalo. 
 
As Figuras 4 e 5 mostram o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor 
mínimo relativo em c. 
 
 
Figura 4 – Valor mínimo relativo para 
f´(c) = 0. 
Figura 5 – Valor mínimo relativo para o qual f´(c) 
não existe. 
 
 
Se a função f tiver um máximo relativo em c ou um mínimo relativo então diz que f tem um 
extremo relativo em c. O seguinte teorema será usado para localizar os valores possíveis de c para 
os quais existe um extremo relativo. 
 
Observação: 
c → numero critico → esta no domínio da função → f´(c) = 0 ou f´(c) não existe 
f(c) → extremo relativo → esta na imagem da função → valor máximo ou mínimo 
 
 
Teorema 
 
Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um 
extremo relativo em c, onde a < c <b , então f´(c) = 0 se f´(c) existir ou f´(c) não existe. 
 
 A interpretação geométrica desse teorema é que se f tiver um extremo relativo em c, e se 
)´(cf
 existir, então o gráfico de f terá uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c. 
 Se f for uma função derivável em um intervalo aberto (a,b), então os únicos valores 
possíveis de x para os quais f pode ser um extremo relativo são aqueles em que 
0)´( xf
. 
No entanto, 
)´(xf
 pode ser igual à zero para um valor específico de x, sem que f seja um 
extremo relativo neste ponto. 
Ou seja, a anulação ou não existência da derivada em um ponto c é condição necessária, mas 
não suficiente para que c seja um extremo relativo. 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 17 
 
 
Figura 6 – Esboço de uma função com pontos de extremo relativo. 
 
 
Exemplos: 
1) Consideremos a função definida por 
3)1()(  xxf
. Um esboço da função esta na figura 7. 
 
Figura 7 – Esboço de f(x) = (x-1)3 
 
2)1(3)´(  xxf
, e sendo assim, 
0)1(3)´( 2  xxf 
Somente quando: 
0)1(3 2 x 
1x 
 
Ou seja: 
0)1´( f
 
 
Mas: 
0)( xf
 se 
1x
 e 
0)( xf
 se 
1x
. 
 
Sendo assim, f não tem um extremo relativo em 1, apesar da derivada primeira ser iguala zero. 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 18 
 
2) Seja a função definida por: 






3 xsex -8
3 xse 12
)(
x
xf
 
A função f tem um valor máximo relativo em 3. Apesar de não ser derivável em 3. 
A derivada à esquerda em 3 é dada por: 
2)3(´ f
 
A derivada à direita em 3 é dada por: 
1)3(´ f
 
Logo concluímos que f´(3) não existe. 
 
 
Figura 8 – Esboço da função 






3 xsex -8
3 xse 12
)(
x
xf
 
 
 
Definição 
 
Se c for um número do domínio da função f e se 
0)´( cf
 ou 
)´(cf
 não existir, então c será 
chamada de número crítico de f. 
 
Dessa definição e da discussão anterior, um condição necessária (mas não suficiente) à existência 
de um extremo relativo em c é que c seja um número crítico de f. 
 
Exemplo: 
1) Ache os números críticos extremos relativos da função f definida por: 
𝑓(𝑥) = √𝑥4
3
+ 4√𝑥
3
 
Solução: 
𝑓(𝑥) = √𝑥4
3
+ 4√𝑥
3
 = 𝑥
4
3 + 4𝑥
1
3 
𝑓´(𝑥) =
4
3
𝑥
4
3−1 + 4
1
3
𝑥
1
3−1 =
4
3
𝑥
1
3 +
4
3
𝑥−
2
3 =
4
3
(𝑥
1
3 + 𝑥−
2
3) 
𝑓´(𝑥) =
4 (𝑥
1
3 + 𝑥−
2
3) 𝑥−
2
3
3𝑥−
2
3
=
4 (𝑥
1
3 + 𝑥−
2
3) 𝑥
2
3
3𝑥
2
3
=
4 (𝑥
1
3+
2
3 + 𝑥−
2
3+
2
3)
3𝑥
2
3
=
4 (𝑥
3
3 + 𝑥0)
3𝑥
2
3
 
𝑓´(𝑥) =
4(𝑥 + 1)
3√𝑥2
3 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 19 
 
 
Quando 4(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = −1, 𝑓´(𝑥) = 0 
Quando 3√𝑥2
3
= 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑓´(𝑥) não existe. 
 
Ambos -1 e 0 estão no domínio de f; Logo os pontos críticos de f são -1 e 0. 
 
 
Figura 9 – Esboço da função 𝑓(𝑥) = √𝑥4
3
+ 4√𝑥
3
 
 
 
2) Ache os números críticos da função g definida por 
xsenxxg cos )( 
 
 
Figura 10 – Esboço da função 
xsenxxg cos )( 
 
Resolução: 
Como: 
cosx 22 senxxsen 
 
xsenxg 2)(
2
1
 
2)2(cos)´(
2
1  xxg
x2cos
 
Desde que 
)´(xg
 exista para todo x, os únicos números críticos são aqueles para ao quais 
0)´( xg
. 
Como 
02cos x
, quando: 
 kx 
2
12
 onde k é um inteiro qualquer. 
Os números críticos de g(x) são: 


k
k
x
2
1
4
12
1
2



 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 90 180 270 360 450 540 630 720
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 20 
 
 
3.3. Valor máximo e mínimo absoluto num intervalo p(220) 
 
Seja uma função dada num certo intervalo, onde queremos encontrar o maior ou o menor 
valor da função. 
O maior valor da função no intervalo é chamado de valor máximo absoluto. O menor valor 
da função é chamado de valor mínimo absoluto. 
 
Definição 1 
A função f terá um valor máximo absoluto num intervalo, se existir algum número c no 
intervalo, tal que 
)()( xfcf 
 para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será o valor máximo 
absoluto de f no intervalo. 
 
Definição 2 
A função f terá um valor mínimo absoluto num intervalo, se existir algum número c no 
intervalo, tal que 
)()( xfcf 
 para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será o valor mínimo 
absoluto de f no intervalo. 
 
Um extremo absoluto de uma função num intervalo é um valor máximo ou mínimo 
absoluto da função no intervalo. Uma função pode ou não ter um extremo absoluto num intervalo 
dado. 
 
Exemplos: 
1) Suponha que f seja a função definida por 
xxf 2)( 
 no intervalo 
)4,1[
. 
Um esboço gráfico da função: 
 
 
Não há valor máximo absoluto de f em 
)4,1[
, 
pois 
8)(lim
4


xf
x
, mas f(x) é sempre menor 
do que 8 no intervalo dado. 
 
A função tem um valor mínimo absoluto 
de 2 em f em [1,4). 
 
 
2) Consideremos a função definida por 
2)( xxf 
 no intervalo 
]2,3(
 
Um esboço do gráfico: 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 21 
 
 
02)´(  xxf
 
0 x
 
 
Portanto a função tem um valor máximo 
absoluto em 0. 
 
Não há valor mínimo absoluto pois 
9)(lim
3


xf
x
, mas f(x) é sempre maior 
do que –9 no intervalo dado. 
 
 
 
3.4. Extremo absoluto 
 
Podemos falar de um extremo absoluto de uma função, mesmo que não seja especificado o 
intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da função em todo o seu 
intervalo. 
 
Definição 1 
f(c) será o valor máximo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se 
)()( xfcf 
 
para todos os valores de x no domínio de f. 
 
Definição 2 
f(c) será o valor mínimo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se 
)()( xfcf 
 
para todos os valores de x no domínio de f. 
 
Exemplo: 
1) Seja o gráfico da função f definida por 
84)( 2  xxxf
: 
É uma parábola, e o ponto mais baixo da parábola esta em (2,4) e a parábola abre-se para cima. 
 
 
042)´(  xxf
 
242  xx
 e 
 
4824284)2( 22  xxf
 
 
A função tem um valor mínimo absoluto 
em x =2. 
 
Não há valor máximo absoluto em f. 
 
 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 22 
 
3.5. Teorema do valor Extremo 
 
Se a função f for contínua no intervalo fechado 
],[ ba
, então f terá um valor máximo absoluto 
e um valor mínimo absoluto em 
],[ ba
 
 
 O teorema assegura que a continuidade de uma função em um intervalo fechado é condição 
suficiente para garantir que a função tenha no intervalo ambos os valores, máximo e mínimo, 
absolutos. 
 
 Um extremo absoluto de uma função contínua num intervalo fechado deve ser um extremo 
relativo, ou um valor de função num extremo do intervalo. 
 
 Como uma condição necessária para que uma função tenha um extremo relativo num 
número c é que c seja um número critico o valor máximo absoluto e o mínimo absoluto de uma 
função contínua f num intervalo fechado 
],[ ba
 podem ser determinados pelo seguinte 
procedimento: 
1 – Ache os valores da função nos números críticos de f em (𝑎, 𝑏). 
 2 – Ache os valores de f(a) e f(b). 
 3 – O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o valor máximo absoluto e o menor será 
o valor mínimo absoluto. 
 
Exemplo: 
1) Ache os extremos absolutos de f em [2,
1
2
] se 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 
Solução: 
Como f é continua em 
 
2
1,2
, o teorema do valor extremo pode ser aplicado. 
Para achar os números críticos de f, vamos calcular primeiro f´: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
16124)1(34)2(4 22  acb
 





















3
1
6
2
6
42
1
6
6
6
42
6
42
32
162
2
2
1
x
x
a
b
x 
Como 
)´(xf
 existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores de 
x para os quais 𝑓´(𝑥) = 0 
0)1)(13(123)´( 2  xxxxxf 311 c e 12 c 
Os valores nos extremos são: 
1)( 23  xxxxf
 
112481)2()2()2()2( 23 f
 
211111)1()1()1()1( 23 f 
        81,011
27
22
27
27931
3
1
9
1
27
1
3
12
3
13
3
1
3
1  f
 
        875,011
8
7
8
8421
2
1
4
1
8
1
2
12
2
13
2
1
2
1  f
 
- O valor máximo absoluto de f em 
 
2
1,2
 é 2 ,que ocorre no número crítico c = -1. 
- O valor mínimo absoluto de f em 
 
2
1,2
 é -1, que ocorre no número crítico c = 2. 
x -2 -1 1/3 1/2f(x) -1 2 0,81 0,875 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 23 
 
 
 
 
 
3.6. Concavidade e pontos de inflexão (p241) 
 
O conceito de concavidade é muito útil no esboço de uma curva. Analisando 
geometricamente a figura 1, e figura 2 observamos que dada um ponto qualquer c no intervalo (a,b) 
o gráfico de f esta acima da tangente à curva no ponto P(c,f(c)). Dizemos que a curva tem 
concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Geometricamente, isto significa que a reta 
tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a 
direita. 
 
 
Figura 1 – concavidade voltada para cima. Figura 2 – reta tangente gira no sentido anti-
horário. 
 
Na figura 3 e 4 descrevemos uma função que tem concavidade voltada para baixo no 
intervalo (a,b). Neste caso vemos que a tangente gira no sentido horário quando deslocamos sobre a 
curva da esquerda para a direita. 
y = f(x) 
b 
y 
P 
a x 
y = f(x) 
b 
y 
a x 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 24 
 
 
Figura 3 – concavidade voltada para baixo. Figura 4 – reta tangente gira no sentido horário. 
 
Observando as figuras podemos propor as seguintes definições: 
 
Definição 1: 
Uma função f é dita côncova para cima no intervalo (a,b) se f´(x) é crescente neste intervalo. 
 
Definição 2: 
Uma função f é dita côncova para baixo no intervalo (a,b) se f´(x) é decrescente neste intervalo. 
 
Podemos determinar a concavidade de uma curva analisando o sinal da derivada segunda f´´(x). 
 
 
Teorema: 
Seja f uma função diferenciavel até segunda ordem em algum intervalo aberto contendo c. 
Então: 
(i) se 
0)´´( cf
, o gráfico de f é côncavo para cima em (c,f(c)) 
(ii) se 
0)´´( cf
, o gráfico de f é côncavo para baixo em (c,f(c)) 
 
 
3.7. Pontos de inflexão 
 
Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido. 
Esses pontos são chamados pontos de inflexão. 
 
Definição: 
 O ponto 
))(,( cfc
 será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele 
uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I, então: 
 (i) 
0)´´( xf
 se 
cx 
 e 
0)´´( xf
 se 
cx 
, ou 
 (ii) 
0)´´( xf
 se 
cx 
 e 
0)´´( xf
 se 
cx 
. 
 
Teorema: 
 
 Se a função f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se 
))(,( cfc
 for um ponto 
de inflexão do gráfico de f, então 
0)´´( cf
 ou 
)´´(cf
 não existe. 
 
Exemplos: 
1) Dada a função. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1 
y = f(x) 
b 
y 
P 
c a x 
y = f(x) 
b 
y 
a x 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 25 
 
a) Ache os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda; 
b) Ache os pontos de inflexão do gráfico de f; 
c) Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; 
d) Faça um esboço do gráfico; 
Solução: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 
 
Encontrando os números críticos, ou seja, 𝑓´(𝑥) = 0 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 
3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 (÷ 3) 
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3 = 16 − 12 = 4 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−(−4) ± √4
2 ∙ 1
=
4 ± 2
2
= {
𝑥1 =
4 − 2
2
=
2
2
= 1
𝑥2 =
4 + 2
2
=
6
2
= 3
 
 
Encontrando o ponto de inflexão, ou seja, 𝑓´´(𝑥) = 0 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 = 0 
6𝑥 = 12 
𝑥 =
12
6
= 2 
 
 
)(xf
 
)´(xf
 
)´´(xf
 Conclusão 
x = 1 5 0 - Côncavo para baixo, ponto de máximo. 
x = 2 3 0 Ponto de inflexão 
x = 3 1 0 + Côncavo para cima, ponto de mínimo. 
 
 
Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1. 
 
 
2) Dada à função 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
. 
Ache o ponto de inflexão do gráfico de f. 
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. 
Faça um esboço do gráfico. 
Solução: 
3 22
1 1
2
1
)´( 3
2
x
xxf 

 
3 59
2 1
9
2
)´´( 3
5
x
xxf 

 
2 
4 
1 2 3 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 26 
 
 
 
)(xf
 
)´(xf
 
)´´(xf
 Conclusão 
0x
 + + f é crescente e côncava para cima 
0x
 0 não existe não existe Ponto de inflexão 
0x
 + - f é crescente côncava para baixo 
 
Na figura mostramos que o eixo y é a reta tangente ao gráfico da função em (0,0) e um ponto de 
inflexão. A concavidade do gráfico é determinada pelo sinal de 
)´´(xf
. 
 
Grafico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
. 
 
 
3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos 
 
Teorema 
Seja c um número critico de uma função f, no qual 
0)´( cf
 e suponhamos que 
´f
 exista para 
todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se 
)´´(cf
 existe e: 
i) Se 
0)´´( cf
, então f tem um valor máximo relativo em c; 
ii) Se 
0)´´( cf
, então f tem um valor mínimo relativo em c; 
 
 
Exemplo: 
1) Dada à função 
23
3
44 4)( xxxxf 
: 
a) Ache os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda; 
b) Ache os pontos de inflexão do gráfico de f; 
c) Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; 
d) Faça um esboço do gráfico; 
Solução: 
Calculando as derivadas primeira e segunda de f. 
xxxxf 844)´( 23 
 
8812)´´( 2  xxxf
 
Equacionando 
0)´( xf
 temos: 
0)2(4)´(
0
2 

 xxxxf
 
022  xx
 
981)2(1414 22  acb
 
-1
1
-2 2
-1
1
-2 2
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 27 
 


















2
2
31
1
2
31
2
31
12
91
2
1
x
x
x 









1
2
0
0)1)(2(4)´(
x
x
x
xxxxf
 
Sendo assim os números críticos de f são -2, 0, 1. 
 
Vamos determinar os pontos de inflexão 
08812)´´( 2  xxxf
 
44838464)8(12484 22  acb
 














548,0
215,1
3
71
38
788
122
728
2
1
6
x
x
x
 
 
Vamos determinar os extremos relativos entre estes números críticos, encontrando o sinal de 
derivada segunda neles. 
x 
)(xf
 
)´(xf
 
)´´(xf
 Conclusão 
-2 
67,10
3
32 
 0 + Valor mínimo relativo 
-1,215 -6,12 8,4 0 Ponto de inflexão 
0 0 0 - Valor máximo relativo 
0,548 -0,89 -2,5 0 Ponto de inflexão 
1 
67,1
3
5 
 0 + Valor mínimo relativo 
 
 
 
 
2) Dada à função 
33 2 22)( 3
1
3
2
xxxxxf 
: 
Ache os extremos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda, quando possível; 
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico de f e; 
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; 
Faça um esboço gráfico de f. 
Solução: 
Calculando as derivadas de primeira e segunda de f. 
3 233
2
3
2
3
2
3
2
)´( 3
2
3
1
xx
xxxf





 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 28 
 
3 53 49
4
9
2
9
4
9
2
)´´( 3
5
3
4
xx
xxxf





 
 
Como 
)0´(f
 não existe, 0 é um número critico de f. 
Encontramos os demais números críticos equacionando 
0)´( xf
 
0
3
2
3
1
3
2
3
2 
xx
 
   
03
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2 

xx
 
03
2
3
2
3
2
3
1


xx
 
 
003
2
3
1


xx
 
013
1
x
 
13
1
x
 
1x
 
 
Assim1 é ponto critico também. 
 
Podemos determinar se há um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda. 
Como 
)0´´(f
 não existe, (0,0) é um possível ponto de inflexão. Para achar outras possibilidades 
equacionamos 
0)0´´( f
. 
03
5
3
4
9
4
9
2 

xx
 
042 3
5
3
5
3
5
3
4


xx
 
042 03
1
 xx
 
42 3
1
x
 
2
4
3
1
x
 
32x
 
8x
 
 
 
A tabela abaixo resume nossos resultados. 
 f(x) f´(x) f´´(x) Conclusão 
x < 0 - - decrescente; côncavo para baixo. 
x = 0 0 não existe não existe f não tem extremo relativo; ponto de inflexão. 
0<x<1 - + decrescente; côncavo para cima 
x = 1 -1 0 + mínimo relativo; côncavo para cima. 
1<x<8 + + crescente; côncavo para cima. 
x = 8 0 + 1/6 0 crescente; ponto de inflexão. 
x > 8 + - crescente; côncava para baixo. 
 
 
 
 
-1 
1 
2 
2 4 6 8 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 29 
 
3) Dada à função 
3)21()( xxf 
. 
Ache o ponto de inflexão do gráfico de f. 
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. 
Faça um esboço do gráfico. 
Solução: 
2)21(6)´( xxf 
 
)21(24)´´( xxf 
 
Como 
)´´(xf
 existe para todos os valores de x, o único ponto de inflexão possível é onde 
0)´´( xf
. Ou seja: 
0)21(24)´´(  xxf
 
021  x
  
2
1
x
 
O gráfico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflexão pois 
  0´
2
1 f
. 
 
)(xf
 
)´(xf
 
)´´(xf
 Conclusão 
2
1x
 + côncavo para cima 
2
1x
 0 0 0 Ponto de inflexão 
2
1x
 - côncava para baixo 
 
 
 
 
4) Ache os pontos de inflexão do gráfico da função seno. 
Ache as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. 
Faça o gráfico da função seno num intervalo de 
2
 de comprimento, contendo o ponto de inflexão 
com menor abscissa positiva. 
Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflexão. 
Solução: 
senxxf )(
 
xxf cos)´( 
 
senxxf )´´(
 
 
)´´(xf
 existe para todo x. Para determinar os pontos de inflexão, equacionamos 
0)´´( xf
 
0 senx
 
Pontos de inflexão: 
kx 
 onde k é um inteiro qualquer. 
 
Inclinação dos pontos de inflexão: 





impar inteirok se 1
par inteirok se 1 
cos)´(  kkf
 
Logo, as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão são +1 ou -1. 
-1 
1 
0,5 1 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 30 
 
 
 
-1 
1 

2
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 31 
 
 
4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (p.231) 
 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], derivável no intervalo aberto (a,b) e 
tal que 
0)( af
 e 
0)( bf
. O matemático francês Michel Rolle (1652-1719) provou que se uma 
função satisfaz essas condições, existe pelo menos um número c entre a e b para o qual 
0)´( cf
. 
 
 Vejamos o significado geométrico disto: 
 A figura 1 mostra um esboço do gráfico de uma função f que satisfaz as condições do 
parágrafo precedente. 
Vemos intuitivamente, que existe pelo menos um ponto P sobre a curva entre os pontos (a,0) 
e (b,0), onde a reta tangente é paralela ao eixo x; isto é, a inclinação da reta tangente é zero. Neste 
ponto P a abscissa é c, tal que 
0)´( cf
. 
 
 
Figura 1 
 
A figura 2 mostra o esboço gráfico de uma função que não é derivável em um extremo, no 
caso o extremo b, contudo existe uma reta tangente no ponto x = c no intervalo (a,b). 
No entanto, é necessário que a função seja continua no intervalo [a,b] para garantir a 
existência dessa tangente, conforme o esboço da figura 3. 
 
 
Figura 2 Figura 3 
 
 
Teorema de Rolle 
 
 Seja f uma função, tal que: 
i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; 
ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); 
iii) 
0)( af
 e 
0)( bf
. 
 Então existe pelo menos um ponto c no intervalo (a,b), tal que 
0)´( cf
 
c 
P 
a b 
y 
x 
x b a c 
P y 
x a b 
y 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 32 
 
Exemplo: 
 
1) Dada à função 
xxxf 94)( 3 
 comprove que as condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do 
teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: 
 0,
2
3
, 
 
2
3,0
 e 
 
2
3
2
3 ,
. 
Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais 
0)´( xf
. 
 
Solução: 
912)´( 2  xxf
 
Como 
)´(xf
 existe para todos os valores de x, f é derivável em 
),( 
 
Sendo assim, as condições (i) e (ii) do teorema de Rolle são válidas em qualquer intervalo. 
 
Para determinar em quais intervalos a condição (iii) se verifica, encontramos os valores para os 
quais 
0)( xf
. 










2
3
2
3
0
4
92 00)(4)(
x
x
x
xxxf

 
Sendo assim o teorema de Rolle é valido nos seguintes intervalos: 
 
 
 





2
3
2
3
2
3
2
3
,
,0
0,
 
 
Os valores adequados de c são os que satisfazem à equação 
0)´( xf
. 







2
3
2
3
2 0912
x
x
x
 
 
Portanto, para os intervalos encontrados pelo Teorema de Rolle os valores adequados para c são: 
 
 
 









2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
ou ,
,0
0,
cc
c
c
 
 
 
Figura 4 
-6 
-4 
-2 
2 
4 
6 
-2 -1 1 2 
2
3
2
3

2
3
c
2
3
c
x 
y 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 33 
 
Teorema do Valor Médio 
 
 Seja f uma função, tal que: 
i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; 
ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); 
 Então, existirá um número c no intervalo aberto (a,b), tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)´(
 
 
Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função 
)(xfy 
 é continua em 
[a,b] e derivável em (a,b), então existe pelo menos um ponto c entre a e b onde a tangente à curva é 
paralela à corda que une os pontos 
))(,( afaP
 e 
))(,( bfbQ
 conforme figura 5. 
 
 
Figura 5 
 
 
Exemplo: 
2) Dada 
xx
x
xf 32
3
)( 2
3

 comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão 
satisfeitas para a=3 e b=6. Então, encontre todos os números c no intervalo aberto (3,6), tais que: 
36
)3()6(
)´(



ff
cf
. 
Solução: 
Como f é uma função polinomial, ela será continua e derivável para todos os valores de x. 
Logo, as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para todo a e b. 
34)´( 2  xxxf
 
 
Calculando: 
33332
3
3
)3( 2
3
f
 
126362
3
6
)6( 2
3
f
 
5
3
15
36
)3(12
36
)3()6(
)´( 






ff
cf
 
 
R 
P 
Q 
a c b 
f(a) 
f(b) 
x 
y 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 34 
 
Equacionando 
5)´( cf
, obtemos: 
534)´( 2  cccf
 
5342  cc
 
0242  cc
 
522 2321616)2(24)4(4  acb
 











828,4
828,0
)21(2222
2
244
12
24
2
1
5
c
c
c
 
Como -0,828 não esta no intervalo aberto (3,6), o único valor possível é 
828,4c
 
 
 
Figura 6 – Gráfico de 
xx
x
xf 32
3
)( 2
3

 e 
34)´( 2  xxxf
. 
 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 35 
 
5. Aplicações Envolvendo extremos absolutos num intervalofechado 
 
 
Exemplos: 
1) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão 
com 12 cm
2
 cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos 
encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior 
volume possível. 
 
 
 
deprofundidalarguraaltura
)212()212()( xxxxV 
 
)212)(212()( xxxxV 
 
32 448144)( xxxxV 
 
21296144)´( xxxV 
 
 
)´(xV
 existe para todos os valores de x. 
Fazendo 
0)´( xV
 temos: 
0)128(12)´(
0
2 

 xxxV
 






6
2
0128
2
12
x
x
xx
 
 
 
O domínio de V(x) será o intervalo 
fechado [0,6]. Como V(x) é contínua em 
[0,6], segue do teorema do valor extremo que 
V(x) tem um valor máximo absoluto nesse 
intervalo. 
 
 
 Os número críticos de V são 2 e 6, ambos pertencentes ao intervalo fechado [0,6]. 
 O valor máximo absoluto de V em [0,6] precisa ocorrer num número crítico ou num extremo 
do intervalo. 
32 448144)( xxxxV 
 
0040480144)0( 32 V
 
128242482144)2( 32 V
 
0646486144)6( 32 V
 
 
 O valor máximo absoluto de V em [0,6] é 128, ocorrendo quando x = 2. 
 
 Logo, o maior volume possível é de 128cm
3
, obtido quando o comprimento do lado do 
quadrado a ser cortado é de 2cm. 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 36 
 
2) Os pontos A e B estão em lados opostos de um rio reto com 3km de largura. O ponto C está na 
mesma margem que B, mas 2km rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de 
A até C. Se o custo por quilômetro do cabo é 25% maior sobre a água do que em terra, como deve 
ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor para a companhia? 
Solução: 
Seja: 
k
 – custo por quilometro em terra 
k
4
5
– custo por quilometro sob água 
)(xC
– custo total da ligação. 
 
 
 
 
Então: 
  
 terrasob
 distância
 terrasob
 custo 
água sob
 distância
22
água sob
 custo
4
5 )2( 3)( xkxkxC 
 
 
Como C é contínua em [0,2], o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Queremos encontrar o 
valor mínimo absoluto. 
 
 
Derivando em relação à x temos: 
)2()3()( 2
1
22
4
5 xkxkxC 
 
)10(2)3()´( 2
1
22
2
1
4
5 

kxxkxC
 
kxkxxC 

2
1
)3()´( 22
4
5
 
k
x
kx
xC 


294
5
)´(
 
0
94
5
)´(
2


 k
x
kx
xC
 
 
0
94
5
2


k
x
kx
 
01
94
5
2

 x
x
 
1
94
5
2

 x
x
 
2945 xx 
 
)9(1625 22 xx 
 
9169 2 x
 
162 x
 
4x
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 37 
 
Como -4 e 4 não estão no intervalo [0,2]. Logo não existem números críticos de C em [0,2]. 
O valor mínimo absoluto de C em [0,2] deve ocorrer num dos extremos do intervalo. 
 
Calculando obtemos: 
)2(3)( 22
4
5 xkxkxC 
 
kkkC
4
2322
4
5 )02(03)0( 
 
13)22(23)2(
4
522
4
5 kkkC 
 
 
Logo o valor mínimo absoluto de C em [0,2] é 
13
4
5 k
, ocorrendo quando x = 2. 
 Logo, para minimizar o custo do cabo, devemos estendê-lo diretamente de A até C sob a 
água. 
 
 
3) (p266) Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao 
longo do rio. Se o custo do material for de $12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de 
$8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser 
cercado com $3.600,00 de material. 
Solução: 
 
Seja: 
x (m) – o comprimento de cada extremo do campo; 
y (m) – o comprimento do lado paralelo ao rio; 
A (m
2
) – a área do campo. 
 





(2) 600.31288
(1) 
yxx
xyA 
 
Isolando y de (2) 
600.31216  yx
 
x
x
y
3
4
300
12
16600.3



 
Substituindo em (1) obtemos: 
 xxxyA
3
4300 
 
  (3) 300)(
3
4 xxxA 
 
 
Se y= 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos 
não deverem ser negativos, o valor de x ira tornar 
A um máximo absoluto esta entre [0, 225]. 
 
2
3
4300)( xxxA 
 
xxA
3
8300)´( 
 
Fazendo 
0)´( xA
, temos: 
x
3
83000 
 
300
3
8 x
 
5,112300
8
3 x
 
1501503005,112300300
3
4
3
4  xy
 
 
16875 
112,5 225 x 
A(x) 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 38 
 
2
3
4300)( xxxA 
 
2
3
4 5,1125,112300)5,112( A
 
2875.16)5,112( mA 
 
 
Assim sendo, a maior área possível que poderá ser cercada com $3.600,00 de material será A = 
16.875m
2
, e isto acontece quando o lado paralelo ao rio tiver y = 150m e os extremos tiverem cada 
um x = 112,5m. 
 
 
4) Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será 
$16,00 por lugar. Se, contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro diário por 
lugar decrescerá de $0,08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de 
assentos para que o lucro diário seja máximo? 
Resolução: 
Seja: 
- x o número de lugares; 
- P(x) o lucro bruto diário ($16,00 por lugar); 
 
Quando 
 80x40 
, calculamos o lucro da seguinte forma: 
O lucro por lugar será: $16,00 
P(x) é obtido ao multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja: 
xxP 16)( 
 
 
Quando 
280x80 
, calculamos o lucro da seguinte forma: 
O lucro por lugar será: 16 – 0,08(x – 80) 
O lucro será obtido se multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja: 
 
xxP 80)]-0,08(x -16[)( 
 
xxP 6,40)]0,08x -16[)( 
 
xxP 0,08x] -40,22[)( 
 
20,08 -40,22)( xxxP 
 
 
 
 
Logo: 






 280x80 se 08,040,22
 80x40 se 16
)(
2xx
x
xP
 
 
Mesmo que x, por definição, seja um inteiro, para ter uma função contínua, vamos supor que x 
possa assumir todos os valores reais no intervalo [40, 280]. 
 
Cálculo II - Derivadas e Aplicações 39 
 
Há continuidade em 80, pois: 
P(80) = 1.280 
280.116lim)(lim
8080

 
xxP
xx
 
280.1)08,040,22(lim)(lim 2
8080

 
xxxP
xx
 
 
Sendo assim, P é continua no intervalo fechado [40, 280] e o teorema do valor extremo garante um 
valor máximo absoluto de P nesse intervalo. 
 
Quando 
 80x40 
, 
16)´( xP
 
 
Quando 
280x80 
, 
xxP 0,16 -40,22)´( 
 
 
)80´(P
 não existe, pois:








60,9)80(
16)80(
´
´
P
P 
 
Equacionando 
0)´( xP
, teremos: 
00,16 -40,22 x
 
140x
 
 
Os números críticos de P são então, 80 e 140. 
Vamos calcular P(x) nos pontos extremos do intervalo [40, 280] e nos pontos críticos. 
P(40) = 640 
P(80) = 1.280 
P(140) = 1.568 
P(280) = 0 
 
O valor máximo absoluto de P é, portanto 1.568, ocorrendo quando x = 140. A capacidade de 
assentos deve ser de 140 lugares, o que dá um lucro bruto diário de $1.568,00 
 
 
5) Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone 
circular reto com um raio de 5cm e 12cm de altura.