APOSTILA_DE_FENOMENOS_DE_TRANSPORTE

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APOSTILA DE FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil IV 
 
Professor: Dr. Carmo Henrique Kamphorst 
 
 
 
Frederico Westphalen, agosto de 2015. 
 
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1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
 
Fenômenos de transporte é a ciência que estuda o transporte de quantidade de movimento 
(ou momentum), transporte de calor e transporte de massa. 
Processos de transferência caracterizados pela tendência ao equilíbrio, que é a condição em 
que não ocorre nenhuma variação. Logo, a força motriz de um processo de transferência é uma 
diferença de velocidade, de temperatura ou de concentração. E, deste modo, os fenômenos de 
transporte podem ser subdivididos em três áreas: 
 Mecânica dos Fluidos: Ciência que estuda o transporte de energia pelos fluidos e a 
resistência ao movimento ocasionado pelo movimento do fluido; 
 Transferência de Calor: Ciência que estuda a transferência de energia associada à 
diferença de temperatura; 
 Transferência de massa: Ciência que estuda a transferência de massa associada à 
diferença de concentração de uma substância. 
 
2. DIMENSÕES E UNIDADES 
Referimo-nos a grandezas físicas tais como comprimento, tempo, massa e temperatura 
como dimensões. Em termos de um sistema particular de dimensões, todas as quantidades 
mensuráveis podem ser subdivididas em dois grupos: quantidades primárias e quantidades 
secundárias. 
Estabelecido um pequeno grupo de dimensões básicas (quantidades primárias), diz-se que 
são secundárias àquelas cujas dimensões são expressas em termos das dimensões de quantidades 
primárias. 
Para exemplificar consideremos um sistema dimensional em que são consideradas 
primárias as seguintes quantidades: massa (M), o comprimento (L), o tempo (t) e a temperatura 
(T). Neste sistema dimensional a força (F) é uma quantidade secundária, pois sua dimensão será 
 
[𝐹] = 𝑀 ∙
𝐿
𝑡2
= 𝑀𝐿𝑡−2. 
 
Contudo, poderíamos ter optado pelas quantidades força (F), o comprimento (L), o tempo 
(t) e a temperatura (T) como sendo primárias. Neste caso a massa (M) seria uma quantidade 
secundária, pois sua dimensão seria: 
 
[𝑀] = 𝐹 ∙
𝑡2
𝐿
= 𝐹𝐿−1𝑡2. 
 
 Unidades são os nomes arbitrários dados ás dimensões primárias adotadas como padrões 
de medidas. A dimensão primária de comprimento, por exemplo, pode ser medida em metros, 
pés, jardas ou milhas. 
 
3 
 
3. SISTEMAS DE DIMENSÕES 
Reconhecemos que a segunda lei de Newton (�⃗� ∝ 𝑚 ∙ �⃗�) relaciona-se com quatro 
dimensões, F, M, L, e t. Assim, força e massa não podem ambas ser selecionadas como 
dimensões primárias sem introduzir uma constante de proporcionalidade que tenha dimensões (e 
unidades). 
O comprimento e o tempo são dimensões primárias em todos os sistemas dimensionais de 
uso corrente. Em alguns deles, a massa é tomada como uma dimensão primária. Noutros, a força 
é selecionada como tal; um terceiro sistema escolhe tanto a força quanto a massa. Temos, assim, 
três sistemas básicos de dimensões correspondendo aos diferentes modos de especificar as 
dimensões primárias: 
a) Massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. 
b) Força [F], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. 
c) Força [F], massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. 
No sistema a, a força [F] é uma dimensão secundária. No sistema b, a massa [M] é uma 
dimensão secundária. No sistema c, tanto a força [F] quanto a massa [M] foram selecionadas 
como dimensões primárias. Neste caso, a constante de proporcionalidade 𝑔𝑐, na segunda Lei de 
Newton (escrita como �⃗� = 𝑚�⃗�/𝑔𝑐 ), não é adimensional, visto que, 
 
[𝑔𝑐] =
𝑀𝐿
𝐹𝑡2
. 
 
 
Exercícios 
 
1) Para cada grandeza física listada, indique as dimensões, usando a força como quantidade 
primária. 
a) Massa 
b) Pressão 
c) Trabalho 
d) Potência 
e) Velocidade 
f) Aceleração 
g) Quantidade de movimento 
h) Calor específico 
 
2) Para cada grandeza física listada, indique as dimensões, usando a massa como quantidade 
primária. 
a) Força 
b) Pressão 
c) Trabalho 
d) Potência 
e) Velocidade 
f) Aceleração 
g) Quantidade de movimento 
h) Calor específico 
 
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4. SISTEMAS DE UNIDADES 
 
Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primária. 
Apresentaremos apenas os sistemas de unidade mais comuns na engenharia para cada um dos 
sistemas básicos de dimensões. A tabela 1 mostra as unidades básicas assinaladas para as 
dimensões primárias de cada sistema dimensional. As unidades entre parênteses são aquelas 
destinas à dimensão secundária. 
 
Tabela 1: Sistemas de Unidades Mais Comuns 
Sistema de 
Dimensões 
Sistema de 
Unidades 
F M L t T 
MLtT SI (N) kg M s K 
FLtT GB lbf (slug) Ft s °R 
FMLtT EE lbf lbm Ft s °R 
 
 
MLtT 
 
No sistema dimensional MLtT os sistemas de unidades mais comuns são o Sistema 
Internacional de Unidades (SI) e o Sistema Métrico Absoluto. 
O SI consiste no sistema legalmente aceito como único em mais de 30 países. Nele a 
unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de comprimento é o metro (m), a unidade de 
tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o Kelvin (K). Por ser uma quantidade 
secundária, a unidade da força é definida da segunda lei de Newton, 
 
1𝑁 = 1𝑘𝑔 ∙
𝑚
𝑠2
. 
 
No Sistema Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama (g), a unidade de 
comprimento é o centímetro (cm), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura 
é o Kelvin (K). Logo, a unidade de força é 
 
1 𝑑𝑖𝑛𝑎 = 1𝑔 ∙
𝑐𝑚
𝑠2
. 
 
FLtT 
 
 O sistema de unidade mais usualmente empregado juntamente com o sistema dimensional 
FLtT é o Gravitacional Britânico (GB). Nele, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de 
comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o 
Rankine (°R). Como a massa é uma quantidade secundária, sua unidade, o slug, é definido em 
termos da segunda lei de Newton como 
 
1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 1𝑙𝑏𝑓 ∙
𝑠2
𝑓𝑡
. 
 
 
5 
 
FMLtT 
 Neste sistema dimensional é usual o emprego do Sistema de Unidades Inglês Técnico ou 
de Engenharia (EE). Nele, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de massa é a libra-
massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a 
unidade de temperatura é o Rankine (°R). Posto que ambas, força e massa, são escolhidas como 
unidades primárias, a segunda lei de Newton é escrita como 
 
�⃗� =
𝑚�⃗�
𝑔𝑐
. 
 
 Uma libra-força é a força que da à massa de uma libra-massa uma aceleração igual à 
aceleração-padrão da gravidade da Terra, 32,2
𝑓𝑡
𝑠2
. Daí, concluímos que 
 
1 𝑙𝑏𝑓 =
1 𝑙𝑏𝑚 × 32,2 𝑓𝑡/𝑠2
𝑔𝑐
 
 
ou 
𝑔𝑐 = 32,2 
𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏𝑚
𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠2
. 
 
 Como uma força de 1 𝑙𝑏𝑓 acelera 1 𝑙𝑏𝑚 a 32,2
𝑓𝑡
𝑠2
, ela aceleraria 32,2 𝑙𝑏𝑚 a 1
𝑓𝑡
𝑠2
. Um 
slug também é acelerado a 1
𝑓𝑡
𝑠2
 por uma força de 1 𝑙𝑏𝑓, portanto, 
 
1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2 𝑙𝑏𝑚. 
 
Exemplo: O rótulo de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é 510g. Expresse sua 
massa e peso em SI, GB e EE. 
 
 
 
 
6 
 
4.1 Fatores de Multiplicação no SI 
 
 Embora existam unidades padrões, muitas vezes é comum se observar a utilização de 
múltiplos ou submúltiplos, destas unidades, mediante o emprego de prefixos. Na tabela 2 são 
apresentados alguns destes prefixos. 
 
Tabela 2: Fatores de Multiplicação de Unidades e os Respectivos Prefixos 
Fator de Multiplicação Prefixo Símbolo 
1 000 000 000 000 = 𝟏𝟎𝟏𝟐 Terá T 
1 000 000 000 = 𝟏𝟎𝟗 Giga G 
1000 000 = 𝟏𝟎𝟔 Mega M 
1 000 = 𝟏𝟎𝟑 Quilo k 
0,01 = 𝟏𝟎−𝟐 Centi c 
0,001 = 𝟏𝟎−𝟑 Mili m 
0,000 001 = 𝟏𝟎−𝟔 Micro 𝜇 
0,000 000 001 = 𝟏𝟎−𝟗 Nano n 
0,000 000 000 001 = 𝟏𝟎−𝟏𝟐 Pico p 
 
4.2 Conversões úteis 
 Havendo diferentes sistemas de unidades, faz-se necessário, em várias situações, a 
realização de conversões de unidades. A seguir seguem algumas informações úteis. 
Comprimento: 1 𝑖𝑛 = 0,0254 𝑚 1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 
 1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 1609 𝑚 1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑚𝑎𝑟í𝑡𝑖𝑚𝑎 = 1852 𝑚 
Volume: 1 𝑚3 = 1000 𝑙 1 𝑔𝑎𝑙 = 231 𝑖𝑛3 
Massa: 1 𝑙𝑏𝑚 = 0,454 𝐾𝑔 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2 𝑙𝑏𝑚 
Força: 1 𝐾𝑔𝑓 = 10𝑁 1 𝑁 = 105𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 1𝑙𝑏𝑓 = 4,448 𝑁 
Trabalho ou Energia: 1𝐵𝑡𝑢 = 1055𝐽 1𝑘𝑐𝑎𝑙 = 3,968𝐵𝑡𝑢 
Potência: 1 ℎ𝑝 = 746 𝑊 = 2545
𝐵𝑡𝑢
ℎ
 
Pressão: 1
𝑁
𝑚2
= 1 𝑃𝑎 1 𝑏𝑎𝑟 = 105𝑃𝑎 1 𝑎𝑡𝑚 = 101325 𝑃𝑎 
Temperatura: 𝑇𝐹 =
9
5
𝑇𝐶 + 32 𝑇𝐾 = 𝑇𝐶 + 273 
 
7 
 
A partir destas informações podemos transformar, por exemplo: 
a) A aceleração gravitacional 9,8 𝑚/𝑠2 em 𝑓𝑡/𝑠2. 
 
 
 
 
 
b) A pressão de 1𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛2 em 𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
c) A potência de 1𝑘𝑊 em 𝐵𝑡𝑢/ℎ. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Converta: 
a) 1 𝑚2/𝑠 em 𝑓𝑡2/𝑠; 
b) 1𝑘𝐽/𝑘𝑔 em 𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏𝑚; 
c) 2𝑖𝑛3/𝑚𝑖𝑛 em 𝑚𝑚3/𝑠; 
d) 1𝑚3/𝑠 em 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛; 
e) 30𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛2 em 𝑃𝑎 
f) 12000 𝐵𝑡𝑢/ℎ em 𝑊; 
g) 2 ℎ𝑝 em 𝑘𝑊; 
h) 1 𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠/𝑓𝑡2 em 𝑁 ∙ 𝑠/𝑚2 
 
2) Expresse os seguintes valores em unidades SI: 
a) 150 𝑖𝑛3/𝑠 
b) 3 𝑔𝑝𝑚 
c) 100 𝑐𝑓𝑚 (𝑓𝑡3/𝑚𝑖𝑛) 
d) 3 𝑚𝑝ℎ/𝑠 
 
8 
 
3) Expresse os seguintes valores em unidades GB: 
a) 50 𝑚2 
b) 100 𝑘𝑊 
c) 5 𝑘𝑔/𝑚3 
d) 50 𝑁 ∙ 𝑠/𝑚2 
e) 180 𝑐𝑐/𝑚𝑖𝑛 
 
4) A massa específica do mercúrio é de 26,3 𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑓𝑡3. Qual a sua massa específica no sistema 
SI? Qual o peso específico do mercúrio, em 𝑙𝑏𝑓/𝑓𝑡3, na Terra e na Lua. A aceleração da 
gravidade na Lua é 5,47 𝑓𝑡/𝑠2. 
 
5) Um fazendeiro necessita de 1,5 polegadas de chuva por semana em sua fazenda, que tem 25 
acres de área plantada. Se ocorrer uma seca, quantos galões por minuto (gpm) deverão ser 
bombeados para irrigar a colheita? (Dado: 1 acre = 4046,85642 m
2
). 
 
 
5. LEI DA HOMOGENIEDADE DIMENSIONAL 
 “Todos os termos de uma expressão matemática, que, traduz um fenômeno físico, deve 
possuir a mesma dimensão.” 
Exemplo 1: Verifique a homogeneidade dimensional da função horária da posição, no 
movimento uniformemente variado. 
 
 
Exemplo 2: Verifique qual das duas expressões destinadas à descrição da vazão 𝑄 de um fluido, 
por um orifício de área 𝐴 que está na base inferior de um tanque com uma coluna de água de 
altura ℎ, está dimensionalmente correta? 
𝑄 = 0,61𝐴√2𝑔ℎ ou 𝑄 = 4,90𝐴√ℎ ? 
 
 
Exemplo 3: Qual a dimensão da constante universal dos gases na equação a seguir? 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 
 
 
 
9 
 
Exercícios: 
 
1) O livre caminho médio 𝜆 de uma molécula de gás é a distância média que ela percorre antes 
de colidir com outra molécula. Ele é dado por 
𝜆 = 𝐶
𝑚
𝜌𝑑2
 
 em que 𝑚 e 𝑑 são a massa e o diâmetro da molécula, respectivamente, e, 𝜌 é a massa 
específica do gás. Quais são as dimensões da constante C para que a equação seja 
dimensionalmente correta? 
 
2) Na aerodinâmica estuda-se que a força de arrasto 𝐹𝐷 sobre um corpo é dada por 
𝐹𝐷 =
1
2
𝜌 𝑉2𝐴 𝐶𝑑 
 Assim, o arrasto depende da velocidade 𝑉, da massa específica 𝜌 do fluido e do tamanho do 
corpo (indicado pela área frontal A) e sua forma (indicado pelo coeficiente de arrasto 𝐶𝐷). 
Quais são as dimensões de 𝐶𝐷? 
 
3) Uma importante equação na teoria das vibrações é 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) 
 em que 𝑚 (kg) é a massa e 𝑥 (m) é a posição no instante 𝑡 (s). Para uma equação 
dimensionalmente consistente, quais são as dimensões de 𝑐, 𝑘 e 𝑓? Quais seriam as unidades 
convenientes para estes termos em SI e GB? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
6. FORÇAS ATUANTES 
 
De uma maneira geral, as forças podem ser classificadas em duas categorias: 
• forças de corpo ou de campo; 
• forças de superfície ou de contato. 
As forças de campo são aquelas que se manifestam através da interação com um campo e 
atuam sem a necessidade de um contato entre as superfícies dos corpos. Exemplos: 
• peso, devido ao campo gravitacional; 
• força elétrica, devido a um campo elétrico; 
• força magnética, devido a um campo magnético. 
Essas forças de campo são proporcionais ao volume ∀ dos corpos. Por exemplo, o peso de 
um corpo de massa m e volume ∀, com massa específica 𝜌, no campo gravitacional terrestre com 
aceleração �⃗�, é dado por 
 
�⃗⃗⃗⃗� = ∭ �⃗�𝑑𝑚
𝑚
= ∭ �⃗�𝜌𝑑∀.
∀
 
As forças de superfície são aquelas que atuam sobre um sistema através de contato com a 
fronteira do mesmo. Exemplo: 
• forças de atrito; 
• forças devidas à pressão; 
• forças devidas às tensões cisalhantes nos escoamentos. 
Essas forças de superfície são proporcionais à área da superfície sobre a qual atuam. 
A força de superfície ainda se subdivide em força normal à superfície 𝐹𝑛 e a força 
tangencial à superfície 𝐹𝑡, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
11 
 
Dividindo-se a força normal à superfície pela área da superfície 𝐴 tem-se a tensão normal 
𝜎, isto é, 
 
𝜎 =
𝐹𝑛
𝐴
. 
 
Analogamente, dividindo-se a força tangencial à superfície pela área da superfície tem-se 
a tensão de cisalhamento, 
 
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
. 
 
O fluido não suporta esforços tangenciais, embora saiba suportar muito bem esforços 
normais (especialmente os líquidos). Existindo tensão cisalhante, ocorre escoamento, ou seja, o 
fluido entra em movimento. Em um fluido em repouso, a tensão é exclusivamente normal, sendo 
seu valor chamado de pressão. 
É usual o emprego de índices duplos na definição das tensões. A notação 𝜏𝑦𝑥, por 
exemplo, indica uma tensão cisalhante aplicada a um plano ortogonal ao eixo 𝑦 na direção 𝑥. 
Note que, nesta notação, todas as tensões normais recebem índices duplos. 
 
 
 Desse modo a tensão em um ponto é definida por nove componentes de uma matriz 
 
�⃗⃗⃗⃗� = [
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
] 
conhecido como tensor tensão. 
 
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7. FLUÍDOS E SUAS PROPRIEDADES 
 
7.1 Definição de Fluído 
 
Substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento 
(tangencial), não importa quão pequena ela possa ser. 
Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou de vapor) das formas 
físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria é clara 
quando comparamos seus comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de 
cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente. Um fluido não apresenta forma própria e é 
incapaz de permanecer em repouso quando sujeito a esforços de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
7.2 O fluido como Meio Contínuo 
 
 O conceito de contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Embora o fluido seja 
composto de moléculas, nosso interesse são os efeitos médios ou macroscópicosde muitas 
moléculas (uma porção de fluido). 
 A hipótese do contínuo consiste em abstrair-se da composição molecular e sua 
consequente descontinuidade, ou seja, por menor que seja uma divisão de um fluido, esta parte 
isolada deverá apresentar as mesmas propriedades que a matéria como um todo. Esta definição 
auxilia em muito na análise de problemas de mecânica dos fluidos, pois permite que as 
propriedades dos fluidos, como massa específica, velocidade, sejam funções contínuas no espaço 
e no tempo. 
 Contudo, essa hipótese é válida somente quando as dimensões envolvidas no problema 
são muito maiores que o caminho livre médio das moléculas (distância média percorrida por uma 
molécula antes de sofrer colisão com outra). 
 
 
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7.3 Propriedades dos Fluídos 
 
a) Massa específica 
 
 A massa específica em um ponto é definida por 
 
𝜌 = lim
𝛿∀→𝛿∀′
𝛿𝑚
𝛿∀
, 
 
sendo 𝛿∀′ o volume no qual ainda se tem a validade da hipótese de meio contínuo. Logo, a 
dimensão da massa específica é 𝑀𝐿−3. 
 A massa específica em qualquer ponto pode também variar com o tempo. Portanto, a 
representação completa da massa específica (a representação de campo) é dada por 
 
𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). 
 
 A massa específica da água tem um comportamento próprio em relação à sua temperatura. 
O valor máximo, 1000 𝑘𝑔/𝑚3, é atingido a temperatura de 4°C. 
 
 
 
 A massa específica do ar em condições normais é de 1,2250 𝑘𝑔/𝑚3. 
 
 
b) Densidade Relativa ou Gravidade Específica 
 
 A densidade relativa 𝑆𝐺 de uma substância é dada por 
 
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝐻2𝑂 (4°𝐶)
. 
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 Note que a densidade relativa é uma grandeza adimensional, logo, não tem unidade de 
medida. A densidade relativa do mercúrio, por exemplo, é tipicamente 13,6. Isso significa que o 
mercúrio é 13,6 vezes mais denso que a água. 
 A tabela a seguir apresenta densidades relativas de alguns materiais e líquidos à 
temperatura de 20°C. 
 
Substância SG 
Aço 7,83 
Alumínio 2,64 
Carvalho 0,77 
Chumbo 11,4 
Cobre 8,91 
Ferro Fundido 7,08 
Água 0,998 
Água do mar 1,025 
Benzeno 0,875 
Etanol 0,789 
Gasolina 0,72 
Mercúrio 13,55 
Óleo lubrificante 0,88 
Querosene 0,82 
 
 
c) Peso Específico 
 
 O peso específico 𝛾 de uma substância é definido como o peso da substância por unidade 
de volume, 
 
𝛾 =
𝑚𝑔
∀
= 𝜌𝑔. 
 
 O peso específico da água, por exemplo, é aproximadamente 9,81
𝑘𝑁
𝑚3
. 
 
 
d) Volume Específico 
 
 O volume específico 𝜐 de uma substância é definido como o volume da substância por 
unidade de massa, 
 
𝜐 =
∀
𝑚
=
1
𝜌
. 
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 De modo que o volume específico da água é aproximadamente 0,001𝑚3/𝑘𝑔. 
 
 
PARTÍCULA FLUIDA: é uma certa quantidade de fluido que possui uma certa continuidade. 
 
ADERÊNCIA: propriedade inerente ao fluido, que corresponde à condição de deslocamento do 
mesmo quando em contato com alguma superfície, expressa da seguinte forma: “A camada de 
fluido em contato com a superfície possui a mesma velocidade da superfície.” 
 
DIAGRAMA DE ESTADO DO FLUIDO: gráfico que relaciona pressão e temperatura e 
fornece o ponto tríplice do fluído, para estudo dos limites de mudança de estado. Como exemplo, 
a figura 3.1 fornece o diagrama de estado do dióxido de carbono (CO2). 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Sabendo-se que um litro de glicerina, a 20°C, tem massa igual a 2,52 kg, determine a massa 
específica, a densidade relativa, o peso específico e o volume específico da glicerina. 
 
2) Um reservatório cúbico de 2 m de aresta está completamente cheio de óleo lubrificante 
(𝑆𝐺 = 0,88). Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver ocupado. 
 
3) Qual a massa de um galão de água? E de um galão de mercúrio (𝑆𝐺 = 13,55)? 
 
4) Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2 m e altura de 4 m. Sabendo-se 
que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina, determine a massa de gasolina 
(𝑆𝐺 = 0,72) presente neste reservatório. 
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8. VISCOSIDADE 
 
 A viscosidade é uma propriedade inerente a um fluido real, que se define como a 
resistência que o fluido oferece ao movimento relativo de qualquer de suas partes. 
 Considere duas placas planas paralelas, separadas por uma distância infinitesimal, onde, 
entre elas há um fluido qualquer. A placa inferior está em repouso e a superior é móvel, conforme 
a figura a seguir. 
 
 
 À placa superior aplica-se uma força �⃗� que a faz adquirir uma velocidade 𝒅𝑼. Em 𝑡 + 𝑑𝑡 
o fluido deforma-se são um ângulo 𝑑𝛼, chamado deformação angular. 
 Para fluidos newtonianos (os fluidos mais comuns, como água, o ar e a gasolina, em 
condições normais) obedecem a lei da viscosidade de Newton: “a tensão de cisalhamento é 
diretamente proporcional à taxa de deformação angular.” 
 Isto é, 
 
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝛼
𝑑𝑡
= −𝜇
𝑑𝑈
𝑑𝑦
, 
 
em que a constante de proporcionalidade 𝜇 é a viscosidade dinâmica ou absoluta do fluído. 
 
 A dimensão da viscosidade dinâmica é 
𝐹𝑡
𝐿2
 ou 
𝑀
𝐿𝑡
. Assim sendo, no SI, tem-se como unidade 
da grandeza viscosidade 
 
𝑁 ∙ 𝑠
𝑚2
=
𝑘𝑔
𝑚 ∙ 𝑠
= 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 
 
 No GB, tem-se 
17 
 
 
𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠
𝑓𝑡2
=
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡 ∙ 𝑠
 
 
 Contudo, é usual ainda, o emprego do centi-Poise (𝑐𝑃), sendo 
 
1𝑃 = 1
𝑔
𝑐𝑚 ∙ 𝑠
. 
 
 
 
 
 A maioria dos fluidos que conhecemos, em condições normais, são newtonianos 
(obedecem a lei de viscosidade de Newton). De um modo geral tem-se a equação: 
 
𝜏 = 𝑘 (
𝑑𝑈
𝑑𝑦
)
𝑛
 
 
Onde k é o índice de consistência do fluido e n o índica de comportamento de escoamento. 
 𝑛 = 1 e 𝑘 = 𝜇 --- Fluido Newtoniano (Ex. água, óleos em geral, glicerina); 
 𝑛 > 1 ---- Dilatantes (Ex. suspensões de partículas sólidas em líquidos); 
 𝑛 < 1 ---- Pseudoplásticos (Ex. creme pesado de leite); 
Além destes, tem-se ainda, os plásticos de Bingham, fluidos que necessitam de uma 
tensão inicial para escoar (Ex. Pasta dental, lama de perfuração, suspensão de argila, tinta a óleo). 
Neste caso a equação geral é definida como sendo: 
 
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𝜏 = 𝜏0 + 𝑘 (
𝑑𝑈
𝑑𝑦
)
𝑛
 
A viscosidade depende da coesão intermolecular e da transferência de momento. Logo, a 
viscosidade depende da temperatura, e verificam-se efeitos opostos sobre a viscosidade de gases 
e de líquidos em função da variação da temperatura. Em geral, nos gases a coesão intermolecular 
é desprezível, resultando no fato de que a tensão cisalhante entre duas camadas do fluido em 
escoamento é devida à transferência de momento linear entre essas camadas. Essa atividade 
molecular aumenta com o acréscimo de temperatura, de forma que a viscosidade aumenta com a 
temperatura nos gases. 
 
 
 
Nos líquidos, as distâncias intermoleculares e a intensidade dos movimentos das 
moléculas são muito menores que nos gases, de forma que a transferência de momento linear 
entre as camadas, devido aos movimentos moleculares, pode ser desprezada. Assim, as tensões 
cisalhantes e a viscosidade dependem principalmente da intensidade das forças de coesão 
intermolecular que diminuem com o acréscimo de temperatura, de maneira que a viscosidade dos 
líquidos diminui com o aumento da temperatura. 
 
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 Também é comum o emprego da viscosidade cinemática 𝜈, razão entre a viscosidade 
dinâmica e a massa específica do fluido, ou seja, 
 
𝜈 =
𝜇
𝜌
. 
 
A dimensão da viscosidade cinemática é 
𝐿2
𝑡
, logo, sua unidade no SI é 
𝑚2
𝑠e no GB é 
𝑓𝑡2
𝑠
. Contudo, 
é usual o emprego da unidade Stokes (𝑆𝑡). 
 
1𝑆𝑡 =
1𝑐𝑚2
𝑠
. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Exemplos 
 
1) A figura mostra um esquema da distribuição de velocidade para um escoamento laminar de 
um fluido newtoniano, totalmente desenvolvido, num duto de seção circular de diâmetro 
constante dada por: 
 
𝑉
𝑧(𝑟)=𝑉𝑚á𝑥[1−(
𝑟
𝑅)²]
 
Onde: 
𝑉𝑚á𝑥 é a velocidade máxima do perfil (distribuição), que ocorre no centro da seção, e 
𝑅 é o raio interno do duto. 
Sendo 𝜇 a viscosidade dinâmica do fluido, determine: 
a) A distribuição de tensões de cisalhamento 𝑇𝑟𝑧 no escoamento; 
b) A força por unidade de comprimento que o escoamento exerce sobre a parede do duto. 
 
2) Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de 
líquido, como mostrado. Para uma pequena altura da camada, d, podemos supor uma 
distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é 0,65 centipoise e sua 
densidade relativa é 0,88. Determine: 
(a) A viscosidade absoluta do líquido em 𝑘𝑔/𝑚𝑠 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento 
 
3) Um pistão de peso 𝐺 = 4𝑁 cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 2 𝑚/
𝑠. O diâmetro do cilindro é 10,1 𝑐𝑚 e o do pistão é 10 𝑐𝑚. Determinar a viscosidade do 
lubrificante colocado na folga entre o pistão e o cilindro. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Exercícios: 
 
1) Os líquidos e os gases são fluidos, mas apresentam características diferentes. Descreva as 
propriedades que diferenciam os gases dos líquidos. 
 
2) Determine as dimensões das viscosidades absoluta (dinâmica) e cinemática. 
 
3) A figura a seguir mostra o esquema de um escoamento de água entre duas placas planas 
horizontais de grandes dimensões e separadas por uma distância d pequena. A placa inferior 
permanece em repouso, enquanto a placa superior está em movimento com velocidade 𝑉𝑥 
constante, de forma que resulta uma distribuição linear de velocidade de escoamento da água. 
Sendo a viscosidade da água 𝜇 = 0,001 𝑃𝑎 ∙ 𝑠, determine: 
a) O gradiente de velocidade de escoamento; 
b) A tensão de cisalhamento na placa superior. 
 
 
4) Considere a figura do problema anterior. Se, no lugar da água, existe um óleo e se é necessária 
uma tensão cisalhante de 40 𝑃𝑎 para que a velocidade da placa permaneça constante, 
determine a viscosidade dinâmica desse óleo. 
 
5) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 𝑚𝑚. A placa superior move-se com 
velocidade de 4 𝑚/𝑠, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for 
preenchido com óleo (𝑣 = 0,1𝑆𝑡; 𝑝 = 830 𝑘𝑔/𝑚³), qual será a tensão de cisalhamento quer 
agirá no óleo? 
 
22 
 
6) O pistão da figura tem uma massa de 0,5 𝑘𝑔. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado 
para cima com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 𝑐𝑚 e do pistão é 9 𝑐𝑚 e 
entre os dois existe um óleo de 𝑣 = 10−4𝑚²/𝑠 e 𝛾 = 8000𝑁/𝑚³. Com que velocidade deve 
subir o cilindro para que o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e 𝑔 =
10 𝑚/𝑠².) 
 
7) Uma placa quadrada de 1 𝑚 de lado e 20 𝑁 de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, 
sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 2 𝑚/𝑠 constante. Qual é a viscosidade 
dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 𝑚𝑚? 
 
8) A Figura 1.9 mostra um esquema de um escoamento laminar, totalmente desenvolvido e em 
regime permanente, de um fluido newtoniano, entre duas placas paralelas e estacionárias, de 
grandes dimensões e separadas de uma distância h pequena. A distribuição de velocidade de 
escoamento é dada por 
 
 
𝑉𝑥(𝑦) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 [1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
] 
 
Determine a força cisalhante, por unidade de área, exercida pelo escoamento sobre a placa superior. 
 
 
9) Um pistão de 5cm de comprimento e 4N de peso cai dentro de um cilindro com uma 
velocidade constante de 2m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1cm e o do pistão é 10,0cm. 
Determine a viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pistão e o cilindro. 
 
23 
 
10) Um cubo de aço com aresta de 5 𝑐𝑚 e massa específica de 8000 𝑘𝑔/𝑚3 desce um plano 
inclinado a velocidade constante sobre um filme de óleo com uma espessura 𝜖 = 1 𝑚𝑚. 
Considere a inclinação do plano com a horizontal de 20° e que o óleo possua uma 
viscosidade de 0,1 𝑃𝑎. 𝑠. Considerando 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2 e 𝑠𝑒𝑛20° = 0,34202, determine a 
massa e a velocidade do cubo. 
 
 
11) A distância entre dois pratos planos e paralelos é 0,00914𝑚 e o prato inferior está sendo 
puxado a uma velocidade relativa de 0,366𝑚/𝑠. O fluido entre os pratos é óleo de soja com 
viscosidade de 4 × 10−2𝑃𝑎. 𝑠 a 303𝐾. 
a) Calcule a tensão cisalhante e o gradiente de velocidade, em unidades do S.I. 
b) Caso o glicerol a 293𝐾 com viscosidade 1,069𝐾𝑔/𝑚. 𝑠 seja usado no lugar do óleo de 
soja, qual será a velocidade relativa em 𝑚/𝑠 necessária para a mesma distância entre os 
pratos e a mesma tensão cisalhante obtida no item (a)? Qual o novo gradiente de 
velocidade? 
 
12) O pistão mostrado na figura abaixo desliza no cilindro com uma velocidade constante de 
0,6𝑚/𝑠. Calcular o peso do pistão, sabendo-se que a viscosidade do fluido lubrificante é 
200𝑐𝑃. 
24 
 
 
 
13) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvidos entre placas paralelas 
é dada por: 
𝑢
𝑢𝑚á𝑥
= 1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
 
Em que ℎ é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as 
placas. Considere o escoamento de água a 15°𝐶, com 𝑢𝑚á𝑥 = 0,10𝑚/𝑠 e ℎ = 0,1𝑚𝑚. 
Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior. Esboce a variação da tensão de 
cisalhamento em uma seção transversal do canal. 
 
14) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por: 
𝑢
𝑢𝑚á𝑥
= 1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
 
Em que ℎ é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as 
placas. Considere o escoamento de água a 15°𝐶, com velocidade máxima de 0,05𝑚/𝑠 e 
ℎ = 0,1𝑚𝑚. Calcule a força sobre uma seção de 1𝑚² da placa inferior. 
 
15) Petróleo bruto, com densidade relativa 𝑆𝐺 = 0,85 e viscosidade 𝜇 = 0,1𝑁 ∙ 𝑠/𝑚², escoa de 
forma permanente sobre uma superfície inclinada de 𝜃 = 45 graus para baixo em relação à 
horizontal, em uma película de espessura ℎ = 0,1 𝑖𝑛. O perfil da velocidade é dado por: 
𝑢 =
𝑝𝑔
𝜇
(ℎ𝑝 −
𝑦²
2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 
25 
 
(A coordenada 𝑥 está ao longo da superfície e 𝑦 é normal a ela). Trace o perfil da velocidade. 
Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície. 
 
16) O diâmetro e a altura do tanque cilíndrico mostrado na Fig. P1.56 são, respectivamente, 
iguais a 244 e 305𝑚𝑚. Observe que o tanque desliza vagarosamente sobre um filme de óleo 
que é suportado pelo plano inclinado. Admita que a espessura do filme de óleo é constante e 
que a viscosidade dinâmica do óleo é igual a 9,6𝑁 ∙ 𝑠/𝑚². Sabendo que a massa do tanque é 
18,14 𝑘𝑔, determine o ângulo de inclinação do plano. 
 
 
17) Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 139,2 e 241,3𝑚𝑚, 
escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade V. A superfície interna do tubo está 
lubrificada e a espessura do filme de óleo é igual a 0,05𝑚𝑚. Sabendo que a massa do pistão 
e a viscosidade do óleo são iguais a 0,227𝑘𝑔 e 0,77𝑁 ∙ 𝑠/𝑚², estime a velocidade do pistão. 
Admita que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear. 
 
18) Um fluido newtoniano, densidadee viscosidade cinemática respectivamente iguais a 0,92 e 
4 × 10−4𝑚²/𝑠, escoa sobre uma superfície imóvel. O perfil de velocidade deste escoamento, 
na região próxima à superfície, está mostrado na Fig. P 1.58. Determine o valor, a direção e o 
sentido da tensão de cisalhamento que atua na placa. Expresse seu resultado em função de 
𝑈(𝑚/𝑠) e 𝛿(𝑚). 
26 
 
 
 
19) A próxima tabela apresenta os valores das velocidades medidas num escoamento de ar sobre 
uma placa plana. 
𝑦(𝑚𝑚) 1,5 3,0 6,1 12,2 18,3 24,4 
𝑢(𝑚/𝑠) 0,23 0,46 0,92 1,94 3,11 4,40 
 
A distância 𝑦 é medida na direção normal à superfície e 𝑢 é a velocidade paralela a 
superfície. A temperatura e a pressão no escoamento podem ser consideradas uniformes e 
iguais a 15°𝐶 e 101𝑘𝑃𝑎. 
(a) Admita que a distribuição de velocidade deste escoamento pode ser aproximada por: 
𝑢 = 𝐶1𝑦 + 𝐶2𝑦³ 
Determine os valores das constantes 𝐶1 e 𝐶2 utilizando uma técnica de ajustes de curvas. 
Utilize o perfil obtido na parte (a) para determinar a tensão de cisalhamento na parede e no 
plano com 𝑦 = 15𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
9. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Objetivo: adquirir noções básicas do estudo da pressão e sua variação em um fluido e do estudo 
das forças de pressão sobre superfícies planas submersas. 
 
Em um fluido em repouso não existem tensões de cisalhamento, ou seja, a tensão é 
exclusivamente normal. Assim, em todos os sistemas que estudaremos na estática dos fluidos 
atuarão somente forças normais às superfícies devidas à pressão. 
 
 
9.1 Pressão em um Ponto 
 
Existe uma determinada pressão em cada ponto de um fluido. Define-se pressão como a força 
normal por unidade de área em que atua, ou seja, a pressão 𝑝 num ponto é o limite do quociente 
entre a força normal e a área em que atua quando a área tende a zero no entorno do ponto: 
𝒑 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝑨→𝟎
∆𝑭
∆𝑨
 
 
9.2 Princípio de Pascal 
 
A pressão, num ponto de um fluido em repouso, é a mesma em qualquer direção. Assim, a 
pressão estática é uma grandeza escalar, já que possui um valor numérico e atua igualmente em 
qualquer direção. 
Pelo princípio de Pascal, tem-se que a pressão estática, num ponto deum fluido em 
repouso, é transmitida igualmente em qualquer direção. Assim, a pressão aplicada em um fluido 
incompressível, contido em um recipiente fechado, será transmitida integralmente a todos os 
pontos do fluido e à parede do recipiente. Esse fenômeno da transmissão de pressão nos fluidos 
incompressíveis é utilizado em diversos equipamentos hidráulicos, tais como prensas, freios e 
macacos hidráulicos. 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Assim, se considerarmos o elemento de volume prismático de uma massa fluida em 
repouso, indicado na figura anterior, teremos: 
 
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑧𝑧 = 𝑝. 
 
De forma que, para um fluido em repouso, sendo 𝑝 a pressão estática, o tensor tensão é dado pela 
matriz 
 
[
−𝑝 0 0
0 −𝑝 0
0 0 −𝑝
]. 
 
 
9.3 Equação Básica da Estática dos Fluidos 
 
Em um fluido em repouso, submetido ao campo gravitacional, as únicas forças que atuam 
sobre um elemento fluido são o peso e as forças devidas às pressões estáticas. Tem-se, em 
princípio, que a pressão 𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧). Consideremos um elemento de volume ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, com 
faces paralelas aos planos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares, isolado de 
um fluido em repouso com massa específica 𝜌, conforme é mostrado na Figura 2, na qual 
designamos as pressões que atuam sobre o elemento fluido de acordo com a coordenada de 
posição da face do elemento cúbico sobre a qual atua a pressão. 
 
 
 
O peso do elemento fluido é dado por 
 
 
�⃗⃗⃗⃗� = 𝜌�⃗�∆𝑥∆𝑦∆𝑧. 
 
 A força de superfície resultante, devida às pressões estáticas que atuam sobre o elemento, 
é dada por 
29 
 
�⃗�𝑝 = (𝑝|𝑥 − 𝑝|𝑥+∆𝑥)∆𝑦∆𝑧𝑖 + (𝑝|𝑦 − 𝑝|𝑦+∆𝑦)∆𝑥∆𝑧𝑗 + (𝑝|𝑧 − 𝑝|𝑧+∆𝑧)∆𝑥∆𝑦�⃗⃗�. 
 
Como o fluido está em repouso, a força resultante que atua sobre um elemento de volume 
deve ser nula, ou seja. Tem se uma condição de equilíbrio dada por 
 
∑ �⃗� = �⃗⃗⃗⃗� + �⃗�𝑝 = 0 
 
de modo que 
 
𝜌�⃗�∆𝑥∆𝑦∆𝑧 + (𝑝|𝑥 − 𝑝|𝑥+∆𝑥)∆𝑦∆𝑧𝑖 + (𝑝|𝑦 − 𝑝|𝑦+∆𝑦)∆𝑥∆𝑧𝑗 + (𝑝|𝑧 − 𝑝|𝑧+∆𝑧)∆𝑥∆𝑦�⃗⃗� = 0. 
 
Dividindo pelo volume ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, rearranjando os termos e fazendo o limite quando o volume do 
elemento tende a zero obtém-se 
 
 
lim
∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0
[
𝑝|𝑥+∆𝑥 − 𝑝|𝑥
∆𝑥
𝑖 +
𝑝|𝑦+∆𝑦 − 𝑝|𝑦
∆𝑦
𝑗 +
𝑝|𝑧+∆𝑧 − 𝑝|𝑧
∆𝑧
�⃗⃗�] = 𝜌�⃗� 
 
O termo do lado esquerdo é a definição do gradiente de pressão, em coordenadas retangulares, 
dado por 
 
 
∇⃗⃗⃗𝑝 =
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
 
de forma que pode-se escrever 
 
∇⃗⃗⃗𝑝 = 𝜌�⃗�. 
 
Essa é a equação básica da estática dos fluidos que diz que, para um fluido em repouso, a 
taxa.de variação máxima da pressão com a distância ocorre na direção do vetor campo 
gravitacional �⃗�. Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado na Figura 2, a 
equação pode ser decomposta nas componentes escalares 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝜌𝑔𝑥 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 𝜌𝑔𝑦 
30 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑧 . 
 
Por conveniência, escolhemos o referencial com o eixo 𝑦 paralelo ao vetor �⃗�, de forma 
que 𝑔𝑥 = 𝑔𝑧 = 0 e 𝑔𝑦 = −𝑔. Assim, considerando um eixo 𝒚 vertical com sentido positivo 
para cima, conclui-se que a pressão varia somente em função de 𝑦, de maneira que se pode 
escrever 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= −𝜌𝑔. 
Logo, os planos 𝑥𝑧 horizontais são planos isobáricos, ou seja, pontos que estão à mesma altura 
(ou profundidade) dentro do mesmo fluido possuem pressões estáticas iguais. 
 
 
 
 
9.4 Variação da Pressão em um Fluido Incompressível 
 
Um fluido incompressível tem a massa específica constante, de forma que a integração da 
equação básica da estática dos fluidos fica simplificada. 
Tem-se que 
 
∇⃗⃗⃗𝑝 = 𝜌�⃗� 
 
 
e, considerando um referencial com eixo 𝑦 vertical, com sentido positivo para cima, tem-se 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= −𝜌𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
 
Considerando que a pressão num nível de referência 𝑦0 é 𝑝0, determina-se a pressão p(y) 
numa altura 𝑦 com a integração da equação, 
 
 
∫ 𝑑𝑝
𝑝(𝑦)
𝑝0
= − ∫ 𝜌𝑔𝑑𝑦
𝑦
𝑦0
 
 
de forma que 
 
 
𝑝(𝑦) − 𝑝0 = −𝜌𝑔(𝑦 − 𝑦0). 
ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluido incompressível, é diretamente 
proporcional à diferença de altura entre esses dois pontos. 
31 
 
Para os líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um referencial com um eixo 
ℎ, paralelo ao vetor campo gravitacional, com origem na superfície livre e sentido positivo para 
baixo, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
Logo, tem-se 
 
𝑝(ℎ) = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ. 
 
 
9.4 Medidas de Pressão. Barômetro de Mercúrio e Manômetro de Tubo em U 
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma determinada pressão de 
referência. Usualmente, adota-se como referência à pressão nula existente no vácuo absoluto ou a 
pressão atmosférica local. Chama-se pressão absoluta aquela que é medida em relação à pressão 
nula do vácuo absoluto. Denomina-se pressão relativa aquela que é medida em relação à pressão 
atmosférica local. AFigura 3.6 ilustra uma medida de pressão em relação ao nível zero do vácuo 
absoluto e em relação à pressão atmosférica local. 
 
 
 
 
 
Geralmente, os instrumentos medidores de pressão, os manômetros, indicam a diferença 
entre a pressão medida e a pressão atmosférica local, ou seja, medem a pressão relativa, que pode 
ser positiva ou negativa. As pressõesrelativas negativas, também chamadas de pressões de 
vácuo, são aquelas menores que a pressão atmosférica local. Deve-se observar que, nas equações 
de estado, a pressão utilizada é a absoluta, dada por 
 
𝑝𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑝𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 + 𝑝𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
32 
 
 
A pressão atmosférica local, representada por 𝑝𝑎𝑡𝑚, pode ser medida por um barômetro. O 
mais simples é o barômetro de mercúrio, que consiste basicamente em um tubo de vidro cheio de 
mercúrio com sua extremidade aberta imersa num recipiente com mercúrio, conforme o esquema 
mostrado na Figura a seguir. 
 
 
A pressão atmosférica normal, ao nível domar, corresponde a uma coluna de mercúrio 
com altura ℎ = 760𝑚𝑚. 
Os instrumentos medidores de pressão são chamados de manômetros. Estudaremos 
somente o manômetro de tubo em U, cujo princípio de funcionamento está no equilíbrio de uma 
coluna de líquido, chamado de fluido manométrico, confinado em um tubo, conforme é mostrado 
no esquema da Figura a seguir. 
 
 
 
O manômetro está conectado através de uma mangueira flexível a uma tomada de pressão 
na câmara pressurizada localizada na altura do ponto A, de forma que o fluido do interior da 
câmara desloca o fluido manométrico, resultando uma configuração de equilíbrio com uma 
coluna de fluido manométrico de altura ℎ𝑀, conforme é mostrado no esquema da Figura, onde: 
 𝛾𝑀 = 𝜌𝑀𝑔 é o peso específico do fluido manométrico; 
 ℎ𝑀 é a diferença de altura entre os pontos C e D, ou seja, é a altura da coluna 
manométrica; 
 𝛾𝐶 é o peso específico do fluido confinado na câmara; e 
33 
 
 ℎ𝐶 é a diferença de altura entre os pontos A e B, ou seja, é o desnível entre a tomada de 
pressão e a base da coluna manométrica. 
 
Determina-se a pressão no ponto A através das leituras das alturas ℎ𝑀 e ℎ𝐶 . Aplicando a 
equação básica da estática dos fluidos incompressíveis, obtém-se 
 
𝑝𝑐 = 𝑝0 + 𝛾𝑀ℎ𝑀 
 
e 
 
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝐶ℎ𝐶 . 
 
Como, 
 
𝑝𝐵 = 𝑝𝐶 
 
 
tem-se 
 
𝑝𝐴 = 𝑝0 + 𝛾𝑀ℎ𝑀 − 𝛾𝐶ℎ𝐶 . 
 
 
Exemplos: 
 
 
1) Simule um manômetro de tubo em U, usando o mercúrio como fluido manométrico, para 
determinar a pressão atmosférica em 𝑃𝑎. 
 
2) Obtenha o valor da pressão atmosférica nas seguintes unidades: 
a) 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 
b) 𝑏𝑎𝑟 
c) 𝑝𝑠𝑖 
d) 𝑚𝑐𝑎 
 
3) O recipiente mostrado no esquema da Figura a seguir está pressurizado, de forma que a água 
sobe uma altura ℎ = 2𝑚 no tubo manométrico. Sendo 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101,3𝑘𝑃𝑎 e 𝜌á𝑔𝑢𝑎 =
1000𝑘𝑔/𝑚3, determine a pressão no ponto A. 
 
34 
 
4) Determine a pressão relativa no ponto A na água contida na câmara pressurizada mostrada na 
figura a seguir. Considere 𝜌𝐴 = 1000𝑘𝑔/𝑚
3, 𝜌𝑀 = 13,6𝜌𝑎, 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠
2, ℎ1 = 20 𝑐𝑚, 
ℎ2 = 15 𝑐𝑚 e ℎ3 = 30 𝑐𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1 – Determine a diferença de pressões entre os tanques A e B. 
Dados: 𝛾𝑎𝑟 = 11,8𝑁/𝑚³, 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 9.810𝑁/𝑚³, 𝛾𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 = 132.800𝑁/𝑚³. 
 
 
 
35 
 
 
2 – Determine a diferença de pressões em 𝑃𝑎 entre os pontos A e B. 
Dados: 𝛾𝑎𝑟 = 11,8𝑁/𝑚³, 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 9.790𝑁/𝑚³, 𝛾𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 8.640𝑁/𝑚³, 
 𝛾𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑒 = 7.885𝑁/𝑚³, 𝛾𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 = 133.100𝑁/𝑚³. 
 
 
3 – Encontre a pressão na tubulação de água da figura. 
 Dados: 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 9.810𝑁/𝑚³, 𝛾𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 = 13,6 × 𝛾á𝑔𝑢𝑎 
 
 
4 – O tanque cilíndrico da figura contém água a uma altura de 50𝑚𝑚. Dentro do tanque, há um 
outro tanque menor, também cilíndrico, aberto na parte superior e que contém querosene à 
altura ℎ. O peso específico do querosene é 80% do peso específico da água. Os manômetros 
B e C indicam as seguintes pressões: 𝑝𝐵 = 13,80𝑘𝑃𝑎, 𝑝𝐶 = 13,82𝑘𝑃𝑎. Determine: 
a) A pressão indicada no manômetro A; 
b) A altura ℎ de querosene. 
Assumir que o querosene não migra para a água. Dad: 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 10
4𝑁/𝑚³. 
36 
 
 
 
5- A distância vertical entre a superfície livre da água numa caixa de incêndio aberta a atmosfera 
e o nível do solo é 30𝑚. Qual é o valor da pressão estática num hidrante que está conectado 
a caixa d’água e localizado ao nível do chão? 
 
6- A pressão sanguínea é usualmente especificada pela relação entre a pressão máxima (pressão 
sistólica) e a pressão mínima (pressão diastólica). Estas pressões são normalmente 
representadas por uma coluna de mercúrio. Por exemplo, o valor típico desta relação para um 
humano é 12 por 7𝑐𝑚 de Hg. Quais os valores destas pressões em pascal? 
 
7- Considere o arranjo mostrado na Fig. P2.26. Sabendo que a diferença entre as pressões em B e 
A é igual a 20𝑘𝑃𝑎, determine o peso específico do fluido manométrico. 
 
 
37 
 
8 A Fig. P2.27 mostra um manômetro em U conectado a um tanque pressurizado. Sabendo que a 
pressão do ar contido no tanque é 13,8𝑘𝑃𝑎, determine a leitura diferencial no manômetro, h. 
 
 
 
9- O pistão mostrado na Fig. P2.29 apresenta peso desprezível e área de seção transversal igual a 
0,28𝑚². O pistão está em contato com um óleo (SG=0,9) e o cilindro está conectado a um 
tanque pressurizado que armazena, ar, óleo e água. Observe que uma força 𝑃 atua sobre o 
pistão para que ocorra o equilíbrio. 
a) Calcule o valor de 𝑃. 
b) Determine a pressão no fundo do tanque em metros de coluna d’água. 
 
38 
 
 
10 O manômetro de mercúrio da Fig. P2.31 indica uma leitura diferencial de 0,3𝑚 quando a 
pressão no tubo A é 30𝑚𝑚 de Hg (vácuo). Determine a pressão no tubo B. 
 
 
11 O manômetro inclinado da Fig. P2.32 indica que a pressão no tubo A é 0,6 𝑝𝑠𝑖. O fluido que 
escoa nos tubos A e B é água e o fluido manométrico apresenta densidade 2,6. Qual é a 
pressão no tubo B que corresponde a condição mostrada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
9.5 Variação da Pressão em Fluidos Compressíveis 
 
A variação da pressão estática é diferente em líquidos e gases. Os gases são fluidos 
compressíveis já que apresentam uma variação significativa da massa específica em função da 
pressão e temperatura. Contudo, a variação de pressão de uma coluna de ar com centenas de 
metros pode ser considerada desprezível como veremos a seguir. Nas aplicações de Engenharia 
as alturas verticais das tubulações que trabalham com líquidos representam desníveis energéticos 
significativos que devem ser vencidos pelas bombas. No caso de sistemas que trabalham com 
gases, como por exemplo, os sistemas de ventilação industrial, a energia devido as alturas 
verticais dos dutos considera-se desprezível. 
Quando a variação da altura é da ordem de milhares de metros devemos considerar a 
variação da massa específica nos cálculos da variação de pressão. No caso de um gás perfeito é 
válida a equação: 
 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 
 
e desta forma 
 
𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
 
 
onde 𝑝 é a pressão absoluta (Pa), 𝜌 a massa específica (𝑘𝑔/𝑚3), R a constante do gás. Para o ar 
R=287 J/kg.K e T a temperatura absoluta (K). 
Considerando a Eq. de estática dos fluidos: 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= −𝜌𝑔, 
 
 
tem-se para gases perfeitos 
 
40 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= −𝑔
𝑝
𝑅𝑇
. 
 
 
Por separação de variáveis, 
 
∫
𝑑𝑝
𝑝
= −
𝑔
𝑅
∫
𝑑𝑧
𝑇
𝑧2
𝑧1
𝑝2
𝑝1
. 
 
Admitindo a temperatura 𝑇 constante e igual a 𝑇0 em 𝑧 ∈ (𝑧1, 𝑧2), 
 
𝑝2
𝑝1
= 𝑒𝑥𝑝 {−
𝑔
𝑅𝑇0
(𝑧2 − 𝑧2)}. 
 
Exemplo: O prédio Empire State Building de Nova York é uma das construções mais altas do 
mundo com uma altura de 381m. Determine a relação de pressão entre o topo e a base do 
edifício.Considere uma temperatura uniforme e igual a 15°C. Compare este resultado com o que 
é obtido considerando o ar como incompressível e com peso especifico igual a 12,01 𝑁/𝑚3. Obs. 
Considere a pressão atmosférica padrão (101,33kPa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. ATMOSFERA PADRÃO 
 
 Ás vezes, os cientistas e engenheiros precisam de um modelo numérico ou analítico da 
atmosfera da Terra para simular variações climáticas para estudar, por exemplo, efeitos do 
aquecimento global. Não existe um modelo-padrão simples. Uma Atmosfera-Padrão 
Internacional (API) foi definida pela Organização da Aviação Civil Internacional (OACI); existe 
também uma Atmosfera-Padrão similar dos estados Unidos. 
 O perfil de temperatura da Atmosfera-Padrão nos EUA é mostrado na Fig. 3.3. Valores 
para outras propriedades estão tabelados como funções da altitude no Apêndice A. As condições 
da Atmosfera-Padrão nos EUA ao nível do mar estão resumidas na Tabela 3.1. 
 
 
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 Observe que uma variação grande da altitude introduz uma variável adicional a relação 
entre as pressões em diferentes alturas em um fluido compressível. Na Atmosfera-Padrão dos 
EUA, a temperatura decresce linearmente com a altitude até uma elevação de 11,0𝑘𝑚. Para uma 
variação linear de temperatura com a altitude dada por 𝑇 = 𝑇0 − 𝑚𝑧 (𝑚 = 6,5°𝐶/𝑘𝑚), obtemos, 
 
𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 = −
𝑝𝑔
𝑅𝑇
𝑑𝑧 = −
𝑝𝑔
𝑅(𝑇0 − 𝑚𝑧)
𝑑𝑧. 
 
 Separando as variáveis e integrando de 𝑧 = 0, em que 𝑝 = 𝑝0, até a elevação 𝑧, em que a 
pressão é 𝑝, resulta 
 
∫
𝑑𝑝
𝑝
=
𝑝
𝑝0
− ∫
𝑔𝑑𝑧
𝑅(𝑇0 − 𝑚𝑧)
𝑑𝑧.
𝑧
0
 
 
Então, a variação da pressão em um gás cuja temperatura varia linearmente com a elevação é 
dada por 
𝑝 = 𝑝0 (1 −
𝑚𝑧
𝑇0
)
𝑔/𝑚𝑅
= 𝑝0 (
𝑇
𝑇0
)
𝑔/𝑚𝑅
 
 
Exemplo: Determine a razão entre a pressão a 4000m metros de altitude e a pressão ao nível do 
mar (Considere a atmosfera padrão americana). 
 
 
 
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Problemas: 
 
1) A temperatura de ebulição da água diminui com o aumento da altitude devido à queda de 
pressão. Por isso, misturas para bolos e ovos cozidos, entre outros alimentos, devem ser 
preparados em diferentes períodos de tempo. Determine a temperatura de ebulição da água a 
1000 e 2000𝑚 de altitude em um dia padrão e compare com o valor referente ao nível do mar. 
 
2) “Estalos” nos ouvidos é um fenômeno desconfortável experimentado quando ocorrem 
variações na pressão ambiente, por exemplo, em um elevador rápido ou em um avião. Se você 
está em um aeroplano, a 3000𝑚 de altitude, e uma rápida descida de 100𝑚 causa estalos em 
seus ouvidos, qual é a variação de pressão em milímetro de mercúrio que causa esse desconforto? 
Se, em seguida, o avião sobe 8000𝑚 e novamente começa a descer, quanto o avião descerá antes 
que os seus ouvidos estalem novamente? Considere a Atmosfera-Padrão Americana. 
 
3) Você está sobre a lateral de uma montanha e, ao ferver água, nota que a temperatura de 
ebulição é 90°𝐶. Qual é a altitude aproximada em que você se encontra? No dia seguinte, você 
está em outro local nesta montanha onde a água ferve a 85°𝐶. Considere a Atmosfera-Padrão 
Americana. 
 
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