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Função Modular (Resumo)

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Função Modular 
 
Def.: O módulo (valor absoluto) de um número real 𝑟, representado por |𝑟|, é igual a 𝑟, caso 
𝑟 ≥ 0 e igual a −𝑟 se 𝑟 < 0, ou seja, |𝑟| = {
−𝑟, 𝑟 < 0
𝑟, 𝑟 ≥ 0
. 
 
Obs.: Geometricamente, o módulo de um numero indica, na reta real, a distância desse número ao zero. 
 
 Valor de 𝒙 dado seu módulo 
 
i. ∄𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| = 𝑎, com 𝑎 < 0 
ii. |𝑥| = 0 ⇒ 𝑥 = 0 
iii. |𝑥| = 𝑎 e 𝑎 > 0 ⇒ 𝑥 = 𝑎 ou 𝑥 = −𝑎 
 
 Propriedades: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ segue: 
 
i. |𝑥| = |−𝑥| 
ii. |𝑥2| = |𝑥|2 = 𝑥2 
 
Obs.: √𝑥2 = |𝑥| = ±𝑥 
 
iii. |𝑥 ∙ 𝑦| = |𝑥| ∙ |𝑦| 
iv. |𝑥 ∙ 𝑦−1| = |𝑥| ∙ |𝑦|−1 
v. |𝑥| − |𝑦| ≤ ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦| 
vi. |𝑥 − 𝑧| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧| 
vii. |𝑥 − 𝑦| < 𝑧 ⇒ |𝑦| − 𝑧 < |𝑥| < |𝑦| + 𝑧 
 
Obs.: |𝑥 − 𝑦| < 𝑧 ⇒ 𝑥 < |𝑦| + 𝑧 
 
Desigualdade triângular 
 
|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
 
Intervalos (Inequações) 
 
i. |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
 
Obs.: 𝑥 ∈ [−𝑎, 𝑎] 
 
ii. |𝑥| > 𝑎 ⇔ 𝑥 < −𝑎 ou 𝑥 > 𝑎 
 
Obs.:𝑥 ∈ (−∞,−𝑎) ou x ∈ (𝑎,∞) 
 
Def.: Denomina-se função modular a função 𝑓, de ℝ em ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Em outras 
palavras, 𝑓:ℝ → ℝ; |𝑥| = {
−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
, isto é, |𝑥| = má𝑥{−𝑥, 𝑥}. 
 
 Gráfico 𝑓:ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = |𝑥|. 
 
 
 
 
 
Obs.: 𝑝(𝑥) = |𝑥 − 𝑎| + 𝑏, é uma translação de 𝑓. 
 
i. 𝑎 < 0 → esquerda 
ii. 𝑎 > 0 → direita 
iii. 𝑏 < 0 → baixo 
iv. 𝑏 < 0 → baixo

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