Sólidos geométricos

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Observe as fotos de algumas construções abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada uma dessas construções lembra um sólido 
geométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos sólidos geométricos, também chamados de 
figuras geométricas não planas (ou espaciais), nem 
todos os seus pontos estão em um mesmo plano. 
» Exemplos: 
 
 
 
 
ALUNO(A): ________________________________ 
SÉRIE: ___________ DATA:___/___/_____ 
PROFESSOR(A): ____________________________ 
 
 
Sólidos geométricos 
Museu do Louvre − Paris 
MASP − São Paulo 
Farol da ponta de Humaitá – Salvador 
Um sólido geométrico é uma figura geométrica que 
possui três dimensões: altura, largura e 
comprimento. 
 
Qual é o nome dos sólidos 
que as construções ao 
lado lembram? 
Pirâmide Paralelepípedo Cubo 
comprimento 
largura 
altura 
largura 
altura 
André da Costa de Souza 
 
 
 
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Podemos classificar as figuras geométricas espaciais 
de acordo com suas características. Elas se dividem 
em corpos redondos e poliedros. 
 
▪ Corpos redondos (ou não poliedros): são os sólidos 
geométricos que apresentam superfície 
arredondada. Além disso podem rolar sobre uma 
superfície plana, dependendo da posição em que são 
colocados. 
 
 
 
 
▪ Poliedros: são sólidos geométricos formados por 
três elementos básicos: faces, arestas e vértices. 
Veja abaixo alguns exemplos: 
 
 
Note que as superfícies dos poliedros são formadas 
por polígonos (triângulo, quadrilátero, pentágono, 
hexágono, heptágono, ...). 
» Exemplos: 
 
 
 
 
▪ Casos particulares de poliedros: 
» PRISMA: são poliedros de faces planas com duas 
bases paralelas e iguais. 
 
 
 
 
 
 
Num prisma: 
● existem duas bases 
● o n° de faces laterais é igual ao n° de lados da base 
● o n° de arestas é o triplo do n° de lados da base 
● o n° de vértices é igual ao dobro do n° de lados da base 
 
» PIRÂMIDE: são poliedros formados por faces 
planas, sendo a base um polígono qualquer, e as outras 
faces, triangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
Numa pirâmide: 
 
● existe apenas 1 base 
● o n° de faces laterais é igual ao n° de lados da base 
● o n° de arestas é o dobro do n° de lados da base 
● o n° de vértices é mais 1 que o n° de lados da base 
 
 
Esfera Cilindro Cone 
Classificação de figuras geométricas 
Face Aresta Vértice 
face (base) vértice 
aresta 
faces (laterais) 
face (base) 
vértice 
aresta 
faces (laterais) 
face (base) 
 
 
 
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▪ Classificação de prismas e pirâmides: 
 
 
 
 
 
 
 
Além das classificações, existe o prisma reto, 
quando ele possui arestas laterais perpendiculares à 
base, e o prisma oblíquo, quando a aresta lateral não 
é perpendicular à base. 
 
 
 
 
 Base Prisma Pirâmide 
 
 
 
 
 
Triângulo 
(3) 
 
Quadrilátero 
(4) 
 
Pentágono 
(5) 
 
Prisma reto 
Heptágono 
(7) 
Octógono 
(8) 
Eneágono 
(9) 
Decágono 
(10) 
Prisma 
triangular 
Prisma 
quadrangular 
Prisma 
pentagonal 
Prisma 
hexagonal 
Hexágono 
(6) 
Prisma 
heptagonal 
Prisma 
octogonal 
Prisma 
eneagonal 
Prisma 
decagonal 
Pirâmide 
triangular 
Pirâmide 
quadrangular 
Pirâmide 
pentagonal 
Pirâmide 
hexagonal 
Pirâmide 
heptagonal 
Pirâmide 
octogonal 
Pirâmide 
eneagonal 
Pirâmide 
decagonal 
 
Você notou que os prismas e 
as pirâmides classificam-se 
pelo polígono da base? 
Prisma oblíquo 
 
 
 
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Assim como os primsmas, temos também a pirâmide 
reta, quando a projeção de seu vértice coincide com 
o ponto que tem a mesma distância dos vértices do 
polígono da base (o centro geométrico do polígono), e 
a pirâmide oblíqua, quando a projeção do vértice não 
coincide com o centro da base. 
 
 
 
 
 
 
Assim como os polígonos, existem poliedros convexos 
e não convexos (ou côncavos): 
▪ Poliedros convexos: Um poliedro é convexo se 
dados quaisquer dois pontos pertencentes a 
superfície desse poliedro, o segmento que tem esses 
pontos como extremidades está inteiramente 
contido no poliedro. 
 
 
 
 
▪ Poliedros não convexos (ou côncavos): 
Um poliedro é não convexo quando não satisfaz as 
condições citadas no convexo. 
 
 
 
 
 
 
Poliedros convexos cujas faces são polígonos 
regulares iguais, cada um com o mesmo número de 
lados e, para todo vértice, converge um mesmo 
número de arestas, e também, todos os ângulos 
poliêdricos têm a mesma medida, são chamados de 
poliedros regulares. Eles também são conhecidos 
como poliedros de Platão. 
Platão buscava explicar a 
criação do Universo a partir 
da geometria e associava 
esses sólidos geométricos a 
elementos da natureza. 
 
Existem apenas cinco poliedros de Platão. Todos 
esses cinco sólidos são poliedros regulares, ou seja, 
possuem arestas e faces congruentes. 
 
 Poliedro Faces Arestas Vértices 
 
 
 
 
 
Pirâmide reta Pirâmide oblíqua 
Poliedros regulares 
428 a. C. − 348 a. C. 
Tetraedro 
regular 
Hexaedro 
regular 
Octaedro 
regular 
Dodecaedro 
regular 
Icosaedro 
regular 
4 faces 
triangulares 
quadrangulares 
6 faces 
8 faces 
triangulares 
12 faces 
pentagonais 
20 faces 
triangulares 
6 4 
12 8 
12 6 
20 30 
30 12 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/geometria-1.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/poliedros-regulares.htm
 
 
 
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A relação de Euler é uma 
fórmula matemática que 
relaciona o número de 
faces, arestas e vértices 
de poliedros convexos. 
Essa relação é dada pela 
seguinte expressão: 
 
 
Onde V é o número de vértices, A é o número de 
arestas e F é o número de faces do poliedro. 
Essa relação é válida para todo poliedro convexo, 
mas existem alguns poliedros não convexos para os 
quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, 
dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso 
significa que para ele vale a relação de Euler), mas 
nem todo poliedro Euleriano é convexo. 
Para verificar a validade da relação de Euler, 
escolheremos dois poliedros convexos e 
contaremos seus elementos. Depois disso, 
verificaremos se o número de vértices, arestas e 
faces realmente satisfazem a relação de Euler. 
Observe: 
» Hexaedro (ou cubo): 
 
 
 
● Faces: 6 
● Arestas: 12 
● Vértices: 8 
 
 
» Pirâmide quadrangular convexa: 
 
 
 
● Faces: 5 
● Arestas: 8 
● Vértices: 5 
 
 
Como os sólidos geométricos são formados pela união 
de figuras planas, nós podemos planificá-los. 
» Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Observe outras planificações: 
 
» Cilindro: 
 
 
 
» Cone: 
 
 
 
 
 
Relação de Euler 
1707 − 1783 
V − A + F = 2 
V − A + F = 2 
8 − 12 + 6 = 2 
− 4 + 6 = 2 
2 = 2 
V − A + F = 2 
5 − 8 + 5 = 2 
− 3 + 5 = 2 
2 = 2 
Planificações 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/elementos-um-poliedro.htm
 
 
 
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» Prisma pentagonal: 
 
 
 
 
 
» Pirâmide pentagonal: 
 
 
 
 
 
 
» Prisma quadrangular: 
 
 
 
 
 
 
» Prisma hexagonal: 
 
 
 
 
 
 
 
» Pirâmide triangular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons estudos!!! 
 
 
 
 
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Cone 
 
 
 
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Cubo ou Hexaedro 
 
 
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Dodecaedro regular 
 
 
 
 
 
 
 
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Icosaedro regular 
 
 
 
 
 
 
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Octaedro regular 
 
 
 
 
 
 
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Paralelepípedo ou bloco retangular 
 
 
 
 
 
 
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Pirâmide de base hexagonal 
cole 
dobre 
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Pirâmide de base pentagonal 
 
 
 
 
 
 
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Pirâmide de base quadrada 
dobre 
cole 
 
 
 
 
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Prisma de base hexagonal 
cole 
dobre 
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Prisma de base pentagonal 
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dobre 
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Prisma de base triangular 
 
cole 
Montado: 
 
 
 
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Tetraedro regular 
dobre 
cole Montado: 
 
 
 
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01. Um sólido geométrico é uma figura que possui: 
a) uma dimensão. 
b) duas dimensões. 
c) três dimensões. 
d) quatro dimensões. 
 
02. Qual é a principal diferença entre poliedros e não 
poliedros? 
______________________________________
______________________________________
______________________________________ 
03. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F 
para as falsas. 
( ) Poliedros são formados por três elementos 
básicos: lado, ângulos e vértices. 
( ) Poliedros são formados por três elementos 
básicos: faces, arestas e vértices. 
( ) Sólidos geométricos podem ser figuras planas 
ou espaciais. 
( ) As figuras geométricas espaciais de acordo com 
suas características se dividem em: corpos redondos 
ou poliedros. 
( ) Pirâmides são poliedros de base poligonal e faces 
quadrangulares. 
( ) Existem poliedros convexos e não convexos. 
04. Quais das figuras abaixo são prismas? E quais são 
pirâmides? 
 
 
 
 
 
05. Observando as figuras da atividade 4, responda: 
a) qual é o nome de cada uma das figuras? 
______________________________________
______________________________________
______________________________________ 
 
b) qual delas tem o maior número de vértices? E o 
menor? 
______________________________________ 
 
06. Observando as figuras B, D e F da atividade 4, 
quantos vértices, quantas faces e quantas arestas 
cada uma apresenta? 
 
07. Relacione a primeira coluna com a segunda coluna: 
A – Poliedros ( ) Cone 
B – Não poliedros ( ) Cubo 
 ( ) Pirâmide 
 ( ) Esfera 
 ( ) Prisma 
 
08. Assinale com um X os poliedros de Platão. 
( ) Tetraedro. 
( ) Cubo. 
( ) Heptaedro. 
( ) Decaedro. 
( ) Dodecaedro. 
( ) Pentadecaedro. 
 
 
 
 
Exercícios de aprendizagem 
 
 
 
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09. O octaedro ao lado possui: 
a) doze pentágonos regulares. 
b) seis triângulos equiláteros. 
c) oito triângulos equiláteros. 
d) oito triângulos equiláteros e um retângulo. 
 
10. O dodecaedro ao lado possui: 
a) doze pentágonos regulares. 
b) seis triângulos equiláteros. 
c) quatro quadrados. 
d) oito triângulos equiláteros. 
e) oito triângulos equiláteros e um retângulo. 
 
11. Observe as figuras e depois responda ao que é 
solicitado. 
 
 
 
 
 
a) Como são chamados esses poliedros? 
______________________________________ 
 
b) Qual deles apresenta a menor quantidade de 
vértices? 
______________________________________ 
 
c) Qual deles apresenta o maior número de faces? 
______________________________________ 
 
d) Qual é o nome de cada um desses poliedros? 
______________________________________
______________________________________
______________________________________ 
 
 
12. Ao montarmos a planificação abaixo, 
encontraremos um: 
a) tetraedro. 
b) hexaedro. 
c) octaedro. 
d) dodecaedro. 
 
13. Ao montarmos a planificação abaixo, 
encontraremos um: 
a) hexaedro 
b) octaedro 
c) dodecaedro 
d) icosaedro 
 
14. O desenho abaixo representa um sólido. 
 
 
 
 
Uma possível planificação desse sólido é: 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. Que sólido é formado a partir da planificação 
abaixo? 
 
 
 
 
 
16. Considere o sólido a seguir aberto a partir do 
vértice E no plano. 
 
 
 
 
Das opções, quais correspondem a possíveis 
planificações para o poliedro? 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
17. Quais dos poliedros a seguir poderiam 
representar a planificação que se segue? 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
 
18. Das figuras a seguir, quais representam 
planificações completas de sólidos geométricos? 
 a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
19. Das planificações a seguir, apenas uma não 
corresponde à planificação de uma pirâmide 
retangular. Qual é? 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
20. Sobre o dado de oito faces planificado na figura, 
qual a soma dos números dasfaces que encostam: 
a) na face que tem o número 1? 
 
b) na face que tem o número 4? 
 
c) na face que tem o número 2? 
21. Se uma pirâmide tem 9 vértices, então: 
a) Quantos lados tem sua base? 
b) Quantas arestas tem essa pirâmide? 
 
22. Observe a planificação de um poliedro e responda 
aos questionamentos. 
 
 
 
a) Quantas faces tem esse poliedro? 
b) Quantas arestas tem esse poliedro? 
c) Quantos vértices tem esse poliedro? 
 
23. Assinale o cubo correspondente à planificação 
abaixo. 
 
 
 
 
a) b) c) 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
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24. Para cada frase, assinale V caso seja verdadeira 
e F caso seja falsa. 
( ) Todo cubo é um prisma. 
( ) Todo bloco retangular é um prisma. 
( ) Todo cubo é um bloco retangular. 
( ) Todo cubo é um prisma triangular. 
( ) Todo prisma é um cubo. 
 
25. Imagine que você está participando de um jogo 
que utiliza dois dados comuns. 
 
 
 
a) O dado comum tem a forma de um poliedro. Que 
nome recebe esse poliedro? 
b) Quantas faces ele possui? 
c) Quantas arestas ele possui? 
d) Quantos vértices ele possui? 
 
26. Nos jogos de RPG, há dados com 6, 8, 10, 12 e 20 
faces. Imagine que você está participando de um jogo 
que utiliza um dado de 20 faces. 
 
 
 
a) Esse dado tem a forma de qual poliedro? 
b) Quantas arestas ele possui? 
c) Quantos vértices ele possui? 
27. (OBMEP – adap.) Para montar um cubo, Guilherme 
recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de 
cinza algumas partes, como na figura. Qual das 
alternativas abaixo representa o cubo construído por 
Guilherme? 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
28. (OBMEP – adap.) As figuras mostram 
planificações de sólidos com faces numeradas. Após 
montados esses sólidos, dizemos que o valor de um 
vértice é a soma dos números escritos nas faces que 
contêm esse vértice. Por exemplo, a figura ao lado 
mostra a planificação de uma pirâmide. Quando essa 
pirâmide é montada, o valor do vértice 
correspondente ao ponto indicado na figura é 
1 + 3 + 4 = 8. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide 
acima? 
 
 
 
 
 
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b) A figura mostra a planificação de um cubo. Qual é 
o valor do vértice correspondente ao ponto indicado? 
 
 
 
 
 
 
c) A figura mostra a planificação de um sólido 
chamado octaedro. Qual é o valor do vértice 
correspondente ao ponto A? 
 
 
 
 
 
 
d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto 
B na planificação do item anterior? 
 
 
29. As imagens abaixo mostram um mesmo cubo em 
3 posições diferentes. 
 
 
 
 
 
 
Qual das seguintes planificações é uma planificação 
do cubo acima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. A figura a seguir é uma planificação utilizada 
para construir um cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentre os cubos a seguir, qual foi construído a partir 
da planificação apresentada? 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
31. (Ufrgs – 2007) A figura a seguir representa um 
prisma reto de base hexagonal regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando as planificações I, II e III, quais delas 
podem ser do prisma? 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas I e II. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
Planificação 1 Planificação 2 
Planificação 3 Planificação 4 
(I) (II) (III) 
 
 
 
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32. Dobrando-se a planificação a seguir, 
reconstruímos o cubo que a originou: 
 
 
 
 
A letra que fica na face oposta à que tem um X é 
a) V 
b) O 
c) B 
d) X 
e) C 
 
33. Sendo um poliedro convexo construído com 36 
arestas e 18 faces, quantos vértices esse poliedro 
terá quando montado? 
 
34. Quantos vértices tem um icosaedro com 20 faces 
e 30 arestas? 
 
35. Complete a tabela abaixo com os valores 
correspondentes. 
 
 Poliedro Vértices Faces Arestas 
Tetraedro 6 
 Hexaedro 8 
 Octaedro 12 
Dodecaedro 20 
 
36. O modelo de bola de futebol foi, inicialmente, um 
poliedro descoberto por Arquimedes, com 12 faces 
pentagonais e 20 faces hexagonais. Com base nessas 
informações, calcule o que se pede. 
 
 
 
 
a) Quantidade de arestas das faces pentagonais: 
b) Quantidade de arestas das faces hexagonais: 
c) Quantidade total de arestas do poliedro: 
d) Quantidade de vértices do poliedro: 
37. (FAAP – SP) Num poliedro convexo, o número de 
arestas excede o número de vértices em 6 unidades. 
Calcule o número de faces. 
 
38. (PUC - RS) Um poliedro convexo tem cinco faces 
triangulares e três pentagonais. O número de arestas 
e o número de vértices deste poliedro são, 
respectivamente: 
 
a) 30 e 40. 
b) 30 e 24. 
c) 30 e 8. 
d) 15 e 25. 
e) 15 e 9. 
 
 
39. (UNITAU) Se dobrarmos convenientemente as 
linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos 
três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: 
 
 
 
 
 
 
 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e 
hexaedro. 
 
 
40. (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces 
triangulares, 4 faces quadrangulares e 5 
pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 
 
a) 25. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 9. 
e) 13. 
 
 
 
 
 
 
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41. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, numa de suas 
explorações, um cristal de rocha no formato de um 
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces 
triangulares. O número de vértices deste cristal é 
igual a: 
 
a) 35. 
b) 34. 
c) 33. 
d) 32. 
e) 31. 
 
42. (PUC - PR) Quantas arestas tem um poliedro 
convexo de faces triangulares em que o número de 
vértices é 3/5 do número de faces? 
 
a) 60 
b) 25 
c) 15 
d) 30 
e) 20 
 
43. (UEL) Em qual das alternativas está a 
planificação do cubo representado? 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
44. (Enem − 2011) A figura seguinte mostra um 
modelo de sombrinha muito usado em países 
orientais. 
 
 
 
 
 
Esta figura é uma representação de uma superfície 
de revolução chamada de 
 
a) pirâmide. 
b) semiesfera. 
c) cilindro. 
d) tronco de cone. 
e) cone. 
 
45. (Enem – 2011) Alguns testes de preferência por 
bebedouros de água foram realizados com bovinos, 
envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e 
tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a 
forma de um tronco de cone circular reto, de altura 
igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 
cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um 
semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de 
comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes 
estão ilustrados na figura. 
 
 
 
 
 
 
Seção Enem 
 
 
 
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Considerando que nenhum dos recipientes tenha 
tampa, qual das figuras a seguir representa uma 
planificação para o bebedouro 3? 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
46. (Enem – 2011) Um técnico em refrigeração 
precisa revisar todos os pontos de saídade ar de um 
escritório com várias salas. 
Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma 
letra é a saída do ar, e os segmentos são as 
tubulações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, 
sem passar mais de uma vez por cada ponto, o 
caminho será passando pelos pontos 
a) K, I e F. 
b) K, J, I, G, L e F. 
c) K, L, G, I, J, H e F. 
d) K, J, H, I, G, L e F. 
e) K, L, G, I, H, J e F. 
 
 
47. (Enem − 2012) Maria quer inovar sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com diferentes 
formatos. Nas imagens apresentadas estão as 
planificações dessas caixas. 
 
 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá 
a partir dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
48. (Enem – 2012) Em uma aula de matemática, a 
professora propôs que os alunos construíssem um 
cubo a partir da planificação em uma folha de papel, 
representada na figura a seguir 
 
 
 
 
 
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa 
face com a letra M. 
As faces paralelas deste cubo são representadas 
pelos pares de letras. 
 
a) E-N, E-M e B-R. 
b) B-N, E-E e M-R. 
 
 
 
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c) E-M, B-N e E-R. 
d) B-E, E-R e M-N. 
e) E-N, B-M e E-R. 
 
 
49. (Enem – 2013) Uma cozinheira, especialista em 
fazer bolos, utiliza uma forma no formato 
representado na figura: 
 
 
 
 
 
Nela identifica-se a representação de duas figuras 
geométricas tridimensionais. 
Essas figuras são 
 
a) um tronco de cone e um cilindro. 
b) um cone e um cilindro. 
c) um tronco de pirâmide e um cilindro. 
d) dois troncos de cone. 
e) dois cilindros. 
 
50. (Enem – 2014) Um sinalizador de trânsito tem o 
formato de um cone circular reto. O sinalizador 
precisa ser revestido externamente com adesivo 
fluorescente, desde sua base (base do cone) até a 
metade de sua altura, para sinalização noturna. O 
responsável pela colocação do adesivo precisa fazer 
o corte do material de maneira que a forma do 
adesivo corresponda exatamente à parte da 
superfície lateral a ser revestida. 
 
Qual deverá ser a forma do adesivo? 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
51. (Enem – 2015) Uma empresa que embala seus 
produtos em caixas de papelão, na forma de 
hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja 
impresso nas faces opostas pintadas de cinza, 
conforme a figura. 
 
 
 
A gráfica que fará as impressões dos logotipos 
apresentou as seguintes sugestões planificadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
52. (Enem – 2015) Uma empresa necessita colorir 
parte de suas embalagens, com formato de caixas 
cúbicas, para que possa colocar produtos diferentes 
em caixas distintas pela cor, utilizando para isso um 
recipiente com tinta, conforme Figura 1. Nesse 
recipiente, mergulhou-se um cubo branco, tal como 
se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo 
que ficou submersa adquiriu a cor da tinta. 
 
 
 
Qual é a planificação desse cubo após subermerso? 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
53. (Enem – 2015) Para o modelo de um troféu foi 
escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos 
vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um 
dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um 
tetraedro de arestas menores do que metade da 
aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é 
pintada usando uma cor distinta das demais faces. 
Com base nas informações, qual é a quantidade de 
cores que serão utilizadas na pintura 
a) 6 
b) 8 
c) 14 
d) 24 
e) 30 
 
54. (Enem – 2016) É comum os artistas plásticos se 
apropriarem de entes matemáticos para produzirem, 
por exemplo, formas e imagens por meio de 
manipulações. Um artista plástico, em uma de suas 
obras, pretende retratar os diversos polígonos 
obtidos pelas intersecções de um plano com uma 
pirâmide regular de base quadrada. 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles 
são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico? 
 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
 
 
 
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d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros 
irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos, apenas. 
 
55. (Enem – 2016) Um lapidador recebeu de um 
joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra 
preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme 
ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro 
cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os 
cantos retirados correspondem a pequenas 
pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos 
segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
 
 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a 
partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos 
números de faces, arestas e vértices são, 
respectivamente, iguais a 
a) 9, 20 e 13. 
b) 3, 24 e 13. 
c) 7, 15 e 12. 
d) 10, 16 e 15. 
e) 11, 16 e 5. 
 
56. (Enem – 2016) Os sólidos de Platão são poliedros 
convexos cujas faces são todas congruentes a um 
único polígono regular, todos os vértices têm o 
mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é 
compartilhada por apenas duas faces. Eles são 
importantes, por exemplo, na classificação das 
formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de 
diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os 
sólidos de Platão respeitam a relação de Euler 
V – A + F = 2, em que V, A e F são os números de 
vértices, arestas e faces do poliedro, 
respectivamente. 
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de 
Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o 
número de vártices e o número de faces? 
a) 2V – 4F = 4 
b) 2V – 2F = 4 
c) 2V – F = 4 
d) 2V + F = 4 
e) 2V + 5F = 4 
 
57. (Enem – 2017) Uma rede hoteleira dispõe de 
cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, 
conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de 
cada uma dessas cabanas está representada na 
Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada 
livre de tecnologia, mas conectada com a natureza 
 
 
 
 
 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas 
estão representadas na Figura 2 é 
 
a) tetraedro. 
b) pirâmide retangular. 
c) tronco de pirâmide retangular. 
d) prisma quadrangular reto. 
e) prisma triangular reto. 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
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58. (Enem – 2017) Para divulgar sua marca, uma 
empresa produziu um porta-canetas de brinde, na 
forma do sólido composto por um cilindro e um tronco 
de cone, como na figura. 
 
 
 
 Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, 
essa empresa encomendará um adesivo na forma 
planificada dessa superfície. 
Que formato terá esse adesivo? 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
59. (Enem – 2019) As luminárias para um laboratório 
de matemática serão fabricadas em forma de sólidos 
geométricos. Uma delas terá a forma de um 
tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de 
secções paralelas a cada uma das faces de um 
tetraedro regular. Para essa luminária, as secções 
serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço 
das arestas seccionadas serão removidas. Uma 
dessassecções está indicada na figura. 
 
 
 
Essa luminária terá por faces 
a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
 
60. (Enem − 2019) No ano de 1751, o matemático 
Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para 
poliedros convexos que relaciona o número de suas 
faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. 
No entanto, na busca dessa demonstração, essa 
relação foi sendo testada em poliedros convexos e 
não convexos. Observou-se que alguns poliedros não 
convexos satisfaziam a relação e outros não. Um 
exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. 
Todas as faces que não podem ser vistas 
diretamente são retangulares. 
 
 
 
 
 
Qual a relação entre os vértices, as faces e as 
arestas do poliedro apresentado na figura? 
a) V + F = A 
b) V + F = A − 1 
c) V + F = A + 1 
d) V + F = A + 2 
e) V + F = A + 3 
 
 
 
 
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61. Qual das planificações a seguir permite a 
montagem deste cubo? 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62. Assinale o cubo correspondente à planificação 
dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
63. Em um poliedro convexo, o número de arestas 
excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule 
o número de faces. 
 
 
64. Sabendo que um poliedro convexo possui 20 
vértices e que em cada vértice se encontram 5 
arestas, determine o número de faces desse 
poliedro. 
 
 
65. O número de faces de um poliedro convexo de 22 
arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o 
número de faces do poliedro? 
 
 
66. Um poliedro convexo tem 18 vértices e 40 
arestas. Quantas faces possui esse poliedro? 
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
 
 
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67. Para cada um dos prismas abaixo, identifique o 
número de vértices V, o número de faces F e o 
número de arestas A. 
 
a) Base triangular: 
 
V = 
F = 
A = 
 
b) Base retangular: 
 
V = 
F = 
A = 
 
c) Base pentagonal: 
 
V = 
F = 
A = 
 
d) Base hexagonal: 
 
V = 
F = 
A = 
 
e) Base heptagonal: 
 
V = 
F = 
A = 
 
f) Base octogonal: 
 
V = 
F = 
A = 
 
 
 
 
 
 
 
68. Arquimedes descobriu um poliedro convexo 
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces 
hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a 
fabricação da bola de futebol que apareceu pela 
primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos 
vértices possui esse poliedro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69. Observe as arestas de um hexaedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quantas arestas partem de cada vértice de um 
hexaedro? 
 
b) Quantos vértices ele tem? 
 
c) Quantas arestas ele tem ao todo? 
 
 
70. Assim como Platão, Arquimedes também 
descobriu e relatou treze diferentes poliedros 
obtidos por meio de algumas junções dos sólidos 
platônicos. Os poliedros de Arquimedes são poliedros 
convexos cujas faces são polígonos regulares de mais 
de um tipo. Agora, seguindo os passos a seguir, 
construam um poliedro de Arquimedes de 4 faces 
hexagonais e 4 faces triangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1°. Utilizem a planificação a seguir como exemplo. 
Vocês podem colocar um papel por cima para copiá-
la, respeitando as abas de colagem, ou mesmo 
reproduzi-la em papel sulfite. 
 
2°. Após copiarem ou desenharem a planificação, 
tracem as arestas do poliedro. 
 
3°. Recortem todo o entorno do poliedro, façam as 
dobras em todas as arestas. 
 
4°. Por fim, passem cola nas abas para montá-lo. 
 
Utilizando o sólido montado, responda às questões a 
seguir: 
 
a) Quantas arestas o sólido tem? 
 
b) Quantos vértices o sólido tem? 
 
c) A relação de Euler pode ser aplicada a ele? 
Justifique sua resposta. 
 
 
71. A imagem a seguir representa uma barra de ouro 
em um formato muito utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
O modelo geométrico utilizado como molde dessa 
barra de ouro é um sólido do tipo 
 
a) prisma reto com base retangular. 
b) prisma reto com base trapezoidal. 
c) prisma oblíquo com base retangular. 
d) tronco de pirâmide reta com base retangular. 
e) tronco de pirâmide reta com base trapezoidal. 
 
72. Uma professora utiliza brinquedos educativos 
para ajudar seus alunos a conpreenderem as formas 
tridimensionais. O brinquedo é constituído de barras 
e esferas imantadas, que, quando agrupadas 
adequadamente, formam “esqueletos” de sólidos 
geométricos. As barras representam as arestas, e as 
esferas representam os vértices, como na imagem a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma aluna dessa professora utilizou 24 barras de 
mesmo tamanho e 14 esferas idênticas para 
construir o esqueleto de um poliedro convexo 
formado apenas por faces triangulares. 
A quantidade de faces heptagonais do poliedro 
produzido pela aluna é igual a 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 9. 
 
73. O processo de truncamento de um cubo consiste 
em dividir cada uma de suas arestas em três partes 
iguais; em seguida, retirar as pirâmides destacadas 
em cada um dos vértices e, desse modo, obter um 
novo tipo de poliedro, conforme as ilustrações a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 2 Passo 3 Passo 1 
 
 
 
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Considere que o mesmo procedimento de 
truncamento foi realizado sobre um octaedro regular 
como o da imagem a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No passo 3, a quantidade de vértices do poliedro 
convexo resultante do truncamento do octaedro 
deve ser 
 
a) 14. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 48. 
 
74. Na figura a seguir, ilustram cortes por planos, 
passando por três de quatro vértices pré-fixados de 
um cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após os cortes, sobra um sólido que está destacado 
na figura. O nome desse sólido é 
 
a) tetraedro. 
b) hexaedro. 
c) pentágono. 
d) octaedro. 
e) dodecaedro. 
 
75. Uma famosa marca de chocolates vende seus 
produtos em embalagens como a que se segue 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa embalagem é um sólido geométrico conhecido 
como 
 
a) tronco de pirâmide. 
b) prisma hexagonal. 
c) prisma triangular. 
d) tronco de cone. 
e) cilindro. 
 
 
76. Cada vez mais comuns nas paisagens rurais do 
país, silos são grandes estruturas metálicas usadas 
para armazenar grãos, evitando que estraguem e 
permitindo que vendedores ganhem tempo para 
negociá-los. 
A figura apresenta um dos diversos tipos de silos que 
podem ser utilizados em fazendas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os sólidos geométricos aos quais o topo e o tronco 
dos silos na figura se assemelham são, 
respectivamente, 
 
 
 
 
 
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a) cone e cilindro. 
b) esfera e prisma. 
c) semiesfera e prisma. 
d) semiesfera e cilindro. 
e) cone e tronco de cone. 
 
 
77. uma editora de livros de História deseja realizar 
a reformulação de seu logotipo e, para isso, 
contratou uma empresa de designer gráfico. A 
empresa contratada enviou um projeto de logotipo no 
formato de uma clepsidra, conforme ilustra a figura 
a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O formato do projeto do logotipo enviado pela 
empresa objetiva remeter ao formato das 
ampulhetas de areia, um dos objetos mais antigos 
utilizadospara medir o tempo. 
A clepsidra é uma figura espacial composta por 
 
a) duas pirâmides retas. 
b) dois cones retos. 
c) um cilindro reto. 
d) duas semiesferas. 
e) um tronco de cone reto. 
 
78. O sólido geométrico apresentado a seguir foi 
construído pela justaposição de dois poliedros 
convexos: uma pirâmide regular e um tronco de 
pirâmide regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acerca das faces que compõem esse sólido, é possível 
identificar 
 
a) 4 triângulos, 2 quadrados e 4 trapézios isósceles. 
b) 4 triângulos, 1 quadrado e 4 retângulos. 
c) 4 triângulos, 1 quadrado e 4 trapézios isósceles. 
d) 4 triângulos, 2 quadrados e 4 retângulos. 
e) 4 triângulos, 3 quadrados e 4 trapézios isóscels. 
 
 
79. Observe a caixa representada abaixo: 
 
 
 
 
 
Uma planificação dessa caixa é: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
80. (Enem – 2011) Uma indústria fabrica brindes 
promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é 
obtida a partir de quatro cortes em um sólido que 
tem a forma de um cubo. No esquema, estão 
indicados o sólido origianl (cubo) e a pirâmide obtida 
a partir dele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são 
os mesmos. O ponto O é central na face superior do 
cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às 
arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os 
cortes, são descartados quatro sólidos. 
Os formatos dos sólidos descartados são 
a) todos iguais. 
b) todos diferentes. 
c) três iguais e um diferente. 
d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
81. Sandra está preparando algumas embalagens para 
dar de lembrancinha em seu aniversário. Veja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sandra desmontou uma das embalagens. Marque a 
imagem que representa a embalagem desmontada. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82. Miguel foi a uma padaria e comprou um pedaço de 
bolo. Como ele iria comer o bolo em casa a atendente 
colocou o pedaço na embalagem abaixo. Veja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao chegar em casa, a irmã de Miguel, Ana, disse que 
a embalagem tinha formato de uma pirâmide. A partir 
dessa situação marque a frase correta. 
( ) Ana está certa pois a embalagem lembra uma 
pirâmide. 
( ) Ana está errada pois a embalagem lembra um 
cubo. 
( ) Ana está certa pois a embalagem tem todos os 
lados em formato de triângulo. 
( ) Ana está errada pois a embalagem lembra um 
prisma. 
83. (Enem – 2017) 0 hábito cristalino é um termo 
utilizado por mineralogistas para descrever a 
aparência típica de um cristal em termos de tamanho 
e forma. A granada é um mineral cujo hábito 
cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 
vértices. Um mineralogista construiu um modelo 
ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos 
polígonos correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de 
granada é convexo, então a quantidade de faces 
utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse 
cristal é igual a 
1. a) 10. 
2. b) 12. 
3. c) 25. 
4. d) 42. 
e) 50. 
 
 
 
 
 
 
 
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84. (UEPG) Dois poliedros regulares são construídos 
utilizando folhas de cartolina. Um desses poliedros 
tem faces pentagonais e o outro tem faces 
triangulares. Se a soma de todas as faces desses 
poliedros é 20, assinale o que for correto. 
 
01) A soma dos ângulos de todas as faces do poliedro 
que tem faces pentagonais é 6480. 
 
02) O poliedro com faces triangulares tem 8 vértices 
a menos que o outro. 
 
04) Os dois poliedros têm o mesmo número de 
arestas. 
 
08) A soma de todas as arestas desses poliedros é 
maior que 40 
 
Soma: _______ 
 
85. (UFJF) Observe, abaixo, uma imagem desse vírus 
que tem a forma de um sólido geométrico. 
 
 
 
 
 
 
Qual é a planificação do sólido representado por 
esse vírus? 
a) 
 
 
 
b) c) 
 
 
d) e) 
 
 
 
86. (UERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais 
cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se 
os dodecaedros estão justapostos por uma de suas 
faces, que coincidem perfeitamente, formam um 
poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. 
Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. A soma V F A + + 
é igual a: 
 
 
 
 
 
 
a) 102 
b) 106 
c) 110 
d) 112 
 
87. (UECE) Um poliedro convexo com 32 vértices 
possui apenas faces triangulares. O número de 
arestas deste poliedro é 
 
a) 100. 
b) 120. 
c) 90. 
d) 80. 
 
 
 
 
 
 
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88. (UEL) 
Leia o texto a seguir. 
Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim 
ou argila. Há evidências da existência deles no 
Paquistão, Afeganistão e noroeste da Índia, datando 
de 3500 a.C. Os dados cúbicos de argila continham 
de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira que a soma 
dos pontos de cada par de faces opostas é sete. 
Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. 
Delhi, Índia. Atualmente, além dos dados em forma 
de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários 
formatos, inclusive esféricos, como mostram as 
figuras a seguir 
 
 
 
Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado 
mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado 
cúbico. Isso acontece porque no interior da esfera 
existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual 
existe um peso (um chumbinho) que se aloja em um 
dos vértices do octaedro. 
 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, 
a propriedade dos poliedros regulares que justifica o 
fato de a cavidade no interior da esfera ser 
octaédrica. 
a) O número de vértices do octaedro é igual ao 
número de faces do hexaedro. 
b) O número de vértices do octaedro é diferente do 
número de faces do hexaedro. 
c) O número de arestas do octaedro é igual ao 
número de arestas do hexaedro. 
d) O número de faces do octaedro é igual ao número 
de vértices do hexaedro. e) O número de faces do 
octaedro é diferente do número de vértices do 
hexaedro. 
89. (UEMA) A bola de futebol evoluiu ao longo do 
tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado, 
formado por 32 peças, denominadas de gomos e, 
geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são 
pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, 
também regulares. Os lados dos pentágonos e dos 
hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os 
dois lados costurados das faces, formam-se as 
arestas. O encontro das arestas formam os vértices. 
Quando cheio, o poliedro é similar a uma esfera. 
 
 
 
 
O número de arestas e o número de vértices 
existentes nessa bola de futebol são, 
respectivamente, 
(Pode ser utilizado a Relação de Euler, 
A + 2 = V + F) 
a) 80 e 60 
b) 80 e 50 
c) 70 e 40 
d) 90 e 60 
e) 90 e 50 
 
 
 
 
 
 
 
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90. Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 
hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices 
deste polígono 
a) 90. 
b) 72. 
c) 60. 
d) 56. 
 
91. (IFSP) A figura mostra uma peça feita em 1587 
por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu 
Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem 
a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de 
suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo 
diferente de relógio. 
 
 
 
 
 
 
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) 
descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: 
em todo poliedro convexo com V vértices,A arestas 
e F faces, vale a relação V − A + F = 2 Ao se aplicar 
a relação de Euler no poliedro da figura, o número de 
arestas não visíveis é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 16. 
e) 18. 
 
 
 
92. (Insper) De cada vértice de um prisma hexagonal 
regular foi retirado um tetraedro, como 
exemplificado para um dos vértices do prisma 
desenhado a seguir. 
 
 
 
O plano que definiu cada corte feito para retirar os 
tetraedros passa pelos pontos médios das três 
arestas que concorrem num mesmo vértice do 
prisma. O número de faces do poliedro obtido depois 
de terem sido retirados todos os tetraedros é 
a) 24. 
b) 20. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 12. 
 
93. (UPE) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, 
todas triangulares. Nestas condições, assumindo que 
tal poliedro exista, o número esperado de vértices 
para este será 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
e) 6 
 
94. (UFC) O número de faces de um poliedro convexo 
com 20 vértices e com todas as faces triangulares é 
igual a: 
a) 28 
b) 30 
c) 32 
d) 34 
e) 36 
 
 
 
 
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95. (UFRGS) As figuras a seguir representam um 
octaedro regular e uma de suas planificações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, 
respectivamente, os pontos a, b, e, f da planificação. 
Ao vértice D do octaedro correspondem, na 
planificação, os pontos 
a) m, n, p. 
b) n, p, q. 
c) p, q, r. 
d) q, r, s. 
e) r, s, m. 
 
96. O colar elizabetano, ou isabelino, é um objeto, 
geralmente de plástico, utilizado no pós-operatório 
veterinário para restringir movimentos indesejados 
dos animais. O tutor de um cachorro que necessita 
desse cuidado decidiu construir esse equipamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A planificação que melhor representa aquele usado 
pelo tutor do cachorro é 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
97. A festa junina é um dos eventos mais aguardados 
do ano pelos brasileiros. Um dos enfeites 
tradicionais são os balões, conforme ver na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sabendo que cada balão da figura possui 9 vértices, 
podemos afirmar que ele é composto de: 
 
a) um octaedro 
b) dois cones 
c) duas pirâmides de base hexagonal 
d) duas pirâmides de base heptagonal 
e) duas pirâmides de base octogonal 
 
98. O gerente de uma empresa decidiu fazer um 
sorteio entre seus funcionários e, para isso, usou 
como urna uma caixa cúbica com faces opostas de 
cores diferentes, entre branca ou cinza, e fez uma 
secção pelos pontos médios de três arestas dessa 
caixa, conforme ilustração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura que representa corretamente a planificação 
da caixa após a secção é 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
99. 
Obelisco 
 
Está no centro da Praça da República, no cruzamento 
de duas das mais importantes avenidas de Buenos 
Aires, no miolo do microcentro. Inaugurado em 1936, 
é um monumento em comemoração aos 100 anos de 
Buenos Aires. 
Disponível em: https://www.buenasdicas.com. Acesso em: 2 jan. 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um estudante, desejando fazer uma maquete do 
obelisco, cortou chapas de madeira para serem 
coladas. Sabendo que a parte do monumento não 
visível na foto é simétrica à visível, as chapas 
cortadas por esse estudante devem ter a forma de 
 
a) oito trapézios. 
b) quatro triângulos. 
c) quatro trapézios e quatro triângulos. 
d) quatro retângulos e quatro triângulos. 
e) quatro paralelogramos e quatro triângulos 
 
 
 
 
 
 
 
100. Uma indústria fabrica sólidos de plástico para fornecimento de matéria-prima para uma diversidade de 
usinas. A partir de um cubo ABCDEFGH, efetua secções no sólido, fornecendo três peças distintas para seus 
clientes. Na sequência de imagens são apresentados a peça cúbica e os cortes realizados sobre ela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após aplicar as duas secções, serão formados 
 
a) duas pirâmides de base quadrangular e um tetraedro. 
b) um prisma triangular e duas pirâmides quadrangulares. 
c) dois prismas triangulares e uma pirâmide quadrangular. 
d) um prisma triangular, uma pirâmide quadrangular e um tetraedro. 
e) um tetraedro, uma pirâmide quadrangular e um prisma de base quadrangular. 
 
 
 
 
 
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101. (Enem – 2014) Um lojista adquiriu novas 
embalagens para presentes que serão distribuídas 
aos seus clientes. As embalagens foram entregues 
para serem montadas e têm forma dada pela figura. 
 
 
 
 
 
Após montadas, as embalagens formarão um sólido 
com quantas arestas? 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
102. Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo 
que comporá o ambiente decorativo de uma sala de 
aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, 
retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um 
quadrilátero, com os lados de mesma medida e 
ângulos retos. 
Qual das figuras representa o formato de um cesto 
que possui as características estabelecidas? 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
103. Um estudante, folheando um livro de 
matemática, encontrou em uma das páginas as 
figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na mesma página havia um texto que dizia: “A figura 
1 é a planificação de um sólido 1 e a figura 2 é a 
superfície lateral de um sólido 2”. 
Sabendo que, na figura 1, os triângulos PQR, APQ, 
BPR e CQR são equiláteros e a figura 2 é um 
semicírculo de diâmetro AB, os sólidos 1 e 2 são, 
respectivamente: 
 
a) um icosaedro e um cone. 
b) um tetraedro e um tronco de cone. 
c) um tetraedro regular e um cone equilátero. 
d) uma pirâmide qualquer e uma esfera. 
e) uma pirâmide não regular e um cone não equilátero. 
 
 
 
 
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104. (Ufrgs − 2013) Considere as seguintes 
proposições de modelos de planificação de um cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre essas proposições de modelos de 
planificação, quais podem resultar em um cubo? 
 
a) I, II e V. 
b) III, IV e V. 
c) II, III e IV. 
d) II, IV e V. 
e) I, III e V. 
 
105. (OBMEP) Em um dos lados de uma folha de papel 
grosso, Pedro desenhou a figura ao lado. Depois, 
recortou-a e montou uma torre em miniatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das cinco imagens abaixo, quais podem representar a 
torre montada por Pedro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Imagens 1, 3 e 5 
b) Imagens 1, 4 e 5 
c) Imagens 1, 2 e 3 
d) Imagens 2, 3 e 4 
e) Imagens 3, 4 e 5 
 
106. (OBMEP) Um cubo foi montado a partir da 
planificação mostrada na figura. Qual é o produto 
dos números das faces desse cubo que têm uma 
aresta comum com a face de numero 1? 
 
a) 120 
b) 144 
c) 180 
d) 200 
e) 240 
 
107. (OBMEP) A soma dos números das faces opostas 
de um dado é sempre 7. O dado da figura é girado 
sucessivamente sobre o caminho indicado até parar 
na última posição, destacada em cinza. Nessa 
posição, qual é o número que está na face superior do 
dado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após o primeiro giro: 
 
 
 
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a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
108. (Enem – 2019) Uma formiga encontra-se no 
ponto X, no lado externo de um copo que tem a forma 
de um cilindro reto. No lado interno, no ponto V, 
existeum grão de açúcar preso na parede do copo. A 
formiga segue o caminho XYZWV (sempre sobre a 
superfície lateral do copo), de tal forma que os 
trechos ZW e WV são realizados na superfície 
interna do copo. O caminho XYZWV é mostrado na 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que: os pontos X, V, W se encontram à 
mesma distância da borda; o trajeto WV é o mais 
curto possível; os trajetos XY e ZW são 
perpendiculares à borda do copo; e os pontos X e V 
se encontram diametralmente opostos. 
Supondo que o copo é de material recortável, realiza-
se um corte pelo segmento unindo P a Q, 
perpendicular à borda do copo, e recorta-se também 
sua base, obtendo então uma figura plana. 
Desconsidere a espessura do copo. Considerando 
apenas a planificação da superfície lateral do copo, a 
trajetória da formiga é 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Bons estudos!!!