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Equação da condução de calor 124 � Introdução � Condução de calor � Transferência de energia térmica de partículas mais energéticas de um meio para partículas adjacentes menos energéticas. � Pode ocorrer em líquidos, gases e sólidos � não pode haver movimento macroscópico das partículas Equação da condução de calor 125 � Introdução � Transferência de calor e temperatura � intimamente relacionadas � Transferência de calor � Magnitude e direção � Vetor � Temperatura � Magnitude Equação da condução de calor 126 � Introdução � Transferência de calor e temperatura � Ex: � Temperatura na superfície interna de uma parede � 18°C � Descreve completamente a temperatura naquele local � Fluxo de calor na superfície interna de uma parede � 50 W/m2 � “Em qual direção?” � Para dentro (ganho de energia) ou para fora (perda de energia) Equação da condução de calor 127 � Introdução � Sistema de coordenadas � Indica a direção com os sinais + ou – � Convenção � O fluxo de calor na direção positiva de um eixo coordenada é positivo e na direção contrária é negativo. � Valor positivo � transferência de calor na direção positiva � Valor negativo � transferência de calor na direção negativa Equação da condução de calor 128 � Introdução � Força motriz da transferência de calor � diferença de temperatura � Quanto maior for a diferença de temperatura, maior será a taxa de transferência de calor � Problemas de engenharia (transferência de calor) � Determinação da distribuição de temperatura (variação de temperatura) em todo meio com a finalidade de calcular algumas quantidades como taxa de transferência de calor local, expansão térmica, tensão térmica em pontos críticos em tempos específicos. Equação da condução de calor 129 � Introdução � A especificação da temperatura de um ponto em um meio requer primeiro a especificação da localização daquele ponto. � Escolha de um sistema de coordenadas adequado: retangular, cilíndrico ou esférico � Depende da geometria e do ponto de referência (origem) Equação da condução de calor 130 � Introdução � Localização de um ponto: � Coordenadas retangulares� (x, y, z) � No tempo t: � T(x, y, z, t) � T(x, y, z, t) X T(x) Equação da condução de calor 131 � Introdução � Localização de um ponto: � Coordenadas retangulares� (x, y, z) Equação da condução de calor 132 � Introdução � Localização de um ponto: � Coordenadas cilíndricas� (r,Φ, z) Equação da condução de calor 133 � Introdução � Localização de um ponto: � Coordenadas esféricas� (r,Φ, θ) Equação da condução de calor 134 � Introdução � O melhor sistema de coordenadas para uma determinada geometria é aquele que melhor descreve a superfície da geometria. � Ex: � Paralelepípedo� coordenada retangular � Cilindro� coordenada cilíndrica � Corpo esférico� coordenada esférica � Geometria arbitrária� coordenada retangular Equação da condução de calor 135 � Transferência de calor estacionário e transiente � Estacionário� regime permanente � Nenhuma mudança com o tempo em qualquer ponto no meio. � Transiente� regime não permanente � Variação com o tempo. Equação da condução de calor 136 � Transferência de calor estacionário e transiente � Transferência de calor � Regime permanente x regime não permanente Equação da condução de calor 137 � Transferência de calor multidimensional � Classificação da transferência de calor � Unidimensional � Bidimensional � Tridimensional � Dependendo da magnitude relativa da taxa de transferência de calor nas diferentes direções � Caso geral � Transferência de calor� tridimensional Equação da condução de calor 138 � Transferência de calor multidimensional � Caso geral � A temperatura varia nas três direções primárias no meio durante o processo de transferência de calor. � A distribuição de temperatura por todo o meio em um tempo específico, assim como, a taxa de transferência de calor em qualquer local podem ser descritas por um conjunto de três coordenadas: � x, y, z� sistema de coordenadas retangular (ou Cartesiano) � r,Φ, z� sistema de coordenadas cilíndrico � r,Φ, θ� sistema de coordenadas esférico (ou polar) Equação da condução de calor 139 � Transferência de calor multidimensional � Caso geral � Distribuição de temperatura � T(x, y, z, t) � T(r,Φ, z , t) � T(r,Φ, θ, t) Equação da condução de calor 140 � Transferência de calor multidimensional � Casos especiais � Variação de temperatura no meio � duas direções � Variação de temperatura e transferência de calor na terceira direção � desprezível � Transferência de calor bidimensional Equação da condução de calor 141 � Transferência de calor multidimensional � Casos especiais � Variação de temperatura no meio � uma direção � Variação de temperatura e transferência de calor na segunda e terceira direções � desprezível � Transferência de calor unidimensional Equação da condução de calor 142 � Transferência de calor multidimensional � Lei de Fourier da condução de calor unidimensional � k� condutividade térmica � dT/dx� gradiente de temperatura ( )W dx dTAkQcond ⋅⋅−=& Equação da condução de calor 143 � Transferência de calor multidimensional � Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor � Distribuição de temperatura no meio � tridimensional � Figura � superfície isotérmica no meio � O vetor do fluxo de calor em um ponto P na superfície deve ser perpendicular à superfície e deve apontar na direção da redução de temperatura Equação da condução de calor 144 � Transferência de calor multidimensional � Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor � Se n é o vetor normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa de condução de calor naquele ponto pode ser expressa pela Lei de Fourier como: ( )W n TAkQn ∂ ∂ ⋅⋅−= & Equação da condução de calor 145 � Transferência de calor multidimensional � Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor � Em coordenadas retangulares, o vetor de condução de calor pode ser expresso em termos de seus componentes: unitários vetoresk ,j ,i →rrr kQjQiQQ zyxn r & r & r && ++= → -z e -y x-,direções nas calor de ciatransferên de taxada eintensidad Q,Q,Q zyx →&&& z TAkQ y TAkQ x TAkQ zzyyxx ∂ ∂ ⋅⋅−= ∂ ∂ ⋅⋅−= ∂ ∂ ⋅⋅−= &&& Equação da condução de calor 146 � Transferência de calor multidimensional � Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor � Análise de transferência de calor � materiais � isotrópico � Propriedades uniformes em todas as direções � Materiais � anisotrópicos � Materiais fibrosos ou compostos � Propriedades podem variar com a direção Equação da condução de calor 147 � Geração de calor � Um meio através do qual calor é conduzido pode envolver a conversão de energia elétrica, nuclear ou química em energia térmica (calor). � Análise de condução de calor� geração de calor � Ex: � A temperatura de um fio de resistência aumenta rapidamente quando uma corrente elétrica passa através dele, como resultado da energia elétrica ser convertida em calor a uma taxa de I2R (I, corrente elétrica e R, resistência) Equação da condução de calor 148 � Geração de calor � Ex: � Geração de calor em componentes eletrônicos � resfriamento eletrônico � Reator nuclear � uma grande quantidade de calor é gerada como resultado da fissão nuclear que serve como uma fonte de calor. � Lixo nuclear� a desintegraçãonatural de elementos radioativos também resulta na geração de calor. � Sol � o calor gerado como resultado da fusão do hidrogênio em hélio faz do sol o maior reator nuclear que fornece calor para a Terra. Equação da condução de calor 149 � Geração de calor � Ex: � Reações químicas exotérmicas� fonte de geração de calor � Reações químicas endotérmicas� calor é absorvido ao invés de liberado � Reações químicas endotérmicas� dissipador de calor Equação da condução de calor 150 � Geração de calor � Modelamento da absorção de radiação (solar ou gama) como geração de calor quando estes raios penetram profundamente no corpo enquanto são absorvidos gradualmente. � Absorção de energia solar por um corpo opaco ocorre a uma distância muito pequena da superfície. � A energia solar que penetra no meio neste caso, pode ser tratada como um fluxo de calor específico na superfície. Equação da condução de calor 151 � Geração de calor � Geração de calor � fenômeno volumétrico � Ocorre através do volume do meio � Taxa de geração de calor � Especificada por unidade de volume � � Pode variar com o tempo e com a posição no meio. g& ⋅ 33 fth Btu ou m W Equação da condução de calor 152 � Geração de calor � Taxa de geração de calor � Variação da geração de calor em relação à posição conhecida � a taxa total de geração de calor no meio de volume V é determinada através: � Caso especial � Geração de calor uniforme ∫ ⋅= V dVgG && VgG ⋅= && volumede unidadepor calor de geração de constante Taxag→& Equação da condução de calor 153 � Geração de calor � Exemplo 9 � Com a finalidade de dimensionar o compressor de um novo refrigerador, é desejado determinar a taxa de transferência de calor do ar da cozinha para o espaço refrigerado através das paredes, porta e a seção do topo e do fundo do refrigerador. Em sua análise, você trataria este problema como uma transferência de calor em regime permanente ou em regime não permanente? Também, você consideraria a taxa de transferência de calor como unidimensional ou multidimensional? Explique. Equação da condução de calor 154 � Geração de calor � Exemplo 9 � O processo de transferência de calor do ar da cozinha para o espaço refrigerado é transiente (não permanente) já que as condições térmicas na cozinha e no refrigerador, em geral, mudam com o tempo. � Entretanto, este problema pode ser analisado como um problema de transferência de calor em regime permanente sob as piores condições previstas. � Menor ajuste do termostato no refrigerador e maior temperatura na cozinha Equação da condução de calor 155 � Geração de calor � Exemplo 9 � Se o compressor é grande o suficiente para manter o espaço refrigerado na temperatura desejada sob as piores condições previstas, então ele é grande o suficiente para manter a temperatura em todas as outras condições. � A transferência de calor para o espaço refrigerado é tridimensional já que calor estará entrando através de todos os seis lados do refrigerador. Equação da condução de calor 156 � Geração de calor � Exemplo 9 � Entretanto, a transferência de calor através de qualquer face acontece na direção normal à superfície e, assim, pode ser analisada como sendo unidimensional. � Portanto, este problema pode ser simplificado imensamente pela consideração da transferência de calor ser unidimensional nas seis faces do refrigerador e depois pela soma dos valores calculados da transferência de calor em cada superfície. Equação da condução de calor 157 � Geração de calor � Exemplo 10 � Um fio de resistência de um secador de cabelo de 1200 W tem 80 cm de comprimento e um diâmetro de 0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor no fio por unidade de volume (W/cm3) e o fluxo de calor para fora da superfície do fio como resultado da geração de calor. Equação da condução de calor 158 � Geração de calor � Exemplo 10 � Taxa de geração de calor fioV Gg & & = ( ) L4Dπ Gg 2 ⋅ ⋅ =→ & & ( ) ( )cm 804cm 0,3π W1200g 2 ⋅ ⋅ =& 3cm W212g =→ & Equação da condução de calor 159 � Geração de calor � Exemplo 10 � Fluxo de calor fioA Gq & & = LD Gq ⋅⋅ =→ pi & & ( ) ( )cm 80cm 0,3π W1200q ⋅⋅ =& 2cm W9,51q =→ & Equação da condução de calor 160 � Equação da condução de calor unidimensional � Considere a condução de calor através de uma parede plana grande como: � A parede de uma casa, � O vidro de uma janela simples, � A placa de metal na base de um ferro de passar roupas, � Uma tubulação de vapor de ferro, � Um elemento cilíndrico de combustível nuclear, � Um fio de resistência elétrica, � A parede de um recipiente esférico ou � Uma esfera de metal sendo temperada ou resfriada. � A condução de calor nestas e em muitas outras geometrias pode ser aproximada como sendo unidimensional já que a condução de calor através destas geometrias será dominante em uma direção e desprezível nas outras direções. Equação da condução de calor 161 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Considere um elemento fino de espessura ∆x em uma parede plana grande: � Massa específica da parede � ρ � Calor específico � C � Área normal à transferência de calor �A Equação da condução de calor 162 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Balanço de energia no elemento durante um pequeno intervalo de tempo ∆t: = + + − elemento do energia de variação de Taxa elemento do dentrocalor de geração de Taxa ∆x xemcalor de condução de Taxa xemcalor de condução de Taxa ∆t ∆EGQQ elementoelemento∆xxx =+− + &&& Equação da condução de calor 163 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � A variação de energia no elemento e a taxa de geração de calor podem ser expressas como: ( ) ( )t∆ttt∆ttt∆ttelemento TTC∆xAρTTCmEE∆E −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=−= +++ ∆xAgVgG elementoelemento ⋅⋅=⋅= &&& Equação da condução de calor 164 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Substituindo na equação do balanço de energia � E dividindo por A.∆x ∆t ∆EGQQ elementoelemento∆xxx =+− + &&& ( ) ∆t TTC∆xAρ∆xAgQQ t∆tt∆xxx − ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+− ++ &&& ( ) ∆t TTCρg ∆x QQ A 1 t∆ttx∆xx − ⋅⋅=+ − ⋅− ++ & && Equação da condução de calor 165 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Tomando os limites como ∆x� 0 e ∆t � 0: � Da definição de derivada e da lei de Fourier de condução de calor: t TCρg x TAk xA 1 ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & ∂ ∂ ⋅⋅− ∂ ∂ = ∂ ∂ = −+ → x TAk xx Q ∆x QQlim x∆xx 0∆x &&& Equação da condução de calor 166 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Parede plana � área (A) constante � Condutividade variável � Condutividade térmica do material � depende da temperatura (T) e consequentemente de x � não pode sair da derivada t TCρgx Tk x ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ & Equação da condução de calor 167 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Entretanto, a condutividade térmica do material na maioria das aplicações práticas pode ser suposta constante com um valor médio � Condutividade constante t T α 1 k g x T 2 2 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ & térmicadedifusivida Cρ k α → ⋅ = Equação da condução de calor 168 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor através de uma parede plana grande � Condições específicas � Regime permanente � Transiente e sem geração de calor � Regime permanente e sem geração de calor 0 k g dx Td 2 2 =+ & = ∂ ∂ 0 t ( )0g =& t T α 1 x T 2 2 ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ t T α 1 k g x T 2 2 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ & == ∂ ∂ 0g e 0 t & 0 dx Td 2 2 = Equação da condução de calor 169 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Considere um elemento cilíndrico fino de espessura ∆r em um cilindro longo: � Massa específica da parede � ρ � Calor específico � C � Comprimento � L � Área do cilindro normal à direção de transferência de calor em qualquer ponto: Lrπ2A ⋅⋅⋅= Equação da condução de calor 170 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Balanço de energia no elemento durante um pequeno intervalo de tempo ∆t: = + + − elemento do energia de variação de Taxa elemento do dentrocalor de geração de Taxa ∆rr emcalor de condução de Taxa r emcalor de condução de Taxa ∆t ∆EGQQ elementoelemento∆rrr =+− + &&& Equação da condução de calor 171 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � A variação de energia no elemento e a taxa de geração de calor podem ser expressas como: ( ) ( )t∆ttt∆ttt∆ttelemento TTC∆rAρTTCmEE∆E −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=−= +++ ∆rAgVgG elementoelemento ⋅⋅=⋅= &&& Equação da condução de calor 172 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Substituindo na equação do balanço de energia � E dividindo por A.∆r ∆t ∆EGQQ elementoelemento∆rrr =+− + &&& ( ) ∆t TTC∆rAρ∆rAgQQ t∆tt∆rrr − ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+− ++ & && ( ) ∆t TTCρg ∆r QQ A 1 t∆ttr∆rr − ⋅⋅=+ − ⋅− ++ & && Lrπ2A ⋅⋅⋅= Equação da condução de calor 173 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Tomando os limites como ∆r� 0 e ∆t � 0: � Da definição de derivada e da lei de Fourier de condução de calor: t TCρg r TAk rA 1 ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & ∂ ∂ ⋅⋅− ∂ ∂ = ∂ ∂ = −+ → r TAk rr Q ∆r QQlim r∆rr 0∆x &&& Equação da condução de calor 174 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Cilindro � Condutividade variável � Condutividade térmica do material � depende da temperatura (T) e consequentemente de x � não pode sair da derivada t TCρg r Tkr rr 1 ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & Equação da condução de calor 175 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Entretanto, a condutividade térmica do material na maioria das aplicações práticas pode ser suposta constante com um valor médio � Condutividade constante t T α 1 k g r T r rr 1 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ ∂ ∂ & térmicadedifusivida Cρ k α → ⋅ = Equação da condução de calor 176 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em um cilindro longo � Condições específicas � Regime permanente � Transiente e sem geração de calor � Regime permanente e sem geração de calor = ∂ ∂ 0 t ( )0g =& == ∂ ∂ 0g e 0 t & t T α 1 k g r T r rr 1 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ ∂ ∂ & 0 k g dr dT r dr d r 1 =+ & t T α 1 r T r rr 1 ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ 0 dr dT r dr d = Equação da condução de calor 177 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em uma esfera � Considere uma esfera: � Massa específica da parede � ρ � Calor específico � C � Raio externo � R � Área da esfera normal à direção de transferência de calor em qualquer ponto: 2rπ4A ⋅⋅= Equação da condução de calor 178 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em uma esfera � Considerando um elemento esférico fino de espessura ∆r e área A = 4πr2, a equação da condução de calor unidimensional é: � Condutividade variável � Condutividade constante t TCρg r Tkr rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & t T α 1 k g r T r rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ & térmicadedifusivida Cρ k α → ⋅ = Equação da condução de calor 179 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor em uma esfera � Condições específicas � Regime permanente � Transiente e sem geração de calor � Regime permanente e sem geração de calor = ∂ ∂ 0 t ( )0g =& == ∂ ∂ 0g e 0 t & t T α 1 k g r T r rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ & 0 k g dr dT r dr d r 1 2 2 =+ ⋅ & t T α 1 r T r rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ 0 dr dT2 dr Td rou 0 dr dT r dr d 2 2 2 =+= ⋅ Equação da condução de calor 180 � Equação da condução de calor unidimensional � Equação da condução de calor unidimensional combinada t TCρg r Tkr rr 1 n n ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & esfera2n cilindro1n plana parede0n →= →= →= Equação da condução de calor 181 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 11 � Considere uma panela de aço colocada em cima de um fogão elétrico para cozinhar espaguete. A seção inferior da panela tem espessura de L = 0,4 cm e tem um diâmetro de d = 18 cm. A unidade de aquecimento elétrico na parte superior consome 800 W de potência durante o cozimento, e 80% do calor gerado no elemento de aquecimento é transferido uniformemente para a panela. Assumindo que a condutividade térmica é constante, obtenha a equação diferencial que descreve a variação da temperatura na seção do fundo do recipiente durante o seu funcionamento em regime permanente. Equação da condução de calor 182 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 11 � A seção de fundo do recipiente tem uma grande área superficial em relação à sua espessura e pode ser aproximada como uma grande parede plana. � O fluxo de calor é aplicado à superfície do fundo da panela de modo uniforme,e as condições na superfície interna também são uniformes. � Portanto, espera-se que a transferência de calor através da seção do fundo da panela seja a partir da superfície inferior em direção ao topo, e a transferência de calor, neste caso, pode ser razoavelmente aproximada como sendo unidimensional. Equação da condução de calor 183 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 11 � Tomando a direção normal à superfície de fundo da panela como coordenada x, tem-se T = T(x) durante a operação em regime permanente, uma vez que a temperatura neste caso dependerá apenas de x. � A condutividade térmica é constante, e não há geração de calor no meio (na secção inferior da panela). � Portanto, a equação diferencial que regula a variação de temperatura na seção de fundo do recipiente, neste caso, é simplesmente: 0 dx Td 2 2 = t T α 1 k g x T 2 2 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ & Equação da condução de calor 184 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 12 � Um fio de resistência de aquecimento de 2kW, com a condutividade térmica k = 15W/(m.°C), diâmetro D = 0,4 cm e comprimento L = 50 cm é usado para ferver a água por imersão. Assumindo que a variação da condutividade térmica do fio com a temperatura é insignificante, obtenha a equação diferencial que descreve a variação da temperatura do fio durante a operação em regime permanente. Equação da condução de calor 185 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 12 � O arame de resistência pode ser considerado como sendo um longo cilindro já que o seu comprimento é maior do que 10 vezes o seu diâmetro. � Além disso, o calor é gerado uniformemente no fio e as condições sobre a superfície exterior do fio são uniformes. � Portanto, é razoável esperar que a temperatura do fio varie na direção radial r e, assim, a transferência de calor ser unidimensional. � Então tem-se T = T(r) durante a operação em regime permanente já que a temperatura, neste caso, dependerá apenas de r. Equação da condução de calor 186 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 12 � A taxa de geração de calor no fio por unidade de volume pode ser determinada a partir de fioV Gg & & = L 4 DπV 2 fio ⋅ ⋅ = LDπ 4Gg 2 ⋅⋅ ⋅ = & & ( ) m 0,5m 0,004π 4 W2000g 2 ⋅⋅ ⋅ =& 3 9 m W100,318g ×=& Equação da condução de calor 187 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 12 � Notando que a condutividade térmica é constante, a equação diferencial que controla a variação de temperatura do fio é simplesmente t T α 1 k g r T r rr 1 ∂ ∂ ⋅=+ ∂ ∂ ∂ ∂ & 0 k g dr dT r dr d r 1 =+ & Equação da condução de calor 188 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 13 � Uma bola de metal esférica de raio R é aquecida em um forno a uma temperatura de 600°F e é, então, retirada do forno e deixada arrefecer no ar ambiente a T = 75°F, por convecção e radiação. A condutividade térmica do material de bola varia de forma linear com a temperatura. Assumindo que a bola é arrefecida de maneira uniforme a partir de toda a superfície exterior, obtenha a equação diferencial que descreve a variação da temperatura na bola, durante o arrefecimento. Equação da condução de calor 189 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 13 � A bola está inicialmente a uma temperatura uniforme e é arrefecida de maneira uniforme a partir de toda a superfície exterior. � Além disso, a temperatura em qualquer ponto da bola irá mudar com o tempo, durante o arrefecimento. � Portanto, isto é um problema de condução de calor transiente unidimensional vez que a temperatura no interior da bola irá mudar com o tempo t e a distância radial r. � Isto é,T =T (r, t) Equação da condução de calor 190 � Equação da condução de calor unidimensional � Exemplo 13 � A condutividade térmica é variável e não há geração de calor na bola. � Portanto, a equação diferencial que regula a variação temperatura na bola, neste caso, é obtida a partir da equação abaixo, definindo o termo geração de calor igual a zero. t TCρg r Tkr rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅⋅=+ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ & t TCρ r Tkr rr 1 2 2 ∂ ∂ ⋅⋅= ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂
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