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Aula 03 - Equação da Condução de Calor I

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Equação da condução de calor
124
� Introdução
� Condução de calor
� Transferência de energia térmica de partículas mais energéticas de um
meio para partículas adjacentes menos energéticas.
� Pode ocorrer em líquidos, gases e sólidos � não pode haver
movimento macroscópico das partículas
Equação da condução de calor
125
� Introdução
� Transferência de calor e temperatura � intimamente relacionadas
� Transferência de calor
� Magnitude e direção
� Vetor
� Temperatura
� Magnitude
Equação da condução de calor
126
� Introdução
� Transferência de calor e temperatura
� Ex:
� Temperatura na superfície interna de uma parede � 18°C
� Descreve completamente a temperatura naquele local
� Fluxo de calor na superfície interna de uma parede � 50 W/m2
� “Em qual direção?”
� Para dentro (ganho de energia) ou para fora (perda de energia)
Equação da condução de calor
127
� Introdução
� Sistema de coordenadas
� Indica a direção com os sinais + ou –
� Convenção
� O fluxo de calor na direção positiva de um eixo 
coordenada é positivo e na direção contrária é 
negativo.
� Valor positivo � transferência de calor na direção positiva
� Valor negativo � transferência de calor na direção negativa
Equação da condução de calor
128
� Introdução
� Força motriz da transferência de calor � diferença de
temperatura
� Quanto maior for a diferença de temperatura, maior será a taxa de
transferência de calor
� Problemas de engenharia (transferência de calor)
� Determinação da distribuição de temperatura (variação de
temperatura) em todo meio com a finalidade de calcular algumas
quantidades como taxa de transferência de calor local, expansão
térmica, tensão térmica em pontos críticos em tempos específicos.
Equação da condução de calor
129
� Introdução
� A especificação da temperatura de um ponto em um meio
requer primeiro a especificação da localização daquele ponto.
� Escolha de um sistema de coordenadas adequado: retangular,
cilíndrico ou esférico
� Depende da geometria e do ponto de referência (origem)
Equação da condução de calor
130
� Introdução
� Localização de um ponto:
� Coordenadas retangulares� (x, y, z)
� No tempo t:
� T(x, y, z, t)
� T(x, y, z, t) X T(x)
Equação da condução de calor
131
� Introdução
� Localização de um ponto:
� Coordenadas retangulares� (x, y, z)
Equação da condução de calor
132
� Introdução
� Localização de um ponto:
� Coordenadas cilíndricas� (r,Φ, z)
Equação da condução de calor
133
� Introdução
� Localização de um ponto:
� Coordenadas esféricas� (r,Φ, θ)
Equação da condução de calor
134
� Introdução
� O melhor sistema de coordenadas para uma determinada geometria
é aquele que melhor descreve a superfície da geometria.
� Ex:
� Paralelepípedo� coordenada retangular
� Cilindro� coordenada cilíndrica
� Corpo esférico� coordenada esférica
� Geometria arbitrária� coordenada retangular
Equação da condução de calor
135
� Transferência de calor estacionário e transiente
� Estacionário� regime permanente
� Nenhuma mudança com o tempo em qualquer ponto no meio.
� Transiente� regime não permanente
� Variação com o tempo.
Equação da condução de calor
136
� Transferência de calor estacionário e transiente
� Transferência de calor
� Regime permanente x regime não permanente
Equação da condução de calor
137
� Transferência de calor multidimensional
� Classificação da transferência de calor
� Unidimensional
� Bidimensional
� Tridimensional
� Dependendo da magnitude relativa da taxa de transferência de calor nas
diferentes direções
� Caso geral
� Transferência de calor� tridimensional
Equação da condução de calor
138
� Transferência de calor multidimensional
� Caso geral
� A temperatura varia nas três direções primárias no meio durante o
processo de transferência de calor.
� A distribuição de temperatura por todo o meio em um tempo
específico, assim como, a taxa de transferência de calor em qualquer
local podem ser descritas por um conjunto de três coordenadas:
� x, y, z� sistema de coordenadas retangular (ou Cartesiano)
� r,Φ, z� sistema de coordenadas cilíndrico
� r,Φ, θ� sistema de coordenadas esférico (ou polar)
Equação da condução de calor
139
� Transferência de calor multidimensional
� Caso geral
� Distribuição de temperatura
� T(x, y, z, t)
� T(r,Φ, z , t)
� T(r,Φ, θ, t)
Equação da condução de calor
140
� Transferência de calor multidimensional
� Casos especiais
� Variação de temperatura no meio � duas 
direções
� Variação de temperatura e transferência de 
calor na terceira direção � desprezível
� Transferência de calor bidimensional 
Equação da condução de calor
141
� Transferência de calor multidimensional
� Casos especiais
� Variação de temperatura no meio �
uma direção
� Variação de temperatura e transferência 
de calor na segunda e terceira direções 
� desprezível
� Transferência de calor unidimensional
Equação da condução de calor
142
� Transferência de calor multidimensional
� Lei de Fourier da condução de calor unidimensional
� k� condutividade térmica
� dT/dx� gradiente de temperatura
( )W 
dx
dTAkQcond ⋅⋅−=&
Equação da condução de calor
143
� Transferência de calor multidimensional
� Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor
� Distribuição de temperatura no meio � tridimensional
� Figura � superfície isotérmica no meio
� O vetor do fluxo de calor em um ponto P
na superfície deve ser perpendicular à 
superfície e deve apontar na direção 
da redução de temperatura
Equação da condução de calor
144
� Transferência de calor multidimensional
� Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor
� Se n é o vetor normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa de 
condução de calor naquele ponto pode ser
expressa pela Lei de Fourier como:
( )W 
n
TAkQn ∂
∂
⋅⋅−=
&
Equação da condução de calor
145
� Transferência de calor multidimensional
� Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor
� Em coordenadas retangulares, o vetor de condução de calor pode ser 
expresso em termos de seus componentes:
unitários vetoresk ,j ,i →rrr
kQjQiQQ zyxn
r
&
r
&
r
&& ++=
→
 
-z e -y x-,direções nas
calor de ciatransferên
de taxada eintensidad
Q,Q,Q zyx










→&&&
z
TAkQ 
y
TAkQ 
x
TAkQ zzyyxx ∂
∂
⋅⋅−=
∂
∂
⋅⋅−=
∂
∂
⋅⋅−=
&&&
Equação da condução de calor
146
� Transferência de calor multidimensional
� Relação geral para a Lei de Fourier da condução de calor
� Análise de transferência de calor � materiais � isotrópico
� Propriedades uniformes em todas as direções
� Materiais � anisotrópicos
� Materiais fibrosos ou compostos
� Propriedades podem variar com a direção
Equação da condução de calor
147
� Geração de calor
� Um meio através do qual calor é conduzido pode envolver a
conversão de energia elétrica, nuclear ou química em energia térmica
(calor).
� Análise de condução de calor� geração de calor
� Ex:
� A temperatura de um fio de resistência aumenta 
rapidamente quando uma corrente elétrica passa 
através dele, como resultado da energia elétrica ser 
convertida em calor a uma taxa de I2R (I, corrente 
elétrica e R, resistência)
Equação da condução de calor
148
� Geração de calor
� Ex:
� Geração de calor em componentes eletrônicos � resfriamento
eletrônico
� Reator nuclear � uma grande quantidade de calor é gerada como
resultado da fissão nuclear que serve como uma fonte de calor.
� Lixo nuclear� a desintegraçãonatural de elementos radioativos também
resulta na geração de calor.
� Sol � o calor gerado como resultado da fusão do hidrogênio em hélio
faz do sol o maior reator nuclear que fornece calor para a Terra.
Equação da condução de calor
149
� Geração de calor
� Ex:
� Reações químicas exotérmicas� fonte de geração de calor
� Reações químicas endotérmicas� calor é absorvido ao invés de liberado
� Reações químicas endotérmicas� dissipador de calor
Equação da condução de calor
150
� Geração de calor
� Modelamento da absorção de radiação (solar ou gama) como
geração de calor quando estes raios penetram profundamente
no corpo enquanto são absorvidos gradualmente.
� Absorção de energia solar por um 
corpo opaco ocorre a uma distância
muito pequena da superfície.
� A energia solar que penetra no meio
neste caso, pode ser tratada como um 
fluxo de calor específico na superfície.
Equação da condução de calor
151
� Geração de calor
� Geração de calor � fenômeno volumétrico
� Ocorre através do volume do meio
� Taxa de geração de calor
� Especificada por unidade de volume �
� Pode variar com o tempo e com a posição no meio. 
g& 




⋅






33 fth
Btu
ou 
m
W
Equação da condução de calor
152
� Geração de calor
� Taxa de geração de calor
� Variação da geração de calor em relação à posição conhecida � a
taxa total de geração de calor no meio de volume V é determinada
através:
� Caso especial
� Geração de calor uniforme
∫ ⋅=
V
dVgG &&
VgG ⋅= &&
 volumede unidadepor calor de geração de constante Taxag→&
Equação da condução de calor
153
� Geração de calor
� Exemplo 9
� Com a finalidade de dimensionar o compressor 
de um novo refrigerador, é desejado determinar 
a taxa de transferência de calor do ar da 
cozinha para o espaço refrigerado através das 
paredes, porta e a seção do topo e do fundo do 
refrigerador. Em sua análise, você trataria este 
problema como uma transferência de calor em 
regime permanente ou em regime não 
permanente? Também, você consideraria a taxa 
de transferência de calor como unidimensional 
ou multidimensional? Explique.
Equação da condução de calor
154
� Geração de calor
� Exemplo 9
� O processo de transferência de calor do ar da 
cozinha para o espaço refrigerado é transiente 
(não permanente) já que as condições térmicas
na cozinha e no refrigerador, em geral, mudam
com o tempo.
� Entretanto, este problema pode ser analisado 
como um problema de transferência de calor 
em regime permanente sob as piores condições
previstas.
� Menor ajuste do termostato no refrigerador e maior 
temperatura na cozinha
Equação da condução de calor
155
� Geração de calor
� Exemplo 9
� Se o compressor é grande o suficiente para 
manter o espaço refrigerado na temperatura
desejada sob as piores condições previstas, 
então ele é grande o suficiente para manter
a temperatura em todas as outras condições.
� A transferência de calor para o espaço 
refrigerado é tridimensional já que calor estará 
entrando através de todos os seis lados do 
refrigerador.
Equação da condução de calor
156
� Geração de calor
� Exemplo 9
� Entretanto, a transferência de calor através de 
qualquer face acontece na direção normal à 
superfície e, assim, pode ser analisada como 
sendo unidimensional.
� Portanto, este problema pode ser simplificado
imensamente pela consideração da transferência
de calor ser unidimensional nas seis faces do 
refrigerador e depois pela soma dos valores 
calculados da transferência de calor em cada 
superfície.
Equação da condução de calor
157
� Geração de calor
� Exemplo 10
� Um fio de resistência de um secador de cabelo de 1200 W tem 80 cm
de comprimento e um diâmetro de 0,3 cm. Determine a taxa de
geração de calor no fio por unidade de volume (W/cm3) e o fluxo de
calor para fora da superfície do fio como resultado da geração de
calor.
Equação da condução de calor
158
� Geração de calor
� Exemplo 10
� Taxa de geração de calor
fioV
Gg
&
& = ( ) L4Dπ
Gg 2
⋅
⋅
=→
&
&
( ) ( )cm 804cm 0,3π
 W1200g
2
⋅





⋅
=& 3cm
W212g =→ &
Equação da condução de calor
159
� Geração de calor
� Exemplo 10
� Fluxo de calor
fioA
Gq
&
& =
LD
Gq 
⋅⋅
=→
pi
&
&
( ) ( )cm 80cm 0,3π
 W1200q
⋅⋅
=&
2cm
W9,51q =→ &
Equação da condução de calor
160
� Equação da condução de calor unidimensional
� Considere a condução de calor através de uma parede plana grande como:
� A parede de uma casa,
� O vidro de uma janela simples,
� A placa de metal na base de um ferro de passar roupas,
� Uma tubulação de vapor de ferro,
� Um elemento cilíndrico de combustível nuclear,
� Um fio de resistência elétrica,
� A parede de um recipiente esférico ou
� Uma esfera de metal sendo temperada ou resfriada.
� A condução de calor nestas e em muitas outras geometrias pode ser aproximada
como sendo unidimensional já que a condução de calor através destas
geometrias será dominante em uma direção e desprezível nas outras direções.
Equação da condução de calor
161
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� Considere um elemento fino de espessura ∆x 
em uma parede plana grande:
� Massa específica da parede � ρ
� Calor específico � C
� Área normal à transferência de calor �A
Equação da condução de calor
162
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� Balanço de energia no elemento durante um pequeno intervalo de 
tempo ∆t:












=












+










+
−










elemento
 do energia
de variação
de Taxa
elemento do
dentrocalor 
de geração
de Taxa
∆x xemcalor 
de condução
de Taxa
 xemcalor 
de condução
de Taxa
∆t
∆EGQQ elementoelemento∆xxx =+− + &&&
Equação da condução de calor
163
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� A variação de energia no elemento e a taxa de geração de calor 
podem ser expressas como:
( ) ( )t∆ttt∆ttt∆ttelemento TTC∆xAρTTCmEE∆E −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=−= +++
∆xAgVgG elementoelemento ⋅⋅=⋅= &&&
Equação da condução de calor
164
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� Substituindo na equação do 
balanço de energia
� E dividindo por A.∆x
∆t
∆EGQQ elementoelemento∆xxx =+− + &&&
( )
∆t
TTC∆xAρ∆xAgQQ t∆tt∆xxx
−
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+− ++ &&&
( )
∆t
TTCρg
∆x
QQ
A
1 t∆ttx∆xx −
⋅⋅=+





−
⋅−
++ &
&&
Equação da condução de calor
165
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� Tomando os limites como ∆x� 0 e ∆t � 0:
� Da definição de derivada e da lei de Fourier de condução de calor:
t
TCρg
x
TAk
xA
1
∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&






∂
∂
⋅⋅−
∂
∂
=
∂
∂
=
−+
→ x
TAk
xx
Q
∆x
QQlim x∆xx
0∆x
&&&
Equação da condução de calor
166
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana 
grande
� Parede plana � área (A) constante
� Condutividade variável
� Condutividade térmica do material � depende da temperatura (T) e 
consequentemente de x � não pode sair da derivada
t
TCρgx
Tk
x ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
&
Equação da condução de calor
167
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana
grande
� Entretanto, a condutividade térmica do material na maioria das
aplicações práticas pode ser suposta constante com um valor médio
� Condutividade constante
t
T
α
1
k
g
x
T
2
2
∂
∂
⋅=+
∂
∂ &
 térmicadedifusivida
Cρ
k
α →
⋅
=
Equação da condução de calor
168
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor através de uma parede plana
grande
� Condições específicas
� Regime permanente
� Transiente e sem geração de calor
� Regime permanente e sem geração de calor
0
k
g
dx
Td
2
2
=+
&






=
∂
∂ 0
t
( )0g =&
t
T
α
1
x
T
2
2
∂
∂
⋅=
∂
∂
t
T
α
1
k
g
x
T
2
2
∂
∂
⋅=+
∂
∂ &






==
∂
∂ 0g e 0
t
&
0
dx
Td
2
2
=
Equação da condução de calor
169
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Considere um elemento cilíndrico fino de 
espessura ∆r em um cilindro longo:
� Massa específica da parede � ρ
� Calor específico � C
� Comprimento � L
� Área do cilindro normal à direção de 
transferência de calor em qualquer ponto: Lrπ2A ⋅⋅⋅=
Equação da condução de calor
170
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Balanço de energia no elemento durante um pequeno intervalo de 
tempo ∆t:












=












+










+
−










elemento
 do energia
de variação
de Taxa
elemento do
dentrocalor 
de geração
de Taxa
∆rr emcalor 
de condução
de Taxa
r emcalor 
de condução
de Taxa
∆t
∆EGQQ elementoelemento∆rrr =+− + &&&
Equação da condução de calor
171
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� A variação de energia no elemento e a taxa de geração de calor 
podem ser expressas como:
( ) ( )t∆ttt∆ttt∆ttelemento TTC∆rAρTTCmEE∆E −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=−= +++
∆rAgVgG elementoelemento ⋅⋅=⋅= &&&
Equação da condução de calor
172
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Substituindo na equação do 
balanço de energia
� E dividindo por A.∆r
∆t
∆EGQQ elementoelemento∆rrr =+− + &&&
( )
∆t
TTC∆rAρ∆rAgQQ t∆tt∆rrr
−
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+− ++ &
&&
( )
∆t
TTCρg
∆r
QQ
A
1 t∆ttr∆rr −
⋅⋅=+





−
⋅−
++ &
&&
Lrπ2A ⋅⋅⋅=
Equação da condução de calor
173
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Tomando os limites como ∆r� 0 e ∆t � 0:
� Da definição de derivada e da lei de Fourier de condução de calor:
t
TCρg
r
TAk
rA
1
∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&






∂
∂
⋅⋅−
∂
∂
=
∂
∂
=
−+
→ r
TAk
rr
Q
∆r
QQlim r∆rr
0∆x
&&&
Equação da condução de calor
174
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Cilindro
� Condutividade variável
� Condutividade térmica do material � depende da temperatura (T) e 
consequentemente de x � não pode sair da derivada
t
TCρg
r
Tkr
rr
1
∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&
Equação da condução de calor
175
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Entretanto, a condutividade térmica do material na maioria das
aplicações práticas pode ser suposta constante com um valor médio
� Condutividade constante
t
T
α
1
k
g
r
T
r
rr
1
∂
∂
⋅=+





∂
∂
∂
∂ &
 térmicadedifusivida
Cρ
k
α →
⋅
=
Equação da condução de calor
176
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em um cilindro longo
� Condições específicas
� Regime permanente
� Transiente e sem geração de calor
� Regime permanente e sem geração de calor






=
∂
∂ 0
t
( )0g =&






==
∂
∂ 0g e 0
t
&
t
T
α
1
k
g
r
T
r
rr
1
∂
∂
⋅=+





∂
∂
∂
∂ &
0
k
g
dr
dT
r
dr
d
r
1
=+




 &
t
T
α
1
r
T
r
rr
1
∂
∂
⋅=





∂
∂
∂
∂
0
dr
dT
r
dr
d
=





Equação da condução de calor
177
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em uma esfera
� Considere uma esfera:
� Massa específica da parede � ρ
� Calor específico � C
� Raio externo � R
� Área da esfera normal à direção de 
transferência de calor em qualquer ponto: 2rπ4A ⋅⋅=
Equação da condução de calor
178
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em uma esfera
� Considerando um elemento esférico fino de espessura ∆r e área 
A = 4πr2, a equação da condução de calor unidimensional é:
� Condutividade variável
� Condutividade constante
t
TCρg
r
Tkr
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&
t
T
α
1
k
g
r
T
r
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂ &
 térmicadedifusivida
Cρ
k
α →
⋅
=
Equação da condução de calor
179
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor em uma esfera
� Condições específicas
� Regime permanente
� Transiente e sem geração de calor
� Regime permanente e sem geração de calor






=
∂
∂ 0
t
( )0g =&






==
∂
∂ 0g e 0
t
&
t
T
α
1
k
g
r
T
r
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂ &
0
k
g
dr
dT
r
dr
d
r
1 2
2 =+





⋅
&
t
T
α
1
r
T
r
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅=





∂
∂
⋅
∂
∂
0
dr
dT2
dr
Td
rou 0
dr
dT
r
dr
d
2
2
2
=+=





⋅
Equação da condução de calor
180
� Equação da condução de calor unidimensional
� Equação da condução de calor unidimensional combinada
t
TCρg
r
Tkr
rr
1 n
n ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&
esfera2n
cilindro1n
plana parede0n
→=
→=
→=
Equação da condução de calor
181
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 11
� Considere uma panela de aço colocada em cima de um fogão elétrico
para cozinhar espaguete. A seção inferior da panela tem espessura de
L = 0,4 cm e tem um diâmetro de d = 18 cm. A unidade de
aquecimento elétrico na parte superior consome 800 W de potência
durante o cozimento, e 80% do calor gerado no elemento de
aquecimento é transferido uniformemente para a panela. Assumindo
que a condutividade térmica é constante, obtenha a equação
diferencial que descreve a variação da temperatura na seção do fundo
do recipiente durante o seu funcionamento em regime permanente.
Equação da condução de calor
182
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 11
� A seção de fundo do recipiente tem uma grande
área superficial em relação à sua espessura e pode
ser aproximada como uma grande parede plana.
� O fluxo de calor é aplicado à superfície do fundo da panela de modo
uniforme,e as condições na superfície interna também são uniformes.
� Portanto, espera-se que a transferência de calor através da seção do
fundo da panela seja a partir da superfície inferior em direção ao topo,
e a transferência de calor, neste caso, pode ser razoavelmente
aproximada como sendo unidimensional.
Equação da condução de calor
183
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 11
� Tomando a direção normal à superfície de fundo da panela como
coordenada x, tem-se T = T(x) durante a operação em regime
permanente, uma vez que a temperatura neste caso dependerá apenas de
x.
� A condutividade térmica é constante, e não há geração de calor no meio
(na secção inferior da panela).
� Portanto, a equação diferencial que regula a variação de temperatura na
seção de fundo do recipiente, neste caso, é simplesmente:
0
dx
Td
2
2
=
t
T
α
1
k
g
x
T
2
2
∂
∂
⋅=+
∂
∂ &
Equação da condução de calor
184
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 12
� Um fio de resistência de aquecimento de 2kW, com a condutividade
térmica k = 15W/(m.°C), diâmetro D = 0,4 cm e comprimento
L = 50 cm é usado para ferver a água por imersão. Assumindo que a
variação da condutividade térmica do fio com a temperatura é
insignificante, obtenha a equação diferencial que descreve a variação
da temperatura do fio durante a operação em regime permanente.
Equação da condução de calor
185
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 12
� O arame de resistência pode ser considerado como sendo um longo
cilindro já que o seu comprimento é maior do que 10 vezes o seu
diâmetro.
� Além disso, o calor é gerado uniformemente no fio e as condições sobre
a superfície exterior do fio são uniformes.
� Portanto, é razoável esperar que a temperatura do fio varie na direção
radial r e, assim, a transferência de calor ser unidimensional.
� Então tem-se T = T(r) durante a operação em regime permanente já que
a temperatura, neste caso, dependerá apenas de r.
Equação da condução de calor
186
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 12
� A taxa de geração de calor no fio por unidade de volume pode ser
determinada a partir de
fioV
Gg
&
& = L
4
DπV
2
fio ⋅
⋅
=
LDπ
4Gg 2
⋅⋅
⋅
=
&
&
( ) m 0,5m 0,004π
4 W2000g 2
⋅⋅
⋅
=&
3
9
m
W100,318g ×=&
Equação da condução de calor
187
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 12
� Notando que a condutividade térmica é constante, a equação
diferencial que controla a variação de temperatura do fio é
simplesmente
t
T
α
1
k
g
r
T
r
rr
1
∂
∂
⋅=+





∂
∂
∂
∂ &
0
k
g
dr
dT
r
dr
d
r
1
=+




 &
Equação da condução de calor
188
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 13
� Uma bola de metal esférica de raio R é aquecida em um forno a uma
temperatura de 600°F e é, então, retirada do forno e deixada
arrefecer no ar ambiente a T = 75°F, por convecção e radiação. A
condutividade térmica do material de bola varia de forma linear com a
temperatura. Assumindo que a bola é arrefecida de maneira uniforme
a partir de toda a superfície exterior, obtenha a equação diferencial
que descreve a variação da temperatura na bola, durante o
arrefecimento.
Equação da condução de calor
189
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 13
� A bola está inicialmente a uma temperatura uniforme e é arrefecida de
maneira uniforme a partir de toda a superfície exterior.
� Além disso, a temperatura em qualquer ponto da bola irá mudar com o
tempo, durante o arrefecimento.
� Portanto, isto é um problema de condução de calor transiente
unidimensional vez que a temperatura no interior da bola irá mudar com
o tempo t e a distância radial r.
� Isto é,T =T (r, t)
Equação da condução de calor
190
� Equação da condução de calor unidimensional
� Exemplo 13
� A condutividade térmica é variável e não há geração de calor na bola.
� Portanto, a equação diferencial que regula a variação temperatura na
bola, neste caso, é obtida a partir da equação abaixo, definindo o
termo geração de calor igual a zero.
t
TCρg
r
Tkr
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&
t
TCρ
r
Tkr
rr
1 2
2 ∂
∂
⋅⋅=





∂
∂
⋅⋅
∂
∂

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