Aula 04 - Equação da Condução de Calor II

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Equação da condução de calor
191
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Considere um pequeno elemento retangular de comprimento ∆x, 
largura ∆y e altura ∆z
� Massa específica da parede � ρ
� Calor específico � C
Equação da condução de calor
192
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Balanço de energia no elemento durante um pequeno intervalo de 
tempo ∆t:














=














+














++
+
−










elemento
 do energia
de variação
de Taxa
elemento do
dentrocalor 
de geração
de Taxa
∆zz e∆y y
∆x, xemcalor 
de condução
de Taxa
z ey x,emcalor 
de condução
de Taxa
∆t
∆EGQQQQQQ elementoelemento∆zz∆yy∆xxzyx =+−−−++ +++ &&&&&&&
Equação da condução de calor
193
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Volume do elemento:
� A variação de energia no elemento e a taxa de geração de calor 
podem ser expressas como:
∆z∆y∆xVelemento ⋅⋅=
( ) ( )t∆ttt∆ttt∆ttelemento TTC∆z∆y∆xρTTCmEE∆E −⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=−= +++
∆z∆y∆xgVgG elementoelemento ⋅⋅⋅=⋅= &&&
Equação da condução de calor
194
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Substituindo na equação do 
balanço de energia
� E dividindo por ∆x.∆y.∆z
∆t
∆EGQQQQQQ elementoelemento∆zz∆yy∆xxzyx =+−−−++ +++ &&&&&&&
( )
∆t
TTC∆z∆y∆xρ∆z∆y∆xgQQQQQQ t∆tt∆zz∆yy∆xxzyx
−
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+−−−++ ++++ &&&&&&&
( )
∆t
TTCρg
∆z
QQ
∆y∆x
1
∆y
QQ
∆z∆x
1
∆x
QQ
∆z∆y
1 t∆ttz∆zzy∆yyx∆xx −
⋅⋅=+
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
++++ &
&&&&&&
Equação da condução de calor
195
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Áreas de transferência de calor por condução nas direções x, y e z
� Tomando os limites como ∆x, ∆y, ∆z e ∆t � 0
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada 
retangular
∆y∆xA ∆z∆xA ∆z∆yA zyx ⋅=⋅=⋅=
t
TCρg
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
&
Equação da condução de calor
196
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Da definição de derivada e da lei de Fourier de condução de calor:






∂
∂
⋅
∂
∂
−=





∂
∂
⋅⋅−
∂
∂
=
∂
∂
=
−+
→ x
Tk
xx
T
∆y∆zk
x∆y∆z
1
x
Q
∆y∆z
1
∆x
QQ
∆y∆z
1lim xx∆xx
0∆x
&&&






∂
∂
⋅
∂
∂
−=





∂
∂
⋅⋅−
∂
∂
=
∂
∂
=
−+
→ y
Tk
yy
T
∆x∆zk
y∆x∆z
1
y
Q
∆x∆z
1
∆y
QQ
∆x∆z
1lim yy∆yy
0∆y
&&&






∂
∂
⋅
∂
∂
−=





∂
∂
⋅⋅−
∂
∂
=
∂
∂
=
−+
→ z
Tk
zz
T
∆x∆yk
z∆x∆y
1
z
Q
∆x∆y
1
∆z
QQ
∆x∆y
1lim zz∆zz
0∆z
&&&
Equação da condução de calor
197
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada 
retangular � condutividade térmica constante
� Equação de Fourier-Biot
t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
 térmicadedifusivida
Cρ
k
α →
⋅
=
Equação da condução de calor
198
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada retangular
� Equação de Fourier-Biot�
condições específicas
� Regime permanente
(Equação de Poisson)
� Transiente e sem geração de calor
(Equação da difusão)
� Regime permanente e sem geração de calor
(Equação de Laplace)
t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
0
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
t
T
α
1
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Equação da condução de calor
199
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada cilíndrica
� Equação geral da condução de calor em 
coordenadas cilíndricas pode ser obtida
através do balanço de energia no elemento.
� Pode ser obtida também pela transformação
do sistema de coordenadas em um ponto:
zz sin ry cosrx =⋅=⋅= φφ
Equação da condução de calor
200
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada cilíndrica
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada 
retangular
� Após manipulações matemáticas
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada 
cilíndrica
t
TCρg
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
&
t
TCρg
z
Tk
z
Tk
r
1
r
T
rk
rr
1
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&φφ
Equação da condução de calor
201
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada esférica
� Equação geral da condução de calor em 
coordenadas cilíndricas pode ser obtida
através do balanço de energia no elemento.
� Pode ser obtida também pela transformação
do sistema de coordenadas em um ponto:
θ cosz θsin sin ry θsin cosrx =⋅⋅=⋅⋅= φφ
Equação da condução de calor
202
� Equação da condução de calor geral
� Coordenada esférica
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada 
retangular
� Após manipulações matemáticas
� Equação geral de transferência de calor por condução em coordenada esférica
t
TCρg
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
&
t
TCρg
z
T
θsen k
θθsen r
1Tk
θsenr
1
r
T
rk
rr
1
222
2
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
⋅
+





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&φφ
Equação da condução de calor
203
� Equação da condução de calor geral
� Exemplo 14
� Um lingote de metal cilíndrico curto de raio R e a altura h é aquecido
num forno a uma temperatura de 600°F e é, então, retirado do forno
e deixado arrefecer no ar ambiente, a T = 65°F, por convecção e
radiação. Assumindo que o lingote é arrefecido de maneira uniforme
de todas as superfícies exteriores e a variação da condutividade
térmica do material com a temperatura é desprezível, obtenha a
equação diferencial que descreve a variação da temperatura do lingote
durante o processo de arrefecimento.
Equação da condução de calor
204
� Equação da condução de calor geral
� Exemplo 14
� O lingote é inicialmente a uma temperatura uniforme e é arrefecida de
maneira uniforme a partir das superfícies superior e inferior no sentido Z,
bem como a superfície lateral, na direção radial r.
� Além disso, a temperatura em qualquer ponto do lingote mudará com o
tempo, durante o arrefecimento.
� Portanto, isto é um problema de condução de calor transiente
bidimensional já que a temperatura dentro do lingote mudará com as
distâncias radial r e axial z e com o tempo t.
� Isto é,T =T (r, z, t).
Equação da condução de calor
205
� Equação da condução de calor geral
� Exemplo 14
� A condutividade térmicaé constante e não existe geração de calor no
lingote.
� Portanto, a equação diferencial que controla a variação de
temperatura do lingote, neste caso, é obtida a partir da equação
abaixo, definindo o termo geração de calor e as derivadas com
relação a Φ igual a zero.
t
TCρg
z
Tk
z
T
rk
r
1
r
T
rk
rr
1
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&φφ t
TCρ
z
Tk
zr
T
rk
rr
1
∂
∂
⋅⋅=





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
Equação da condução de calor
206
� Condições de contorno e inicial
� Desenvolvimento das equações de condução de calor �
balanço de energia� elemento diferencial em um meio
� As equações permanecem as mesmas independentemente das
condições térmicas da superfície do meio.
� As equações diferenciais não incorporam qualquer informação
relacionada às condições da superfície� temperatura ou fluxo
térmico
Equação da condução de calor
207
� Condições de contorno e inicial
� Distribuição de temperatura e fluxo térmico em um meio
depende das condições da superfície.
� A descrição de um problema de transferência de calor em um
meio não está completa sem uma completa descrição das
condições térmicas nas superfícies de contorno do meio.
� As expressões matemáticas das condições térmicas nas
fronteiras são chamadas de condições de contorno.
Equação da condução de calor
208
� Condições de contorno e inicial
� Ponto de vista matemático
� � solução de uma equação diferencial 
� � um processo de remoção de derivadas 
� � ou um processo de integração
Equação da condução de calor
209
� Condições de contorno e inicial
� Obtenção de uma solução única de um problema
� Deve-se especificar mais do que a equação diferencial governante.
� É necessário especificar algumas condições
� i.e. O valor de uma função ou de suas derivadas em algum valor da 
variável independente.
� O que força a solução a satisfazer as condições em pontos específicos 
� solução única
Equação da condução de calor
210
� Condições de contorno e inicial
� Considere a variação de temperatura ao longo de uma parede
de tijolos de uma casa no inverno.
� A temperatura em qualquer ponto na parede depende, entre outras
coisas, das condições nas duas superfícies da parede como
� A temperatura do ar da casa,
� A velocidade e direção dos ventos,
� A energia solar incidente na superfície externa.
Equação da condução de calor
211
� Condições de contorno e inicial
� A distribuição de temperatura de um meio depende das 
condições na fronteira do maio assim como o mecanismo de 
transferência de calor no meio.
� Para descrever completamente um 
problema de transferência de calor, 
duas condições de contorno devem 
ser fornecidas para cada direção do 
sistema de coordenadas em que a 
transferência de calor é significativa.
Equação da condução de calor
212
� Condições de contorno e inicial
� Assim, deve-se especificar
� Duas condições de contorno � problemas unidimensionais
� Quatro condições de contorno � problemas bidimensionais
� Seis condições de contorno � problemas tridimensionais
Equação da condução de calor
213
� Condições de contorno e inicial
� Ex:
� Variação de temperatura ao longo de uma parede de tijolos de uma 
casa no inverno.
� É necessário especificar as condições em dois locais (superfícies interna e 
externa) da parede � transferência de calor unidimensional.
� Caixa (paralelepípedo)
� É necessário especificar seis condições de contorno � transferência de 
calor tridimensional
Equação da condução de calor
214
� Condições de contorno e inicial
� Natureza matemática dos problemas de transferência de calor
� Equação da condução de calor� segunda ordem
� Envolve derivadas segundas em relação às variáveis espaciais em todas as
direções em que a condução de calor é significativa.
� A solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem
envolve duas constantes arbitrárias para cada direção.
� Isto é, o número de condições de contorno que necessitam ser
especificadas em uma direção é igual à ordem da equação diferencial
naquela direção.
Equação da condução de calor
215
� Condições de contorno e inicial
� Ex:
� Variação de temperatura ao longo de uma parede de tijolos de uma 
casa no inverno.
� A temperatura em qualquer ponto na parede em um tempo específico 
depende da condição da parede no início do processo de condução de 
calor.
� Esta condição, que geralmente é especificada no tempo t = 0, é chamada de 
condição inicial.
� Que é uma expressão matemática para a distribuição de temperatura do meio 
inicialmente.
Equação da condução de calor
216
� Condições de contorno e inicial
� Ex:
� Variação de temperatura ao longo de uma parede de tijolos de uma
casa no inverno.
� Nota-se que é necessário apenas uma condição inicial para o problema de
condução de calor independentemente da dimensão já que a equação da
condução é de primeira ordem em relação ao tempo.
Equação da condução de calor
217
� Condições de contorno e inicial
� Coordenadas retangulares
� Condição inicial
� Função f(x,y,z) � representa a distribuição de temperatura através do 
meio no tempo t = 0.
� Quando o meio está inicialmente a uma temperatura uniforme (Ti)
� Condição inicial
Nota-se que em condição de regime permanente, a equação de condução de calor 
não envolve nenhuma derivada em relação ao tempo, e, consequentemente não é 
necessário especificar uma condição inicial.
( ) ( )zy,x,fz,0y,x,T =
( ) iTz,0y,x,T =
Equação da condução de calor
218
� Condições de contorno e inicial
� A equação de condução de calor é de primeira ordem em
relação ao tempo, e assim a condição inicial não pode envolver
quaisquer derivadas (é limitada a uma temperatura específica)
� Entretanto, a equação de condução de calor é de segunda
ordem em relação às coordenadas espaciais, e assim uma
condição de contorno pode envolver derivadas primeira nas
fronteiras assim como valores de temperatura específicos.
� As condições de contorno mais comuns encontradas na
prática são condições de contorno de temperatura específica,
fluxo térmico específico, convecção e radiação.
Equação da condução de calor
219
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de temperatura específica
� A temperatura de uma superfície exposta pode, geralmente, ser
medida diretamente e facilmente.
� Assim, uma das maneiras mais fáceis de especificar as condições
térmicas de uma superfície é especificar a temperatura.
Equação da condução de calor
220
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de temperatura específica
� Transferência de calor unidimensional através de uma parede plana de
espessura L, as condições de contorno de temperatura específica
podem ser expressas como:
� As temperaturas específicas podem ser constantes ou podem variar
com o tempo.
( )
( ) 2
1
TtL,T
Tt0,T
=
=
Equação da condução de calor
221
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Quando se possui informação suficiente sobre as interações de
energia na superfície, pode ser possível determinar a taxa de
transferência de calor e, consequentemente, o fluxo térmico (W/m2)
na superfície.
� O fluxo térmico na direção x positiva em qualquer ponto do meio,
incluindo as fronteiras, pode ser expresso pela lei de Fourier da
condução de calor: ( )2mW xTkq ∂∂−=&
Equação da condução de calor
222
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico� Então a condição de contorno na fronteira é obtida tomando o fluxo 
térmico específico como na fronteira.
� O sinal do fluxo térmico específico é determinado por inspeção:
� Positivo � se o fluxo térmico está na direção positiva do eixo coordenado
� Negativo � se estiver na direção oposta
( )xTk ∂∂−
Equação da condução de calor
223
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Nota-se que é extremamente importante observar o sinal correto
para o fluxo térmico já que o sinal errado irá inverter a direção de
transferência de calor e fazer com que o ganho de calor seja
interpretado como perda de calor.
Equação da condução de calor
224
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Para uma placa de espessura L sujeita a um fluxo térmico de 50 W/m2
através do meio dos dois lados, a condição de contorno do fluxo
térmico específico pode ser expressa como
( ) ( )
22 m
W50
x
tL,Tk e 
m
W50
x
t0,Tk −=
∂
∂
−=
∂
∂
−
Equação da condução de calor
225
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Caso especial 1: Fronteira isolada
� Algumas superfícies são isoladas na prática para minimizar perda de calor
(ou ganho de calor) através delas.
� O isolamento reduz a transferência de calor mas não a elimina totalmente
a menos que a espessura seja infinita.
� Entretanto, a transferência de calor através de uma superfície isolada
adequadamente pode ser reduzida a zero desde que a transferência de
calor seja levada a níveis desprezíveis.
Equação da condução de calor
226
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Caso especial 1: Fronteira isolada
� Uma superfície bem isolada pode ser modelada como uma superfície com
fluxo térmico específico de zero
( ) ( )
22 m
W0
x
t0,T
ou 
m
W0
x
t0,Tk =
∂
∂
=
∂
∂
Equação da condução de calor
227
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Caso especial 2: Simetria térmica
� Alguns problemas de transferência de calor possuem simetria térmica
como resultado da simetria das condições térmicas.
� Ex: as duas superfícies de uma placa quente de espessura L suspensa
verticalmente no ar estarão sujeitas as mesmas condições térmicas, e
assim, a distribuição de temperatura em uma metade da placa será igual a
da outra metade.
Equação da condução de calor
228
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Caso especial 2: Simetria térmica
� Ex: o problema de transferência de calor nesta placa irá possuir simetria
térmica no centro da placa em x = L/2.
� Além disso, a direção do fluxo de calor em qualquer ponto da placa vai
ficar voltada para a superfície mais próxima do ponto, e não haverá
qualquer fluxo de calor ao longo do plano central.
Equação da condução de calor
229
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de fluxo térmico específico
� Caso especial 2: Simetria térmica
� Ex: Portanto, o plano central pode ser visto como uma 
superfície isolada e a condição térmica neste plano de 
simetria pode ser expresso como:
( )
2m
W0
x
t,2LT
=
∂
∂
Equação da condução de calor
230
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 15
� Considere uma panela de alumínio usada para cozinhar um guisado de
carne em cima de um fogão elétrico. A seção inferior da panela tem
L = 0,3 cm de espessura e tem um diâmetro de d = 20 cm. A unidade
de aquecimento elétrico consome 800 W de potência durante a
cozedura e 90% do calor gerado no elemento de aquecimento é
transferido para a panela. Durante a operação em regime permanente,
a temperatura da superfície interna do recipiente é medida como
sendo 110 °C. Expresse as condições de contorno para a seção
inferior da panela durante o processo de cozimento.
Equação da condução de calor
231
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 15
� A transferência de calor através da seção do fundo da panela é a partir da
superfície do fundo em direção ao topo e pode ser razoavelmente
aproximada como sendo unidimensional.
� Toma-se a direção normal em relação à superfície do fundo da panela,
com a origem do eixo dos x na superfície exterior.
� Em seguida, as superfícies interiores e exteriores da seção de fundo do
recipiente pode ser representada por x = 0 e x = L, respectivamente.
� Durante a operação de equilíbrio, a temperatura vai depender somente
de x e, portanto,T =T (x).
Equação da condução de calor
232
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 15
� A condição de contorno na superfície exterior da parte inferior da
panela em x = 0 pode ser aproximada como sendo o fluxo de calor
específico, uma vez que se afirma que 90% de 800W (720W) é
transferido para o recipiente. ( )
0qdx
0dTk &=−
inferior superfície da Área
calor de ncia transferêde taxaq0 =& ( )20 m 0,1π
kW 0,720q
⋅
=& 20 m
kW22,9q =&
Equação da condução de calor
233
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 15
� A temperatura na superfície interna do fundo da panela é especificada
como 110°C.
� Assim, a condição de contorno sobre esta superfície pode ser
expressa como ( ) C110LT °=
m 0,003L =
Equação da condução de calor
234
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de convecção
� Condição de contorno mais comum � superfícies expostas ao
ambiente com uma temperatura específica
� Balanço de energia na superfície










=














direção mesma na
superfície nacalor 
de Convecção
aselecionad
direção uma em
superfície nacalor 
de Condução
Equação da condução de calor
235
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de convecção
� Transferência de calor unidimensional na direção x em uma placa de
espessura L, a condição de contorno de convecção nas duas
superfícies pode ser expressa como
( ) ( )[ ]t0,TTh
x
t0,Tk 11 −=∂
∂
−
∞
( ) ( )[ ]22 TtL,Th
x
tL,Tk
∞
−=
∂
∂
−
Equação da condução de calor
236
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 16
� Vapor flui através de um tubo a uma temperatura média de 200°C. O
raio interno e externo do tubo são 8 cm e 8,5 cm, respectivamente, e
a superfície exterior do tubo é fortemente isolada. Se o coeficiente de
transferência de calor por convecção na superfície interior do tubo é
de 65 W /(m2. °C) , expresse as condições de contorno sobre as
superfícies internas e externas do tubo, durante período transientes.
Equação da condução de calor
237
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 16
� Durante os períodos transitórios iniciais, a transferência de calor através do 
material de tubo irá ser predominantemente na direção radial, e assim, pode ser 
aproximada como sendo unidimensional. 
� Em seguida, a temperatura no interior do material de tubo irá mudar com o 
tempo e a distância radial. Isso é T = T (r, t) 
� Afirma-se que a transferência de calor entre o vapor e o tubo na superfície 
interna é, por convecção. 
� Direção da transferência de calor � sentido positivo de r, a condição de 
contorno na superfície que pode ser expresso como
( ) ( )[ ]111 rTTh
x
t,rTk −=
∂
∂
−
∞
Equação da condução de calor
238
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 16
� O tubo é bem isolado no exterior, e, assim, a perda de calor através 
da superfície exterior do tubo pode ser assumida como sendo 
insignificante. 
� Assim, a condição de contorno na superfície exterior pode ser 
expressa como
( ) 0
r
t,rT 2
=∂
∂
Equação da condução de calor
239
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de radiação
� Casos� aplicações espaciais e criogênicas (vácuo)
� Balanço de energia na superfície










=














direção mesma na
superfície nacalor 
de Convecção
aselecionad
direção uma em
superfície nacalor 
de Condução
Equação da condução de calor
240
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de radiação
� Transferência de calor unidimensional na direção x em uma placa de 
espessura L, a condição de contorno de radiação nas duas superfícies 
pode ser expressa como
( ) ( )[ ]44surr,11 t0,TTσε
x
t0,Tk −=
∂
∂
−
( ) ( )[ ]4surr,242 TtL,Tσε
x
tL,Tk −=
∂
∂
−
Equação da condução de calor
241
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno de interface
� Corpos compostos de diferentes camadas
� Avaliação de cada camada � condição de 
contorno na interface
� Os dois corpos devem ter a mesma 
temperatura na área de contato
� A interface não pode armazenar energia
( ) ( )t,xTt,xT 0B0A =
( ) ( )
x
t,xTk
x
t,xTk 0B0A
∂
∂
−=
∂
∂
−
Equação da condução de calor
242
� Condições de contorno e inicial
� Condição de contorno geral
� Em geral, a transferência de calor na superfície pode envolver 
convecção, radiação e fluxo térmico específico simultaneamente.
� Balanço de energia














=














modos
os todosem
superfície dacalor 
de ciaTransferên
modos os todos
 em superfície
 a paracalor 
de ciaTransferên
Equação da condução de calor
243
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 17
� Uma bola de metal esférica de raio r0 é aquecida completamente em
um forno a uma temperatura de 600°F e é depois retirada do forno e
deixada arrefecer no ar ambiente, a T = 78°F. A condutividade térmica
do material da bola é k = 8,3 Btu /(h.ft.°F), e a média do coeficiente de
transferência de calor por convecção na superfície exterior da bola é
h = 4,5 Btu / (h.ft2.°F). A emissividade da superfície exterior da bola é
E = 0,6, e a bola é arrefecida de maneira uniforme a partir de toda a
superfície exterior, expressar as condições iniciais e de contorno para
o processo de arrefecimento da bola.
Equação da condução de calor
244
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 17
� A bola está inicialmente a uma temperatura 
uniforme e é arrefecida de maneira uniforme a 
partir de toda a superfície exterior. 
� Portanto, isto é um problema de transferência de 
calor transiente unidimensional vez que a 
temperatura no interior da bola irá mudar com o 
tempo t e a distância radial r. 
� Isto é, T = T (r, t). 
� Tomando o momento em que a bola é retirada do forno como t = 0, a condição 
inicial pode ser expressa como:
( ) F600Tr,0T i °==
Equação da condução de calor
245
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 17
� O problema possui simetria em torno do 
ponto médio (r = 0), uma vez que as isotermas, 
neste caso, serão esferas concêntricas, e, 
portanto, não haverá calor atravessando o 
ponto médio da bola. 
� Assim, a condição de contorno no ponto médio pode ser expresso 
como ( ) 0
r
t0,T
=
∂
∂
Equação da condução de calor
246
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 17
� O calor conduzido para a superfície exterior 
da bola é perdido para o ambiente por 
convecção e radiação. 
� Assim, tomando a direção da transferência de calor na direção r 
positivo, a condição de contorno na superfície exterior pode ser 
expressa como:
( ) ( )[ ] ( )[ ]4surr0400 TrTεσTrTh
r
t,rTk −+−=
∂
∂
−
∞
Equação da condução de calor
247
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 18
� Considere a parede sul de uma casa de espessura L = 0,2 m. A superfície exterior
da parede é exposta à radiação solar, e tem uma absortividade de α = 0,5 para a
energia solar. O interior da casa é mantida a T1 = 20°C, enquanto a temperatura
do ar ambiente no exterior permanece em T2 = 5°C. O céu, o solo, e as
superfícies das estruturas circundantes, neste local podem ser modelados como
uma superfície a uma temperatura efetiva de T = 255K para a troca de radiação
sobre a superfície exterior. A troca de radiação entre a superfície interior da
parede e as superfícies das paredes, chão e teto é desprezível. Os coeficientes de
transferência de calor de convecção no interior, e as superfícies exteriores da
parede são h1 = 6 W / (m2. °C) e h2 = 25 W / (m2. °C), respectivamente. A
condutividade térmica do material de parede é k = 0,7W / (m. °C), e a
emissividade da superfície exterior é E2 = 0,9. Assumindo que a transferência de
calor através da parede para ser estável e unidimensional, expressar as condições
de contorno sobre o interior e as superfícies exteriores da parede.
Equação da condução de calor
248
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 18
� Direção normal à superfície da parede �
coordenada x � origem: interior da parede
� A transferência de calor através da parede 
é em regime permanente e em uma 
dimensão, e assim, a temperatura depende 
apenas da direção e não no tempo. 
� Isto é, T = T (x).
Equação da condução de calor
249
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 18
� A condição de contorno na superfície 
interior da parede em x = 0 é uma condição 
típica de convecção, uma vez que não 
envolve qualquer radiação ou fluxo de calor 
específico. 
� Tomando a direção da transferência de calor
sentido positivo de x, a condição de contorno na superfície interna 
pode ser expressa como: ( ) ( )[ ]0TTh
dx
0dTk 11 −=− ∞
Equação da condução de calor
250
� Condições de contorno e inicial
� Exemplo 18
� A condição de contorno na superfície 
exterior em x = L é muito geral, uma vez 
que envolve a condução, convecção, radiação 
e o fluxo de calor específico. 
� Tomando a direção da transferência de calor
na direção positiva de x, a condição de 
contorno na superfície exterior pode ser expressa como:
( ) ( )[ ] ( )[ ] solar4céu4222 qαTLTσεTLThdx
LdTk &−−+−=−
∞
Equação da condução de calor
251
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
calor de ncia transferêde Problema
( )contorno de condições e ldiferencia Equação
matemática Formulação
ldiferencia equação da geral Solução
contorno de condições das Aplicação
problema do Solução
Equação da condução de calor
252
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Considere uma parede plana grande de espessura L = 0,2 m,
condutividade térmica k = 1,2 W/(m.°C) e área superficial A = 15 m2.
Os dois lados da parede são mantidos à temperaturas constantes de
T1 = 120°C e T2 = 50°C, respectivamente. Determine (a) a variação
de temperatura dentro da parede e o valor da temperatura em x =
0,1m e (b) a taxa de condução de calor através da parede sob regime
permanente.
Equação da condução de calor
253
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19 - Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (parede grande em relação a sua 
espessura e condições térmicas uniformes dos dois lados)
� Condutividade térmica constante
� Não há geração de calor
Equação da condução de calor
254
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Tomando a direção normal à superfície da parede como a direção da
coordenada x, a equação diferencial para esse problema pode ser
expressa como:
� Condições de contorno:t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
0
dx
Td
2
2
=
( )
( ) C50TLT
C120T0T
2
1
°==
°==
Equação da condução de calor
255
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Equação diferencial de 2ª ordem
� 1ª integração
� 2ª integração
0
dx
Td
2
2
=
1Cdx
dT
=
( ) 21 CxCxT +⋅=
Equação da condução de calor
256
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Substituindo as condições de contorno na equação: ( ) 21 CxCxT +⋅=
( ) C120T0T0x 1 °==→=
( ) 21 C0C0T +⋅= 21 CT =→
( ) C50TLTLx 2 °==→=
( ) 21 CLCLT +⋅= 112 TLCT +⋅=→ L
TTC 121
−
=→
Equação da condução de calor
257
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Substituindo as constantes C1 e C2 na equação geral:
� Encontrando a temperatura em x = 0,1m
( ) 21 CxCxT +⋅=
( ) 112 TxL
TT
xT +⋅−=
( ) ( ) ( ) C1200,1m
0,2m
C120500,1mT °+⋅°−= ( ) C850,1mT °=
Equação da condução de calor
258
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 19
� Encontrando a taxa de condução de calor:
� Lei de Fourier
L
TTAk
L
TTAkCAk
dx
dTAkQ 21121parede
−
⋅=
−
⋅−=⋅⋅−=⋅−=
&
( )
0,2m
C5012015m
Cm
W1,2
L
TTAkQ 221parede
°−
××
°⋅
=
−
⋅=
&
 W6300Qparede =&
Equação da condução de calor
259
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� Considere uma condução de calor unidimensional em regime
permanente em uma parede plana grande de espessura (L)
condutividade térmica (k) constante e sem geração de calor. Obtenha
expressões para a variação de temperatura dentro da parede para os
seguintes pares de condições de contorno.
( ) ( )
( ) C15T0T
cm
W40q
dx
0dTk a
0
20
°==
==− & ( ) ( )
( )
2L
20
cm
W25 q
dx
LdTk 
cm
W40q
dx
0dTk b
−==−
==−
&
& ( ) ( )
( )
2L
20
cm
W40q
dx
LdTk 
cm
W40q
dx
0dTk c
==−
==−
&
&
Equação da condução de calor
260
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
Equação da condução de calor
261
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� Este é um problema de condução de calor unidimensional em regime
permanente sem geração de calor e com condutividade térmica
constante, a equação de condução de calor pode ser expressa como:
� Solução geral:
t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
0
dx
Td
2
2
=
( ) 21 CxCxT +⋅=
Equação da condução de calor
262
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (a) condições de contorno na mesma superfície (x=0)
� Lembrando que
1Cdx
dT
=
( )
0qdx
0dTk &=− 01 qCk &=⋅−→ k
qC 01
&
−=→
( ) 0T0T = 02210 TCC0CT =→+×=→
Equação da condução de calor
263
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (a) Substituindo na equação geral:
( ) 00 Txk
q
xT +−=
&
( ) 21 CxCxT +⋅=
Equação da condução de calor
264
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (b) condições de contorno em superfícies diferentes
( )
0qdx
0dTk &=−
( )
Lqdx
LdTk &=−
01 qCk &=⋅−→ k
q
 C 01
&
−=→
L1 qCk &=⋅−→ k
q
 C L1
&
−=→
L0 q q && ≠
Equação da condução de calor
265
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (b) A constante C1 não pode ser igual a dois termos diferentes.
� Problema sem solução.
� Fornecimento de energia pelos dois lados da parede a temperatura não irá
permanecer constante com o tempo.
L0 q q && ≠
Equação da condução de calor
266
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (c) Os valores do fluxo térmico são iguais nos dois lados da parede
( )
0qdx
0dTk &=−
( )
Lqdx
LdTk &=−
01 qCk &=⋅−→
L1 qCk &=⋅−→
k
q
 C 01
&
−=→
k
q
 C L1
&
−=→
L0 q q && =
Equação da condução de calor
267
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 20
� (c) Substituindo na equação geral:
� C2� constante arbitrária
� Soluções múltiplas
( ) 21 CxCxT +⋅=
( ) 20 Cxk
q
xT +⋅−=
&
Equação da condução de calor
268
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Considere a base de um ferro de passar de 1200 W que possui uma
espessura L = 0,5 cm, área da base A = 300 cm2 e condutividade
térmica k = 15 W/(m.°C). A superfície interior da base é sujeita a um
fluxo térmico uniforme gerado pelo fio de resistência interno e a
superfície externa perde calor para o ambiente com T = 20°C, por
convecção. Tomando o coeficiente de transferência de calor por
convecção como h = 80 W/(m2.°C) e desconsiderando qualquer
perda por radiação. Obtenha uma expressão para a variação de
temperatura na base e avalie as temperaturas nas superfícies interna e
externa.
Equação da condução de calor
269
� Solução de problemas de condução de calor unidimensionais em 
regime permanente
� Exemplo 21 - Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (parede grande em relação a sua espessura e 
condições térmicas uniformes dos dois lados)
� Condutividade térmica constante
� Não há geração de calor
� Transferência de calor por radiação é desprezível
� Parte superior do ferro é bem isolada para que todo calor gerado seja transferido 
para a base.
Equação da condução de calor
270
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Fluxo térmico fornecido à base:
base
0
0 A
Qq
&
& = 20 m 0,03
 W1200q =→ & 20 m
W40000q =→ &
Equação da condução de calor
271
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Superfície externa� convecção
� Tomando a direção normal à superfície da parede como a direção da
coordenada x, a equação diferencial para esse problema pode ser
expressa como:
t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
0
dx
Td
2
2
=
Equação da condução de calor
272
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Condições de contorno
( )
0qdx
0dTk &=−
( ) ( )[ ]
∞
−=− TLTh
dx
LdTk 
20 m
W40000q =→ &
Equação da condução de calor
273
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Solução geral
� 1ª condição de contorno
0
dx
Td
2
2
= 1Cdx
dT
=→ ( ) 21 CxCxT +⋅=→
01 qCk &=⋅−→ k
qC 01
&
−=→
( )
0qdx
0dTk &=−
Equação da condução de calor
274
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� 2ª condição de contorno
� Substituindo C1 e isolando C2
1Cdx
dT
= ( ) 21 CLCLT +⋅=
( ) ( )[ ]
∞
−=− TLTh
dx
LdTk ( )[ ]
∞
−+⋅=⋅−→ TCLChCk 211 k
qC 01
&
−=
L
k
q
h
qTC 002
&&
++=
∞
Equação da condução de calor
275
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionaisem regime permanente
� Exemplo 21
� Substituindo as constantes C1 e C2 na equação geral: ( ) 21 CxCxT +⋅=
( ) 





+
−
+=
∞ h
1
k
xLqTxT 0&
Equação da condução de calor
276
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Encontrando as temperaturas das superfícies interna e externa:
� x = 0 m ( ) 





++=
∞ h
1
k
LqT0T 0&
( ) 




 °⋅
+
°⋅






+°=
W
Cm
80
1
W
Cm
15
m 0,005
m
W40000C200T
2
2
( ) C3350T °=
Equação da condução de calor
277
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 21
� Encontrando as temperaturas das superfícies interna e externa:
� x = L ( ) 





+=
∞ h
1qTLT 0&
( ) 




 °⋅






+°=
W
Cm
80
1
m
W40000C200T
2
2 ( ) C0250T °=
Equação da condução de calor
278
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Considere uma parede grande plana de espessura L = 0,06 m e
condutividade térmica k = 1,2W/(m.°C) no espaço. A parede está coberta
com ladrilhos de porcelana branca que possuem emissividade E = 0,85 e
absortividade solar de α = 0,26. A superfície interna da parede é mantida
a T1 = 300 K por todo o tempo, enquanto a superfície exterior é exposta
a radiação solar que incide a uma taxa de 800W/m2. A superfície exterior
também está perdendo calor para o espaço profundo a 0K. Determine a
temperatura da superfície exterior da parede e a taxa de transferência de
calor através da parede quando se alcança o regime permanente. Qual
seria sua resposta se nenhuma radiação solar estivesse incidindo sobre a
parede?
Equação da condução de calor
279
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22 - Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (parede grande em relação a sua 
espessura e condições térmicas uniformes dos dois lados)
� Condutividade térmica constante
� Não há geração de calor
Equação da condução de calor
280
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Tomando a direção normal à superfície da parede como a direção da
coordenada x, a equação diferencial para esse problema pode ser
expressa como:
� Condições de contorno:
t
T
α
1
k
g
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ &
0
dx
Td
2
2
=
( ) 300KT0T 1 == ( ) ( )[ ] solar4espaço4 qαTLTεσdx
LdTk &⋅−−=−
K 0Tespaço =
Equação da condução de calor
281
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Solução geral
� 1ª condição de contorno
� 2ª condição de contorno
( ) 21 C0C0T +×= 12 TC =→
( ) 21 CxCxT +⋅=
1Cdx
dT
= ( ) 21 CLCLT +⋅=
( ) ( ) solar4 qαLεσTdx
LdTk &⋅−=− ( ) solar4111 qαTLCεσCk &⋅−+⋅=⋅−→
Equação da condução de calor
282
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� 2ª condição de contorno
� C1� única incógnita
� Equação não-linear ( ) solar4111 qαTLCεσCk &⋅−+⋅=⋅−
Equação da condução de calor
283
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� 2ª condição de contorno ( ) LTLT = ( ) 21 CLCLT +⋅=
( ) ( ) solar4 qαLεσTdx
LdTk &⋅−=−
solar
4
L1 qαεσTCk &⋅−=⋅−→
k
εσTqαC
4
Lsolar
1
−⋅
=
&
Equação da condução de calor
284
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Substituindo as constantes C1 e C2 na equação geral:
� Em x = L:
( ) 21 CxCxT +⋅=
( ) 1
4
Lsolar Tx
k
εσTqα
xT +−⋅=
&
1
4
Lsolar
L TLk
εσTqαT +−⋅=
&
Equação da condução de calor
285
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Em x = L:
( ) ( )
K 300m 0,06
Km
W1,2
TKm
W105,670,85
m
W8000,26
T
4
L42
8
2
L +
⋅
⋅
⋅
×⋅−⋅
=
−






⋅−=
100
T240975,04,310T
4
L
L
Equação da condução de calor
286
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Solução:
� Chute inicial�TL = 300 K
4
L
L 100
T0,240975310,4T 





⋅−=
K 290,2TL =






⋅−=
100
T240975,04,310T
4
L
L
→
K 293,1TL =
K 292,6TL =
K 292,7TL = K 292,7TL =
→
→
→
Equação da condução de calor
287
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Distribuição de temperatura:
( ) ( ) ( )
K 300m 0,06
Km
W1,2
K 292,7Km
W105,670,85
m
W8000,26
T
4
42
8
2
L +
⋅
⋅
⋅
×⋅−⋅
=
−
( ) K 300x
m
K121,5xT +⋅





−=
Equação da condução de calor
288
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Nota-se que a temperatura exterior é menor do que a temperatura
interior.
� Assim, a transferência de calor através da parede será na direção
exterior apesar da absorção de radiação solar pela superfície exterior.
Equação da condução de calor
289
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� Fluxo térmico:
L
TTkq L0 −=&
( )
m 0,06
K292,7300
Km
W1,2q −⋅





⋅
=&
2m
W146q =&
Equação da condução de calor
290
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 22
� No caso de nenhuma incidência de radiação solar sobre a superfície
exterior, a temperatura exterior seriaTL = 284,3 K.
Equação da condução de calor
291
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� Considere um tubo de vapor com comprimento L = 20 m, raio
interno r1 = 6 cm, raio externo r2 = 8 cm e condutividade térmica
k = 20 W/(m.°C). As superfícies interna e externa do tubo são
mantidas a temperaturas médias T1 = 150°C e T2 = 60°C,
respectivamente. Obtenha a relação geral para a distribuição de
temperatura dentro do tubo sob regime permanente e determine a
taxa de perda de calor do vapor através do tubo.
Equação da condução de calor
292
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23 – Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (simetria térmica em relação ao 
centro do tubo e não há variação na direção axial, T=T(r))
� Condutividade térmica constante
� Não há geração de calor
Equação da condução de calor
293
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� A formulação matemática deste problema pode ser expressa como:
� Condições de contorno:
t
TCρg
z
Tk
z
Tk
r
1
r
T
rk
rr
1
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&φφ 0dr
dT
r
dr
d
=





⋅
( ) C150TrT 11 °==
( ) C60TrT 22 °==
Equação da condução de calor
294
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� 1ª integração
� 2ª integração
1Cdr
dT
r =
r
C
dr
dT 1
=
( ) 21 Crln CrT +⋅=
Equação da condução de calor
295
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente� Exemplo 23
� 1ª condição de contorno
� 2ª condição de contorno
( ) 11 TrT = 1211 TCrln C =+⋅→
( ) 22 TrT = 2221 TCrln C =+⋅→
Equação da condução de calor
296
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� Resolvendo o sistema de equações:






−
=
1
2
12
1
r
rln
TTC 1
1
2
12
12 rln 
r
rln
TTTC






−
−=
Equação da condução de calor
297
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� Substituindo na equação geral: ( ) 21 Crln CrT +⋅=
( ) ( ) 112
1
2
1 TTT
r
rln
r
rln
rT +−












=
Equação da condução de calor
298
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� Perda de calor � lei de Fourier
( )
r
CLrπ2k
dr
dTAkQ 1cilindro ⋅⋅⋅⋅−=⋅−=&






−
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅−=
1
2
21
1cilindro
r
rln
TTLkπ2CLkπ2Q&
Equação da condução de calor
299
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 23
� Perda de calor
( ) ( )





°−
⋅⋅





°⋅
⋅⋅=
0,06
0,08ln
C60150
m 20
Cm
W20π2Qcilindro&
kW 786Qcilindro =&
Equação da condução de calor
300
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Considere um recipiente esférico com raio interno r1 = 8cm, raio
externo r2 = 10cm e condutividade térmica k = 45 W/(m.°C). As
superfícies interna e externa do recipiente são mantidas à
temperaturas constantes T1 = 200°C e T2 = 80°C, respectivamente,
como resultado de alguma reação química ocorrendo no seu interior.
Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura dentro do
parede sob regime permanente e determine a taxa de perda de calor
do recipiente.
Equação da condução de calor
301
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24 – Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (simetria térmica em relação ao 
centro, T=T(r))
� Condutividade térmica constante
� Não há geração de calor
Equação da condução de calor
302
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� A formulação matemática deste problema pode ser expressa como:
� Condições de contorno:
t
TCρg
z
T
θsen k
θθsen r
1Tk
θsenr
1
r
T
rk
rr
1
222
2
2 ∂
∂
⋅⋅=+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
⋅
+





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
+





∂
∂
⋅⋅
∂
∂
&φφ
0
dr
dT
r
dr
d 2
=





⋅
( ) C200TrT 11 °== ( ) C80TrT 22 °==
Equação da condução de calor
303
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� 1ª integração
� 2ª integração
0
dr
dT
r
dr
d 2
=





⋅
1
2 C
dr
dT
r =⋅
2
1
r
C
dr
dT
=→
( ) 21 C
r
C
rT +−=
Equação da condução de calor
304
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Condições de contorno
( ) 11 TrT =
( ) 22 TrT =
12
1
1 TC
r
C
=+−→
22
2
1 TC
r
C
=+−→
Equação da condução de calor
305
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Resolvendo o sistema de equações:
( )21
12
21
1 TT
rr
rrC −
−
⋅
−=
12
1122
2
rr
TrTrC
−
⋅−⋅
=
Equação da condução de calor
306
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Substituindo na equação geral:
( ) 21 C
r
C
rT +−=
( ) ( ) ( ) 12
1122
21
12
21
rr
TrTrTT
rrr
rr
rT
−
⋅−⋅
+−
−
⋅
=
Equação da condução de calor
307
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Perda de calor � lei de Fourier
( ) 212esfera r
C
rπ4k
dr
dTAkQ ⋅⋅⋅−=⋅−=&
( )21
12
21
1esfera TT
rr
rrkπ4Ckπ4Q −
−
⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅−=
&
Equação da condução de calor
308
� Solução de problemas de condução de calor 
unidimensionais em regime permanente
� Exemplo 24
� Perda de calor
( )
( ) ( ) C80200m0,080,10
m 0,10m 0,08
Cm
W45π4Qesfera °−
−
⋅






°⋅
⋅⋅=
&
 W27140Qesfera =&
Equação da condução de calor
309
� Geração de calor em um sólido
� Aplicações práticas da transferência de calor
� Conversão de alguma forma de energia em energia térmica no meio.
� Geração de calor no meio � aumento de temperatura do meio
Equação da condução de calor
310
� Geração de calor em um sólido
� Geração de calor (por unidade de volume)
� Geração de calor em um fio de raio r0 e comprimento L
VgG ⋅= &&
V
Gg
&
& =→ 





→ 3m
W
fio
elétricog,
V
E
g
&
& =
Lrπ
RIg 2
0
e
2
⋅⋅
⋅
=&
Equação da condução de calor
311
� Geração de calor em um sólido
� A temperatura do meio aumenta durante a geração de calor devido
a absorção do calor gerado pelo meio durante o período inicial em
regime não permanente.
� A medida que a temperatura do meio aumenta, a transferência de
calor do meio para o ambiente também aumenta.
� Este processo continua até a condição de regime permanente ser
alcançada e a taxa de geração de calor se igualar com a taxa de
transferência de calor para o ambiente.
� Ao alcançar o regime permanente, a temperatura do meio em
qualquer ponto não muda mais.
Equação da condução de calor
312
� Geração de calor em um sólido
� A temperatura máxima (Tmax) em um sólido que envolve geração de
calor uniforme irá ocorrer no ponto mais distante da superfície
exterior quando a superfície exterior do sólido for mantida a uma
temperatura constante (Ts).
� Temperatura máxima
� Parede plana� plano central
� Cilindro longo� linha central
� Esfera� ponto central
� Distribuição de temperatura no sólido� simétrica
Equação da condução de calor
313
� Geração de calor em um sólido
� Quantidades de interesse em um sólido com geração de calor
� Temperatura da superfície (Ts)
� Temperatura máxima (Tmax)
� Ocorrem no meio em regime permanente
Equação da condução de calor
314
� Geração de calor em um sólido
� Considere um meio sólido de área superficial As, volume V e
condutividade térmica constante k, no qual calor é gerado a
uma taxa constante ( ) por unidade de volume.
� Calor é transferido para o ambiente a T ,com um coeficiente
de transferência de calor constante h.
� Todas as superfícies do sólido são mantidas à temperaturaTs.
g&
∞
Equação da condução de calor
315
� Geração de calor em um sólido
� Sob regime permanente, o balanço de energia 
para este sólido pode ser expresso como:
� Desconsiderando a radiação ou incorporando-a ao coeficiente
de transferência de calor h, a taxa de transferência de calor
pode ser expressa pela lei de Newton para o resfriamento:










=










sólido do
 dentro energia de
geração de Taxa
sólido docalor de
 ciatransferên
de Taxa ( )W VgQ ⋅= &&
( ) ( )W TTAhQ ss ∞−⋅⋅=&
Equação da condução de calor
316
� Geração de calor em um sólido
� Combinando as duas equações anteriores e isolando a
temperatura da superfície:
� Parede plana
� Espessura 2L
s
s Ah
VgTT
⋅
⋅
+=
∞
&
paredes A2A ⋅=paredeAL2V ⋅⋅= h
LgTT plana parede s,
⋅
+=
∞
&
Equação da condução de calor
317
� Geração de calor em um sólido
� Combinando as duas equações anteriores e isolando a
temperatura da superfície:
� Cilindro sólido longo
� Raio r0
s
s Ah
VgTT
⋅
⋅
+=
∞
&
Lrπ2A 0s ⋅⋅⋅=
LrπV 20 ⋅⋅= h2
rgTT 0cilindro s,
⋅
⋅
+=
∞
&
Equação da condução de calor
318
� Geração de calor em um sólido
� Combinando as duas equações anteriores e isolando a
temperatura da superfície:
� Esfera sólida
� Raio r0
s
s Ah
VgTT
⋅
⋅
+=
∞
&
h3
rgTT 0esfera s,
⋅
⋅
+=
∞
&
2
0s rπ4A ⋅⋅=
3
0rπ3
4V ⋅=
Equação da condução de calor
319
� Geração de calor em um sólido
� Considere a transferência de calor em um cilindro longo com
geração de calor.
� Sob regime permanente� todo o calor gerado no meio é transferido
através da superfície exterior do cilindro.
� Considere agora um cilindro interno imaginário de raio r
dentro do cilindro.
Equação da condução de calor
320
� Geração de calor em um sólido
� O calor gerado dentro do cilindro interno 
deve ser igual ao calor conduzido através da 
superfície exterior deste cilindro interno.
� Lei de Fourier
� Substituindo na equação:
rr Vgdr
dTAk ⋅=⋅− & Lrπ2A r ⋅⋅⋅=
LrπV 2r ⋅⋅=
( ) ( )Lrπg
dr
dTLrπ2k 2 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅− & rdrk2
gdT
⋅
−=→
&
Equação da condução de calor
321
� Geração de calor em um sólido
� Integrando
� r = 0 � T(0) = T0 a r = r0 � T(r0) = Ts
� T0: temperatura na linha central (temperatura máxima)
� ∆Tmax: diferença entre as temperaturas da linha central e da superfície
� Que é o aumento máximo de temperatura no cilindro acima da temperatura da 
superfície
k4
rgTT∆T
2
0
s0cilindromax,
⋅
⋅
=−=
&
Equação da condução de calor
322
� Geração de calor em um sólido
� Uma vez que ∆Tmax está disponível, a 
temperatura da linha central pode ser 
determinada por:
� Parede plana
� Esfera sólida
maxs0centro ∆TTTT +==
k2
Lg
∆T
2
plana parede max,
⋅
⋅
=
&
k6
rg
∆T
2
0
cilindromax,
⋅
⋅
=
&
Equação da condução de calor
323
� Geração de calor em um sólido
� Exemplo 25
� Um fio de resistência de aquecimento de 2 kW, cuja condutividade
térmica é k = 15 W/(m.°C), tem diâmetro D = 4 mm e comprimento
L = 0,5 m e é usado para ferver água. Se a temperatura da superfície
exterior do fio de resistência é Ts = 105°C, determine a temperatura
no centro do fio.
Equação da condução de calor
324
� Geração de calor em um sólido
� Exemplo 25 - Hipóteses
� Regime permanente
� Condução de calor unidimensional (simetria térmica em relação à 
linha central e não há variação na direção axial)
� Condutividade térmica constante
Equação da condução de calor
325
� Geração de calor em um sólido
� Exemplo 25
� Geração de calor por unidade de volume
fio
gen
V
Q
g
&
& =
3
9
m
W100,318g ×=→ &
Lrπ
Q
g 2
0
gen
⋅⋅
=→
&
&
( ) ( )m 0,5m 0,002π
 W2000g 2
⋅⋅
=&
Equação da condução de calor
326
� Geração de calor em um sólido
� Exemplo 25
� Temperatura central
k4
rgTT
2
0
s0
⋅
⋅
+=
&
( ) ( )
( )CmW 154
m 0,002
m
W100,318
C105T
2
3
9
0
°⋅
⋅
⋅×
+°=
C126T0 °=