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Condução de calor em regime permanente 327 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Inverno � condução de calor em regime permanente através da parede de uma casa � Transferência de calor � direção normal à superfície da parede. � Transferência de calor desprezível nas outras direções. Condução de calor em regime permanente 328 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Transferência de calor em uma direção � gradiente de temperatura � Não haverá transferência de calor na direção na qual não há variação de temperatura. � Medições de temperatura em diversos locais na superfície interna e externa � superfície isotérmica Condução de calor em regime permanente 329 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Modelamento da transferência de calor � Regime permanente � Unidimensional � Temperatura na parede irá depender apenas da direção x �T(x) Condução de calor em regime permanente 330 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Transferência de calor é a única interação de energia ocorrendo neste caso. � Não há geração de calor. � Balanço de energia para a parede pode ser expresso como: = − parede da energia de mudança de Taxa parede da fora paracalor de ciatransferên de Taxa parede da dentro paracalor de ciatransferên de Taxa Condução de calor em regime permanente 331 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Transferência de calor é a única interação de energia ocorrendo neste caso. � Não há geração de calor. � Balanço de energia para a parede pode ser expresso como: � Regime permanente dt dEQQ paredesaientra =− && 0 dt dEparede = Condução de calor em regime permanente 332 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Transferência de calor na parede � A taxa de transferência de calor através da parede deve ser constante saientra QQ && = constanteQQQ parede condução,saientra === &&& Condução de calor em regime permanente 333 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Considere uma parede de espessura L e condutividade térmica média k. � As duas superfícies desta parede são mantidas à temperaturas constantes T1 e T2. � Para condução de calor em regime permanente unidimensional � T(x) � Lei de Fourier dx dTAkQ parede condução, ⋅−=& ( )W Condução de calor em regime permanente 334 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Lei de Fourier � A temperatura através da parede varia linearmente com a direção x. � Separando as variáveis e integrando: dx dTAkQ parede condução, ⋅−=& constantedx dT =→ ∫∫ == ⋅⋅−=⋅ 2 1 T TT L 0x parede condução, dTAkdxQ& dx dTAkQ parede condução, ⋅−=& Condução de calor em regime permanente 335 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resolvendo a integração e rearranjando os termos: � A taxa de condução de calor através da parede plana é proporcional à condutividade térmica média, à área da parede e à diferença de temperatura,mas é inversamente proporcional à espessura da parede. ( )W L TTAkQ 21parede condução, − ⋅= & Condução de calor em regime permanente 336 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resolvendo a integração e rearranjando os termos: � Uma vez que a taxa de condução é calculada, � a temperatura T(x) em qualquer posição x pode ser determinada substituindoT2 porT e L por x na equação acima. ( )W L TTAkQ 21parede condução, − ⋅= & Condução de calor em regime permanente 337 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Equação da condução de calor � � Rearranjada � � Resistência térmica ( )W L TTAkQ 21parede condução, − ⋅= & ( )W R TTQ parede 21 parede condução, − = & Ak LR parede ⋅ = ° W K ou W C → condução de aResistênci meio do térmicasespropriedad das e geometria da depende condução a contra parede da térmicaaResistênci Condução de calor em regime permanente 338 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � A resistência térmica pode ser expressa como: � É a razão da condução potencial ∆T para a correspondente taxa de transferência Qcondução,parede parede condução, parede Q ∆TR & = Condução de calor em regime permanente 339 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Analogia com o fluxo de corrente elétrica (I): e 21 R VVI −= Aσ LR e e ⋅ = elétrica adecondutividσe → tensãode diferençaVV 21 →− elétrica aresistênciR e → Condução de calor em regime permanente 340 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Analogia com o fluxo de corrente elétrica (I): parede 21 parede condução, R TTQ −=& e 21 R VVI −= Condução de calor em regime permanente 341 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Considere a transferência de calor por convecção na superfície de um sólido de área As e temperatura Ts para um fluido cuja temperatura suficientemente longe do sólido é T∞, com um coeficiente de transferência de calor por convecção h. � Lei de Newton para o resfriamento ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ ssconvecção& Condução de calor em regime permanente 342 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Rearranjando ( )∞−⋅⋅= TTAhQ ssconvecção& ( ) ( )W R TTQ convecção s convecção ∞ − = & s convecção Ah 1R ⋅ = ° W K ou W C convecção de aResistênci calor o contra convecção de superfície da térmicaaResistênci Condução de calor em regime permanente 343 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Coeficiente de convecção de transferência de calor � muito grande � Resistência de convecção � nula � A superfície não oferece qualquer resistência à convecção s convecção Ah 1R ⋅ = ∞→h ∞ ≈ TTs Condução de calor em regime permanente 344 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Considerando os efeitos da radiação � A taxa de transferência de calor por radiação entre uma superfície com emissividade ε e área As, a uma temperatura Ts e as superfícies ao redor a uma temperatura médiaTcir pode ser expressa como: ( )4cir4ssradiação TTAσεQ −⋅⋅⋅=& srad rad Ah 1R ⋅ = radiação a contra superfície da térmicaaResistênci radiação de aResistênci ° W K ou W C( ) rad cirs cirssradradiação R TTTTAhQ −=−⋅⋅=& ( )W Condução de calor em regime permanente 345 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Coeficiente de transferência de calor por radiação ( ) ( )( )cirs2cir2scirss radiação rad TTTTσεTTA Q h ++⋅⋅= −⋅ = & ⋅Km W 2 Condução de calor em regime permanente 346 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Transferência de calor em umasuperfície� convecção e radiação � Transferência total de calor� soma (ou subtração) das componentes de convecção e da radiação � Resistência de convecção e radiação� paralelas � Complicações na rede de resistência térmica Condução de calor em regime permanente 347 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Conceito da resistência térmica � Quando Tcir ≈ T∞ � efeito da radiação � combinado em um coeficiente � Coeficiente de transferência de calor combinado ⋅ += Km W hhh 2radconvcombinado Condução de calor em regime permanente 348 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Considere o fluxo térmico em regime permanente unidimensional através de uma parede plana de espessura L, área A e condutividade térmica k que é exposta à convecção nos dois lados com fluidos à temperaturas T∞1 e T∞2 com coeficientes de transferência de calor h1 e h2, respectivamente. 12 TT ∞∞ < Condução de calor em regime permanente 349 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Sob regime permanente: = = parede da fora para calor de convecção de Taxa parede da através calor de condução de Taxa parede da dentro para calor de convecção de Taxa ( )11s1 TTAhQ −⋅⋅= ∞& L TTAk 21 −⋅= ( )22s2 TTAh ∞−⋅⋅= Condução de calor em regime permanente 350 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Rearranjando ( ) ( )22s22111s1 TTAhL TTAkTTAhQ ∞∞ −⋅⋅= − ⋅=−⋅⋅= & s1 11 Ah 1 TTQ ⋅ − = ∞& conv,1 11 R TTQ −= ∞& Ak L TT 21 ⋅ − = s2 22 Ah 1 TT ⋅ − = ∞ parede 21 R TT − = conv,2 22 R TT ∞ − = Condução de calor em regime permanente 351 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Somando os numeradores e denominadores ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & conv,2paredeconv,1total RRRR ++= s2s1 total Ah 1 Ak L Ah 1R ⋅ + ⋅ + ⋅ = ° W K ou W C Condução de calor em regime permanente 352 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Área de transferência de calor� constante para uma parede plana � Taxa de transferência de calor através de uma parede que separa dois meios � igual a diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total entre os meios � Resistência térmica� em série � Resistência térmica equivalente� soma das resistências individuais (resistência elétrica) Condução de calor em regime permanente 353 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � A taxa de transferência de calor em regime permanente entre duas superfícies é igual a diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total entre as duas superfícies. � A razão da queda de temperatura e da resistência térmica em qualquer camada é constante e a queda de temperatura em qualquer camada é proporcional à resistência térmica da camada. ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & Condução de calor em regime permanente 354 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Quanto maior a resistência, maior a queda de temperatura. RQ∆T ⋅=→ & R ∆TQ =& ( )C° Condução de calor em regime permanente 355 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Algumas vezes é conveniente representar a transferência de calor de através de um meio de maneira análoga a lei de resfriamento de Newton: ( )W ∆TAUQ ⋅⋅=& → calor de ciatransferên de global ecoeficient U ⋅Km W 2 Condução de calor em regime permanente 356 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Comparação entre as equações � Assim, para uma área unitária, o coeficiente de transferência de calor global é igual ao inverso da resistência térmica total ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & ( )W ∆TAUQ ⋅⋅=& totalR 1AU =⋅ K W Condução de calor em regime permanente 357 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � Nota-se que não é necessário conhecer as temperaturas das superfícies da parede para avaliar a taxa de transferência de calor em regime permanente através dela. � É necessário saber os coeficientes de transferência de calor por convecção e as temperaturas dos fluidos nos dois lados da parede. Condução de calor em regime permanente 358 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Rede de resistência térmica � A temperatura da superfície da parede pode ser determinada utilizando o conceito da resistência térmica, mas tomando a superfície na qual a temperatura será determinada como a superfície terminal � Exemplo � assim que Q é avaliado � pode-se determinar a temperaturaT1 conv,1 11 R TTQ −= ∞& ( )Ah1 TTQ 1 11 ⋅ − =→ ∞& Condução de calor em regime permanente 359 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Parede plana com multicamadas � Na prática, encontra-se paredes planas que são constituídas de diversas camadas de materiais diferentes. � O conceito de resistência térmica pode ainda ser utilizado para determinar a taxa de transferência de calor em regime permanente através de paredes compostas. � Divide-se a diferença de temperatura entre as duas superfícies pela resistência térmica total entre elas. Condução de calor em regime permanente 360 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Parede plana com multicamadas � Considere uma parede plana que consiste de duas camadas (parede de tijolos com isolamento). � A taxa de transferência de calor em regime permanente através desta parede composta por duas camadas pode ser expressa como: total 21 R TTQ ∞∞ −=& total térmicaaresistênciR total → Condução de calor em regime permanente 361 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Parede plana com multicamadas � Taxa de transferência de calor total 21 R TTQ ∞∞ −=& conv,1total RR = Ah 1R 1 total ⋅ = parede,1R+ parede,2R+ conv,2R+ Ak L 1 1 ⋅ + Ak L 2 2 ⋅ + Ah 1 2 ⋅ + Condução de calor em regime permanente 362 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Parede plana com multicamadas � Uma vez que Q é conhecida, uma temperatura superficial desconhecida em qualquer superfície ou interface pode ser determinada a partir de: ji total, ji R TTQ − − = & → → − j e i locais os entre total térmicaaresistênci R i local no conhecida atemperaturT ji total, i Condução de calor em regime permanente 363 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Parede plana com multicamadas � Quando as temperaturas dos fluidos T∞1 e T∞2 estão disponíveis e Q calculada, a temperatura na interface T2 pode ser determinada como: parede,1conv,1 21 RR TTQ + − = ∞& Ak L Ah 1 TTQ 1 1 1 21 ⋅ + ⋅ − =→ ∞&Condução de calor em regime permanente 364 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Considere uma janela de painel duplo de altura 0,8 m e largura 1,5 m que consiste de duas camadas de vidro (k = 0,78 W/(m.°C)) de espessura 4 mm, separadas por um espaço de ar estagnado (k = 0,026 W/(m.°C)) de 10 mm de largura. Determine a taxa de transferência de calor em regime permanente através desta janela de painel duplo e a temperatura de sua superfície interna para um dia durante o qual o quarto é mantido a 20°C enquanto a temperatura exterior é -10°C. Tome os coeficientes de transferência de calor por convecção das superfícies interna e externa da janela como h1 = 10 W/(m2.°C) e h2 = 40W/(m2.°C), os quais incluem os efeitos da radiação. Condução de calor em regime permanente 365 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Resistências conv,1total RR = Ah 1RR 1 conv,1i ⋅ == ( ) ( ) Ak LRRRR vidro vidro 3vidro,21vidro,1 ⋅ == vidro,1R+ arR+ vidro,2R+ conv,2R+ Condução de calor em regime permanente 366 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Resistências conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++= Ak LRR ar ar ar2 ⋅ == Ah 1RR 2 conv,20 ⋅ == Condução de calor em regime permanente 367 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Resistências conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++= W C0,08333RR conv,1i °== ( ) ( ) WC0,00427RRRR 3vidro,21vidro,1 °== W C3205,0RR ar2 °== W C02083,0RR conv,20 °== Condução de calor em regime permanente 368 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Resistências conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++= ( ) WC0,020830,004270,32050,004270,08333R total °++++= W C4332,0R total °= Condução de calor em regime permanente 369 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Taxa de transferência de calor total 21 R TTQ ∞∞ −=& ( )[ ] W C0,4332 C1020Q ° °−− = & W69,2Q =& Condução de calor em regime permanente 370 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 26 � Temperatura da superfície interna conv,1 11 R TTQ −= ∞& conv,111 RQTT ⋅−=→ ∞ & C14,2T1 °= W C0,08333 W69,2C20T1 ° ⋅−°= Condução de calor em regime permanente 371 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Análise da condução de calor através de sólidos com multicamadas � Considera-se contato perfeito na interface das duas camadas � Não há nenhuma queda de temperatura � Condição � Superfícies completamente lisas � contato perfeito em todos os pontos � Realidade � Superfícies planas que parecem lisas ao olho nu podem ser ásperas quando examinadas em um microscópio Condução de calor em regime permanente 372 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Quando duas superfícies são pressionadas uma contra a outra, os picos irão formar um bom contato no material mas os vales irão formar espaços preenchidos com ar. � Assim, uma interface irá conter diversos espaços com ar de variados tamanhos que atuam como isolantes devido a baixa condutividade térmica do ar. � Desta maneira, a interface oferece resistência a transferência de calor e esta resistência por are unitária da interface é chamada de resistência térmica de contato (Rc) Condução de calor em regime permanente 373 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � O valor da resistência térmica de contato (Rc) é determinado experimentalmente. � Dados imprecisos � dificuldade na caracterização das superfícies Condução de calor em regime permanente 374 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Considere a transferência de calor através de dois bastões de metal com área de seçãoA que são pressionados um contra o outro. � A transferência de calor através da interface destes dois bastões é a soma das transferência de calor através dos contatos do material e dos espaços nas áreas sem contato: espaçocontato QQQ &&& += Condução de calor em regime permanente 375 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Lei de Newton para o resfriamento � A� área aparente da interface (área da seção dos bastões) � ∆Tinterface�diferença de temperatura efetiva na interface interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=& Condução de calor em regime permanente 376 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Lei de Newton para o resfriamento � hc� condutância térmica de contato interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=& °⋅⋅ = Cm W ∆TA Qh 2 interface c & Condução de calor em regime permanente 377 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Lei de Newton para o resfriamento � Rc� resistência térmica de contato c c h 1R = interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=& °⋅⋅ =→ W Cm Q ∆TAR 2 interface c & contato de térmicaacondutânci da inverso o é contato de térmicaaResistênci Condução de calor em regime permanente 378 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � O valor da resistência térmica de contato depende: � Da rugosidade da superfície; � Das propriedades do material; � Da temperatura e da pressão na interface; � E do tipo de fluido preso na interface. Condução de calor em regime permanente 379 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � A situação se torna mais complexa quando as placas são apertadas com parafusos, rebites ou tarraxas. � A pressão na interface se torna não uniforme. � A resistência térmica de contato neste caso irá depender também na espessura da placa, do raio do parafuso e do tamanho da zona de contato. Condução de calor em regime permanente 380 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Observa-se que a resistência térmica de contato diminui com a diminuição da rugosidade da superfície e com o aumento da pressão na interface. � Valores experimentais da resistência térmica de contato � condutância térmica de contato W Cm0,0005R W Cm0,000005 2 c 2 °⋅ << °⋅ Cm W200000R Cm W2000 2c2 °⋅ << °⋅ Condução de calor em regime permanente 381 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Análise da transferência de calor em um meio que consiste de duas ou mais camadas � � a resistência térmica de contato é significativa? � Comparação do valor da resistência térmica de camadas com valores típicos de resistência térmica de contato. Condução de calor em regime permanente 382 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Resistência térmica por unidade de área de material isolante de espessura 1 cm: � Resistência térmica por unidade de área do cobre de espessura 1 cm: k LR isolantec, = ( )CmW0,04 0,01mR isolantec, °⋅ =→ W Cm0,25R 2 isolantec, °⋅ =→ k LR cobrec, = ( )CmW863 0,01mR cobrec, °⋅ =→ W Cm0,000026R 2 cobrec, °⋅ =→ Condução de calor em regime permanente 383 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas� Resistência térmica de contato � Bons condutores de calor (ex. metais) � resistência térmica de contato é significativa � Isolantes� resistência térmica de contato� desprezível Condução de calor em regime permanente 384 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Resistência térmica de contato� minimizada � Aplicação de um líquido condutor térmico (pasta térmica) como óleo de silicone nas superfícies antes de pressioná-las uma contra a outra � componentes eletrônicos � Substituição do ar na interface por um gás com melhor condutividade térmica atm 1 de pressão e µm 10 de superfície na rugosidade uma para interface na fluidos diferentes com alumínio de placas para contato de térmicaaCondutânci Condução de calor em regime permanente 385 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Resistência térmica de contato � Resistência térmica de contato � minimizada � Inserção de uma folha metálica macia (estanho, prata, cobre, níquel ou alumínio) entre as duas superfícies � Estudos apontam que a resistência térmica de contato pode ser reduzido por um fator de até 7, com uma folha metálica na interface. � Para máximo efeito a folha deve ser bem fina contato de térmica acondutânci na metálicos tosrevestimen de Efeito Condução de calor em regime permanente 386 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 27 � A condutância térmica de contato na interface de duas placas de alumínio de 1 cm de espessura é 11000 W/(m2.K). Determine a espessura de uma placa de alumínio cuja resistência térmica é igual a resistência térmica na interface entre as placas. Condução de calor em regime permanente 387 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 27 � Condutividade térmica do alumínio � Resistência térmica de contato Km W237k ⋅ = c c h 1R = ( )KmW11000 1R 2 c ⋅ =→ W Km100,909R 2 4 c ⋅ ×=→ − Condução de calor em regime permanente 388 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 27 � Resistência térmica por unidade de área de uma placa plana k LR = cRR =→ k LR c =→ kRL c ⋅=→ Cm W237 W Cm100,909L 2 4 °⋅ ⋅ °⋅ ×= − m 0,0215L = cm 2,15L =→ Condução de calor em regime permanente 389 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � O conceito de resistência térmica (analogia elétrica) pode ser utilizado para resolver problemas de transferência de calor em regime permanente que envolvem camadas paralelas ou arranjos em série e paralelo. � Apesar destes problemas serem frequentemente bi ou tridimensionais, soluções aproximadas podem ser obtidas pela suposição de transferência de calor unidimensional e utilizando a rede de resistência térmica. Condução de calor em regime permanente 390 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � Considere a parede composta que consiste de duas camadas em paralelo. � Rede de resistência térmica da parede � Nota-se que a transferência de calor total é a soma da transferência de calor através de cada camada, assim: 21 QQQ &&& += 2 21 1 21 R TT R TTQ −+−=→ & ( ) +−= 21 21 R 1 R 1TTQ& Condução de calor em regime permanente 391 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � Considere a parede composta que consiste de duas camadas em paralelo. total 21 R TTQ −=& 21total R 1 R 1 R 1 += 21 21 total RR RRR + ⋅ =→ Condução de calor em regime permanente 392 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � Considere a parede composta que consiste de camadas em série e paralelo. � Taxa de transferência de calor total total 1 R TTQ ∞−=& Condução de calor em regime permanente 393 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � Considere a parede composta que consiste de camadas em série e paralelo. � Resistência total 12total RR = 21 21 total RR RRR + ⋅ = 3R+ convR+ 3R+ convR+ Condução de calor em regime permanente 394 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Redes generalizadas de resistência térmica � Considere a parede composta que consiste de camadas em série e paralelo. � Resistências 11 1 1 Ak LR ⋅ = 33 3 3 Ak LR ⋅ = 22 2 2 Ak LR ⋅ = 3 conv Ah 1R ⋅ = Condução de calor em regime permanente 395 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Uma parede com 3 m de altura e 5 m de largura consiste de tijolos com seção de 16 cm x 22 cm separados por camadas de gesso com 3 cm de espessura (k = 0,22 W/(m.°C)). Existem também camadas de gesso de 2 cm de espessura de cada lado dos tijolos e uma espuma rígida (k = 0,026 W/(m.°C)) de 3 cm de espessura na parte interna da parede. As temperaturas interna e externa são 20°C e -10°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção nos lados interno e externo são h1 =10 W/(m2.°C) e h2 = 25 W/(m2.°C), respectivamente. Assumindo transferência de calor unidimensional e desprezando o efeito da radiação, determine a taxa de transferência de calor através da parede. Condução de calor em regime permanente 396 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 Condução de calor em regime permanente 397 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 – Hipóteses � Transferência de calor em regime permanente � Transferência de calor unidimensional (predominante na direção x) � Condutividade térmica constante � Transferência de calor por radiação desprezível Condução de calor em regime permanente 398 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Padrão de construção� repete a cada 25 cm Condução de calor em regime permanente 399 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 Ah 1RR 1 conv,1i ⋅ == Ak LRR espuma1 ⋅ == Ak LRRR ladogesso,62 ⋅ === Condução de calor em regime permanente 400 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 Ak LRRR centrogesso,53 ⋅ === Ak LRR tijolo4 ⋅ == Ah 1RR 2 conv,2o ⋅ == Condução de calor em regime permanente 401 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 ( ) ( ) 22 conv,1i m 10,25Cm W10 1RR ×⋅ °⋅ == W C0,4RR conv,1i ° == ( ) ( ) 2 espuma1 m 10,25Cm W0,026 m 0,03RR ×⋅ °⋅ == W C4,6RR espuma1 ° == Condução de calor em regime permanente 402 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 ( ) ( ) 2 ladogesso,62 m10,25Cm W0,22 m 0,02RRR ×⋅ °⋅ === W C0,36RRR ladogesso,62 ° === ( ) ( ) 2 centrogesso,53 m 10,015Cm W0,22 m 0,16RRR ×⋅ °⋅ === W C48,48RRR centrogesso,53 ° === Condução de calor em regime permanente 403 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 ( ) ( ) 2 tijolo4 m10,22Cm W0,72 m 0,16RR ×⋅ °⋅ == ( ) ( ) 2 conv,2o m 10,25CmW52 1RR ×⋅ °⋅ == W C01,1RR tijolo4 ° == W C16,0RR conv,2o ° == Condução de calor em regime permanente 404 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Resistências� R3, R4 e R5� em paralelo 543meio R 1 R 1 R 1 R 1 ++= C W1,03 R 1 meio ° = 48,48 1 1,01 1 48,48 1 R 1 meio ++=→ W C0,97Rmeio ° =→ Condução de calor em regime permanente 405 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Resistência total o6meio21itotal RRRRRRR +++++= 0,160,360,970,364,60,4R total +++++= W C6,85R total ° = Condução de calor em regime permanente 406 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Taxa de transferência de calor total 21 R TTQ ∞∞ −=& ( )[ ] W C6,85 C1020Q ° °−− =→ & W4,38Q =→ & 2m 0,25 de área uma em 2m 0,25 W4,38Q =& 2m W17,5Q =→ & Condução de calor em regime permanente 407 � Condução de calor em regime permanente em paredes planas � Exemplo 28 � Área total da parede � � Taxa de transferência de calor total m 5m 3A ×= 2m 15A =→ 2 2 m 15m W17,5Q ×=& W263Q =→ & Condução de calor em regime permanente 408 � Condução de calor em cilindros e esferas � Considere a condução de calor em regime permanente através de um tubo de água quente. � Calor é continuamente perdido para o ambiente pela parede do tubo na direção normal da superfície do tubo e a transferência de calor em outras direções é desprezível. Condução de calor em regime permanente 409 � Condução de calor em cilindros e esferas � A parede do tubo, cuja espessura é pequena, separa dois fluidos a temperaturas diferentes e, assim, o gradiente de temperatura na direção radial será relativamente grande. � Se as temperaturas dos fluidos no interior e exterior do tubo permanecerem constantes, a transferência de calor através do tubo será em regime permanente. � Modelamento da transferência de calor através do tubo � regime permanente e unidimensional � A temperatura do tubo irá depender somente de uma direção (direção radial)�T=T(r) Condução de calor em regime permanente 410 � Condução de calor em cilindros e esferas � A temperatura independe do ângulo e da distância axial � Situação é aproximada na prática em tubos cilíndricos longos e recipientes esféricos � Em regime permanente, não há mudança da temperatura do tubo em qualquer ponto. � Assim, a taxa de transferência de calor para dentro do tubo deve ser igual a taxa de transferência de calor para fora dele. � A transferência de calor através do tubo deve ser constante. constanteQ cilindro cond, =& Condução de calor em regime permanente 411 � Condução de calor em cilindros e esferas � Considere o comprimento de uma camada cilíndrica (como um tubo circular) de raio interno r1, raio externo r2, comprimento L e condutividade térmica média k. � As duas superfícies desta camada cilíndrica são mantidas à temperaturas constantes T1 e T2. � Não há geração de calor e a condutividade térmica é constante. Condução de calor em regime permanente 412 � Condução de calor em cilindros e esferas � Para condução de calor unidimensional através da camada cilíndrica�T=T(r) � Lei de Fourier ( )W dr dTAkQ cilindrocond, ⋅−=& Lrπ2A ⋅⋅⋅= Condução de calor em regime permanente 413 � Condução de calor em cilindros e esferas � Separando as variáveis e integrando: ∫∫ == ⋅−=⋅ 2 1 2 1 T TT r rr cilindrocond, dTkdr A Q& Lrπ2A ⋅⋅⋅= − ⋅⋅⋅= 1 2 21 cilindrocond, r rln TTkLπ2Q& constanteQ cilindro cond, =& ( )W R TTQ cilindro 21 cilindrocond, − = & kLπ2 r rln R 1 2 cilindro ⋅⋅⋅ = ( ) ( ) ( ) térmicaadeCondutividoComprimentπ2 interno raio externo raioln R cilindro ⋅⋅⋅ = dr dTAkQ cilindrocond, ⋅−=& Condução de calor em regime permanente 414 � Condução de calor em cilindros e esferas � Para condução de calor unidimensional através da camada esférica�T=T(r) 2rπ4A ⋅⋅=∫∫ == ⋅−=⋅ 2 1 2 1 T TT r rr cilindrocond, dTkdr A Q& ( )W R TTQ esfera 21 esferacond, − = & krrπ4 rrR 21 12 esfera ⋅⋅⋅⋅ − = ( ) ( ) ( ) térmicaadeCondutividexterno Raiointerno Raioπ4 interno Raioexterno RaioR esfera ⋅⋅⋅⋅ − = dr dTAkQ cilindrocond, ⋅−=& Condução de calor em regime permanente 415 � Condução de calor em cilindros e esferas � Considere um fluxo de calor unidimensional em regime permanente em uma camada cilíndrica ou esférica que é exposta a convecção nos dois lados com fluidos à temperaturas T∞1 e T∞2 com coeficientes de transferência de calor h1 e h2, respectivamente. Condução de calor em regime permanente 416 � Condução de calor em cilindros e esferas � Rede de resistência térmica� em série � 1 resistência de condução � 2 resistências de convecção � Taxa de transferência de calor em regime permanente ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & Condução de calor em regime permanente 417 � Condução de calor em cilindros e esferas � Taxa de transferência de calor em regime permanente � Resistência total (cilindro) ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & 1 conv,total RR = ( ) 11total hLrπ2 1R ⋅⋅⋅⋅ = Lrπ2A ⋅⋅⋅= cilindroR+ 2 conv,R+ kLπ2 r rln 1 2 ⋅⋅⋅ + ( ) 22 hLrπ2 1 ⋅⋅⋅⋅ + Condução de calor em regime permanente 418 � Condução de calor em cilindros e esferas � Taxa de transferência de calor em regime permanente � Resistência total (esfera) ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & 1 conv,total RR = ( ) 121total hrπ4 1R ⋅⋅⋅ = 2rπ4A ⋅⋅= esferaR+ 2 conv,R+ krrπ4 rr 21 12 ⋅⋅⋅⋅ − + ( ) 222 hrπ4 1 ⋅⋅⋅ + Condução de calor em regime permanente 419 � Condução de calor em cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � Transferência de calor em regime permanente em carcaças cilíndricas ou esféricas com multicamadas pode ser avaliada da mesma maneira que paredes planas com multicamadas. � Simplesmente pela soma da resistência adicional em série de cada camada adicional. Condução de calor em regime permanente 420 � Condução de calor em cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � Taxa de transferência de calor em regime permanente através de um cilindro composto de comprimento L com três camadas e com convecção dos dois lados: ( )W R TTQ total 21 ∞∞ − = & Condução de calor em regime permanente 421 � Condução de calor em cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � Resistência total 1 conv,total RR = 11 total Ah 1R ⋅ = Lrπ2A 11 ⋅⋅⋅= Lrπ2A 44 ⋅⋅⋅= cilindro,1R+ cilindro,2R+ cilindro,3R+ 2 conv,R+ 1 1 2 kLπ2 r rln ⋅⋅⋅ + 2 2 3 kLπ2 r rln ⋅⋅⋅ + 3 3 4 kLπ2 r rln ⋅⋅⋅ + 42 Ah 1 ⋅ + Condução de calor em regime permanente 422 � Condução de calor em cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � A equação anterior pode ser utiliza para sistemas esféricos, fazendo a substituição das resistências térmicas cilíndricas pelas resistências térmicas da esfera. � Após Q ser calculado, pode determinar qualquer temperatura intermediaria ji- total, ji R TTQ −=& Condução de calor em regime permanente 423 � Condução de calorem cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � Calculando a temperatura T2 (1ª opção) cilindro,1conv,1 21 RR TTQ + − = ∞& ( ) 1 1 2 11 21 kLπ2 r rln Lrπ2h 1 TTQ ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅⋅ − = ∞& Condução de calor em regime permanente 424 � Condução de calor em cilindros e esferas � Cilindros e esferas com multicamadas � Calculando a temperatura T2 (2ª opção) conv,2cilindro,3cilindro,2 22 RRR TTQ ++ − = ∞& ( )Lrπ2h 1 kLπ2 r rln kLπ2 r rln TTQ 4o3 3 4 2 2 3 22 ⋅⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ − = ∞& Condução de calor em regime permanente 425 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Vapor a T∞1 = 320°C escoa em um tubo de ferro fundido (k = 80 W/(m.K)) cujo diâmetro interior e exterior são D1 = 5 cm e D2 = 5,5 cm, respectivamente. O tubo está coberto com isolante de lã de vidro (k = 0,05 W/(m.K)) com 3 cm de espessura. Calor é perdido para o ambiente a T∞2 = 5°C por convecção natural e radiação, com um coeficiente de transferência de calor combinado de h2 = 18 W/(m2.K). Tomando o coeficiente de transferência de calor dentro do tubo como h1 = 60 W/(m2.K), determine a taxa de perda de calor do vapor por unidade de comprimento do tubo. Determine também a queda de temperatura através da carcaça do tubo e do isolante. Condução de calor em regime permanente 426 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 – Hipóteses � Transferência de calor em regime permanente � Transferência de calor unidimensional (simetria térmica em relação à linha central) � Condutividade térmica constante � Resistência de contato na interface desprezível Condução de calor em regime permanente 427 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Rede de resistência térmica � 4 resistências em série � Tomando o comprimento como L = 1m ( ) ( ) 2 1 1 11 m 0,157A m 1m 0,025π2A Lrπ2A = ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅= ( ) ( ) 2 3 3 33 m 0,361A m 1m 0,0575π2A Lrπ2A = ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅= Condução de calor em regime permanente 428 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Resistências térmicas 11 conv,1i Ah 1RR ⋅ == ( )22 conv,1i m 0,157 Cm W60 1RR ⋅ °⋅ == W C0,160RR conv,1i ° == Condução de calor em regime permanente 429 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Resistências térmicas 1 1 2 tubo1 kLπ2 r rln RR ⋅⋅⋅ == ( ) °⋅ ⋅⋅⋅ == Cm W80m 1π2 2,5 2,75ln RR tubo1 W C0,0002RR tubo1 ° == Condução de calor em regime permanente 430 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Resistências térmicas 2 2 3 isolante2 kLπ2 r rln RR ⋅⋅⋅ == ( ) °⋅ ⋅⋅⋅ == Cm W05,0m 1π2 2,75 5,75ln RR isolante2 W C35,2RR isolante2 ° == Condução de calor em regime permanente 431 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Resistências térmicas 32 conv,2o Ah 1RR ⋅ == ( )22 conv,2o m 0,361 Cm W81 1RR ⋅ °⋅ == W C0,154RR conv,2o ° == Condução de calor em regime permanente 432 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Resistência térmica total o21itotal RRRRR +++= 0,1542,350,00020,106R total +++= W C2,61R total ° = Condução de calor em regime permanente 433 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Taxa de perda de calor em regime permanente total 21 R TTQ ∞∞ −=& ( ) W C2,61 C5320Q ° °− = & ( ) tubode m 1por W 121Q =& Condução de calor em regime permanente 434 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 29 � Queda de temperatura tubotubo RQ∆T ⋅= & isolanteisolante RQ∆T ⋅= & ( ) ° ⋅= W C0,0002 W121∆Ttubo C0,02∆Ttubo °= ( ) ° ⋅= W C35,2 W121∆Tisolante C842∆Tisolante °= Condução de calor em regime permanente 435 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Adicionar mais isolantes a uma parede sempre diminui a transferência de calor. � Quanto maior a espessura do isolante, menor a taxa de transferência de calor. � Área de transferência de calor� constante � Adição de isolante � aumento da resistência térmica da parede sem aumento da resistência à convecção Condução de calor em regime permanente 436 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Adição de isolamento à um tubo cilíndrico ou a uma carcaça esférica � situação diferente � O isolamento adicional aumenta a resistência a condução da camada isolante mas diminui a resistência à convecção da superfície devido ao aumento da área superficial para convecção. Condução de calor em regime permanente 437 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Considere um tubo cilíndrico de raio externo r1 cuja temperatura da superfície externa T1 é mantida constante. � O tubo é isolado com um material cuja condutividade térmica é k e raio externo é r2. � Calor é perdido do tubo para o ambiente a T∞ com um coeficiente de transferência de calor por convecção h. Condução de calor em regime permanente 438 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Taxa de transferência de calor convisolante 1 RR TTQ + − = ∞& ( )Lrπ2h 1 kLπ2 r rln TTQ 2 1 2 1 ⋅⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ − = ∞& Condução de calor em regime permanente 439 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Variação de Q com o raio externo (r2) � Raio crítico de isolamento (cilindro) r deValor 2 h k r cilindro crit, = máximo Q &→ 0 dr Qd 2 =→ & Condução de calor em regime permanente 440 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Raio crítico de isolamento (cilindro) � A taxa de transferência de calor para fora do cilindro aumenta com a adição de isolante para r2 < rcrit � Alcança o máximo para r2 = rcrit � E diminui para r2 >rcrit Condução de calor em regime permanente 441 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Raio crítico de isolamento (cilindro) � O valor do raio crítico (rcrit) será grande quando a condutividade térmica (k) é grande e o coeficiente de transferência de calor por convecção (h) for pequeno. � Menor valor de h� 5W/(m2.°C) � Condutividade térmica de isolantes� 0,05W/(m.°C) Condução de calor em regime permanente 442 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Raio crítico de isolamento (cilindro) � Raio crítico máximo min isolante max, max crit, h k r = ( ) ( )CmW5 Cm W0,05 r 2 max crit, °⋅ °⋅ ≈→ cm 1m 0,01 r max crit, == Condução de calor em regime permanente 443 � Condução de calor em cilindros e esferas � Raio crítico de isolamento � Raio crítico de isolamento (esfera) h k2 r esfera crit, ⋅ = Condução de calor em regime permanente 444 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Um fio elétrico de 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento está envolto firmemente com uma cobertura plástica de 2 mm de espessura cuja condutividade térmica é k = 0,15 W/(m.°C). Medições elétricas indicamque uma corrente de 10 A passa através do fio e existe uma queda de tensão de 8 V através do fio. Se o fio isolado é exposto a um ambiente a Tinf = 30°C com coeficiente de transferência de calor de h = 12 W/(m2.°C), determine a temperatura na interface do fio e da cobertura plástica em regime permanente. Determine também se dobrando a espessura da cobertura plástica irá aumentar ou diminuir a temperatura da interface. Condução de calor em regime permanente 445 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 – Hipóteses � Transferência de calor em regime permanente � Transferência de calor unidimensional � Condutividade térmica constante � Resistência de contato térmico na interface desprezível � Coeficiente de transferência de calor incorpora efeitos da radiação. Condução de calor em regime permanente 446 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Geração de calor � regime permanente � Taxa de transferência de calor � Rede de resistência térmica IVWQ e ⋅== && ( ) ( )A 10V 8WQ e ⋅==→ && W80WQ e ==→ && convplásticototal RRR += Condução de calor em regime permanente 447 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Rede de resistência térmica convplásticototal RRR += Lkπ2 r rln R 1 2 plástico ⋅⋅⋅ = ( )m 5 Cm W0,15π2 1,5 3,5ln R plástico ⋅ °⋅ ⋅⋅ =→ W C0,18R plástico ° = Condução de calor em regime permanente 448 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Rede de resistência térmica convplásticototal RRR += ( )22 conv m 0,110 Cm W21 1R ⋅ °⋅ =→ 2 conv Ah 1R ⋅ = W C0,76R conv ° = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 m 0,110A m 5m 0,0035π2A Lrπ2A = ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅= Condução de calor em regime permanente 449 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Rede de resistência térmica � Temperatura na interface convplásticototal RRR += 0,760,18R total += W C0,94R total ° =→ total 1 R TTQ ∞−=& total1 RQTT ⋅+=→ ∞ & ( ) ° ⋅+°= W C0,9480WC30T1 C051T1 °= Condução de calor em regime permanente 450 � Condução de calor em cilindros e esferas � Exemplo 30 � Raio crítico ( ) ( ) mm 12,5m 0,0125 r Cm W12 Cm W 0,15 r h k r crit 2 crit crit == °⋅ °⋅ = = Condução de calor em regime permanente 451 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura Ts para o ambiente a temperatura T∞ � Lei de Newton para o resfriamento � Temperaturas Ts eT∞� fixas � Duas maneiras de aumentar a taxa de transferência de calor � Aumentando o coeficiente de transferência de calor por convecção (h) � Aumentando a área superficial (A) ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ sconv& Condução de calor em regime permanente 452 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Aumento de h � Instalação de uma bomba ou ventilador � Aumento da área superficial � Anexar à superfície extensores � aletas � Feitas de material condutor � Condução de calor em regime permanente 453 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Aumento da área superficial � Aletas � Aumentam a transferência de calor a partir da superfície, expondo uma superfície maior à convecção e à radiação. Condução de calor em regime permanente 454 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Análise de aletas � Regime permanente � Sem geração de calor � Condutividade térmica (k) do material constante � Coeficiente de transferência de calor por convecção (h) constante e uniforme na superfície da aleta Condução de calor em regime permanente 455 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Considere um elemento volumétrico de uma aleta no ponto x tendo espessura ∆x, área de seção A e perímetro p. � Sob regime permanente, o balanço de energia pode ser expresso como: + ∆+ = elemento no calor de convecção de Taxa x xem elemento no calor de condução de Taxa xem elemento no calor de condução de Taxa convxxcond,xcond, QQQ &&& += ∆+ Condução de calor em regime permanente 456 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Substituindo e dividindo por ∆x: � Tomando o limite quando ∆x� 0: convxxcond,xcond, QQQ &&& += ∆+ ( ) ( ) ∞ −⋅⋅⋅= TT∆xphQconv& ( ) 0TTph ∆x QQ xcond,∆xxcond, =−⋅⋅+ − ∞ + && ( ) 0TTph dx Qd cond =−⋅⋅+ ∞ & Condução de calor em regime permanente 457 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Lei de Fourier para condução de calor � Substituindo esta equação na equação anterior � equação diferencial que governa a transferência de calor em aletas dx dTAkQcond ⋅⋅−=& ( ) →=−⋅⋅+ ∞ 0TTph dx Qd cond& ( ) 0TTph dx dTAk dx d =−⋅⋅+ ⋅⋅− ∞ Condução de calor em regime permanente 458 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Caso especial � Área e condutividade térmica constantes 0θm dx θd 2 2 2 =−→ c 2 Ak ph m ⋅ ⋅ = ∞ −= TTθ ∞ −= TTθ bb ra temperatude excesso aleta da base ( ) 0TT Ak ph dx Td c 2 2 =− ⋅ ⋅ − ∞ Condução de calor em regime permanente 459 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Caso especial � Solução geral � Constantes: C1 e C2 � Condições de contorno � base e ponta da aleta 0θm dx θd 2 2 2 =− ( ) mx2mx1 eCeCxθ −⋅+⋅= constantes escoeficient ordem segunda homogênea linear Condução de calor em regime permanente 460 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Temperatura da placa na qual as aletas estão presas � conhecida � Base da aleta � condição de contorno de temperatura específica � Ponta da aleta � condições de contorno � Temperatura específica � Perda de calor desprezível (ponta adiabática) � Convecção � Convecção e radiação combinadas ( ) ∞ −== TTθ0θ bb Condução de calor em regime permanente 461 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞) � Aleta suficientemente longa com área de seção uniforme, a temperatura da ponta da aleta irá se aproximar da temperatura do ambiente (T∞) e θ irá se aproximar de zero. ( ) ( ) ∞ −= TLTLθ 0= ∞→L quando Condução de calor em regime permanente 462 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞) � Esta condição será satisfeita pela função e-mx � Não será satisfeita pela função emx� tende ao infinito quando x aumenta � Solução geral� múltiplo constante de e-mx � O valor deste múltiplo constante é determinado a partir do requerimento que na base da aleta (x=0) o valor de θ será θb. Condução de calor em regime permanente 463 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞) � Observa-se que � E o valor da constante é θb e a função solução procurada é � Esta função satisfaz a equação diferencial assim como os requerimentos que a solução reduz para θb na base da aleta e aproxima de zero na pontada aleta para valores grandes de x. 1ee 0mx ==− ( ) mxb eθxθ −⋅= Condução de calor em regime permanente 464 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Aleta infinitamente longa (Tponta aleta = T∞) � Observando que � Variação de temperatura � Aleta longa � Taxa de transferência de calor ( ) ( )Akphxmx b ee TT TxT ⋅ ⋅ − − ∞ ∞ == − − ( ) ∞ = −⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−= TTAkph dx dTAkQ b 0x longa aleta & ∞ −= TTθ cAk ph m ⋅ ⋅ = Condução de calor em regime permanente 465 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Aleta infinitamente longa (Tponta aleta = T∞) � Taxa de transferência de calor pode ser determinada considerando a transferência de calor em um volume diferencial da aleta e integrar em relação a toda superfície da aleta ( )[ ] ( ) aletaAaletaAaleta dAxθhdATxThQ aletaaleta ∫∫ ⋅⋅=⋅−⋅= ∞& Condução de calor em regime permanente 466 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Perda de calor desprezível na ponta da aleta (Ponta da aleta isolada ou adiabática, Qponta aleta = 0) � Condição de contorno � Ponta da aleta adiabática 0 dx dθ Lx = = ( ) ( ) ( )Lmcosh xLmcosh TT TxT b ⋅ −⋅ = − − ∞ ∞ Condução de calor em regime permanente 467 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Perda de calor desprezível na ponta da aleta (Ponta da aleta isolada ou adiabática, Qponta aleta = 0) � Ponta da aleta adiabática 0x isolada aleta dx dTAkQ = ⋅⋅−= & ( ) ( )Lmtanh TTAkph b ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= ∞ Condução de calor em regime permanente 468 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL) � A temperatura na extremidade da aleta (ponta da aleta) é fixada na temperatura especificada TL � Condição de contorno na ponta da aleta: � Condição de contorno na base da aleta: ( ) ∞ −== TTθLθ LL ( ) ∞ −== TTθ0θ bb Condução de calor em regime permanente 469 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL) � Aplicando as condições de contorno na solução geral: � Temperatura especificada na ponta da aleta ( ) mx2mx1 eCeCxθ −⋅+⋅= ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )mLsenh xLmsenh mxsenh TTTT TT TxT bL b −+−− = − − ∞∞ ∞ ∞ Condução de calor em regime permanente 470 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL) � Lei de Fourier da condução de calor � Taxa de transferência de calor a partir da aleta: 0x c tempda,especifica dx dTAkQ = ⋅⋅−= & ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )mLsenh TTTT mLcosh TTAkph bLbc ∞∞∞ −−− −⋅⋅⋅= Condução de calor em regime permanente 471 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Balanço de energia ( )[ ] ∞ = −⋅⋅=⋅⋅− TLTAh dx dTAk c Lx c convecçãocondução QQ && = Condução de calor em regime permanente 472 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Variação da temperatura ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )mLsenh mkhmLcosh xL msenh mkhxL mcosh TT TxT b + −+− = − − ∞ ∞ Condução de calor em regime permanente 473 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Taxa de transferência de calor 0x c tempda,especifica dx dTAkQ = ⋅⋅−= & ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )mLsenh mkhmLcosh mLcosh mkh mLsenh TTAkph bc + + −⋅⋅⋅= ∞ Condução de calor em regime permanente 474 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Ponta da aleta � exposta ao ambiente � Condição de contorno � convecção + efeitos da radiação � 2ª condição de contorno � solução geral � Equações complexas � Distribuição de temperatura � Transferência de calor Condução de calor em regime permanente 475 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Aplicação prática para a perda de calor na ponta da aleta � Substituir o comprimento da aleta (L) na relação da ponta da aleta adiabática pelo comprimento corrigido � Comprimento corrigido da aleta p ALLc += aletaponta,aletalateral,corrigida AAA perímetro pelo ndoMultiplica += → Condução de calor em regime permanente 476 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Comprimento corrigido � fornece bons resultados � variação de temperatura na ponta da aleta pequena (mL ≥ 1) � Coeficiente de transferência de calor é aproximadamente constante na ponta e na lateral da aleta Condução de calor em regime permanente 477 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Comprimento corrigido da aleta � Aletas retangulares � Aletas cilíndricas 2 tLL retangular aleta c, += 4 DLL cilindrica aleta c, += Condução de calor em regime permanente 478 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Equação de aletas � Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da aleta � Comprimento corrigido da aleta 0x isolada aleta dx dTAkQ = ⋅⋅−= & ( ) ( )cb Lmtanh TTAkph ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= ∞ ( ) ( ) ( )c c b Lmcosh xLmcosh TT TxT ⋅ −⋅ = − − ∞ ∞ Condução de calor em regime permanente 479 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Considere uma parede plana com temperatura Tb exposta a um ambiente com temperaturaT∞. � Calor é perdido da superfície para o ambiente por convecção com um coeficiente de transferência de calor h. � Desconsiderando a radiação ou levando em conta seu efeito no coeficiente convectivo h, a transferência de calor da superfície A, é expressa como ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ s& Condução de calor em regime permanente 480 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Considere agora uma aleta com área de seção constante (Ab) e comprimento L anexada a uma superfície com contato perfeito � O calor irá fluir da superfície para a aleta por condução e da aleta para o ambiente por convecção com o mesmo coeficiente de transferência de calor h Condução de calor em regime permanente 481 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � A temperatura da aleta será Tb na base e irá diminuir gradualmente em direção a ponta da aleta. � Convecção na superfície da aleta faz com que a temperatura diminua a partir do centro em direção a superfície exterior � Em geral, a área da seção da aleta é muito pequena e a temperatura em qualquer ponto pode ser considerada uniforme Condução de calor em regime permanente 482 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Em geral, a área da seção da aleta é muito pequena e a temperatura em qualquer ponto pode ser considerada uniforme � A ponta da aleta pode ser consideradaisolada (por conveniência e simplicidade) e se utiliza o comprimento corrigido da aleta Condução de calor em regime permanente 483 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Caso limite � resistência térmica zero ou condutividade térmica infinita (k � ∞) � a temperatura da aleta será uniforme com o valor deTb � Transferência de calor será máxima ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ baletamaxaleta,& Condução de calor em regime permanente 484 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � A temperatura na aleta irá diminuir ao longo de seu comprimento e a transferência de calor será menor devido a diminuição da diferença de temperatura ( ) ∞ −TxT Condução de calor em regime permanente 485 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Eficiência maxaleta, aleta aleta Q Q η & & = idealcalor de ncia transferêde Taxa realcalor de ncia transferêde Taxa ηaleta = aletamaxaleta,aleta ηQQ ⋅= && ( ) ∞ −⋅⋅⋅= TTAhηQ baletaaletaaleta& Condução de calor em regime permanente 486 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Eficiência (aleta longa) →= Q Q η maxaleta, aleta longa aleta & & ( ) ( ) ∞ ∞ −⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ = TTAh TTAkph η baleta b longa aleta → ⋅ ⋅ = ph Ak L 1 η longa aleta La 1 η longa aleta ⋅ = Condução de calor em regime permanente 487 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Eficiência (aleta com ponta isolada) →= Q Q η maxaleta, aleta isolada ponta & & ( ) ( ) ∞ ∞ −⋅⋅ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ = TTAh LmtanhTTAkph η baleta b isolada ponta Lm Lmtanh η isolada ponta ⋅ ⋅⋅ = Condução de calor em regime permanente 488 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Eficiência de aletas circulares, retangulares e triangulares em uma parede plana Condução de calor em regime permanente 489 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficiência de aletas � Eficiência de aletas circulares de comprimento L e espessura constante t Condução de calor em regime permanente 490 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Aletas� utilizadas para aumentar a transferência de calor � A utilização de aletas não pode ser recomendada a menos que o aumento na transferência de calor seja justificado pelo aumento no custo e complexidade do projeto. � O desempenho das aletas é julgado em relação, à melhoria relativa da transferência de calor, ao caso em que não se tem aletas. Condução de calor em regime permanente 491 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas →= Q Q ε aleta sem aleta aleta & & ( ) ∞ −⋅⋅ = TTAh Q ε b aleta aleta & superfície dacalor de ncia transferâde Taxa aleta dacalor de ncia transferâde Taxa εaleta = Condução de calor em regime permanente 492 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas aleta sem aleta aleta Q Q ε & & = 1εaleta = 1εaleta < 1εaleta > Condução de calor em regime permanente 493 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Relação entre eficiência e eficácia de aletas →= Q Q ε aleta sem aleta aleta & & ( ) ∞ −⋅⋅ = TTAh Q ε b aleta aleta & ( ) ( ) →−⋅⋅ −⋅⋅⋅ = ∞ ∞ TTAh TTAhη ε b baletaaleta aleta A A ηε aletaaletaaleta = Condução de calor em regime permanente 494 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Eficácia (aleta longa) →= Q Q ε aleta sem aleta longa aleta & & ( ) ( ) ∞ ∞ −⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ = TTAh TTAkph ε bb bc longa aleta c longa aleta Ah kp ε ⋅ ⋅ = Condução de calor em regime permanente 495 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Conclusões � Condutividade térmica (k) � deve ser a mais alta possível � Razão perímetro e área de seção � deve ser a mais alta possível � Aplicações � situações com coeficiente de transferência de calor por convecção baixo c longa aleta Ah kp ε ⋅ ⋅ = Condução de calor em regime permanente 496 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Transferência de calor em uma superfície com aletas � Deve-se considerar a superfície com e sem aletas aleta sem porçãoaletaaleta total, QQQ &&& += ( ) ( ) ∞∞ −⋅⋅+−⋅⋅= TTAhTTAhηQ baleta sem porçãobaletaaletaaleta total,& ( ) ( ) ∞ −⋅+⋅= TTAAηhQ baleta sem porçãoaletaaletaaleta total,& Condução de calor em regime permanente 497 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Eficácia de aletas � Eficácia global aleta sem total, aleta total, global aleta, Q Q ε & & = ( ) ( ) ( ) ∞ ∞ −⋅⋅ −⋅⋅+ = TTAh TTAηAh ε baleta sem baletaaletaaleta sem porção global aleta, Condução de calor em regime permanente 498 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Comprimento adequado de aletas � Projeto de aletas � Material e seção transversal � determinados � Determinar � comprimento apropriado � Quanto mais longa a aleta � maior é a área superficial � maior a taxa de transferência de calor? Condução de calor em regime permanente 499 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Comprimento adequado de aletas � Para a transferência de calor máxima � a aleta deve ser infinitamente longa � Entretanto, a queda de temperatura ao longo do comprimento da aleta é exponencial e a temperatura da aleta iguala a temperatura do ambiente em algum ponto � A parte da aleta após este ponto não contribui para a transferência de calor Condução de calor em regime permanente 500 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Comprimento adequado de aletas � Razão entre as transferências de calor para uma aleta de comprimento finito e uma aleta infinitamente longa longa aleta aleta Q Q calor de ciatransferên de taxa da Razão & & → ( ) ( ) ( ) ∞ ∞ −⋅⋅⋅⋅ ⋅−⋅⋅⋅⋅ = TTAkph mLtanh TTAkph Q Q b b longa aleta aleta & & ( )mLtanh Q Q longa aleta aleta = & & Condução de calor em regime permanente 501 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Comprimento adequado de aletas � Aproximação � Variação de temperatura � unidimensional (em relação ao comprimento da aleta) � Boa aproximação � placas finas � Materiais com espessura maio? � Erro? � Estudos � erro desprezível ticacaracterís espessuraδ→ ( ) ( )scilíndrica aletas Dδ esretangular aletast δ → → Condução de calor em regime permanente 502 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Comprimento adequado de aletas � Dissipadores de calor � Resfriamento de equipamentos eletrônicos � Desempenho de transferência de calor de dissipadores de calor é geralmente expresso em relação as resistências térmicas (R) dos dissipadores em °C/W → − = ∞ R TTQ baleta& ( )∞−⋅⋅⋅= TTAηhQ baletaaletaaleta& Condução de calor em regime permanente 503 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 31 � Transistores de potência, que são comumente usados em dispositivos eletrônicos, consomem grandes quantidades de energia elétrica. A taxa de falha de componentes eletrônicos aumentaquase exponencialmente com a temperatura de operação. Como regra geral, a taxa de falha dos componentes eletrônicos é reduzida pela metade para cada 10 °C de redução na temperatura de operação na junção. Portanto, a temperatura de operação dos componentes eletrônicos é mantida abaixo de um nível de segurança para minimizar o risco de falha. Condução de calor em regime permanente 504 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 31 � O conjunto de circuitos eletrônicos de um transistor de potência na junção é protegida por um invólucro, que é uma caixa de metal rígida. As características de transferência de calor de um transistor de potência são normalmente especificados pelo fabricante, em termos da resistência térmica do invólucro-para-ambiente, que representa tanto a transferência de calor por convecção natural quanto por radiação. � A resistência térmica do invólucro-para-ambiente de um transistor de potência que possui uma taxa máxima de potência de 10 W é de 20°C/W. Se a temperatura do invólucro do transistor não deve exceder 85°C, determine a potência na qual o transistor pode operar seguramente em um ambiente a 25°C. Condução de calor em regime permanente 505 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 31 � Regime permanente � Invólucro do transistor: 85°C (isotérmico) → = ambiente-invólucroR ∆TQ& ambienteinvólucro c R TTQ − ∞ − = & ( ) → ° °− = W C20 C2585Q& W3Q =& Condução de calor em regime permanente 506 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 32 � Um transistor de potência de 60 W deve ser resfriado anexando a ele um dissipador de calor comercial. Selecione um dissipador de calor que irá permitir que a temperatura do invólucro não exceda 90°C em um ambiente com ar a 30°C. Condução de calor em regime permanente 507 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 32 Condução de calor em regime permanente 508 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 32 � Regime permanente � Invólucro do transistor: 90°C (isotérmico) � Resistência de contato desprezível Condução de calor em regime permanente 509 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 32 →= R ∆TQ& Q TTR c & ∞ − = ( ) → °− = W60 C3090R W C 1,0R °= Condução de calor em regime permanente 510 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Vapor em um sistema de aquecimento escoa através de um tubo com diâmetro externo D1 = 3 cm e cujas paredes são mantidas a uma temperatura de 120°C. Aletas circulares de alumínio (k = 180 W/(m.°C)) de diâmetro externo D2 = 6 cm e espessura constante t = 2 mm são anexadas ao tubo. O espaço entre as aletas é de 3 mm e existem 200 aletas por metro de tubo. Calor é transferido para o ar ambiente a Tinf = 25°C, com um coeficiente de transferência de calor combinado de h = 60 W/(m2.°C). Determine o aumento na transferência de calor do tubo por metro de seu comprimento como resultado da adição das aletas. Condução de calor em regime permanente 511 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Regime permanente � Coeficiente de transferência de calor uniforme em toda a aleta � Condutividade térmica constante Condução de calor em regime permanente 512 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Tubo sem aletas � lei de Newton para o resfriamento →⋅⋅= LDπA 1aleta sem ( ) ( ) →⋅⋅= m 1m 0,03πA aleta sem 2aleta sem m 0,0942A = ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ baleta semaleta sem& ( ) ( ) C25120m 0,0942 Cm W60Q 22aleta sem °−⋅⋅ °⋅ = & W537Q aleta sem =& Condução de calor em regime permanente 513 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Eficiência da aleta ( ) ( ) m 0,015m0,030,06 2 1DD 2 1L 12 =−=−= ( ) 2,07 m 0,015 m0,0020,03 r tr 2 1 1 2 1 2 = + = + ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 207,0m 0,002CmW801 CmW60 m0,0020,015 tk h tL 2 2 2 1 2 1 = ⋅°⋅ °⋅ ×+= ⋅ ⋅+ 0,95ηaleta = Condução de calor em regime permanente 514 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 ( ) tr2πrr2πA 22122aleta ⋅⋅+−⋅= maxaleta,aletaaleta QηQ && ⋅= ( ) ( )[ ] ( ) ( )m 0,002m 0,032πm 0,015m 0,032πA 22aleta ⋅⋅+−= 2 aleta m 0,00462A = W25,0Qaleta =& ( ) ( ) C25120m 0,00462 Cm2 W600,95Q 2aleta °−⋅⋅ °⋅ ⋅= & ( ) ∞ −⋅⋅⋅= TTAhηQ baletaaletaaleta& Condução de calor em regime permanente 515 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Transferência de calor da porção sem aletas do tubo →⋅⋅= SDπA 1aleta sem porção ( ) ( )m 0,003m 0,03πA aleta sem porção ⋅⋅= 2 aleta sem m 0,000283A = ( ) ∞ −⋅⋅= TTAhQ baleta sem porçãoaleta sem porção& ( ) ( ) C25120m 0,000283 Cm W60Q 22aleta sem porção °−⋅⋅ °⋅ = & W60,1Q aleta sem porção =& Condução de calor em regime permanente 516 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Existem 200 aletas e 200 espaços entre as aletas por metro de tubo � Transferência de calor total ( )aleta sem porçãoaleta aletatotal, QQnQ &&& +⋅= ( )W1,625,0200Q aletatotal, +⋅=& W5320Q aletatotal, =& Condução de calor em regime permanente 517 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Aumento na transferência de calor aleta semaleta total,aumento QQQ &&& += ( )W5375320Q aletatotal, −=& ( ) tubode metropor W 7834Q aletatotal, =& Condução de calor em regime permanente 518 � Transferência de calor em superfícies com aletas � Exemplo 33 � Eficácia do tubo com aletas aletas semtotal, aletastotal, aletas Q Q ε & & = W537 W5320 εaletas = 9,9εaletas =
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