Aula 05 - Condução de Calor em Regime Permanente

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Condução de calor em regime permanente
327
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Inverno � condução de calor em 
regime permanente através da parede 
de uma casa
� Transferência de calor � direção
normal à superfície da parede.
� Transferência de calor desprezível nas
outras direções.
Condução de calor em regime permanente
328
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Transferência de calor em uma direção �
gradiente de temperatura
� Não haverá transferência de calor na direção 
na qual não há variação de temperatura.
� Medições de temperatura em diversos 
locais na superfície interna e externa �
superfície isotérmica
Condução de calor em regime permanente
329
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Modelamento da transferência de calor
� Regime permanente
� Unidimensional
� Temperatura na parede irá depender 
apenas da direção x �T(x)
Condução de calor em regime permanente
330
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Transferência de calor é a única interação 
de energia ocorrendo neste caso.
� Não há geração de calor. 
� Balanço de energia para a parede pode 
ser expresso como:












=












−












parede da
 energia de
mudança
 de Taxa
parede da fora
paracalor de
ciatransferên
de Taxa
parede da dentro
 paracalor de
ciatransferên
de Taxa
Condução de calor em regime permanente
331
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Transferência de calor é a única interação 
de energia ocorrendo neste caso.
� Não há geração de calor. 
� Balanço de energia para a parede pode 
ser expresso como:
� Regime permanente
dt
dEQQ paredesaientra =− &&
0
dt
dEparede
=
Condução de calor em regime permanente
332
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Transferência de calor na parede
� A taxa de transferência de calor através 
da parede deve ser constante
saientra QQ && =
constanteQQQ parede condução,saientra === &&&
Condução de calor em regime permanente
333
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Considere uma parede de espessura L e condutividade térmica 
média k.
� As duas superfícies desta parede são mantidas à temperaturas constantes 
T1 e T2.
� Para condução de calor em regime permanente unidimensional �
T(x)
� Lei de Fourier
dx
dTAkQ parede condução, ⋅−=& ( )W
Condução de calor em regime permanente
334
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Lei de Fourier
� A temperatura através da parede varia linearmente 
com a direção x.
� Separando as variáveis e integrando:
dx
dTAkQ parede condução, ⋅−=& constantedx
dT
=→
∫∫
==
⋅⋅−=⋅
2
1
T
TT
L
0x parede condução,
dTAkdxQ&
dx
dTAkQ parede condução, ⋅−=&
Condução de calor em regime permanente
335
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Resolvendo a integração e rearranjando os termos:
� A taxa de condução de calor através da parede plana é proporcional à
condutividade térmica média, à área da parede e à diferença de
temperatura,mas é inversamente proporcional à espessura da parede.
( )W 
L
TTAkQ 21parede condução,
−
⋅=
&
Condução de calor em regime permanente
336
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resolvendo a integração e rearranjando os termos:
� Uma vez que a taxa de condução é calculada,
� a temperatura T(x) em qualquer posição x pode ser determinada
substituindoT2 porT e L por x na equação acima.
( )W 
L
TTAkQ 21parede condução,
−
⋅=
&
Condução de calor em regime permanente
337
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Conceito da resistência térmica
� Equação da condução de calor �
� Rearranjada �
� Resistência térmica
( )W 
L
TTAkQ 21parede condução,
−
⋅=
&
( )W 
R
TTQ
parede
21
parede condução,
−
=
&
Ak
LR parede
⋅
= 










 °
W
K
ou 
W
C
→ condução de aResistênci meio do térmicasespropriedad das e geometria da depende
condução a contra parede da térmicaaResistênci
Condução de calor em regime permanente
338
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� A resistência térmica pode ser expressa como:
� É a razão da condução potencial ∆T para a correspondente taxa de
transferência Qcondução,parede
parede condução,
parede Q
∆TR
&
=
Condução de calor em regime permanente
339
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Conceito da resistência térmica
� Analogia com o fluxo de corrente elétrica (I):
e
21
R
VVI −=
Aσ
LR
e
e
⋅
=
elétrica adecondutividσe →
 tensãode diferençaVV 21 →− elétrica aresistênciR e →
Condução de calor em regime permanente
340
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Conceito da resistência térmica
� Analogia com o fluxo de corrente elétrica (I):
parede
21
parede condução, R
TTQ −=&
e
21
R
VVI −=
Condução de calor em regime permanente
341
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� Considere a transferência de calor por convecção na superfície de um
sólido de área As e temperatura Ts para um fluido cuja temperatura
suficientemente longe do sólido é T∞, com um coeficiente de
transferência de calor por convecção h.
� Lei de Newton para o resfriamento
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ ssconvecção&
Condução de calor em regime permanente
342
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Conceito da resistência térmica
� Rearranjando ( )∞−⋅⋅= TTAhQ ssconvecção&
( ) ( )W 
R
TTQ
convecção
s
convecção
∞
−
=
&
s
convecção Ah
1R
⋅
= 










 °
W
K
ou 
W
C
convecção de aResistênci
calor o contra convecção de superfície da térmicaaResistênci
Condução de calor em regime permanente
343
� Condução de calor em regime permanente em paredes 
planas
� Conceito da resistência térmica
� Coeficiente de convecção de transferência de calor � muito grande
� Resistência de convecção � nula
� A superfície não oferece qualquer resistência à convecção
s
convecção Ah
1R
⋅
=
∞→h
∞
≈ TTs
Condução de calor em regime permanente
344
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� Considerando os efeitos da radiação � A taxa de transferência de
calor por radiação entre uma superfície com emissividade ε e área As,
a uma temperatura Ts e as superfícies ao redor a uma temperatura
médiaTcir pode ser expressa como:
( )4cir4ssradiação TTAσεQ −⋅⋅⋅=&
srad
rad Ah
1R
⋅
=
radiação a contra superfície da térmicaaResistênci
radiação de aResistênci











 °
W
K
ou 
W
C( )
rad
cirs
cirssradradiação R
TTTTAhQ −=−⋅⋅=& ( )W
Condução de calor em regime permanente
345
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� Coeficiente de transferência de calor por radiação
( ) ( )( )cirs2cir2scirss
radiação
rad TTTTσεTTA
Q
h ++⋅⋅=
−⋅
=
&






⋅Km
W
2
Condução de calor em regime permanente
346
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� Transferência de calor em umasuperfície� convecção e radiação
� Transferência total de calor� soma (ou subtração) das componentes
de convecção e da radiação
� Resistência de convecção e radiação� paralelas
� Complicações na rede de resistência térmica
Condução de calor em regime permanente
347
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Conceito da resistência térmica
� Quando Tcir ≈ T∞ � efeito da radiação � combinado em um
coeficiente
� Coeficiente de transferência de calor combinado






⋅
+=
Km
W
 hhh 2radconvcombinado
Condução de calor em regime permanente
348
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Rede de resistência térmica
� Considere o fluxo térmico em 
regime permanente unidimensional 
através de uma parede plana de 
espessura L, área A e condutividade 
térmica k que é exposta à convecção 
nos dois lados com fluidos à temperaturas 
T∞1 e T∞2 com 
coeficientes de 
transferência de 
calor h1 e h2, 
respectivamente.
12 TT ∞∞ <
Condução de calor em regime permanente
349
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Sob regime permanente:
















=
















=
















parede da
 fora para
calor de
convecção
de Taxa
parede da
através
calor de
condução
de Taxa
parede da
 dentro para
calor de
convecção
de Taxa
( )11s1 TTAhQ −⋅⋅= ∞&
L
TTAk 21 −⋅= ( )22s2 TTAh ∞−⋅⋅=
Condução de calor em regime permanente
350
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Rearranjando ( ) ( )22s22111s1 TTAhL
TTAkTTAhQ
∞∞
−⋅⋅=
−
⋅=−⋅⋅=
&
s1
11
Ah
1
TTQ
⋅
−
=
∞&
conv,1
11
R
TTQ −= ∞&
Ak
L
TT 21
⋅
−
=
s2
22
Ah
1
TT
⋅
−
=
∞
parede
21
R
TT −
=
conv,2
22
R
TT
∞
−
=
Condução de calor em regime permanente
351
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Somando os numeradores e denominadores
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
conv,2paredeconv,1total RRRR ++=
s2s1
total Ah
1
Ak
L
Ah
1R
⋅
+
⋅
+
⋅
= 










 °
W
K
ou 
W
C
Condução de calor em regime permanente
352
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Rede de resistência térmica
� Área de transferência de calor� constante para uma parede plana
� Taxa de transferência de calor através de uma parede que separa dois
meios � igual a diferença de temperatura dividida pela resistência
térmica total entre os meios
� Resistência térmica� em série
� Resistência térmica equivalente� soma das resistências individuais (resistência
elétrica)
Condução de calor em regime permanente
353
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� A taxa de transferência de calor em regime permanente entre duas
superfícies é igual a diferença de temperatura dividida pela resistência
térmica total entre as duas superfícies.
� A razão da queda de temperatura e da resistência térmica em
qualquer camada é constante e a queda de temperatura em qualquer
camada é proporcional à resistência térmica da camada.
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
Condução de calor em regime permanente
354
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Quanto maior a resistência, maior a 
queda de temperatura.
RQ∆T ⋅=→ &
R
∆TQ =& ( )C°
Condução de calor em regime permanente
355
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Algumas vezes é conveniente representar a transferência de calor de
através de um meio de maneira análoga a lei de resfriamento de
Newton:
( )W ∆TAUQ ⋅⋅=&






→
calor de ciatransferên
de global ecoeficient
U 





⋅Km
W
2
Condução de calor em regime permanente
356
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Comparação entre as equações
� Assim, para uma área unitária, o coeficiente de transferência de calor
global é igual ao inverso da resistência térmica total
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
( )W ∆TAUQ ⋅⋅=&
totalR
1AU =⋅ 





K
W
Condução de calor em regime permanente
357
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� Nota-se que não é necessário conhecer as temperaturas das
superfícies da parede para avaliar a taxa de transferência de calor em
regime permanente através dela.
� É necessário saber os coeficientes de transferência de calor por
convecção e as temperaturas dos fluidos nos dois lados da parede.
Condução de calor em regime permanente
358
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Rede de resistência térmica
� A temperatura da superfície da parede pode ser determinada
utilizando o conceito da resistência térmica, mas tomando a superfície
na qual a temperatura será determinada como a superfície terminal
� Exemplo � assim que Q é avaliado � pode-se determinar a
temperaturaT1
conv,1
11
R
TTQ −= ∞&
( )Ah1
TTQ
1
11
⋅
−
=→ ∞&
Condução de calor em regime permanente
359
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Parede plana com multicamadas
� Na prática, encontra-se paredes planas que são constituídas de
diversas camadas de materiais diferentes.
� O conceito de resistência térmica pode ainda ser utilizado para
determinar a taxa de transferência de calor em regime permanente
através de paredes compostas.
� Divide-se a diferença de temperatura entre as duas superfícies pela
resistência térmica total entre elas.
Condução de calor em regime permanente
360
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Parede plana com multicamadas
� Considere uma parede 
plana que consiste de duas 
camadas (parede de tijolos 
com isolamento).
� A taxa de transferência de 
calor em regime permanente 
através desta parede composta 
por duas camadas pode ser 
expressa como:
total
21
R
TTQ ∞∞ −=&
 total térmicaaresistênciR total →
Condução de calor em regime permanente
361
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Parede plana com multicamadas
� Taxa de transferência de 
calor
total
21
R
TTQ ∞∞ −=&
conv,1total RR =
Ah
1R
1
total
⋅
=
parede,1R+ parede,2R+ conv,2R+
Ak
L
1
1
⋅
+
Ak
L
2
2
⋅
+
Ah
1
2 ⋅
+
Condução de calor em regime permanente
362
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Parede plana com multicamadas
� Uma vez que Q é conhecida, uma temperatura superficial
desconhecida em qualquer superfície ou interface pode ser
determinada a partir de:
ji total,
ji
R
TTQ
−
−
=
&






→
→
− j e i locais os entre
 total térmicaaresistênci
R
i local no conhecida atemperaturT
ji total,
i
Condução de calor em regime permanente
363
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Parede plana com multicamadas
� Quando as temperaturas dos fluidos T∞1 e 
T∞2 estão disponíveis e Q calculada, a 
temperatura na interface T2 pode ser 
determinada como:
parede,1conv,1
21
RR
TTQ
+
−
=
∞&
Ak
L
Ah
1
TTQ
1
1
1
21
⋅
+
⋅
−
=→ ∞&Condução de calor em regime permanente
364
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Exemplo 26
� Considere uma janela de painel duplo de altura 0,8 m e largura 1,5 m que
consiste de duas camadas de vidro (k = 0,78 W/(m.°C)) de espessura
4 mm, separadas por um espaço de ar estagnado
(k = 0,026 W/(m.°C)) de 10 mm de largura. Determine a taxa de
transferência de calor em regime permanente através desta janela de
painel duplo e a temperatura de sua superfície interna para um dia
durante o qual o quarto é mantido a 20°C enquanto a temperatura
exterior é -10°C. Tome os coeficientes de transferência de calor por
convecção das superfícies interna e externa da janela como h1 = 10
W/(m2.°C) e h2 = 40W/(m2.°C), os quais incluem os efeitos da radiação.
Condução de calor em regime permanente
365
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Resistências
conv,1total RR =
Ah
1RR
1
conv,1i
⋅
==
( ) ( )
Ak
LRRRR
vidro
vidro
3vidro,21vidro,1
⋅
==
vidro,1R+ arR+ vidro,2R+ conv,2R+
Condução de calor em regime permanente
366
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Resistências
conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++=
Ak
LRR
ar
ar
ar2
⋅
==
Ah
1RR
2
conv,20
⋅
==
Condução de calor em regime permanente
367
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Resistências
conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++=
W
C0,08333RR conv,1i °==
( ) ( ) WC0,00427RRRR 3vidro,21vidro,1 °==
W
C3205,0RR ar2 °==
W
C02083,0RR conv,20 °==
Condução de calor em regime permanente
368
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Resistências
conv,2vidro,2arvidro,1conv,1total RRRRRR ++++=
( ) WC0,020830,004270,32050,004270,08333R total °++++=
W
C4332,0R total °=
Condução de calor em regime permanente
369
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Taxa de transferência de calor
total
21
R
TTQ ∞∞ −=& ( )[ ]
W
C0,4332
C1020Q
°
°−−
=
&
 W69,2Q =&
Condução de calor em regime permanente
370
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 26
� Temperatura da superfície interna
conv,1
11
R
TTQ −= ∞&
conv,111 RQTT ⋅−=→ ∞ &
C14,2T1 °=
W
C0,08333 W69,2C20T1
°
⋅−°=
Condução de calor em regime permanente
371
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Resistência térmica de contato
� Análise da condução de calor através de sólidos com multicamadas
� Considera-se contato perfeito na interface das duas camadas
� Não há nenhuma queda de temperatura
� Condição
� Superfícies completamente lisas � contato 
perfeito em todos os pontos
� Realidade
� Superfícies planas que parecem lisas ao olho 
nu podem ser ásperas quando examinadas 
em um microscópio
Condução de calor em regime permanente
372
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Resistência térmica de contato
� Quando duas superfícies são pressionadas uma contra a outra, os picos
irão formar um bom contato no material mas os vales irão formar
espaços preenchidos com ar.
� Assim, uma interface irá conter diversos espaços com ar de variados
tamanhos que atuam como isolantes devido a baixa condutividade
térmica do ar.
� Desta maneira, a interface oferece resistência a transferência de calor e
esta resistência por are unitária da interface é chamada de resistência
térmica de contato (Rc)
Condução de calor em regime permanente
373
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� O valor da resistência térmica de contato 
(Rc) é determinado experimentalmente.
� Dados imprecisos � dificuldade na 
caracterização das superfícies
Condução de calor em regime permanente
374
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Considere a transferência de calor através de dois bastões de metal
com área de seçãoA que são pressionados um contra o outro.
� A transferência de calor através da interface destes dois bastões é a
soma das transferência de calor através dos contatos do material e
dos espaços nas áreas sem contato:
espaçocontato QQQ &&& +=
Condução de calor em regime permanente
375
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Lei de Newton para o resfriamento
� A� área aparente da interface (área da seção dos bastões)
� ∆Tinterface�diferença de temperatura efetiva na interface
interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=&
Condução de calor em regime permanente
376
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Lei de Newton para o resfriamento
� hc� condutância térmica de contato
interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=&






°⋅⋅
=
Cm
W
 
∆TA
Qh 2
interface
c
&
Condução de calor em regime permanente
377
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Lei de Newton para o resfriamento
� Rc� resistência térmica de contato
c
c h
1R =
interfacec ∆TAhQ ⋅⋅=&





 °⋅⋅
=→
W
Cm
 Q
∆TAR
2
interface
c &
contato de térmicaacondutânci da inverso o é contato de térmicaaResistênci
Condução de calor em regime permanente
378
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� O valor da resistência térmica de contato depende:
� Da rugosidade da superfície;
� Das propriedades do material;
� Da temperatura e da pressão na interface;
� E do tipo de fluido preso na interface.
Condução de calor em regime permanente
379
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� A situação se torna mais complexa quando as placas são apertadas
com parafusos, rebites ou tarraxas.
� A pressão na interface se torna não uniforme.
� A resistência térmica de contato neste caso irá depender também na
espessura da placa, do raio do parafuso e do tamanho da zona de
contato.
Condução de calor em regime permanente
380
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Observa-se que a resistência térmica de contato diminui com a
diminuição da rugosidade da superfície e com o aumento da pressão
na interface.
� Valores experimentais da resistência térmica de contato
� condutância térmica de contato
W
Cm0,0005R
W
Cm0,000005
2
c
2
°⋅
<<
°⋅
Cm
W200000R
Cm
W2000 2c2
°⋅
<<
°⋅
Condução de calor em regime permanente
381
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Análise da transferência de calor em um meio que consiste de duas
ou mais camadas
� � a resistência térmica de contato é significativa?
� Comparação do valor da resistência térmica de camadas com valores
típicos de resistência térmica de contato.
Condução de calor em regime permanente
382
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Resistência térmica por unidade de área de material isolante de
espessura 1 cm:
� Resistência térmica por unidade de área do cobre de espessura 1 cm:
k
LR isolantec, =
( )CmW0,04
0,01mR isolantec,
°⋅
=→
W
Cm0,25R
2
isolantec,
°⋅
=→
k
LR cobrec, =
( )CmW863
0,01mR cobrec,
°⋅
=→
W
Cm0,000026R
2
cobrec,
°⋅
=→
Condução de calor em regime permanente
383
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas� Resistência térmica de contato
� Bons condutores de calor (ex. metais) � resistência térmica de
contato é significativa
� Isolantes� resistência térmica de contato� desprezível
Condução de calor em regime permanente
384
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Resistência térmica de contato
� Resistência térmica de contato� minimizada
� Aplicação de um líquido condutor térmico 
(pasta térmica) como óleo de silicone nas 
superfícies antes de pressioná-las uma contra 
a outra � componentes eletrônicos
� Substituição do ar na interface por um gás 
com melhor condutividade térmica




















atm 1 de
pressão e µm 10 de superfície
na rugosidade uma para
interface na fluidos diferentes
com alumínio de placas para
contato de térmicaaCondutânci
Condução de calor em regime permanente
385
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Resistência térmica de contato
� Resistência térmica de contato � minimizada
� Inserção de uma folha metálica macia (estanho, 
prata, cobre, níquel ou alumínio) entre as duas 
superfícies
� Estudos apontam que a resistência térmica de 
contato pode ser reduzido por um fator de até 
7, com uma folha metálica na interface.
� Para máximo efeito a folha deve ser bem fina










contato de térmica
 acondutânci na metálicos
tosrevestimen de Efeito
Condução de calor em regime permanente
386
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 27
� A condutância térmica de contato na interface de duas placas de
alumínio de 1 cm de espessura é 11000 W/(m2.K). Determine a
espessura de uma placa de alumínio cuja resistência térmica é igual a
resistência térmica na interface entre as placas.
Condução de calor em regime permanente
387
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 27
� Condutividade térmica do alumínio
� Resistência térmica de contato
Km
W237k
⋅
=
c
c h
1R =
( )KmW11000
1R
2
c
⋅
=→
W
Km100,909R
2
4
c
⋅
×=→ −
Condução de calor em regime permanente
388
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 27
� Resistência térmica por unidade de área de uma 
placa plana
k
LR =
cRR =→ k
LR c =→ kRL c ⋅=→
Cm
W237
W
Cm100,909L
2
4
°⋅
⋅
°⋅
×= −
m 0,0215L = cm 2,15L =→
Condução de calor em regime permanente
389
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� O conceito de resistência térmica (analogia elétrica) pode ser
utilizado para resolver problemas de transferência de calor em regime
permanente que envolvem camadas paralelas ou arranjos em série e
paralelo.
� Apesar destes problemas serem frequentemente bi ou
tridimensionais, soluções aproximadas podem ser obtidas pela
suposição de transferência de calor unidimensional e utilizando a rede
de resistência térmica.
Condução de calor em regime permanente
390
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� Considere a parede composta que consiste 
de duas camadas em paralelo.
� Rede de resistência térmica da parede
� Nota-se que a transferência de calor total é
a soma da transferência de calor através de 
cada camada, assim:
21 QQQ &&& +=
2
21
1
21
R
TT
R
TTQ −+−=→ &
( ) 





+−=
21
21 R
1
R
1TTQ&
Condução de calor em regime permanente
391
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� Considere a parede composta que consiste 
de duas camadas em paralelo.
total
21
R
TTQ −=&
21total R
1
R
1
R
1
+=
21
21
total RR
RRR
+
⋅
=→
Condução de calor em regime permanente
392
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� Considere a parede composta que consiste 
de camadas em série e paralelo.
� Taxa de transferência de calor total
total
1
R
TTQ ∞−=&
Condução de calor em regime permanente
393
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� Considere a parede composta que consiste 
de camadas em série e paralelo.
� Resistência total
12total RR =
21
21
total RR
RRR
+
⋅
=
3R+ convR+
3R+ convR+
Condução de calor em regime permanente
394
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Redes generalizadas de resistência térmica
� Considere a parede composta que consiste 
de camadas em série e paralelo.
� Resistências
11
1
1 Ak
LR
⋅
=
33
3
3 Ak
LR
⋅
=
22
2
2 Ak
LR
⋅
=
3
conv Ah
1R
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
395
� Condução de calor em regime permanente em paredes planas
� Exemplo 28
� Uma parede com 3 m de altura e 5 m de largura consiste de tijolos com
seção de 16 cm x 22 cm separados por camadas de gesso com 3 cm de
espessura (k = 0,22 W/(m.°C)). Existem também camadas de gesso de
2 cm de espessura de cada lado dos tijolos e uma espuma rígida
(k = 0,026 W/(m.°C)) de 3 cm de espessura na parte interna da parede.
As temperaturas interna e externa são 20°C e -10°C e o coeficiente de
transferência de calor por convecção nos lados interno e externo são
h1 =10 W/(m2.°C) e h2 = 25 W/(m2.°C), respectivamente. Assumindo
transferência de calor unidimensional e desprezando o efeito da radiação,
determine a taxa de transferência de calor através da parede.
Condução de calor em regime permanente
396
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
Condução de calor em regime permanente
397
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28 – Hipóteses
� Transferência de calor em regime permanente
� Transferência de calor unidimensional (predominante na direção x)
� Condutividade térmica constante
� Transferência de calor por radiação desprezível
Condução de calor em regime permanente
398
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
� Padrão de construção� repete a cada 25 cm
Condução de calor em regime permanente
399
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
Ah
1RR
1
conv,1i
⋅
==
Ak
LRR espuma1
⋅
==
Ak
LRRR ladogesso,62
⋅
===
Condução de calor em regime permanente
400
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
Ak
LRRR centrogesso,53
⋅
===
Ak
LRR tijolo4
⋅
==
Ah
1RR
2
conv,2o
⋅
==
Condução de calor em regime permanente
401
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
( ) ( ) 22
conv,1i
m 10,25Cm
W10
1RR
×⋅





°⋅
==
W
C0,4RR conv,1i
°
==
( ) ( ) 2
espuma1
m 10,25Cm
W0,026
m 0,03RR
×⋅




°⋅
==
W
C4,6RR espuma1
°
==
Condução de calor em regime permanente
402
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
( ) ( ) 2
ladogesso,62
m10,25Cm
W0,22
m 0,02RRR
×⋅




°⋅
===
W
C0,36RRR ladogesso,62
°
===
( ) ( ) 2
centrogesso,53
m 10,015Cm
W0,22
m 0,16RRR
×⋅




°⋅
===
W
C48,48RRR centrogesso,53
°
===
Condução de calor em regime permanente
403
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
( ) ( ) 2
tijolo4
m10,22Cm
W0,72
m 0,16RR
×⋅




°⋅
==
( ) ( ) 2
conv,2o
m 10,25CmW52
1RR
×⋅




°⋅
==
W
C01,1RR tijolo4
°
==
W
C16,0RR conv,2o
°
==
Condução de calor em regime permanente
404
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
� Resistências� R3, R4 e R5� em paralelo
543meio R
1
R
1
R
1
R
1
++=
C
W1,03
R
1
meio °
=
48,48
1
1,01
1
48,48
1
R
1
meio
++=→
W
C0,97Rmeio
°
=→
Condução de calor em regime permanente
405
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
� Resistência total
o6meio21itotal RRRRRRR +++++=
0,160,360,970,364,60,4R total +++++=
W
C6,85R total
°
=
Condução de calor em regime permanente
406
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
� Taxa de transferência de calor
total
21
R
TTQ ∞∞ −=& ( )[ ]
W
C6,85
C1020Q
°
°−−
=→ &
 W4,38Q =→ &






2m 0,25 de
 área uma em
2m 0,25
 W4,38Q =& 2m
W17,5Q =→ &
Condução de calor em regime permanente
407
� Condução de calor em regime permanente em paredes
planas
� Exemplo 28
� Área total da parede �
� Taxa de transferência de calor total
m 5m 3A ×= 2m 15A =→
2
2 m 15m
W17,5Q ×=&
 W263Q =→ &
Condução de calor em regime permanente
408
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Considere a condução de calor em regime permanente através
de um tubo de água quente.
� Calor é continuamente perdido para o ambiente pela parede
do tubo na direção normal da superfície do tubo e a
transferência de calor em outras direções é desprezível.
Condução de calor em regime permanente
409
� Condução de calor em cilindros e esferas
� A parede do tubo, cuja espessura é pequena, separa dois fluidos a
temperaturas diferentes e, assim, o gradiente de temperatura na
direção radial será relativamente grande.
� Se as temperaturas dos fluidos no interior e exterior do tubo
permanecerem constantes, a transferência de calor através do tubo
será em regime permanente.
� Modelamento da transferência de calor através do tubo � regime
permanente e unidimensional
� A temperatura do tubo irá depender somente de uma direção
(direção radial)�T=T(r)
Condução de calor em regime permanente
410
� Condução de calor em cilindros e esferas
� A temperatura independe do ângulo e da distância axial
� Situação é aproximada na prática em tubos cilíndricos longos e
recipientes esféricos
� Em regime permanente, não há mudança da temperatura do tubo em
qualquer ponto.
� Assim, a taxa de transferência de calor para dentro do tubo deve ser
igual a taxa de transferência de calor para fora dele.
� A transferência de calor através do tubo deve ser constante.
constanteQ cilindro cond, =&
Condução de calor em regime permanente
411
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Considere o comprimento de uma camada cilíndrica (como
um tubo circular) de raio interno r1, raio externo r2,
comprimento L e condutividade térmica média k.
� As duas superfícies desta camada cilíndrica
são mantidas à temperaturas constantes T1
e T2.
� Não há geração de calor e a condutividade 
térmica é constante.
Condução de calor em regime permanente
412
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Para condução de calor unidimensional através da camada
cilíndrica�T=T(r)
� Lei de Fourier
( )W 
dr
dTAkQ cilindrocond, ⋅−=&
Lrπ2A ⋅⋅⋅=
Condução de calor em regime permanente
413
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Separando as variáveis e integrando:
∫∫
==
⋅−=⋅
2
1
2
1
T
TT
r
rr
cilindrocond, dTkdr
A
Q&
Lrπ2A ⋅⋅⋅=






−
⋅⋅⋅=
1
2
21
cilindrocond,
r
rln
TTkLπ2Q&
constanteQ cilindro cond, =& ( )W R
TTQ
cilindro
21
cilindrocond,
−
=
&
kLπ2
r
rln
R 1
2
cilindro
⋅⋅⋅






=
( )
( ) ( )
 térmicaadeCondutividoComprimentπ2
interno raio
externo raioln
R cilindro
⋅⋅⋅
=
dr
dTAkQ cilindrocond, ⋅−=&
Condução de calor em regime permanente
414
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Para condução de calor unidimensional através da camada
esférica�T=T(r)
2rπ4A ⋅⋅=∫∫
==
⋅−=⋅
2
1
2
1
T
TT
r
rr
cilindrocond, dTkdr
A
Q&
( )W 
R
TTQ
esfera
21
esferacond,
−
=
&
krrπ4
rrR
21
12
esfera
⋅⋅⋅⋅
−
=
( ) ( ) ( )
 térmicaadeCondutividexterno Raiointerno Raioπ4
interno Raioexterno RaioR esfera
⋅⋅⋅⋅
−
=
dr
dTAkQ cilindrocond, ⋅−=&
Condução de calor em regime permanente
415
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Considere um fluxo de calor unidimensional em regime
permanente em uma camada cilíndrica ou esférica que é
exposta a convecção nos dois lados com fluidos à
temperaturas T∞1 e T∞2 com coeficientes de transferência de
calor h1 e h2, respectivamente.
Condução de calor em regime permanente
416
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Rede de resistência térmica� em série
� 1 resistência de condução
� 2 resistências de convecção
� Taxa de transferência de calor em 
regime permanente
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
Condução de calor em regime permanente
417
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Taxa de transferência de calor em 
regime permanente
� Resistência total (cilindro)
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
1 conv,total RR =
( ) 11total hLrπ2
1R
⋅⋅⋅⋅
=
Lrπ2A ⋅⋅⋅=
cilindroR+ 2 conv,R+
kLπ2
r
rln
1
2
⋅⋅⋅






+ ( ) 22 hLrπ2
1
⋅⋅⋅⋅
+
Condução de calor em regime permanente
418
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Taxa de transferência de calor em 
regime permanente
� Resistência total (esfera)
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
1 conv,total RR =
( ) 121total hrπ4
1R
⋅⋅⋅
=
2rπ4A ⋅⋅=
esferaR+ 2 conv,R+
krrπ4
rr
21
12
⋅⋅⋅⋅
−
+ ( ) 222 hrπ4
1
⋅⋅⋅
+
Condução de calor em regime permanente
419
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� Transferência de calor em regime permanente em carcaças cilíndricas
ou esféricas com multicamadas pode ser avaliada da mesma maneira
que paredes planas com multicamadas.
� Simplesmente pela soma da resistência adicional em série de cada camada
adicional.
Condução de calor em regime permanente
420
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� Taxa de transferência de calor em regime permanente através de um
cilindro composto de comprimento L com três camadas e com
convecção dos dois lados:
( )W 
R
TTQ
total
21 ∞∞ −
=
&
Condução de calor em regime permanente
421
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� Resistência total
1 conv,total RR =
11
total Ah
1R
⋅
=
Lrπ2A 11 ⋅⋅⋅= Lrπ2A 44 ⋅⋅⋅=
cilindro,1R+ cilindro,2R+ cilindro,3R+ 2 conv,R+
1
1
2
kLπ2
r
rln
⋅⋅⋅






+
2
2
3
kLπ2
r
rln
⋅⋅⋅






+
3
3
4
kLπ2
r
rln
⋅⋅⋅






+
42 Ah
1
⋅
+
Condução de calor em regime permanente
422
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� A equação anterior pode ser utiliza para sistemas esféricos, fazendo a
substituição das resistências térmicas cilíndricas pelas resistências
térmicas da esfera.
� Após Q ser calculado, pode determinar 
qualquer temperatura intermediaria
ji- total,
ji
R
TTQ −=&
Condução de calor em regime permanente
423
� Condução de calorem cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� Calculando a temperatura T2
(1ª opção)
cilindro,1conv,1
21
RR
TTQ
+
−
=
∞&
( ) 1
1
2
11
21
kLπ2
r
rln
Lrπ2h
1
TTQ
⋅⋅⋅






+
⋅⋅⋅⋅
−
=
∞&
Condução de calor em regime permanente
424
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Cilindros e esferas com multicamadas
� Calculando a temperatura T2
(2ª opção)
conv,2cilindro,3cilindro,2
22
RRR
TTQ
++
−
=
∞&
( )Lrπ2h
1
kLπ2
r
rln
kLπ2
r
rln
TTQ
4o3
3
4
2
2
3
22
⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅






+
⋅⋅⋅






−
=
∞&
Condução de calor em regime permanente
425
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Vapor a T∞1 = 320°C escoa em um tubo de ferro fundido
(k = 80 W/(m.K)) cujo diâmetro interior e exterior são D1 = 5 cm e
D2 = 5,5 cm, respectivamente. O tubo está coberto com isolante de lã
de vidro (k = 0,05 W/(m.K)) com 3 cm de espessura. Calor é perdido
para o ambiente a T∞2 = 5°C por convecção natural e radiação, com
um coeficiente de transferência de calor combinado de
h2 = 18 W/(m2.K). Tomando o coeficiente de transferência de calor
dentro do tubo como h1 = 60 W/(m2.K), determine a taxa de perda
de calor do vapor por unidade de comprimento do tubo. Determine
também a queda de temperatura através da carcaça do tubo e do
isolante.
Condução de calor em regime permanente
426
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29 – Hipóteses
� Transferência de calor em regime permanente
� Transferência de calor unidimensional (simetria térmica em relação à
linha central)
� Condutividade térmica constante
� Resistência de contato na interface desprezível
Condução de calor em regime permanente
427
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Rede de resistência térmica � 4 resistências
em série
� Tomando o comprimento como L = 1m
( ) ( )
2
1
1
11
m 0,157A
m 1m 0,025π2A
Lrπ2A
=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
( ) ( )
2
3
3
33
m 0,361A
m 1m 0,0575π2A
Lrπ2A
=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
Condução de calor em regime permanente
428
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Resistências térmicas
11
conv,1i Ah
1RR
⋅
==
( )22
conv,1i
m 0,157
Cm
W60
1RR
⋅





°⋅
==
W
C0,160RR conv,1i
°
==
Condução de calor em regime permanente
429
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Resistências térmicas
1
1
2
tubo1 kLπ2
r
rln
RR
⋅⋅⋅






==
( ) 





°⋅
⋅⋅⋅





==
Cm
W80m 1π2
2,5
2,75ln
RR tubo1
W
C0,0002RR tubo1
°
==
Condução de calor em regime permanente
430
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Resistências térmicas
2
2
3
isolante2 kLπ2
r
rln
RR
⋅⋅⋅






==
( ) 





°⋅
⋅⋅⋅





==
Cm
W05,0m 1π2
2,75
5,75ln
RR isolante2
W
C35,2RR isolante2
°
==
Condução de calor em regime permanente
431
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Resistências térmicas
32
conv,2o Ah
1RR
⋅
==
( )22
conv,2o
m 0,361
Cm
W81
1RR
⋅





°⋅
==
W
C0,154RR conv,2o
°
==
Condução de calor em regime permanente
432
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Resistência térmica total
o21itotal RRRRR +++=
0,1542,350,00020,106R total +++=
W
C2,61R total
°
=
Condução de calor em regime permanente
433
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Taxa de perda de calor em regime 
permanente
total
21
R
TTQ ∞∞ −=&
( )
W
C2,61
C5320Q
°
°−
=
&
( ) tubode m 1por W 121Q =&
Condução de calor em regime permanente
434
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 29
� Queda de temperatura
tubotubo RQ∆T ⋅= & isolanteisolante RQ∆T ⋅= &
( ) 




 °
⋅=
W
C0,0002 W121∆Ttubo
C0,02∆Ttubo °=
( ) 




 °
⋅=
W
C35,2 W121∆Tisolante
C842∆Tisolante °=
Condução de calor em regime permanente
435
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Adicionar mais isolantes a uma parede sempre diminui a transferência
de calor.
� Quanto maior a espessura do isolante, menor a taxa de transferência
de calor.
� Área de transferência de calor� constante
� Adição de isolante � aumento da resistência térmica da parede sem
aumento da resistência à convecção
Condução de calor em regime permanente
436
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Adição de isolamento à um tubo cilíndrico ou a uma carcaça esférica
� situação diferente
� O isolamento adicional aumenta a resistência a condução da camada
isolante mas diminui a resistência à convecção da superfície devido ao
aumento da área superficial para convecção.
Condução de calor em regime permanente
437
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Considere um tubo cilíndrico de raio 
externo r1 cuja temperatura da superfície 
externa T1 é mantida constante.
� O tubo é isolado com um material cuja 
condutividade térmica é k e raio externo é r2.
� Calor é perdido do tubo para o ambiente a T∞ com um coeficiente de 
transferência de calor por convecção h.
Condução de calor em regime permanente
438
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Taxa de transferência de calor
convisolante
1
RR
TTQ
+
−
=
∞&
( )Lrπ2h
1
kLπ2
r
rln
TTQ
2
1
2
1
⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅






−
=
∞&
Condução de calor em regime permanente
439
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Variação de Q com o raio externo (r2)
� Raio crítico de isolamento (cilindro)
 r deValor 2
h
k
 r cilindro crit, =
máximo Q &→ 0
dr
Qd
2
=→
&
Condução de calor em regime permanente
440
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Raio crítico de isolamento (cilindro)
� A taxa de transferência de calor para 
fora do cilindro aumenta com a adição 
de isolante para r2 < rcrit
� Alcança o máximo para r2 = rcrit
� E diminui para r2 >rcrit
Condução de calor em regime permanente
441
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Raio crítico de isolamento (cilindro)
� O valor do raio crítico (rcrit) será grande quando a condutividade térmica
(k) é grande e o coeficiente de transferência de calor por convecção (h)
for pequeno.
� Menor valor de h� 5W/(m2.°C)
� Condutividade térmica de isolantes� 0,05W/(m.°C)
Condução de calor em regime permanente
442
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Raio crítico de isolamento (cilindro)
� Raio crítico máximo
min
isolante max,
max crit, h
k
 r =
( )
( )CmW5
Cm
W0,05
 r
2
max crit,
°⋅
°⋅
≈→
cm 1m 0,01 r max crit, ==
Condução de calor em regime permanente
443
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Raio crítico de isolamento
� Raio crítico de isolamento (esfera)
h
k2
 r esfera crit,
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
444
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Um fio elétrico de 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento está
envolto firmemente com uma cobertura plástica de 2 mm de
espessura cuja condutividade térmica é k = 0,15 W/(m.°C). Medições
elétricas indicamque uma corrente de 10 A passa através do fio e
existe uma queda de tensão de 8 V através do fio. Se o fio isolado é
exposto a um ambiente a Tinf = 30°C com coeficiente de transferência
de calor de h = 12 W/(m2.°C), determine a temperatura na interface
do fio e da cobertura plástica em regime permanente. Determine
também se dobrando a espessura da cobertura plástica irá aumentar
ou diminuir a temperatura da interface.
Condução de calor em regime permanente
445
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30 – Hipóteses
� Transferência de calor em regime permanente
� Transferência de calor unidimensional
� Condutividade térmica constante
� Resistência de contato térmico na interface desprezível
� Coeficiente de transferência de calor incorpora efeitos da radiação.
Condução de calor em regime permanente
446
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Geração de calor � regime permanente � Taxa de transferência de
calor
� Rede de resistência térmica
IVWQ e ⋅== && ( ) ( )A 10V 8WQ e ⋅==→ && W80WQ e ==→ &&
convplásticototal RRR +=
Condução de calor em regime permanente
447
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Rede de resistência térmica
convplásticototal RRR +=
Lkπ2
r
rln
R 1
2
plástico
⋅⋅⋅






= ( )m 5
Cm
W0,15π2
1,5
3,5ln
R plástico
⋅





°⋅
⋅⋅





=→
W
C0,18R plástico
°
=
Condução de calor em regime permanente
448
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Rede de resistência térmica
convplásticototal RRR +=
( )22
conv
m 0,110
Cm
W21
1R
⋅





°⋅
=→
2
conv Ah
1R
⋅
=
W
C0,76R conv
°
=
( )
( ) ( )
2
2
2
22
m 0,110A
m 5m 0,0035π2A
Lrπ2A
=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
Condução de calor em regime permanente
449
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Rede de resistência térmica
� Temperatura na interface
convplásticototal RRR +=
0,760,18R total += W
C0,94R total
°
=→
total
1
R
TTQ ∞−=& total1 RQTT ⋅+=→ ∞ &
( ) 




 °
⋅+°=
W
C0,9480WC30T1
C051T1 °=
Condução de calor em regime permanente
450
� Condução de calor em cilindros e esferas
� Exemplo 30
� Raio crítico
( )
( )
mm 12,5m 0,0125 r
Cm
W12
Cm
W
 0,15
 r
h
k
 r
crit
2
crit
crit
==
°⋅
°⋅
=
=
Condução de calor em regime permanente
451
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura Ts
para o ambiente a temperatura T∞
� Lei de Newton para o resfriamento
� Temperaturas Ts eT∞� fixas
� Duas maneiras de aumentar a taxa de transferência de calor
� Aumentando o coeficiente de transferência de calor por convecção (h)
� Aumentando a área superficial (A)
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ sconv&
Condução de calor em regime permanente
452
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Aumento de h
� Instalação de uma bomba 
ou ventilador
� Aumento da área superficial
� Anexar à superfície extensores � aletas
� Feitas de material condutor
�
Condução de calor em regime permanente
453
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Aumento da área superficial
� Aletas
� Aumentam a transferência de calor a partir da superfície, expondo uma
superfície maior à convecção e à radiação.
Condução de calor em regime permanente
454
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Análise de aletas
� Regime permanente
� Sem geração de calor
� Condutividade térmica (k) do material constante
� Coeficiente de transferência de calor por convecção (h) constante e 
uniforme na superfície da aleta
Condução de calor em regime permanente
455
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Considere um elemento volumétrico de uma 
aleta no ponto x tendo espessura ∆x, área de 
seção A e perímetro p.
� Sob regime permanente, o balanço de energia pode ser expresso 
como:












+
















∆+
=
















elemento no
calor de
convecção
de Taxa
x xem
elemento no
calor de
condução
de Taxa
 xem
elemento no
calor de
condução
de Taxa
convxxcond,xcond, QQQ &&& += ∆+
Condução de calor em regime permanente
456
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Substituindo e dividindo por ∆x:
� Tomando o limite quando ∆x� 0:
convxxcond,xcond, QQQ &&& += ∆+
( ) ( )
∞
−⋅⋅⋅= TT∆xphQconv&
( ) 0TTph
∆x
QQ xcond,∆xxcond,
=−⋅⋅+
−
∞
+
&&
( ) 0TTph
dx
Qd cond
=−⋅⋅+
∞
&
Condução de calor em regime permanente
457
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Lei de Fourier para condução de calor
� Substituindo esta equação na equação anterior � equação diferencial 
que governa a transferência de calor em aletas
dx
dTAkQcond ⋅⋅−=&
( ) →=−⋅⋅+
∞
 0TTph
dx
Qd cond& ( ) 0TTph
dx
dTAk
dx
d
=−⋅⋅+





⋅⋅−
∞
Condução de calor em regime permanente
458
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Caso especial
� Área e condutividade térmica constantes
0θm
dx
θd
 
2
2
2
=−→
c
2
Ak
ph
m
⋅
⋅
=
∞
−= TTθ
∞
−= TTθ bb
ra temperatude excesso aleta da base
( ) 0TT
Ak
ph
dx
Td
c
2
2
=−
⋅
⋅
−
∞
Condução de calor em regime permanente
459
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Caso especial
� Solução geral
� Constantes: C1 e C2
� Condições de contorno � base e ponta da aleta
0θm
dx
θd 2
2
2
=−
( ) mx2mx1 eCeCxθ −⋅+⋅=







constantes escoeficient
ordem segunda
homogênea
linear
Condução de calor em regime permanente
460
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Temperatura da placa na qual as aletas estão presas � conhecida
� Base da aleta � condição de contorno de temperatura específica
� Ponta da aleta � condições de contorno
� Temperatura específica
� Perda de calor desprezível (ponta adiabática)
� Convecção
� Convecção e radiação combinadas
( )
∞
−== TTθ0θ bb
Condução de calor em regime permanente
461
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞)
� Aleta suficientemente longa com área de seção uniforme, a temperatura da
ponta da aleta irá se aproximar da temperatura do ambiente (T∞) e θ irá
se aproximar de zero.
( ) ( )
∞
−= TLTLθ 0= ∞→L quando
Condução de calor em regime permanente
462
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞)
� Esta condição será satisfeita pela função e-mx
� Não será satisfeita pela função emx� tende ao infinito quando x aumenta
� Solução geral� múltiplo constante de e-mx
� O valor deste múltiplo constante é determinado a partir do requerimento 
que na base da aleta (x=0) o valor de θ será θb.
Condução de calor em regime permanente
463
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Aleta infinitamente longa (Tponta aleta =T∞)
� Observa-se que
� E o valor da constante é θb e a função solução procurada é
� Esta função satisfaz a equação diferencial assim como os requerimentos
que a solução reduz para θb na base da aleta e aproxima de zero na pontada aleta para valores grandes de x.
1ee 0mx ==−
( ) mxb eθxθ −⋅=
Condução de calor em regime permanente
464
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Aleta infinitamente longa (Tponta aleta = T∞)
� Observando que
� Variação de temperatura
� Aleta longa
� Taxa de transferência de calor
( ) ( )Akphxmx
b
ee
TT
TxT
⋅
⋅
−
−
∞
∞
==
−
−
( )
∞
=
−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−= TTAkph
dx
dTAkQ b
0x
longa aleta
&
∞
−= TTθ
cAk
ph
m
⋅
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
465
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Aleta infinitamente longa (Tponta aleta = T∞)
� Taxa de transferência de calor pode ser 
determinada considerando a transferência 
de calor em um volume diferencial da aleta 
e integrar em relação a toda superfície da 
aleta
( )[ ] ( ) aletaAaletaAaleta dAxθhdATxThQ aletaaleta ∫∫ ⋅⋅=⋅−⋅= ∞&
Condução de calor em regime permanente
466
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Perda de calor desprezível na ponta da aleta
(Ponta da aleta isolada ou adiabática, Qponta aleta = 0)
� Condição de contorno
� Ponta da aleta adiabática
0
dx
dθ
Lx
=
=
( ) ( )
( )Lmcosh 
xLmcosh 
TT
TxT
b ⋅
−⋅
=
−
−
∞
∞
Condução de calor em regime permanente
467
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Perda de calor desprezível na ponta da aleta
(Ponta da aleta isolada ou adiabática, Qponta aleta = 0)
� Ponta da aleta adiabática
0x
isolada aleta dx
dTAkQ
=
⋅⋅−=
& ( ) ( )Lmtanh TTAkph b ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= ∞
Condução de calor em regime permanente
468
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL)
� A temperatura na extremidade da aleta (ponta da aleta) é fixada na 
temperatura especificada TL
� Condição de contorno na ponta da aleta:
� Condição de contorno na base da aleta:
( )
∞
−== TTθLθ LL
( )
∞
−== TTθ0θ bb
Condução de calor em regime permanente
469
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL)
� Aplicando as condições de contorno na solução geral:
� Temperatura especificada na ponta da aleta
( ) mx2mx1 eCeCxθ −⋅+⋅=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )mLsenh 
xLmsenh mxsenh TTTT
TT
TxT bL
b
−+−−
=
−
−
∞∞
∞
∞
Condução de calor em regime permanente
470
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Temperatura especificada (Taleta, ponta = TL)
� Lei de Fourier da condução de calor
� Taxa de transferência de calor a partir da aleta:
0x
c tempda,especifica dx
dTAkQ
=
⋅⋅−=
&
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )mLsenh 
TTTT mLcosh TTAkph bLbc ∞∞∞
−−−
−⋅⋅⋅=
Condução de calor em regime permanente
471
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Balanço de energia
( )[ ]
∞
=
−⋅⋅=⋅⋅− TLTAh
dx
dTAk c
Lx
c
convecçãocondução QQ && =
Condução de calor em regime permanente
472
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Variação da temperatura
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )mLsenh mkhmLcosh 
xL msenh mkhxL mcosh 
TT
TxT
b +
−+−
=
−
−
∞
∞
Condução de calor em regime permanente
473
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Taxa de transferência de calor
0x
c tempda,especifica dx
dTAkQ
=
⋅⋅−=
&
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )mLsenh mkhmLcosh 
mLcosh mkh mLsenh TTAkph bc +
+
−⋅⋅⋅=
∞
Condução de calor em regime permanente
474
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta da 
aleta
� Ponta da aleta � exposta ao ambiente
� Condição de contorno � convecção + efeitos da radiação
� 2ª condição de contorno � solução geral
� Equações complexas
� Distribuição de temperatura
� Transferência de calor
Condução de calor em regime permanente
475
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Aplicação prática para a perda de calor na ponta
da aleta
� Substituir o comprimento da aleta (L) na relação
da ponta da aleta adiabática pelo comprimento 
corrigido
� Comprimento corrigido da aleta 
p
ALLc +=
aletaponta,aletalateral,corrigida AAA
perímetro
 pelo ndoMultiplica
+=






→
Condução de calor em regime permanente
476
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Comprimento corrigido � fornece bons resultados 
� variação de temperatura na ponta da aleta pequena (mL ≥ 1)
� Coeficiente de transferência de calor é aproximadamente constante na ponta e 
na lateral da aleta
Condução de calor em regime permanente
477
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Comprimento corrigido da aleta
� Aletas retangulares
� Aletas cilíndricas
2
tLL retangular aleta c, +=
4
DLL cilindrica aleta c, +=
Condução de calor em regime permanente
478
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Equação de aletas
� Convecção (ou convecção e radiação combinadas) a partir da ponta 
da aleta
� Comprimento corrigido da aleta
0x
isolada aleta dx
dTAkQ
=
⋅⋅−=
& ( ) ( )cb Lmtanh TTAkph ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= ∞
( ) ( )
( )c
c
b Lmcosh 
xLmcosh 
TT
TxT
⋅
−⋅
=
−
−
∞
∞
Condução de calor em regime permanente
479
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Considere uma parede plana com temperatura Tb exposta a um
ambiente com temperaturaT∞.
� Calor é perdido da superfície para o ambiente por convecção com um
coeficiente de transferência de calor h.
� Desconsiderando a radiação ou levando em conta seu efeito no coeficiente
convectivo h, a transferência de calor da superfície A, é expressa como
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ s&
Condução de calor em regime permanente
480
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Considere agora uma aleta com área de seção 
constante (Ab) e comprimento L anexada a uma 
superfície com contato perfeito
� O calor irá fluir da superfície para a aleta por
condução e da aleta para o ambiente por 
convecção com o mesmo coeficiente de 
transferência de calor h
Condução de calor em regime permanente
481
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� A temperatura da aleta será Tb na base e irá 
diminuir gradualmente em direção a ponta da 
aleta.
� Convecção na superfície da aleta faz com que a
temperatura diminua a partir do centro em 
direção a superfície exterior
� Em geral, a área da seção da aleta é muito pequena
e a temperatura em qualquer ponto pode ser 
considerada uniforme
Condução de calor em regime permanente
482
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Em geral, a área da seção da aleta é muito pequena
e a temperatura em qualquer ponto pode ser 
considerada uniforme
� A ponta da aleta pode ser consideradaisolada
(por conveniência e simplicidade) e se utiliza
o comprimento corrigido da aleta
Condução de calor em regime permanente
483
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Caso limite � resistência térmica zero ou condutividade térmica
infinita (k � ∞) � a temperatura da aleta será uniforme com o valor
deTb
� Transferência de calor será máxima
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ baletamaxaleta,&
Condução de calor em regime permanente
484
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� A temperatura na aleta irá diminuir ao longo 
de seu comprimento e a transferência de calor 
será menor devido a diminuição da diferença de 
temperatura
( )
∞
−TxT
Condução de calor em regime permanente
485
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Eficiência
maxaleta,
aleta
aleta Q
Q
η
&
&
=
idealcalor de ncia transferêde Taxa
realcalor de ncia transferêde Taxa
ηaleta =
aletamaxaleta,aleta ηQQ ⋅= && ( )
∞
−⋅⋅⋅= TTAhηQ baletaaletaaleta&
Condução de calor em regime permanente
486
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Eficiência (aleta longa)
→= Q
Q
η
maxaleta,
aleta
longa aleta &
& ( )
( )
∞
∞
−⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅
=
TTAh
TTAkph
η
baleta
b
longa aleta
→
⋅
⋅
= 
ph
Ak
L
1
η longa aleta La
1
η longa aleta
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
487
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Eficiência (aleta com ponta isolada)
→= Q
Q
η
maxaleta,
aleta
isolada ponta &
& ( )
( )
∞
∞
−⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
=
TTAh
LmtanhTTAkph
η
baleta
b
isolada ponta
Lm
Lmtanh
η isolada ponta
⋅
⋅⋅
=
Condução de calor em regime permanente
488
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Eficiência de aletas 
circulares, retangulares 
e triangulares em uma 
parede plana
Condução de calor em regime permanente
489
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficiência de aletas
� Eficiência de aletas 
circulares de 
comprimento L e 
espessura constante t
Condução de calor em regime permanente
490
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Aletas� utilizadas para aumentar a transferência de calor
� A utilização de aletas não pode ser recomendada a menos que o
aumento na transferência de calor seja justificado pelo aumento no
custo e complexidade do projeto.
� O desempenho das aletas é julgado em relação, à melhoria relativa da
transferência de calor, ao caso em que não se tem aletas.
Condução de calor em regime permanente
491
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
→= Q
Q
ε
aleta sem
aleta
aleta &
&
( )
∞
−⋅⋅
=
TTAh
Q
ε
b
aleta
aleta
&
superfície dacalor de
 ncia transferâde Taxa
aleta dacalor de
 ncia transferâde Taxa
εaleta =
Condução de calor em regime permanente
492
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
aleta sem
aleta
aleta Q
Q
ε
&
&
=
1εaleta = 1εaleta < 1εaleta >
Condução de calor em regime permanente
493
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Relação entre eficiência e eficácia de aletas
→= Q
Q
ε
aleta sem
aleta
aleta &
&
( )
∞
−⋅⋅
=
TTAh
Q
ε
b
aleta
aleta
&
( )
( ) →−⋅⋅
−⋅⋅⋅
=
∞
∞
 
TTAh
TTAhη
ε
b
baletaaleta
aleta A
A
ηε aletaaletaaleta =
Condução de calor em regime permanente
494
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Eficácia (aleta longa)
→= Q
Q
ε
aleta sem
aleta
longa aleta &
& ( )
( )
∞
∞
−⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅
=
TTAh
TTAkph
ε
bb
bc
longa aleta
c
longa aleta Ah
kp
ε
⋅
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
495
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Conclusões
� Condutividade térmica (k) � deve ser a mais alta possível
� Razão perímetro e área de seção � deve ser a mais alta possível
� Aplicações � situações com coeficiente de transferência de calor por 
convecção baixo
c
longa aleta Ah
kp
ε
⋅
⋅
=
Condução de calor em regime permanente
496
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Transferência de calor em uma superfície 
com aletas
� Deve-se considerar a superfície com e sem 
aletas
aleta sem porçãoaletaaleta total, QQQ &&& +=
( ) ( )
∞∞
−⋅⋅+−⋅⋅= TTAhTTAhηQ baleta sem porçãobaletaaletaaleta total,&
( ) ( )
∞
−⋅+⋅= TTAAηhQ baleta sem porçãoaletaaletaaleta total,&
Condução de calor em regime permanente
497
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Eficácia de aletas
� Eficácia global
aleta sem total,
aleta total,
global aleta, Q
Q
ε
&
&
=
( ) ( )
( )
∞
∞
−⋅⋅
−⋅⋅+
=
TTAh
TTAηAh
ε
baleta sem
baletaaletaaleta sem porção
global aleta,
Condução de calor em regime permanente
498
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Comprimento adequado de aletas
� Projeto de aletas 
� Material e seção transversal � determinados
� Determinar � comprimento apropriado
� Quanto mais longa a aleta � maior é a área superficial � maior a 
taxa de transferência de calor?
Condução de calor em regime permanente
499
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Comprimento adequado de aletas
� Para a transferência de calor máxima 
� a aleta deve ser infinitamente longa
� Entretanto, a queda de temperatura ao
longo do comprimento da aleta é
exponencial e a temperatura da aleta
iguala a temperatura do ambiente em 
algum ponto
� A parte da aleta após este ponto não
contribui para a transferência de calor
Condução de calor em regime permanente
500
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Comprimento adequado de aletas
� Razão entre as transferências de calor
para uma aleta de comprimento finito e
uma aleta infinitamente longa
longa aleta
aleta
Q
Q
 
calor de
ciatransferên
de taxa
da Razão
&
&
→












( ) ( )
( )
∞
∞
−⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅
=
TTAkph
mLtanh TTAkph
Q
Q
b
b
longa aleta
aleta
&
& ( )mLtanh Q
Q
longa aleta
aleta
=
&
&
Condução de calor em regime permanente
501
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Comprimento adequado de aletas
� Aproximação
� Variação de temperatura � unidimensional (em relação ao comprimento 
da aleta)
� Boa aproximação � placas finas
� Materiais com espessura maio? � Erro?
� Estudos � erro desprezível
ticacaracterís espessuraδ→
( )
( )scilíndrica aletas Dδ
esretangular aletast δ
→
→
Condução de calor em regime permanente
502
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Comprimento adequado de aletas
� Dissipadores de calor
� Resfriamento de equipamentos eletrônicos
� Desempenho de transferência de calor de dissipadores de calor é
geralmente expresso em relação as resistências térmicas (R) dos
dissipadores em °C/W
→
−
=
∞
 
R
TTQ baleta& ( )∞−⋅⋅⋅= TTAηhQ baletaaletaaleta&
Condução de calor em regime permanente
503
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 31
� Transistores de potência, que são comumente usados em dispositivos
eletrônicos, consomem grandes quantidades de energia elétrica. A
taxa de falha de componentes eletrônicos aumentaquase
exponencialmente com a temperatura de operação. Como regra geral,
a taxa de falha dos componentes eletrônicos é reduzida pela metade
para cada 10 °C de redução na temperatura de operação na junção.
Portanto, a temperatura de operação dos componentes eletrônicos é
mantida abaixo de um nível de segurança para minimizar o risco de
falha.
Condução de calor em regime permanente
504
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 31
� O conjunto de circuitos eletrônicos de um transistor de potência na
junção é protegida por um invólucro, que é uma caixa de metal rígida. As
características de transferência de calor de um transistor de potência são
normalmente especificados pelo fabricante, em termos da resistência
térmica do invólucro-para-ambiente, que representa tanto a transferência
de calor por convecção natural quanto por radiação.
� A resistência térmica do invólucro-para-ambiente de um transistor de
potência que possui uma taxa máxima de potência de 10 W é de 20°C/W.
Se a temperatura do invólucro do transistor não deve exceder 85°C,
determine a potência na qual o transistor pode operar seguramente em
um ambiente a 25°C.
Condução de calor em regime permanente
505
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 31
� Regime permanente
� Invólucro do transistor: 85°C (isotérmico)
→





=
ambiente-invólucroR
∆TQ&
ambienteinvólucro
c
R
TTQ
−
∞
−
=
&
( )
→
°
°−
= 
W
C20
C2585Q&
 W3Q =&
Condução de calor em regime permanente
506
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 32
� Um transistor de potência de 60 W deve ser resfriado anexando a ele
um dissipador de calor comercial. Selecione um dissipador de calor
que irá permitir que a temperatura do invólucro não exceda 90°C em
um ambiente com ar a 30°C.
Condução de calor em regime permanente
507
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 32
Condução de calor em regime permanente
508
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 32
� Regime permanente
� Invólucro do transistor: 90°C (isotérmico)
� Resistência de contato desprezível
Condução de calor em regime permanente
509
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 32
→= 
R
∆TQ&
Q
TTR c
&
∞
−
=
( )
→
°−
= 
 W60
C3090R
W
C
 1,0R °=
Condução de calor em regime permanente
510
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Vapor em um sistema de aquecimento escoa através de um tubo com
diâmetro externo D1 = 3 cm e cujas paredes são mantidas a uma
temperatura de 120°C. Aletas circulares de alumínio
(k = 180 W/(m.°C)) de diâmetro externo D2 = 6 cm e espessura
constante t = 2 mm são anexadas ao tubo. O espaço entre as aletas é
de 3 mm e existem 200 aletas por metro de tubo. Calor é transferido
para o ar ambiente a Tinf = 25°C, com um coeficiente de transferência
de calor combinado de h = 60 W/(m2.°C). Determine o aumento na
transferência de calor do tubo por metro de seu comprimento como
resultado da adição das aletas.
Condução de calor em regime permanente
511
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Regime permanente
� Coeficiente de transferência de calor 
uniforme em toda a aleta
� Condutividade térmica constante
Condução de calor em regime permanente
512
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Tubo sem aletas � lei de Newton para o resfriamento
→⋅⋅= LDπA 1aleta sem ( ) ( ) →⋅⋅= m 1m 0,03πA aleta sem 2aleta sem m 0,0942A =
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ baleta semaleta sem&
( ) ( ) C25120m 0,0942
Cm
W60Q 22aleta sem °−⋅⋅





°⋅
=
&
 W537Q aleta sem =&
Condução de calor em regime permanente
513
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Eficiência da aleta
( ) ( ) m 0,015m0,030,06
2
1DD
2
1L 12 =−=−=
( ) 2,07
m 0,015
m0,0020,03
r
tr 2
1
1
2
1
2
=
+
=
+
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 207,0m 0,002CmW801
CmW60
m0,0020,015
tk
h
tL 2
2
2
1
2
1
=
⋅°⋅
°⋅
×+=
⋅
⋅+
0,95ηaleta =
Condução de calor em regime permanente
514
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
( ) tr2πrr2πA 22122aleta ⋅⋅+−⋅=
maxaleta,aletaaleta QηQ && ⋅=
( ) ( )[ ] ( ) ( )m 0,002m 0,032πm 0,015m 0,032πA 22aleta ⋅⋅+−=
2
aleta m 0,00462A =
 W25,0Qaleta =&
( ) ( ) C25120m 0,00462
Cm2
W600,95Q 2aleta °−⋅⋅





°⋅
⋅=
&
( )
∞
−⋅⋅⋅= TTAhηQ baletaaletaaleta&
Condução de calor em regime permanente
515
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Transferência de calor da porção sem aletas do tubo
→⋅⋅= SDπA 1aleta sem porção ( ) ( )m 0,003m 0,03πA aleta sem porção ⋅⋅=
2
aleta sem m 0,000283A =
( )
∞
−⋅⋅= TTAhQ baleta sem porçãoaleta sem porção&
( ) ( ) C25120m 0,000283
Cm
W60Q 22aleta sem porção °−⋅⋅





°⋅
=
&
 W60,1Q aleta sem porção =&
Condução de calor em regime permanente
516
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Existem 200 aletas e 200 espaços entre as aletas por metro de tubo
� Transferência de calor total
( )aleta sem porçãoaleta aletatotal, QQnQ &&& +⋅=
( )W1,625,0200Q aletatotal, +⋅=&
 W5320Q aletatotal, =&
Condução de calor em regime permanente
517
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Aumento na transferência de calor
aleta semaleta total,aumento QQQ &&& +=
( )W5375320Q aletatotal, −=&
( )
 tubode metropor W 7834Q aletatotal, =&
Condução de calor em regime permanente
518
� Transferência de calor em superfícies com aletas
� Exemplo 33
� Eficácia do tubo com aletas
aletas semtotal,
aletastotal,
aletas Q
Q
ε
&
&
=
 W537
 W5320
εaletas =
9,9εaletas =