Aula 06 - Condução de Calor em Regime Transiente I

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Condução de calor em regime 
não permanente
519
� Análise de sistemas aglomerados
� Análise de transferência de calor
� Corpos� aglomerado
� Temperatura interior permanece uniforme todo o tempo durante um
processo de transferência de calor
� Temperatura do corpo� função do tempoT(t)
� Análise de transferência de calor�Análise de sistemas aglomerados
� Hipótese simplificadora
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� Análise de sistemas aglomerados
� Considere uma bola de cobre quente saindo de um forno
� Medições
� A temperatura da bola de cobre muda com o tempo.
� A temperatura não muda muito com a posição em qualquer tempo.
� A temperatura na bola permanece uniforme a todo momento
� Não é necessário especificar uma posição
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� Análise de sistemas aglomerados
� Considere agora uma grande carne assada em um forno
� Distribuição de temperatura � não uniforme
� Parte externa � bem passado
� Parte interna � crua
� Análise de sistemas aglomerados � não aplicável
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� Análise de sistemas aglomerados
� Considere um corpo de geometria arbitrária com massa (m),
volume (V), área superficial (As), massa específica (ρ) e calor
específico (Cp) inicialmente a uma temperatura uniforme
� Tempo� t = 0
� Corpo colocado em um meio�T
∞
� Transferência de calor
� Corpo sólido
� Ambiente
iT ρ
V m
sólido Corpo
( )tTT =
sA
∞
T
( )[ ]tTTAhQ s −⋅⋅= ∞&
h 



h
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� Análise de sistemas aglomerados
� Assumindo que T
∞
> Ti e que a análise de sistemas
aglomerados é aplicável (temperatura uniforme no corpo)
� A variação de temperatura no corpo se dá em função apenas do
tempoT =T(t)
� Durante um intervalo de tempo infinitesimal (dt), a
temperatura do corpo aumenta uma quantidade infinitesimal
(dT)
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal






=





dt durante corpo no
energia da Aumento
dt durante corpo o para
energia de ciaTransferên
( ) dTCmdtTTAh ps ⋅⋅=⋅−⋅⋅ ∞
Vρm ⋅= ( ) →−=
∞
 TTddT constanteT =
∞
( ) dt
CVρ
Ah
TT
TTd
p
s
⋅⋅
⋅
−=
−
−
∞
∞
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� Integração
� t = 0 �T=Ti
� t �T=T(t)
� Tomando o exponencial dos dois lados e rearranjando
( )
t
CVρ
Ah
TT
TtTln
p
s
i ⋅⋅
⋅
−=
−
−
∞
∞
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−






⋅⋅
⋅
=
s
1
 
CVρ
Ahb
p
s ( )
 tempodo constantes 
b
1
→
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� Gráfico da equação
� Esta equação permite o cálculo da temperatura
de um corpo T(t) em um tempo t ou o tempo
requerido para se alcançar uma temperatura 
específica T(t)
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� Gráfico da equação
� A temperatura do corpo se aproxima da 
temperatura do ambiente exponencialmente.
� A temperatura do corpo muda rapidamente no 
início e devagar no final do processo.
� Um valor grande de b indica que o corpo irá 
alcançar a temperatura ambiente em um pequeno tempo.
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� Gráfico da equação
� A temperatura do corpo se aproxima da 
temperatura do ambiente exponencialmente.
� Quanto maior for o valor do expoente b, maior
será a taxa de decaimento da temperatura.
� b é diretamente proporcional à área superficial do
corpo e é inversamente proporcional à massa e ao calor específico do corpo.
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� Ao se obter a temperatura T(t) no tempo t, a taxa de transferência de
calor por convecção entre o corpo e o ambiente naquele tempo pode
ser determinada pela lei de Newton para o resfriamento
� A quantidade total de transferência de calor entre o corpo e o
ambiente, no intervalo de tempo t = 0 até t, é simplesmente a
mudança no conteúdo de energia do corpo
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−
( ) ( )[ ] ( )W TtTAhtQ s ∞−⋅⋅=&
( )[ ] ( )kJ TtTCmQ ip −⋅⋅=
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� Análise de sistemas aglomerados
� Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempo
infinitesimal
� A quantidade de transferência de calor alcança seu limite máximo 
quando o corpo alcança a temperatura do ambiente T
∞
.
� Máxima transferência de calor entre o corpo e o ambiente
( ) ( )kJ TTCmQ ipmax −⋅⋅= ∞
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� Análise de sistemas aglomerados
� Critério para análise de sistemas aglomerados
� Comprimento característico
� Número de Biot
s
c A
VL =
k
LhBi c⋅=
∆T
∆T
L
k
hBi
c
=
corpo do dentro Condução
corpo do superfície na ConvecçãoBi =
h1
kLBi c=
corpo do superfície na convecção da aResistênci
corpo do dentro condução da aResistênciBi =
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� Análise de sistemas aglomerados
� Critério para análise de sistemas aglomerados
� Número de Biot
� Quando um corpo sólido está sendo aquecido por um fluido quente, calor é
transferido primeiramente por convecção para o corpo e depois por condução
dentro do corpo.
� O número de Biot é a razão entre a resistência interna do corpo à
transferência por condução e a resistência externa à transferência por
convecção.
� Um número de Biot pequeno representa uma pequena resistência à
transferência por condução e, consequentemente, um pequeno gradiente de
temperatura dentro do corpo.
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� Análise de sistemas aglomerados
� Critério para análise de sistemas aglomerados
� Análise de sistemas aglomerados
� Assume a distribuição uniforme da temperatura no corpo
� É o caso somente quando a resistência térmica do corpo à transferência por
condução� zero
� Análise de sistemas aglomerados é exata� Bi = 0
� Análise de sistemas aglomerados é aproximada� Bi > 0
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� Análise de sistemas aglomerados
� Critério para análise de sistemas aglomerados
� Quanto menor o número de Biot, mais exata será a análise de
sistemas aglomerados
� Exatidão x simplificação
� Temperatura no corpo aproximadamente uniforme
0,1Bi ≤
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� Análise de sistemas aglomerados
� Critério para análise de sistemas aglomerados
� Bom candidato para análise de sistemas aglomerados
� Corpos pequenos
� Condutividade térmica alta
� Meio � mal condutor de calor (gases)
� Sem movimento
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 34
� A temperatura de um fluxo de gás deve ser medido com umtermopar cuja junta de medição pode ser vista como uma esfera com
1 mm de diâmetro. As propriedades da junção são k = 35 W/(m.°C),
ρ = 8500 kg/m3 e Cp = 320 J/(kg.°C) e o coeficiente de transferência
de calor por convecção entre a junção e o gás é h = 210 W/(m2.°C).
Determine quanto tempo levará para que o termopar leia 99% da
diferença de temperatura inicial.
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 34
� Comprimento característico
� Número de Biot
→= 
A
VL
s
c →
⋅
⋅⋅
= 
Dπ
DπL 2
3
6
1
c →= D6
1Lc
m101,67L 4c −×=
( )m 0,001
6
1Lc =
k
LhBi c⋅= ( )( ) ( )( )CmW 35
m101,67Cm W210Bi
-42
°⋅
×⋅°⋅
= 001,0Bi = 1,0<
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 34
� Leitura de 99% da diferença de temperatura inicial (Ti –T∞)
( ) 01,0
TT
TtT
i
=
−
−
∞
∞
( ) bt
i
e
TT
TtT
−
∞
∞
=
−
−
C100T
C0Ti
°=
°=
∞
( ) C99tT 99% °=→
→
⋅⋅
⋅
= 
CVρ
Ahb
p
s
cp LCρ
hb
⋅⋅
=
( )
( ) ( )( ) ( ) →×⋅°⋅⋅
°⋅
=
−
 
m101,67CkgJ 320mkg 8500
CmW 210b 43
2
1s 0,462b −=
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 34
� Substituindo os valores na equação
( )
→=
−
−
−
∞
∞
 e
TT
TtT bt
i
( ) →= −− e0,01 ts 0,462 1 s 10t =
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 35
� Uma pessoa é encontrada morta as 5 PM em um quarto cuja
temperatura é 20°C. A temperatura do corpo, quando encontrado, é
de 25°C e o coeficiente de transferência de calor estimado é
h = 8 W/(m2.°C). Modelando o corpo como um cilindro com 30 cm
de diâmetro e 1,70 m de comprimento, estimar a hora da morte da
pessoa.
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 35
� Corpo humano� 72% de água� Propriedades da água
� Comprimento característico
C31
2
2537
°=
+
Ckg
J4178C 
m
kg996ρ 
Cm
W0,617k p3
°⋅
==
°⋅
=
→= 
A
VL
s
c 2
00
2
0
c
rπ2Lrπ2
LrπL
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) →⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅
= 
m 0,15π2m 1,7m 0,15π2
m 1,7m 0,15πL 2
2
c m 0,0689Lc =
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 35
� Número de Biot
� Análise de sistemas aglomerados� não aplicável
� Estimativa aproximada da hora da morte
k
LhBi c⋅= ( )( ) ( )( )CmW 0,617
,0689m0Cm W8Bi
2
°⋅
⋅°⋅
= 89,0Bi = 1,0>
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� Análise de sistemas aglomerados
� Exemplo 35
→
⋅⋅
⋅
= 
CVρ
Ahb
p
s
cp LCρ
hb
⋅⋅
=
( )
( ) ( )( ) ( ) →⋅°⋅⋅
°⋅
= 
,0689m0CkgJ 4178mkg 996
CmW 8b 3
2
15 s 102,79b −−×=
( )
→=
−
−
−
∞
∞
 e
TT
TtT bt
i
( ) →=
−
−
−×−
 e
2037
2025 t102,79 5
s 43860t =
h 12,2t =