Aula 07 - Condução de Calor em Regime Transiente II

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Condução de calor em regime 
não permanente
544
� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Considere uma parede plana de espessura 2L, um cilindro
longo de raio r0 e uma esfera de raio r0, inicialmente com
temperatura uniformeTi.
Condução de calor em regime 
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545
� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� No tempo t = 0, cada corpo é colocado em um ambiente que
está a temperaturaT
∞
e mantido neste meio por t > 0.
� A transferência de calor acontece entre os corpos e o
ambiente por convecção com um coeficiente de transferência
de calor constante e uniforme.
� Os três casos possuem simetria térmica e geométrica
� Efeito da radiação� desprezível ou incorporado no coeficiente h
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede
plana
� Parede exposta ao ambiente�T
∞
<Ti� t = 0
� Toda a parede� temperatura inicial�Ti
� Temperatura da parede na superfície e próxima
à superfície � queda
� Transferência de calor para o meio
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede
plana
� Geração de um gradiente de temperatura na
parede e inicia-se a condução de calor a partir
das regiões internas da parede em direção 
à superfície externa.
� A temperatura no centro da parede permanece
em Ti até t = t2
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede
plana
� O perfil de temperatura vai ficando cada vez 
mais reto a medida que o tempo passa como 
resultado da transferência de calor e 
eventualmente se torna uniforme com T = T
∞
� A parede está em equilíbrio térmico com o
ambiente
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Formulação dos problemas para a determinação da
distribuição de temperatura unidimensional e transiente T(x,t)
em uma parede
� Equações diferenciais parciais
� Solução� séries infinitas
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução em tabelas ou gráficos
� Parâmetros
� x
� L
� t
� k
� α
� h
� Ti eT∞
parâmetros Muitos










Condução de calor em regime 
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551
� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Redução do número de parâmetros (adimensionalização)
� Quantidades adimensionais
( ) ( ) 





→
−
−
=
∞
∞
aladimension
aTemperatur
 
TT
TtT
tx,θ
i 









→=
centro do
aladimension
Distância
 
L
xX














→
⋅
=
aladimension
calor de
ncia transferêde
eCoeficient
 
k
LhBi






→=
⋅
=
aladimension
Tempo
 Fo
L
tα
τ 2
Biot de Número Fourier de Número
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Redução do número de parâmetros (adimensionalização)
� Permite apresentar a temperatura em termos de 3 parâmetros
� X
� Bi
� τ = Fo
� Solução gráfica
0rL
rx
esfera e Cilindro
→
→
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Redução do número de parâmetros (adimensionalização)
( ) bt
i
e
TT
TtT
θ −
∞
∞
=
−
−
=
p
s
CVρ
Ahb
⋅⋅
⋅
=
pCρ
k
α
⋅
=
k
LhBi ⋅= 2L
tαFo ⋅=
( )
→=
−
−
=
⋅⋅
⋅
−
∞
∞
 e
TT
TtT
θ
t
CVρ
Ah
i
p
s
s
c A
VL =
( ) BiFo
i
e
TT
TtT
θ −
∞
∞
=
−
−
=
0rL
rx
esfera e Cilindro
→
→
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução exata de problema de condução transiente
unidimensional
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução de problemas de condução de calor transiente
unidimensional� séries infinitas e equações implícitas
� Os termos na solução convergem rapidamente com o aumento do
tempo e para τ > 0,2, manter o primeiro termo e desprezar os
termos restantes na série resulta em um erro menor do que 2%
� Soluções de interesse� para tempos com τ > 0,2
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução (aproximação com um termo)
� Parede plana
( ) ( ) ( ) 0,2 τ LxλcoseA
TT
Ttx,T
tx,θ 1
τλ
1
i
parede
2
1 >→⋅⋅⋅=
−
−
=
⋅−
∞
∞
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução (aproximação com um termo)
� Cilindro
( ) ( ) ( ) 0,2 τ rrλJeA
TT
Ttr,T
tx,θ 010
τλ
1
i
cilindro
2
1 >→⋅⋅⋅=
−
−
=
⋅−
∞
∞
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Solução (aproximação com um termo)
� Esfera
( ) ( ) ( ) 0,2 τ 
rrλ
rrλsen
eA
TT
Ttr,T
tx,θ
01
01τλ
1
i
esfera
2
1 >→
⋅
⋅
⋅⋅=
−
−
=
⋅−
∞
∞
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Constantes A1 e λ como 
funções do número de Biot
para as três geometrias
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Função J0 – Função Bessel de ordem zero 
do primeiro tipo
� Tabela - Função Bessel de ordem zero e de 
primeira ordem do primeiro tipo
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Observando que
� Obtêm-se as relações para o centro das geometrias
( ) ( )
( ) 1
x
sen x
 de limite
10J0 cos 0
=
==
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Centro da parede plana (x = 0)
� Centro do cilindro (r=0)
� Centro da esfera (r=0)
τλ
1
i
0
parede 0,
2
1eA
TT
TT
θ
⋅−
∞
∞
⋅=
−
−
=
τλ
1
i
0
cilindro 0,
2
1eA
TT
TT
θ
⋅−
∞
∞
⋅=
−
−
=
τλ
1
i
0
esfera 0,
2
1eA
TT
TT
θ
⋅−
∞
∞
⋅=
−
−
=
Condução decalor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Relação da temperatura adimensional com a temperatura no 
centro






=
L
xλ
cos
θ
θ 1
parede 0,
parede






=
0
1
0
cilindro 0,
cilindro
r
rλJ
θ
θ ( )
01
01
esfera 0,
esfera
rrλ
rrλsen
θ
θ
=
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler – Parede plana
central plano no aTemperatur
0,2τ >
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler – Parede plana
ra temperatude
 ãoDistribuiç
calor de ciaTransferên
0,2τ >
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler - Cilindro
central linha na aTemperatur
0,2τ >
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler - Cilindro
ra temperatude
 ãoDistribuiç
calor de ciaTransferên
0,2τ >
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler - Esfera
central ponto no aTemperatur
0,2τ >
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Gráficos de Heisler - Esfera
ra temperatude
 ãoDistribuiç
calor de ciaTransferên
0,2τ >
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Caso
� Temperatura superficial especificada T
∞
� Caso no qual a superfície do corpo é exposta
subitamente a temperatura T
∞
em t = 0 e
mantida a T
∞ 
por todo o tempo pode ser
manipulado tomando h como infinito
∞→→=
⋅
= h 0
Lh
k
Bi
1
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� A temperatura do corpo muda da temperatura inicial Ti para a
temperatura do ambiente T
∞
no final do processo de
condução de calor transiente.
� Quantidade máxima de calor que o corpo pode ganhar (ou
perder, seTi >T∞)
( ) ( ) ( )kJ TTCVρTTCmQ ipipmax −⋅⋅⋅=−⋅⋅= ∞∞
∞→⇒ tQmax
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Quantidade de transferência de calor em
um tempo finito
� Gráficos de Heisler
� Qmax� negativo
� Calor está saindo do corpo
maxQ
Q
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Quantidade de transferência de calor em um tempo finito
� Parede plana
� Cilindro
� Esfera
1
1
parede 0,
max λ
λsen 
θ1Q
Q
−=





( )
1
11
cilindro 0,
max λ
λ J
θ21Q
Q
⋅−=





3
1
111
esfera 0,
esferamax λ
λ cosλλsen 
θ31Q
Q −
⋅−=





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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Número de Fourier
2L
tα
τ
⋅
=
( )
∆T
∆T
tLCρ
L1Lk
τ 3
p
2
⋅⋅
⋅⋅
=
















=
3
3
L volumede corpo um em
 armazenado écalor qual na Taxa
L volumede corpo um de L de
 através conduzido écalor qual na Taxa
τ
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 36
� Um ovo comum pode ser modelado como uma esfera de 5 cm de
diâmetro. O ovo está inicialmente a uma temperatura uniforme de
5°C e é colocado em água em ebulição a 95°C. Tomando o coeficiente
de transferência de calor por convecção h = 1200 W/(m2.°C),
determine quanto tempo levará para o centro do ovo alcançar 70°C.
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 36
� Conteúdo de água no ovo � 74% � Propriedades da água
� Número de Biot
s
m100,151
Cρ
k
α 
Cm
W0,627k
2
6
p
−×=
⋅
=
°⋅
=
C5,73
2
075
°=
+
→
⋅
= 
k
rhBi 0 0,1 47,8Bi >=
( )( ) ( )
( ) →°⋅
⋅°⋅
= 
CmW 0,627
m 0,025CmW 1200Bi
2
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 36
� Coeficientes A1 e λ1 1,9958A 3,0753λ 47,8Bi 11 ==⇒=
→⋅=
−
−
=
⋅−
∞
∞
 eA
TT
TT
θ
τλ
1
i
0
esfera 0,
2
1 ( ) τ3,0753 2e1,9958
955
9570
⋅−
⋅=
−
−
0,2 0,209τ >=
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes, 
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 36
� Número de Fourier
→
⋅
= 
L
tα
τ 2 →
⋅
= 
α
rτ
t
2
0 ( ) ( )
sm100,151
m 0,0250,209
t 26
2
−×
⋅
=
s 865t =
min 14,4t ≈
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 37
� Em uma indústria, placas grandes de bronze de 4 cm de espessura que
estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 20°C são
aquecidas através da passagem por um forno que é mantido a 500°C.
As placas permanecem no forno por um período de 7 min. Tomando
o coeficiente de transferência de calor combinado (radiação e
convecção) como h = 120 W/(m2.°C), determinar a temperatura da
superfície das placas quando elas saem do forno.
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 37
� Propriedades do bronze� temperatura ambiente
� Centro da placa
s
m1033,9
Cρ
k
α 
Ckg
J380C 
m
kg8530ρ 
Cm
W110k
2
6
p
p3
−×=
⋅
=
°⋅
==
°⋅
=
m 0,02L =
( )
( )( ) ( ) 8,45m 0,02CmW 120
CmW 100
Lh
k
Bi
1
2 =
⋅°⋅
°⋅
=
⋅
=
Condução de calor em regime 
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 37
� Centro da placa m 0,02L =
2L
tα
τ
⋅
=
( ) ( )
( ) 6,35m 0,02
s 607sm1033,9
τ 2
26
=
×⋅×
=
−
8,45
Bi
1
=
6,35τ =
0,46
TT
TT
0
=
−
−



∞
∞
8,45
Bi
1
=
1
L
L
L
x
==
0,99
TT
TT
0
=
−
−



∞
∞
Condução de calor em regime 
não permanente
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� Condução de calor transiente em paredes planas grandes,
cilindros longos e esferas com efeitos espaciais
� Exemplo 37
∞
∞
∞
∞
∞
∞
−
−
×−
−
=
−
−
TT
TT
TT
TT
TT
TT
i
0
0i
455,099,046,0
TT
TT
i
=×=
−
−
∞
∞
( )
∞∞
−×=− TT455,0TT i ( )∞∞ −×+= TT0,455 TT i
( )500200,455 500T −×+= C282T °=