Aula 01 - Introdução à Transferência de Massa

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Fenômenos de Transporte III 
 
Aula 01 
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez 
1 
Bibliografia: 
 
[1] Fundamentos de Transferência de Calor e Massa – Incropera, F. P.; 
Dewitt, D. P. – Ed. Guanabara Koogan 
[2] Fenômenos de Transporte - Bennet, C. O.; Myers, J. E. – Ed. McGraw-Hill 
[3]Fenômenos de Transporte - Pitts, D. R.; Sisson, L. E. – Ed. McGraw-Hill 
[4] Mass Transfer Operations - Treybal, R. E. – Ed. McGraw-Hill 
[5] Fundamentos de Transferência de Massa - Cremasco, M. A. – Ed. 
UNICAMP 
[6] Fenômenos de Transporte - Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfood, E. N. – 
Ed. Reverté 
[7] Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer - Welty, J. R.; 
Wilson, R. E.; Wicks, C. E. – Ed. John Wiley & Sons 
[8] Cinética Química Aplicada e Cálculo de Reatores - Schmal, M. – Ed. 
Guanabara Dois 
2 
1- INTRODUÇÃO 
Entende-se por transferência de massa, o transporte de um 
componente de uma região de alta concentração para outra 
de baixa concentração. 
Big Bang 
3 
Encontramos transferência de massa na indústria, no 
laboratório, na cozinha, no corpo humano, enfim em todo lugar 
em que há diferença de “concentração” de uma determinada 
espécie para que ocorra o seu transporte. 
A transferência de calor é promovida pelos gradientes de 
temperatura. A transferência de massa num sistema ocorre de 
maneira análoga. 
O fluxo de massa ocorre no sentido das regiões de alta para 
os de baixa concentração. A este fenômeno denomina-se difusão 
molecular de massa. 
O transporte de massa pode também estar associado com a 
convecção, processo este no qual porções do fluido são 
transportados de uma região a outra do escoamento em escala 
macroscópica. 
1- INTRODUÇÃO 
4 
De acordo com a segunda lei da termodinâmica (dS ≥ 0), haverá fluxo de 
matéria (ou massa, ou mols) de uma região de maior a outra de menor 
concentração de uma determinada espécie química. Esta espécie que é 
transferida denomina-se soluto. As regiões que contêm o soluto podem 
abrigar população de uma ou mais espécies químicas distintas do soluto, as 
quais são denominadas de solvente. O conjunto soluto/solvente, por sua vez, 
é conhecido como mistura (para gases) ou solução (para líquidos). Tanto 
uma quanto a outra constituem o meio onde ocorrerá o fenômeno de 
transferência de massa. 
“Transferência de massa é um fenômeno ocasionado pela diferença de 
concentração, maior para menor, de um determinado soluto em um certo 
meio” 
2-TRANSFERÊNCIA DE MASSA: DIFUSÃO vs. 
CONVECÇÃO MÁSSICA 
5 
“A causa gera o fenômeno, provoca a sua transformação, ocasionando o 
movimento” 
 
A diferença de concentração do soluto, enquanto causa, traduz-se em força 
motriz necessária ao movimento da espécie considerada de uma região a 
outra; levando-nos a: 
   motrizforçamatériadamovimento 
O teor da resposta de reação desse movimento, em virtude da ação da 
força motriz, está associado à resistência oferecida pelo meio ao 
transporte do soluto como: 
 
 
  
 
1
 motrizforça
transporteaoaresistênci
matériadamovimento 
Observa-se desse enunciado uma nítida relação de causa e efeito na 
transferência de massa. Para causa: diferença de concentração de soluto, 
existe o efeito da transferência de massa. Portanto: 
6 
A resistência presente na equação anterior está 
relacionada com: 
 
* interação soluto/meio 
* interação soluto/meio + ação externa 
 
A transferência de massa pode ocorrer em nível 
macroscópico, cuja força motriz é a diferença de 
concentração e a resistência ao transporte está associada à 
interação soluto/meio + ação externa. Essa ação externa 
relaciona-se com as características dinâmicas do meio e 
geometria do lugar onde ele se encontra. Esse fenômeno é 
conhecido como convecção mássica. Por outro lado, o 
movimento das espécies (soluto) no meio, é conhecido como 
difusão. 
7 
Na transferência de massa há diversas contribuições, mas 
as mais urgentes seriam: 
- contribuição difusiva: transporte de matéria devido às 
interações moleculares, 
- contribuição convectiva: auxílio ao transporte de matéria 
como conseqüência do movimento do meio. 
Exemplo: 
- Mar calmo, um surfista e sua prancha. Para deslocar-se de 
um certo lugar a outro, o surfista faz das mãos remos e assim, 
ao locomover-se, entra em contato íntimo com o mar. 
Difusiva ãoContribuiç 
mãos movimento
mar meio
surfista soluto
 :ndoIdentifica 








8 
Aparece uma onda de bom tamanho e carrega o surfista. 
Convectiva ãoContribuiç 
onda movimento
mar meio
surfista soluto
 :ndoIdentifica 








ou também: 
Convectiva e Difusiva ãoContribuiç 
onda mãos movimento
mar meio
surfista soluto
 :ndoIdentifica 








Observe nas situações descritas que o contato íntimo está associado à 
interação (surfista/mar) ou (soluto/meio). Neste caso, tem-se a 
contribuição difusiva. Já na situação em que o surfista se deixa carregar 
pelo mar, existe a ação do mar em levar a prancha de um lugar para 
outro, acarretando a contribuição convectiva. Pode haver a terceira 
situação na qual as duas citadas há pouco ocorrem simultaneamente. 
9 
Existem diversos mecanismos de transferência de massa. A classificação 
dada por R. B. Bird abrange oito tipos: 
 
1- Difusão molecular (ordinária), resultante de um gradiente de 
concentração. 
2- Difusão térmica, resultante de um gradiente de temperatura; 
3- Difusão devido à pressão, que ocorre em virtude de um gradiente de 
pressão; 
4- Difusão forçada, que resulta de outras forças externas além das 
gravitacionais; 
5- Transferência de massa por convecção forçada; 
6- Transferência de massa por convecção natural; 
7- Transferência de massa turbulenta, resultante das correntes de 
redemoinho existente num fluido; 
8- Transferência de massa entre as fases que ocorre em virtude do não 
equilíbrio através da interface. 
Os quatro primeiros tipos ocorrem com transferência de massa 
molecular, os quatro últimos ocorrem com transferência de massa por 
conveçcão. 
10 
2- CONCENTRAÇÕES, VELOCIDADES E FLUXOS 
2.1 Concentrações 
Concentração mássica: 
 
V
m
 i
i
ρ massa da espécie i por unidade de volume da solução 
Concentração molar: 
 
M
 
VM
m
 
V
n
 
i
i
i
ii


i
C
número de mols da espécie i por unidade de 
volume da solução 
11 
Fração mássica: 
 i



i
w
concentração mássica da espécie i dividida pela 
concentração mássica total. 
onde: 


n
1 i
i 
Fração molar: 
 i
C
C
x
i

concentração molar da espécie i dividida pela 
concentração molar total da solução. 
onde: 


n
1 i
i CC
A notação para gases de fração molar será: 
C
C
yi
i 
12 
Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as 
concentrações molares são expressas em termos de pressões parciais, isto é: 
i
i
ii
M
RTm
 RTn VP 
 
RT
P
 
V
 ii
i

n
C
onde Pi é a pressão parcial do componente i na fase gasosa e R é a 
constante universal dos gases. 
Para uma mistura gasosa ideal temos: 
 
 
 
 
onde P é a pressão total da mistura gasosa. 
 
RT
P
 C
 
RT
MP
 
V
m
 ρ iii
i

 
RT
PM
 
V
m
 ρ 
13 
Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as frações 
molares yi são expressas em termos de pressões parciais, isto é: 
 
P
P
 i
i
yTR
P
TR
P
 
i
i
i


C
C
y
Representação algébrica da Lei de Dalton 
 P P 
ii
y
14 
Definições básicas para uma mistura binária (A + B): 
BA   ( concentração mássica da solução ) 
BA CCC 
( concentração molar da mistura ) 
AAMC A
BBMC B
( concentração mássica de A ou B ) 
A
A
M
 

AC
B
B
M
 

BC
( concentração molar de A ou B ) 
M
 

C
15 


 A A


 B B
( fração mássica de A ou B ) 
C
C
xA
A 
C
C
xB
B 
( fração molar de A ou B para líquidos ) 
C
C
y AA 
C
C
y BB 
( fração molar de A ou B para gases ) 
16 
Relações adicionais de uma mistura binária (A + B): 
1 BA  xx
1 BA  yy
( molar para líquidos ) 
( molar para gases ) 
1 BA 
( mássico ) 
M M M
BBAA
 yy ( massa molar média para gases ) 
M M M BBA  xxA
( massa molar média para líquidos ) 
MMM
1
 
B
B
A
A 
 ( massa molar médio mássico ) 
17 
Por definição temos: 

i iw iiMC i  CM 
Portanto temos: 
M
M
 
M
M
 
CM
MC
 i
i
i
i
iii yxw
i
 

 
 
 
B
A
BA
A
A
A
M
w
M
w
M
w
x


 
 
 
BBAA
AA
A
MxMx
Mx
w


( molar em fase líquida) 
( mássico ) 
MM
w
M
w 1
 
B
B
A
A 
M M M BBA  xxA
 
M
1
M
 i
i
i
w
x 
ou 
18 
Exemplo 01: Determine a massa molecular da seguinte mistura gasosa: 
5% de CO, 20% de H2O, 4% de O2 e 71% de N2. Calcule, também, as 
frações mássicas das espécies que compõe essa mistura: 
a) Solução: 
 
 
 
 
 
 
b) Solução: 
Frações mássicas: 
          
g/gmol 26,173 M
013,280,71 )015,18(0,2 999,310,04 01,280,05 M
My My My My M
222222 NNOHOHOOCOCO



CM ρ ; MC ρ ; 
ρ
ρ
 
iii
i 
i
w
 
M
M
y 
CM
MC
 i
i
ii 
i
w
19 
Espécie química 
Massa molecular 
M (g/gmol) 
Fração molar 
yi 
Fração mássica 
wi = yiMi/M 
CO 28,01 0,05 0,0535 
O2 31,999 0,04 0,0489 
H2O 18,015 0,20 0,1377 
N2 28,013 0,71 0,7599 
20 
Exemplo 02: Calcule a massa molecular do ar considerando-o como uma 
mistura nas seguintes proporções: 
a) 79% de N2 e 21% de O2 
b) 78,09% N2 , 20,65% de O2 , 0.93% de Ar (argônio) e 0,33 de CO2 
 
a) Solução: 
 
 
 
 
 
b) Solução: 
   
g/gmol 28,85 M
28,0130,79 31,9990,21 My My M
Ar
NNOOAr 2222


       
g/gmol 28,99 M
44,013,3x10 39,9489,3x10 28,010,7809 31,9990,2065 M
My My My My M
Ar
33
Ar
COCOArArNNOOAr 222222




21 
Exemplo 03: Calcule a concentração mássica da mistura e de cada 
componente a 1 atm e 25C, assim como as frações mássicas de cada 
espécie presente nos item (a) do exercício anterior. 
 
a) Concentração mássica do N2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Concentração mássica do O2 
34
N
3
NN
N
NN
g/cm9,05x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) atm)(28,01 (0,79
 
RT
MP
 ρ
atm 0,79 0,79(1atm) Py P
2
22
2
22



34
O
3
OO
O
OO
g/cm2,75x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) 9atm)(31,99 (0,21
 
RT
MP
 ρ
atm 0,21 0,21(1atm) Py P
2
22
2
22



22 
c) Concentração mássica da mistura: 
 
 
 
 
d) Fração mássica do N2 
 
 
 
 
 
 
e) Fração mássica do O2 
0,767 
g/cm1,18x10
g/cm9,05x10
 
ρ
ρ
 
2
2
2
N
33
34
N
N




w
w
0,233 
g/cm1,18x10
g/cm2,75x10
 
ρ
ρ
 
2
2
2
O
33
34
O
O




w
w
  334
NO
n
1 i
i
g/cm1,18x10 109,05 2,75 ρ ρ ρ ρ
22



23 
Exemplo 04: Calcule a massa molecular do ar úmido com yágua = 0,05. 
Suponha o ar puro como uma mistura ideal das espécies químicas contidas 
no item (a) do exercício 01. Calcule também a fração mássica do vapor 
d’água.  
     
g/gmol 28,31 M
g/gmol 85,280,05 1 g/gmol 18,0150,05 M
My 1 My My My M
úmido AR
úmido AR
AROHOHOHARAROHOHúmido AR 22222



 
33
úmidoAr 
3
úmidoAr 
úmidoAr 
g/cm1,157x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) (28,311atm 
 
RT
PM
 ρ


24 
35
OH
3
OHOH
OH
OHOH
g/cm3,719x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) 5atm)(18,01 (0,05
 
RT
MP
 ρ
atm 0,05 0,05(1atm) Py P
2
22
2
22



0,032 
g/cm1,157x10
g/cm3,719x10
 
ρ
ρ
 
OH
33
35
úmidoAr 
OH
OH
2
2
2




w
w
25 
2.2 Velocidades 
Quando mencionamos velocidade, esta não será apenas de uma molécula 
da espécie i, mas sim a média de n moléculas dessas espécies contidas em 
um elemento de volume. Como a solução é uma mistura de distintas 
espécies químicas, a velocidade com a qual escoa esta solução é dada 
pelas seguintes equações: 
( velocidade média mássica ) 
( velocidade média molar ) 
 
v
 v n
1 i
i
n
1 i
ii








 
C
vC
 V n
1 i
i
n
1 i
ii






26 
) vC ( v iiii
) V ( v
iv
 onde é uma velocidade local com que a massa da solução atravessa 
uma seção unitária colocada perpendicularmente à velocidade . Convém 
salientar que é uma velocidade absoluta, pois diz respeito à espécie química i. 
Essa velocidade pode estar referenciada a outro tipo de velocidade: 
1- à de eixos estacionários: 
2- à da solução ( para velocidade mássica ): 
3- à da solução ( para velocidade molar ): 
0 v 

  v v 
i


  V v 
i


O resultado oriundo das diferenças dos itens 2 e 3 denomina-se velocidade 
de difusão. 
27 
De modo a compreender o significado dessa velocidade, atende para a 
seguinte metáfora: 
 
Em um rio há diversas espécies de peixes como lambarí, traíra, pacu, etc. Existe 
uma velocidade média absoluta inerente a cada espécie que está associada ao 
seu cardume. Por exemplo: a velocidade do lambarí é a velocidade do cardume 
de lambarí e assim por diante. Desse modo, se considerarmos o cardume 
(espécie) “i” à do rio, teremos a “velocidade de difusão da espécie i”. 
Exemplo 05: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas 
presentes na mistura gasosa do exemplo 01 são: vCO,z = 10 cm/s, vO2,z = 13 cm/s, 
vH2O,z = 19 cm/s, vN2,z = 11 cm/s, determine: 
a) A velocidade média molar da mistura; 
b) A velocidade mássica da mistura; 
c) A velocidade de difusão do O2 na mistura, tendo como referência a 
velocidade média molar da mistura; 
d) Idem ao item (c), tendo como referência a velocidade média mássica da 
mistura. 
Obs: Utilizar as composições molares e mássicas dos gases do exemplo 1. 
28 
Solução: 
a) Da definição da velocidade média molar da mistura para a direção z, 
temos: 
 
 
 
 
 
mas 
 
 
 
Substituindo (2) em (1), temos: 
 
C
vC
 V
n
1 i
i
n
1 i
i,i




z
Z
( 1 ) 
 Cy C ;
C
C
 y ; C C 
ii
i
i
n
1 i
i


( 2 ) 
 vy V 
zi,
n
1 i
i


Z
( 3 ) 
zzzz ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
vy vy vy vy V 29 
           
cm/s 12,63 V
110,71 190,2 130,04 100,05 V
vy vy vy vy V ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222



z
z
zzzz
b) Da definição da velocidade média mássica da mistura para a direção z, 
temos: 
 
 
 
 
 
Porém 
 
 
Substituindo (5) em (4), temos: 
 
ρ
vρ
 v
n
1 i
i
n
1 i
zi,i
Z




 ρ ρ ;
ρ
ρ
 ; ρ ρ 
ii
i
i
n
1 i
i
ww 

( 4 ) 
( 5 ) 
 v v
zi,
n
1 i
i

 w
z
zzzz
wwww
,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
v v v v v  ( 6 ) 
30 
Conhece-se os valores de wi do exemplo 01: 
 
 
 
 
 
 
c) Da definição de velocidade de difusão do O2, referenciada à velocidade 
média molar na direção z, temos: 
 
 
 
d) Da definição de velocidade de difusão do O2, referenciada à velocidade 
média mássica na direção z, temos: 
           
cm/s 12,15 v
110,7599 190,1377 130,0489 100,0535 v
v w v w v w v w v ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222



z
z
zzzz
    cm/s 0,85 12,15 13 v v v v 
zz,Oi 2


    cm/s 0,37 12,63 13 V v V v 
zz,Oi 2


31 
2.3 Fluxos 
No item anterior sempre que houve a menção “velocidade”, havia para 
ela algum complemento: 
- da espécie química ou 
- da solução. 
No caso dos peixes, foi: 
- dos peixes ( cardume ) ou 
- do rio 
Evidenciou-se que, ao mencionar peixe, estava implícito o conjunto de 
uma determinada espécie, ou seja, cardume. O cardume de peixes traz a 
idéia de concentração de uma certa espécie. Escreve-se, dessa maneira, 
o seguinte produto do qual resulta a definição de fluxo total: 
     ãoConcentraçVelocidade FLUXO 






tempoárea
molsoumassa
 . 
) (sendo a unidade de fluxo: 
32 
FLUXO: Quantidade de matéria que atravessa uma superfície 
com uma determinada área num intervalo de tempo. 
O fluxo é gerado pelo gradiente de concentração. 
  
 
sm
Kg
ou 
sm
mols
 
Tempolsuperficia Área
Massa)(ou Mols
 FLUXO 
22

Área Unitária 
33 
Se considerarmos que os diversos cardumes de peixes passem por 
debaixo de uma ponte, a qual está situada perpendicularmente ao 
escoamento do rio ( observe que a área entre os colchetes na unidade de 
fluxo é aquela situada perpendicularmente sob a ponte ), fica a seguinte 
questão: que velocidade está associada ao fluxo ? Qualquer que seja a 
velocidade, ou seja, velocidade do rio, velocidade de difusão do cardume 
ou velocidade absoluta do cardume, o fluxo total do cardume “A” 
referenciado a um eixo estacionário é dado por: 



























rio do escoamento
 do resultante 
A de Movimento
 
rio nonadar de
 ato do decorrente
A de Movimento
 
ponte da observado
A de Movimento
( 1 ) 
34 
Definimos anteriormente a “velocidade de difusão” como sendo a 
diferença entre a velocidade absoluta da espécie química “i” com a 
velocidade média (molar ou mássica). Assim, no exemplo dos cardumes 
de peixes em um rio, implica a interação cardume A / rio, portanto um 
fenômeno difusivo e o fluxo associado será devido à contribuição 
difusiva, escrita como: 
  V vC J 
ZZA,AZA,

( 2 ) 
velocidade da espécie A ( peixe “i”  cardume “i” ) na direção Z 
:v ZA,
velocidade do rio ( meio ) na direção Z 
:VZ
35 
Suponha agora que, ao invés de nadar, o cardume A deixe-se levar pelo 
rio. O movimento do cardume será devido à velocidade do meio. O fluxo 
associado, nesse caso, decorre da contribuição convectiva ou advecção de 
acordo com: 
 VC J 
ZA
C
ZA,
 ( 3 ) 
A equação anterior representa a contribuição convectiva analisada por 
aquele observador parado, pescando tranquilamente sobre uma ponte. 
A equação 1 é vista, também da seguinte maneira: 
  VC V vC N 
ZAZZA,AZA,

( 4 ) 
a qual representa o fluxo decorrente do cardume A nadar na direção Z, 
enquanto o rio estiver escoando. 
36 
Assim, a equação 4 é válida para o fluxo unidirecional de qualquer espécie 
química A, referenciada à coordenada estacionária Z. 
































 solução da global
 movimento do 
resultante Fluxo
 
difusiva 
 ãocontribuiç da
 resultante Fluxo
 
ioestacionár eixo
um a doreferencia
A de totalFluxo
 
 convectiva 
ãoContribuiç
 
difusiva 
 ãoContribuiç
 
ioestacionár 
eixo um a doreferencia
A espécie da totalFluxo
 






















ou 
( 5 ) 
37 
3- LEI DE FICK DA DIFUSÃO (1855) 
Considere um recipiente que contém dois gases A e B ( CA >> CB ), 
inicialmente separados entre si por uma partição: 
dx 
Gás A Gás B 
Partição 
T e P constantes 
x 
y 
 
V
n
 C 
A
A
A
 
V
n
 C 
B
B
B

AA
V , n
BB
V , n
38 
Gás A + B 
T e P constantes 
V
n
 C A
A

V
n
 C B
B

V 
C 
V 
CA 
CB 
CA >> CB 
Ao retirar-se a partição, os dois gases difundem um através do outro até 
que a concentração de ambos seja uniforme em todo o volume “V”. 
BA
C C C 
BA
V V V 
As concentrações de cada gás serão, respectivamente: 
39 
Este fenômeno é regido pela primeira lei de Fick, que pode ser expressa pela 
seguinte equação: 
 CD yCD
dx
dy
CDJ 
AABAAB
A
AB
A 
O sinal negativo indica o decréscimo da concentração da espécie A com o 
sentido do fluxo 
onde: 
C = Concentração molar total [mols/cm3] 
= Densidade de fluxo molar de difusão [mol/cm2.s] 
AJ
DAB = Coeficiente de difusão da espécie A em relação a espécie B 
ou difusividade [cm2/s ou m2/s] 
 
C
C
 AAy
( 6 ) 
 
dx
dC
 C AA 
40 
 
dx
dC
 C AA  Gradiente de concentração 
inicialfinal
AAAA
 x x
C C
 
x
C
 
dx
dC
inicialfinal





Se for linear: 
1C
2C
1x 2x
 
x
C
D 
dx
dC
DJ AAB
A
ABA



Lei de Fick para difusão em estado estacionário 
41 
Exemplo 06: O diclorometano é um ingrediente comum em 
decapantes de tintas. Além de causar irritações, pode ser 
absorvido pela pele. Deve-se usar luvas de proteção quando 
manipular este decapante. Usando-se luvas de borracha 
butílica (0,04 cm de espessura), qual é o fluxo de 
diclorometano através da luva? 
Dados: 
Coeficiente de difusão em borracha butílica: 110x10-12 m2/s 
Concentrações superficiais: 
1 = 440 Kg/m
3 
2 = 20 Kg/m
3 
42 
Decapante Pele 
1
ρ
2
ρ
1x 2x
43 
  
.skg/m1,16x10 J
m0,04x10
kg/m440 20
/sm110x10 J
 x x
ρ ρ
D 
Δx
Δρ
D 
dx
dρ
D J
ρ
dρ
 d ; 
ρ
ρ
 ; 
dx
d
ρD J
24
A
2
3
212
A
12
AA
AB
A
AB
A
ABA
A
A
A
A
A
ABA
12














ww
w
A partir da equação 5, toma-se uma mistura binária (A + B), em que CA 
representa a concentração molar da espécie química A e , a velocidade 
absoluta de A e a velocidade média molar da solução, respectivamente. 
O fluxo molar total da espécie A referenciado a eixos estacionários será: 
Av
V
  VC V vC N 
A
A
A
A ( 7 ) 
Como consequência da equação 7: 
 vC N A
A
A  ( 8 ) 
sendo que o fluxo posto desta forma é denominado fluxo absoluto 
molar da espécie A. 
AN
44 
A parcela correspondente à contribuição difusiva é: 
  V vC J A
A
A 
( 9 ) 
sendo restrita segundo a lei ordinária da difusão: 
 CD J 
AAB
A 
( 10 ) 
Como a concentração total da solução é constante e considerando o soluto 
A em fase gasosa, a relação para gases será: 
 yCD J 
AAB
A 
( 11 ) 
45 
Levando a definição de velocidade média molar, para uma mistura 
binária, na parcela da contribuição convectiva, o resultado fica: 
 
C
vC vC
C VC
B
B
A
A
AA


  N Ny VC BA
AA
( 12 ) 
Substituindo as equações 11 e 12 na equação 7, temos: 
  N Ny yCD N BA
AAAB
A  ( 13 ) 
A equação 13 representa o fluxo total da espécie A em uma mistura 
binária (A+B), válida para gases. 
46 
Para líquido a equação 13 torna-se: 
  N N x xCD N BA
AAAB
A  ( 14 ) 
No caso de fluxo mássico do soluto A referenciado a eixos estacionários, o 
procedimento é análogo ao molar, ou seja: 
  n n w wD n BA
AAAB
A  ( 15 ) 
As equações 11, 12 e 13 são denominadas primeira lei de Fick escrita 
para e . No caso de eleger apenas a direção z para o fluxo, tais 
equações serão, respectivamente: 
AN An
47 
  N Ny 
dz
dy
CD N ZB,ZA,A
A
ABZA, 
  N N x 
dz
dx
CD N ZB,ZA,A
A
ABZA, 
  n n w 
dz
dw
D n ZB,ZA,A
A
ABZA,  
( 16 ) 
( 17 ) 
( 18 ) 
O fluxo total para uma espécie química “1” presente em uma mistura 
com “n” espécies químicas será dado por: 
 yyD.CN 
n
1j
j11M,1
1 N


 ( 19 ) 
48 
  Ny Ny
CD
1
 y 1jj1
n
2 j 1j
1  

 
 
Ny Ny
D
1
Ny yN
D 
n
2 j
1jj1
j1
n
2 j
n
2 j
j1j1
M,1

 

 



( 20 ) 
( 21 ) 
A equação 21 é conhecida como a equação de Stefan-Maxwell, ela é útil 
para a determinação do coeficiente de difusão na situação em que o meio 
não é estagnado; na ventura de sê-lo (para todas as espécies j). 
Neste caso, a equação 21 torna-se: 
0 N j 
 
D
Ny
yN
D 
n
2 j j1
1j
n
2 j
j1
M,1





( 22 ) 
49 
Como não entra no somatório, a equação 22 torna-se: 
1N  
 
D
y
 ... 
D
y
 
D
y
 
D
y
y 1
 
D
y
y
D 
1n
n
14
4
13
3
12
2
1
n
2 j j1
j
n
2 j
j
M,1







( 23 ) 
50