simetria_parte_2 (8)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
DEPARTAMENTO DE APOIO À PESQUISA
PROGRAMA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
USANDO SIMETRIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
Bolsista: Jeane Sabrina Souza De Freitas
Manaus - Amazonas
2020
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
DEPARTAMENTO DE APOIO À PESQUISA
PROGRAMA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
RELATÓRIO FINAL PIB - E / 0270 / 2019
USANDO SIMETRIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
Bolsista: Jeane Sabrina Souza De Freitas
Orientadora: Profao Dra. Flávia Morgana de Oliveira Jacinto
Manaus - Amazonas
2020
Resumo
O presente trabalho tem como objetivo apresentar mais do uso da simetria na matemática
e o uso da simetria na química, primeiramente apresentamos a simetria no triângulo de Pascal,
algumas de suas propriedades e curiosidades e um problema de otimização conhecido como
problema de Fermat com uma de suas resoluções.
Na química o uso da simetria, aparece através dos estudos das moléculas, os grupos pontuais
aos quais pertencem e o estreroisômero.A partir dos planos de reflexão e rotação é possível
classificar os grupos pontuais de cada molécula. No conteúdo de esteroisômero, foi estudado
dois principais isômeros que apresentam a simetria.
Palavras-chave: Triângulo de Pascal, simetria molecular, teoria de grupos e esteroisômero.
3
Sumário
Sumário 4
Introdução 5
Objetivos 6
Metodologia 7
1 Mais da simetria na matemática 8
1.1 Triângulo de Pascal e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Propriedades dos números binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Problema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 O uso da simetria na química 15
2.1 Simetria molecular e teoria de grupos pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Operações de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Os eixos de ordem (Cn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Planos especulares de simetria (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Centro de inversão (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 Eixo de rotação imprópria (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Grupo Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Isômero Esteroisômeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Isomeria geométrica ou cis-trans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Isomeria Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Cronograma 24
Conclusão 25
Referências Bibliográficas 26
Introdução
Este relatório inicialmente mostra o desenvolvimento do assunto de simetria no Triângulo
de Pascal. E através das propriedades observamos a evolução do termo simetria e o quanto
podemos usá-la como ferramenta para resolver exercícios.
Destacamos ainda outro foco do relatório que é a simetria encontrada na química, dentro
do estudo que é conhecido como a simetria molecular onde a teoria de grupos e os conceitos
de reflexão e rotação são utilizados assim como nas classificações dos grupos pontuais de cada
molécula. E os isômeros esteroisômero, onde veremos os dois principais isômeros desta estrutura
que são os geométricos e os ópticos.
5
Objetivos
Objetivo Geral
Estudar a simetria no contexto matemático e químico. Com aplicações em nível do ensino
básico.
Objetivos específicos
-Desenvolver mais o uso da simetria no conceito matemático, com exemplos e resolução de
problemas.
- Conceituar simetria no contexto químico, e desenvolver o estudo da teoria de grupos
pontuais para classificação molecular.
-Conceituar o estudo de esteroisômero, no contexto químico, com exemplos e classificações.
6
Metodologia
Para o presente trabalho, foram realizados, pesquisas bibliográficas, estudos dirigidos dos
assuntos apresentados, encontros semanais com a orientadora para correções de de conteúdos
estudados e apresentações de seminários. Também foi realizado pesquisa de campo com alunos
de graduação em química, para o desenvolvimento do conceito da simeria na química.
7
Capítulo 1
Mais da simetria na matemática
Neste capítulo estudamos um pouco mais das aplicações da simetria na matemática, como
por exemplo as simetrias encontradas no triângulo de Pascal que é um triângulo aritmético
infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binominais. Os números que compõem
o triângulo apresentam diversas propriedades e relações. Finalizamos o capítulo apresentando
o problema de Fermat e uma de suas soluções usando simetria na geometria
1.1 Triângulo de Pascal e Propriedades
O Triângulo de Pascal possui propriedades importantes, principalmente em calculos envol-
vendo binomios, a seguir demostraremos através de exemplos algumas de suas propriedades.
Definição 1.1.1. ([2],pag.08) O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado
por números binomiais
(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)!
, onde n representa o número da linha e k representa o
número da coluna, com n ≥ k, iniciando a contagem a partir do zero.
Propriedades
1. Simetria
O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte
forma:
Figura 1.1: triângulo de Pascal
Isto se deve ao fato de que:(
n
k
)
=
n!
k! · (n− k)!
=
n!
(n− k)! · k!
. De onde concluímos que
(
n
k
)
=
n
(n− k)! · k!
.
8
2.Relação de Stifel
A soma de dois números binominais de mesmo numerador e denominadores consecutivos é um
número binominal cujo numerador possui uma unidade a mais que os numeradores das parcelas
e o denominador é o maior dos denominadores das parcelas.
Figura 1.2:
Todo termo é a soma dos dois elementos diretamente acima. Como esses elementos são(
n
k
)
+
(
n
k+1
)
, conclui-se que
(
n
k
)
+
(
n
k+1
)
=
(
n+1
k+1
)
. Essa expressão é justamente a relação de Stifel
e através dela podemos construir o triângulo de Pascal.
Demonstração.
(
n
k
)
+
(
n
k+1
)
=
n!
(n− k)!k!
+
n
[n− (k + 1)]!(k + 1)!
=
n!
(n− k)!k!
+
n!
(n− k − 1)!(k + 1)!
=
n!
(n− k)(n− k − 1)!k!
+
n!
(n− k − 1)!(k + 1)k!
=
(k + 1)n! + (n− k)n!
(n− k)(n− k − 1)!(k + 1)k!
=
(k + 1 + n− k)n!
(n− k)!(k + 1)!
=
(n+ 1)n!
(n− k)!(k + 1)!
=
(
n+1
k+1
)
3.Potência de 2
A soma da n-enesima linha é 2n
Figura 1.3: Potência de 2
Demonstração. Indução de n.
Sn =
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+ .... +
(
n
n
)
. Se n = 0 temos S0 =
(
0
0
)
= 1 = 20. Agora se n = 1 tem-se
S1 =
(
1
0
)
+
(
1
1
)
= 1 + 1 = 21.Suponhamos então que o resultado é válido para todo n = 1, ..., k.
9
Vamos mostrar que é válido para n = k + 1, ou seja mostrar que:(
k+1
0
)
+
(
k+1
1
)
+ ... +
(
k+1
k+1
)
= 2k+1. Temos que
(
k+1
0
)
+
(
k+1
1
)
+ .... +
(
k+1
k+1
)
. Aplicando a re-
lação de Stifel, nas parcelas da soma que estão entre a primeira e a ultima parcela, e utilizando
o fato de que
(
k
0
)
=
(
k+1
0
)
e
(
k+1
k+1
)
=
(
k
k
)
temos que Sk+1 =
(
k
0
)
+
(
k
1
)
+....+
(
k
k
)
+
(
k
0
)
+
(
k
1
)
+....+
(
k
k
)
.
Ou seja, Sk+1 = 2k e como por hipótese de indução vale que Sk = 2k concluímos que
Sk+1 = 2 · 2k = 2k+1. Assim a propriedade é válida para todo n ∈ N
4.Teorema da coluna
Se somarmos os primeiros números de uma coluna qualquer até determinada lina, esta soma
será igual ao número na próxima linha e próxima coluna.
Figura 1.4: Coluna
Demonstração. Aplicando Stifel
(
p+2
p+1
)
=
(
p+1
p+1
)
+
(
p+1
p
)(
p+3
p+1
)
=
(
p+2
p+1
)
+
(
p+2
p
)(
p+4
p+1
)
=
(
p+3
p+1
)
+
(
p+3
p
)(
p+n+1
p+1
)
=
(
p+n
p+1
)
+
(
p+n
p
)(
p
p
)
+
(
p+1
p
)
+
(
p+2
p
)
+
(
p+3
p
)
+ ...+
(
p+n
p
)
=
(
p+n+1
p+1
)
1.2 Propriedades dos números binomiais
Segundo ([3],pag.54) podemos observar que o Triângulo de Pascal, possuí diversas proprie-
dades uma delas é a simetria atraves da linha vertical que passa no seu pico e outra propriedade
interessante é que ao longo de qualquer linha, as entradas aumentam até a metade e depois
decrescem.Divisão de binômio
Observamos o Triângulo de Pascal e vemos que ele tem algumas propriedades que ajudam a
reduzir os calculos binomiais. Além disso vamos desenvolver agora a operação da divisão.
10
Divisão
Iremos provar que as entradas aumentam até o meio e depois decrescem simetricamente pela
divisão.
Vamos comparar duas entradas consecutivas,porém sabemos que dados dois números ou
eles são iguais, ou são diferentes. Se são diferentes, um é maior do que o outro e queremos
determinar qual situação é válida. Então vamos simbolizar o que não sabemos por ?.(
n
k
)
?
(
n
k+1
)
Partindo da definição obtemos a seguinte expressão:
n(n− 1)...(n− k + 1)
k(k − 1)....1
?
n(n− 1)...(n− k)
k(n+ 1)...1
Agora vamos simplificar as equações multiplicando ambos os lados por
k(k − 1)...1
n(n− 1)...(n− k + 1)
1?
n− k
k + 1
Agora queremos deixar o K em evidência e para isso vamos multiplicar ambos os lados por
k + 1
Obtemos então a seguinte expressão
k + 1 ? n− k, somando ambos os lados por (k − 1)
2k ? n− 1, dividindo ambos os lados por 2
Temos que :
k ?
n− 1
2
logo:
Teremos três situações: a) se k <
n− 1
2
, então
(
n
k
)
<
(
n
k+1
)
; b) Se k =
n− 1
2
, então
(
n
k
)
=
(
n
k+1
)
;
c) Se k >
n− 1
2
, então
(
n
k
)
>
(
n
k+1
)
1.3 Problema de Fermat
Nascido na França, na primeira década do século XVII Pierre de Fermat foi um Matemático
e Cientista. Seu interesse pela Matemática se iniciou com a leitura da Aritmética de Diofanto,
obra que seria responsável pela divulgação de um dos maiores problemas Matemáticos que o
mundo conheceu. A sua influência foi limitada por não ter interesse em publicar suas desco-
bertas, conhecidas principalmente por cartas de amigos, e por sua cópia da Arithmetica de
Diofanto, que chegou a receber uma versão especial (Aritmética de Diofante contendo observa-
ções de Pierre de Fermat), onde foram impressas todas as notas de Fermat. Era um Matemático
que gostava de trocar e resolver desafios. Dados coletados em ([8])
Abaixo apresentamos o famoso problema de Fermat, envolvendo geometria e otimização, para
11
o qual será apresentada uma solução, que usa principalmente conceitos de simetria.
Problema de Fermat: Dados três pontos A,B,C não colineares. Determine um ponto P
onde AP +BP + CP seja mínimo.
Solução: 1o Passo
Dados os pontos A,B,C formamos o 4ABC
Figura 1.5: 4 ABC
2o Passo
a) Escolhendo um ponto P qualquer no interior do4ABC e ligando-o aos lados A,B,C obtemos
o segmento AP,BP,CP
Figura 1.6:
Formando dois novos triângulos 4 APB e BPC internos ao 4ABC
12
b) Rotacionando o 4 APB em 60o no sentido anti-horário, temos:
Figura 1.7: rotação do 4 APB sentido anti-horário
3o Passo
Temos que:
BP = BP ′, BA′ = BA
Com isto podemos afirmar que os 4 BA′A e 4 PBP ′ são triângulos isósceles, e com a propri-
edade da rotação temos que o B̂ é igual a 60o
4o Passo
a) Sabendo que o 4 ABA′ é isósceles iremos encontrar o valor de α
α + α + 60o = 180o, 2α = 180o − 60o, 2α = 120o ⇒ α = 60o
Portanto o 4 ABA′ é equilátero.
Figura 1.8:
b) Como o 4 PBP ′ é isósceles, vamos encontrar o valor de β
β + β + 60o = 180o, 2β = 180o − 60o, 2β = 120o ⇒ β = 60o
O 4 PBP ′ é equilátero
13
Figura 1.9:
5o Passo
Usando o teorema do triângulo externo que diz: A soma de dois ângulos internos do triângulo
é igual ao seu ângulo externo.
Temos o 4 PBP ′ e os ângulos externos λ e δ, a soma de dois ângulos internos do 4 PBP ′ é
igual á 120o. Com isso concluímos que os ângulos λ e δ são iguais a 120o.
6 Passo
Obsevar-se que:
AP = A′P ′, BP = P ′P , CP = CP
AP +BP + CP = A′P ′ + P ′P + CP
Conclui-se que o segmento A′P ′PC é colinear e é o caminho mínimo.
Figura 1.10:
14
Capítulo 2
O uso da simetria na química
Neste capítulo estudamos o uso da simetria na química, mais precisamente na simetria
molecular através da teoria de grupos assim como, as propriedades de simetria das moléculas e
como elas podem ser usadas para prever aspectos vibracionais, hibridização, atividade óptica,
etc.
2.1 Simetria molecular e teoria de grupos pontuais
Nesta seção desenvolvemos o uso da simetria no contexto químico, através dos estudos de
moléculas e os grupos pontuais as quais pertencem, tendo como principal foco o comportamento
da simetria em contexto fora da metemática.
2.1.1 Operações de simetria
Para a química, os objetos de interesse são íons e moléculas e a partir destes devemos iden-
tificar e quantificar os elementos de simetria. Os elementos de simetria são planos de reflexão,
eixos de rotação, centros de inversão,etc.
Figura 2.1: Elementos de simetria
Uma molécula tem um dado elemento de simetria se a operação de simetria deixar a molécula
inalterada, como se nada tivesse ocorrido(mesmo que átomos de ligações tenham sido movidos).
Com base em ([6], pag.01)
15
Identidade (E)
Toda as moléculas têm Identidade. Esta operação deixa a molécula inalterada. Uma molé-
cula altamente não-simétrica, como a um carbono tetraédrico com 4 grupos diferentes ligados
tem somente a Identidade e nenhum outro elemento de simetria.
2.1.2 Os eixos de ordem (Cn)
Um elemento de simetria é encontrado quando uma operação de simetria é efetuada. Toda
operação de simetria leva a molécula em questão a uma situação equivalente ou indistinguível
da configuração inicial
Exemplo 2.1.1. Toda molécula possui pelo menos um eixo de rotação. Este elemento de
simetria é dito como
Identidade (E)
Figura 2.2: Rotação
Eixo de rotação própria Cn onde:
n = 2rotação de 180o, n = 3 rotação de 120o, n = 4 rotação de 90o, n = 6 rotação de 60o
A água (H2O) tem um eixo de rotação C2(2π/n = 2π/2 ou 360o/2 = 180o). Quando
rotacionada por 180o, os átomos de hidrogênio trocam de posição, mas a molécula parecerá
exatamente a mesma.
Figura 2.3: rotação
16
2.1.3 Planos especulares de simetria (σ)
São encontrados quando planos imaginários interceptam uma dada molécula e cada metade
é a imagem especular da outra
Figura 2.4: Plano de reflexão
Classificação:
σv - Ocorre quando o plano é traçado no sentido vertical à molécula.
17
Figura 2.5: Plano vertical
σh - Ocorre quando o plano é traçado no sentido horizontal à molécula. Neste caso, existem
nσv ⊥ ao plano σh
Figura 2.6: Plano horizontal
2.1.4 Centro de inversão (i)
Esta operação de simetria projeta cada átomo da molécula em questão através de um ponto
imaginário (i) e , caso a molécula resultante for indistinguível da molécula inicial esta possui
centro de inversão.
18
Figura 2.7: Centro de inversão
2.1.5 Eixo de rotação imprópria (S)
É uma operação de simetria combinada. Consiste em efetuar uma rotação Cn e, em seguida,
uma reflexão (plano especular) à esta rotação. Também é conhecida como operação de roto-
reflexão.
Exemplo 2.1.2. Operação de roto-reflexão para um composto tetraédrico.
Figura 2.8: Roto-reflexão
Somente ao final do conjunto de operação o arranjo atômico deve ser indistinguível do inicial
Casos especiais:
1- A operação S1 não é considerada pois consiste em C1 seguido de reflexão. Este conjunto
tem o mesmo significado de um plano de simetria.
Figura 2.9: Caso 1
19
2- A operação S2 também não é considerada pois consiste em C2 seguindo de reflexão. Este
conjunto tem o mesmo significado de centro de inversão (i)
Figura 2.10: Caso 2
2.1.6 Grupo Pontual
O termo grupo de ponto traduz o fato de que cada operação de simetria realizada não altera
o centro de gravidade da molécula em questão. Este grupo é encontrado com base na coleção
de operações de simetria possíveis para uma molécula.
Grupos de pontos das molécula
Os elementos de simetria da molécula determinam o grupo pontual a que essa molécula
pertence.
Para atribuir o grupo de pontos de uma molécula, elabora-se a lista dos elementos de simetria
da molécula e compara-se com a lista que define cada grupo de pontos.
Figura 2.11:
Exemplo 2.1.3. Água e Amônia
As moléculas d’água e amônia pertencem à classe Cnv de moléculas. Elas possuem planos
verticais de reflexão, mas não planos horizontais.
20
Figura 2.12: Grupos pontuais
As moléculas altamente simétricas,como os tetraedros e octaedros substituídos identica-
mente pertencem a grupos pontuais próprios (Td ou Oh, respectivamente).
2.2 Isômero Esteroisômeros
([5],pag.386)Diz- se que dois ou mais compostos são isômeros quando apresentam a mesma
fórmula molecular, porém possuem estruturas diferentes.
As duas maiores classes de isômeros são os isômeros estruturais onde os átomos estão
ligados a vizinhos distintos e isômeros esteroisômeros onde os átomos estão ligados ao mesmo
vizinho, porém em diferentes arranjos no espaço([1],pag.713)
Figura 2.13: Tipos de isômeros
Neste tópico iremos estudar os isômeros esteroisômeros.
Esses isômeros, chamados de estereoisômeros, podem ser diastereoisômeros ou enantiômeros.
A isomeria espacial do tipo geométrica, também chamada de cis-trans, ocorre com os diastere-
oisômeros, que são isômeros que não são a imagem especular um do outro.
21
2.2.1 Isomeria geométrica ou cis-trans
A isomeria geométrica ocorre especialmente em compostos de cadeia aberta que possuem
ligação dupla entre pelo menos dois átomos de carbono, sendo que cada átomo de carbono da
dupla possui os seus grupos ligados diferentes entre si.
Exemplo 2.2.1. Considere os dois isômeros formados pelo 1,2-dicloroetileno:
Figura 2.14: Isômero geométrico
Onde:
Cis: Os grupos ligantes iguais ficam do mesmo lado do plano espacial;
Trans: Os grupos ligantes iguais ficam de lados opostos do plano espacial.
2.2.2 Isomeria Óptica
Segundo [4] qualquer composto que possui estrutura assimétrica desvia o plano da luz po-
larizada e, consequentemente, realiza isomeria. Existem, então, algumas moléculas que são
capazes de desviar esse plano de luz polarizada, ou seja, são opticamente ativas. Quando o
plano é desviado para a direita, dizemos que a molécula é o isômero dextrogiro, que signi-
fica “direito”. Quando o plano da luz polarizada é desviado para a esquerda, temos o isômero
levogiro que significa "esquerdo".
Exemplo 2.2.2. Considere o isõmero 1,2 dicloropropano
Figura 2.15: Plano de simetria
22
traçando um plano de simetria no centro da molécula, o isômero trans será assimétrico e o
isômero cis será simétrico. Vemos então que o isômero cis não possuí cadeia assimétrica, pois
ele não desvia o plano de luz polarizada sendo assim ele se torna inativo opticamente. Já o
isômero trans é opticamente ativo, aparecendo na forma de levogiro.
Carbono quiral
Uma das formas mais comuns de sabermos se uma molécula é assimétrica e se ela dá origem
a dois isômeros é observar se ela possui um carbono assimétrico ou quiral (C*), ou seja, um
carbono que possui todos os seus quatro ligantes diferentes entre si.
Figura 2.16: Carbono quiral
Os isômeros ópticos são a imagem especular um do outro, mas não são sobreponíveis, isto é,
são enantiômeros. Sendo assim, essas moléculas não podem ser simétricas. Observe a imaguem
abaixo que o carbono central é quiral porque possui todos os seus ligantes diferentes, originando
dois isômeros ópticos que são a imagem especular um do outro, porém não são sobreponíveis.
Figura 2.17: Isômero óptico
23
Cronograma
Número Descrição Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro
1 Estudos di-
rigidos em:
Álgebra,
Aritmética e
Combinatória
X X X X X X X X
2 Estudos sobre
Latex e o geo-
gebra
X X X X X X X X
3 Encontros se-
manais com a
orientadora
X X X X X X X X
4 Elaboração
de relató-
rio técnico
científico final
X X X X X
5 Seminários
dirigidos
sobre os
tópicos de
selecionados
X X X X X X
24
Conclusão
Neste relatório apresentamos algumas das principais propriedades do triângulo de Pascal e
alguns exemplos da suas aplicações, assim como ele está associado a alguns conceitos binomiais.
E como o uso da simetria foi resolvido um problema de geometria e otmização conhecido como
problema de Fermat.
Além disso, foi visto o uso da simetria na química com o estudo da simetria molecular
e da teoria de grupos pontuais, tendo como principal objetivo as classificações moleculares e
os grupos pontuais no qual a cada molécula pertence, inclusive usando conceito de reflexão e
rotação. E o conceito de esteroisômero, onde estudamos os dois principais isômeros que faz
perte desta estrutura.
25
Referências Bibliográficas
[1] ATKIS, Peter;JONES, Loretta. Princípios de Química 3aedição. Traduzido por Ricardo
Bicca de Alencastro- Porto Alegre: Bookman, (2006)
[2] LABORÃO, Guilherme Guimarães. Triângulo de Pascal- Belo Horizonte: UFMG, (2016)
[3] LOVÁSZ, László;PELIKÁN, József;VESZTERGOMBI, Katalin. Matemática Dis-
creta,coleção textos universitários- Rio de Janeiro: SBM, (2010)
[4] ÓPTICO, Isômero. Disponivel em: https://www.manualdaquimica.com/
quimica-organica/isomeria-optica.htm. Acesso em : 20 de setembro de 2020
[5] SCARPELLINI, Carminella; ANDREATTA, Vinícios Barbosa. Manual Compacto de Quí-
mica: Ensino Médio- São Paulo: Rideel,(2011)
[6] SIMETRIA, Molecular e teoria de grupos. Disponivel em: http://www.quimica.ufpr.br/
paginas/marcio-peres/wp-content/uploads/sites/6/2017/08/Aula-3-simetria.
pdf. Acesso em : 17 de fevereiro. 2020
[7] SIMETRIA, Molecular. Disponivel em : http://www.quimica.ufpr.br/nunesgg/CQ133/
Simetria%20molecular_2018.pdf. Acesso em : 10 de fevereiro. 2020
[8] FERMAT, Pierre. Disponivel em: http://clubes.obmep.org.br/blog/b_
pierre-de-fermat/. Acesso em: 23 de fevereiro. 2020
26