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UNIDADE 1 1) Assinale a proposição que define corretamente o que é população para a Estatística: ( X ) População é o conjunto de elementos que desejamos observar para obter determinada informação; ( ) População é um subconjunto da amostra; ( ) População é o conjunto de habitantes de um país; ( ) População é o conjunto de pessoas populares; ( ) População é a amostra que desejamos observar para obter determinada informação. 2) Assinale a proposição que define corretamente o que é amostra para a Estatística: ( ) Amostra é um brinde a ser fornecido aos clientes da população; ( ) Amostra é uma parte de um gráfico; ( ) Amostra é o conjunto de dados obtidos numa pesquisa; ( ) Amostra é o resultado de uma pesquisa; ( X ) Amostra é o subconjunto de elementos retirados da população que se está observando. 3) O que é Estatística Descritiva: ( ) É o cálculo de medidas que permitirão descrever, com detalhes, o fenômeno que se está sendo analisado; ( X ) É a parte da Estatística referente à coleta e à tabulação dos dados; ( ) É a parte da Estatística referente às conclusões sobre as fontes de dados; ( ) É a generalização das conclusões sobre as fontes de dados; ( ) É a obtenção dos dados, seja através de simples observação ou mediante a utilização de alguma ferramenta. 4) O que é Estatística Indutiva: ( ) É o cálculo de medidas que permitirá descrever, com detalhes, o fenômeno que se está sendo analisado; ( ) É a parte da Estatística referente à coleta e à tabulação dos dados; ( X ) É a parte da Estatística referente às conclusões sobre as fontes de dados; ( ) É a generalização das conclusões sobre as fontes de dados; ( ) É a obtenção dos dados, seja através de simples observação ou mediante a utilização de alguma ferramenta. 5) São duas das fases do Método Estatístico: ( ) Criar um problema e coletar dados; ( ) Criar um problema e analisar os dados; ( ) Planejamento de um problema e coletar dados; ( X ) Coletar dados e analisar dados; ( ) Apurar os dados e analisar um problema. UNIDADE 2 1) Suponha que foi realizado um teste de Estatística em uma turma constituída por 40 alunos e obteve-se os seguintes resultados (dados brutos): 7 – 6 – 8 – 7 – 6 – 4 – 5 – 7 – 7 – 8 – 5 – 10 – 6 – 7 – 8 – 5 – 10 4 – 6 – 7 – 7 – 9 – 5 – 6 – 8 – 6 – 7 – 10 – 4 – 6 – 9 – 5 – 8 – 9 – 10 – 7 – 7 – 5 – 9 – 10. Qual o resultado que aconteceu com a maior freqüência? ( ) 10; ( ) 9; ( ) 8; ( X ) 7; ( ) 6. 2) Observe a tabela: Ano Exportações (em US$ 1.000.000,00) 1998 204 1999 234 2000 652 2001 888 2002 1205 Fonte: dados fictícios do autor A série estatística representada é: ( X ) Cronológica; ( ) Geográfica; ( ) Conjugada; ( ) Específica; ( ) Espacial. 3) Na distribuição de freqüências a seguir, qual a amplitude das classes ou intervalos: Faixa Etária Alunos (f) 20 25 8 25 30 8 30 35 8 35 40 8 40 45 8 45 50 8 Fonte: dados fictícios do autor ( ) 30; ( X ) 5; ( ) 8; ( ) 6; ( ) 50. A amplitude do intervalo é A = LS – LI A = 45 – 40 A = 5 Observação: para o cálculo da amplitude das classes pode-se pegar os dados referentes a qualquer das classes. No caso foi pega a 5ª classe. 4) O gráfico representativo a seguir é um gráfico: ( ) de setores; ( ) de barras; ( X ) de colunas; ( ) em forma de histograma; ( ) em forma de polígono de freqüência. 0 30 60 90 120 150 180 1999 2000 2001 2002 2003 Ano Apartamentos Vendidos 5) As partes que constituem uma tabela são: ( ) cabeçalho, freqüência e rodapé; ( ) corpo, freqüência e rodapé; ( X ) cabeçalho, corpo e rodapé; ( ) corpo, freqüência e cabeçalho; ( ) rodapé, freqüência e dados brutos. UNIDADE 3 1) Dada a amostra: 3 – 7 – 10 – 6 – 8 – 6 – 8 – 4 – 5 – 7 – 6 – 10 – 9 – 5 – 6 – 3, responda qual resultado aconteceu com maior freqüência: ( ) 4; ( ) 5; ( X ) 6; ( ) 7; ( ) 8. 2) Dada a distribuição de freqüências a seguir, Idades Freqüência (f) 19 21 8 21 23 12 23 25 15 25 27 13 27 29 7 29 31 5 Fonte: dados fictícios do autor Responda qual a freqüência acumulada total: ( ) 31; ( ) 55; ( ) 20; ( X ) 60; ( ) 12. A freqüência acumulada total é a soma de todas as freqüências, ou seja: FaTOTAL = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 FaTOTAL = 8 + 12 + 15 + 13 + 7 + 5 FaTOTAL = 60 3) Dada a distribuição de freqüências a seguir, Idades Freqüência (f) 0 2 2 2 4 5 4 6 18 6 8 10 8 10 5 Fonte: dados fictícios do autor responda qual o limite superior da quarta classe: ( X ) 8; ( ) 6; ( ) 4; ( ) 10; ( ) 40. 4) Na distribuição de freqüências da questão 3, qual a amplitude de cada classe ou intervalo? ( ) 10; ( ) 1; ( X ) 2; ( ) 40; ( ) 8. A amplitude da 4ª classe é dada por: A4 = 8 – 6 A4 = 2 5) Na distribuição de freqüências da questão 3, qual o ponto médio da quinta classe ou intervalo? ( ) 40; ( ) 5; ( ) 8; ( X ) 9; ( ) 10. O ponto médio da 5ª classe é calculado por: 2 LiLs Pm 555 � 2 810 Pm5 � 2 18 Pm5 9Pm5 ��������� ���������� ��� ����� ������������������� ������������������������������������� ��������� � ��������� � ����������������� �������� ���� ����� �!�"�����#��$%&' ���������������!����(������ ������ #��$%&' ���)� *�����+����������+�,,�������-�����������-��������,��+����.���������������������� �� � ��������� � /�� �������!� ��� ��� ������!�������� ����� � ��� �'����%��� ��� �'�� ���(����(�0����� !����� �'����)� ��1���1���1���1���1���1���1���1���1� �1� �1����1���� 2�!�������� ����'������!����� �'��������� � ��������� 3����� ����(�� �������� �� %�����!��������'���� ������#��$%&' ������������������!����(���,�(���� !���#� ���� �$%�� ����������' �'������ ����'��������,���������'����4������ ����'�������'�� ��� ����� ������5�,������ ��6� %7��#��$%&' ��������)�� 8�(�����(�� �������#9� %��)������:���*��'�,���;#�'���+�<.�#�����!�7��'��(�0�'��������$%�������#���� �����'�� ������ ������,����*�����,�1�����+�,��.�������,�� � ��������� � 3����� ����(�� ��������!���#� ��� �$%�� ����������' �'������ �����(0=�� �1��� ������� �' �'����'�� ������$%���� ��� �����#��$%&' ��� �'����� ��������)�5�,�������� ��6=� <0��������(�� ����#9� %��)�����:�����#(����+�<���#�'����#(��������,��������+�,�����,,����������,�� � ��������� � ������ �'�������0%���������������>�'���8�" ���!������(����,�������,���� � ��������� � ������ �'�������0%����������������� ���������� ��������!������(������������������ � ��������� � ?�� �����+�� @ ������A�������,�����=� � ��������� � ������������ �������������������(���%BC����!������(������A�������������� � ��������� � ������������ ����������B� �'������!������(������A�,,����������� ��������� � � �!������(������'��(�0�'��,��=� � � UNIDADE 5 1) A média dos valores dados é: 6 5109648 X ����� 6 42 X 7X O desvio médio é: n f.XXȈ Dm � Vamos então calcular o quanto cada resultado está desviado (afastado) da média: Resultados Desvio médio � �XX � XX � 4 4 – 7 = – 3 3 5 5 – 7 = – 2 2 6 6 – 7 = – 1 1 8 8 – 7 = 1 1 9 9 – 7 = 2 2 10 10 – 7 = 3 3 Total 12 Substituindo os dados na fórmula: n f.XXȈ Dm � 6 12 Dm 2Dm Observação: como cada valor só ocorreuuma vez, implica ser f = 1 para todos os valores. 2) A variância de uma amostra é determinada pela fórmula: � � 1n f.XXȈ S 2 2 �� Resultados � �XX � � �2XX � 4 – 3 9 5 – 2 4 6 – 1 1 8 1 1 9 2 4 10 3 9 Total 28 Substituindo os dados na fórmula: � � 1n f.XXȈ S 2 2 �� 1628S2 � 528S2 5,6S2 3) Como o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, para o cálculo do desvio padrão basta extrair a raiz quadrada de 5,6: 2SS 5,6S 2,3664S 4) A amplitude total é o maior valor menos o menor valor do conjunto de números, ou seja: A = 10 – 4 = 6 5) Dados do enunciado: 8,5Qe4,5Q;6,5Me;6X 31 2 QQ D 13q � Substituindo: 2 4,58,5 Dq � 2 4 Dq 2Dq Unidade 5 – exercício 6 X = 1,5 . 1 + 2,5 . 4 + 3,5 . 6 + 4,5 . 5 + 5,5 . 6 + 6,5 . 10 + 7,5 . 9 + 8,5 . 6 + 9,5 . 3 50 X = 1,5 + 10,0 + 21,0 + 22,5 + 33,0 + 65,0 + 67,5 + + 51,0 + 28,5 50 X = 6 Dm = �(1,5 – 6) .1 + (2,5 – 6) .4 + (3,5 – 6) .6 + (4,5 – 6) .5 + (5,5 – 6) .6 + (6,5 – 6) .10 + (7,5 – 6) .9 + (8,5 – 6) .6 + (9,5 – 6) .3� 50 Dm = 4,5 + 14,0 + 15,0 + 7,5 + 3,0 + 5,0 + 13,5 + 15,0 + 10,5 50 Dm = 88 = 1,76 50 Exercício 7 - A variância então será: S2 = (1,5 – 6)2 .1 + (2,5 – 6)2 .4 + (3,5 – 6)2 .6 + (4,5 – 6)2 .5 + (5,5 – 6)2 .6 + (6,5 – 6)2 .10 + (7,5 – 6)2 .9 + (8,5 – 6)2 .6 + (9,5 – 6)2 .3 50 S2 = 20,25 + 49 + 37,5 + 11,25 + 1,5 + 2,5 + 20,25 + 37,5 + 36,75 50 S2 = 216,5 50 S2 = 4,33 Exercicio 8 - O desvio padrão é a raiz quadrada desse valor, ou seja: S = 2,08 UNIDADE 6 1) Em uma distribuição de freqüências, verificou-se que a moda é igual a 8,0, a média é igual a 7,8 e o desvio padrão é igual a 1. Determine o coeficiente de assimetria de Pearson. ( ) 0,20; ( X ) – 0,20; ( ) 2,0; ( ) – 2,0; ( ) 0,50. Aplicando a fórmula para o cálculo do coeficiente de assimetria de Pearson, tem-se: S MoX Sk � 1,0 8,07,8 Sk � 1,0 0,20 Sk � 0,20Sk � 2) Em uma distribuição de freqüências, verificou-se que a mediana é igual a 15,4, a média é igual a 16,0 e o desvio padrão é igual a 6,0. Determine o coeficiente de assimetria de Pearson. ( ) 0,10; ( ) – 0,10; ( X ) 0,30; ( ) – 0,30; ( ) 0,50. Aplicando a fórmula para o cálculo do coeficiente de assimetria de Pearson, tem-se: � � S MeX3. Sk � � � 6 15,416,03. Sk � � � 6 0,603. Sk 6 1,80 Sk 0,30Sk 3) Observou-se que, em uma determinada distribuição de freqüências, o primeiro quartil é igual a 3, o terceiro quartil é igual a 8, o décimo centil é igual a 1,5 e o nonagésimo centil é igual a 9. Com base nesses resultados, podemos afirmar que trata-se de uma curva: ( ) mesocúrtica, com k = 0,263; ( ) leptocúrtica, com k = 0,233; ( ) leptocúrtica, com k = 0,25; ( ) platicúrtica, com k = 0,45; ( X ) platicúrtica, com k = 0,333. Fazendo o cálculo do coeficiente de curtose, vêm: � �1090 13 CC . 2 QQK �� � �1,59 . 2 38K �� � �7,5 . 2 5K 155K K = 0,333... Como o valor de k = 0,333... > 0,263 curva platicúrtica. 4) O coeficiente de curtose (k) para uma determinada distribuição de freqüências é igual a 0,297. Pode-se, então, afirmar que a curva é: ( ) mesocúrtica; ( X ) platicúrtica; ( ) leptocúrtica; ( ) assimétrica positiva; ( ) simétrica. Como o valor de k = 0,297 > 0,263 curva platicúrtica. 5) O segundo coeficiente de assimetria de Pearson para determinada distribuição de freqüências é igual a zero. Pode-se, então, afirmar que a curva é: ( ) mesocúrtica; ( ) leptocúrtica; ( ) platicúrtica; ( X ) simétrica. ( ) assimétrica positiva; Como o segundo coeficiente de Pearson, SK = 0 curva simétrica. UNIDADE 7 1) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 bolas pretas e 4 bolas verdes. Calcule a probabilidade dela não ser preta. ( X ) 18 10 ; ( ) 18 4 ; ( ) 18 6 ; ( ) 18 8 ; ( ) 18 12 . A bola a re retirada não pode ser preta, logo, poderá ser vermelha ou verde. Então: P ( Vermelha ou Verde) = P (Vermelha) + P (Verde) P ( Vermelha ou Verde) = 18 4 18 6 � P ( Vermelha ou Verde) = 18 10 2) A probabilidade de que Pedro resolva um problema é de 1/3 e a de que Paulo o resolva é de 1/4. Se ambos tentarem resolver independentemente o problema, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? ( ) 12 7 ; ( ) 7 1 ; ( X ) 2 1 ; ( ) 7 2 ; ( ) 7 3 . O cálculo da probabilidade será: P (Pedro ou Paulo resolver) = P (Pedro resolver) + P (Paulo resolver) – P (Pedro e Paulo resolverem) P (Pedro ou Paulo resolver) = 4 1 . 3 1 4 1 3 1 �� P (Pedro ou Paulo resolver) = 12 1 4 1 3 1 �� P (Pedro ou Paulo resolver) = 12 134 �� P (Pedro ou Paulo resolver) = 2 1 12 6 . 3) Jogou-se uma única vez quatro moedas honestas. Qual a probabilidade de ter dado coroa em três das moedas e cara na quarta moeda? ( ) 8 1 ; ( ) 8 3 ; ( X ) 16 4 ; ( ) 16 3 ; ( ) 16 1 . Chamando a probabilidade de sair cara em uma moeda de “K” e a probabilidade de sair coroa em uma moeda de “C”, tem-se calculando a probabilidade de sair cara na 1ª moeda, cara na 2ª moeda, cara na 3ª moeda e coroa na 4ª moeda: P (K , K, K, C) = P ( K ) . P ( K ) . P ( K ) . P ( C ) P (K , K, K, C) = 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 P (K , K, K, C) = 16 1 Como são possíveis outras três combinações de resultados, vem: P (K , K, C, K) = P ( K ) . P ( K ) . P ( C ) . P ( K ) P (K , K, C, K) = 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 P (K , K, C, K) = 16 1 Ou P (K , C, K, K) = P ( K ) . P ( C ) . P ( K ) . P ( K ) P (K , C, K, K) = 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 P (K , C, K, K) = 16 1 Ou, ainda: P (C , K, K, K) = P ( C ) . P ( K ) . P ( K ) . P ( K ) P (C , K, K, K) = 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 P (C , K, K, K) = 16 1 Logo, a probabilidade final será dada pela soma de todas as possibilidades, ou seja: P (três caras e uma coroa) = 16 1 16 1 16 1 16 1 ��� P (três caras e uma coroa) = 16 4 4) Uma carta é retirada de um baralho. Qual a probabilidade dela ser uma dama ou uma carta de paus? ( X ) 52 16 ; ( ) 52 17 ; ( ) 52 1 ; ( ) 52 4 ; ( ) 52 13 . P (Dama ou carta de paus) = P (Dama) + P (carta de paus) – P (dama de paus) P (Dama ou carta de paus) = 52 1 52 13 52 4 �� P (Dama ou carta de paus) = 13 4 ou 52 16 . 5) Uma empresa importadora tem 25% de chance de vender com sucesso um produto A e tem 40% de chance de vender com sucesso um produto B. Se essa empresa importar os dois produtos A e B, qual a probabilidade de ela ter sucesso na venda ou do produto A ou do produto B? ( ) 100 65 ; ( X ) 100 55 ; ( ) 100 10 ; ( ) 100 75 ; ( ) 100 54 . P ( A ou B) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A B) P ( A ou B) = 100 40 100 25 100 40 100 25 .�� P ( A ou B) = 10000 1000 100 40 100 25 �� P ( A ou B) = 100 10 100 40 100 25 �� P ( A ou B) = 100 55 UNIDADE 8 1) Uma urna I contém 4 bolas vermelhas, 3 bolas pretas e 3 bolas verdes. Uma urna II contém 2 bolas vermelhas, 5 bolas pretas e 8 bolasverdes. Uma urna III contém 10 bolas vermelhas, 4 bolas pretas e 6 bolas verdes. Calcule a probabilidade de, retirando-se uma bola de cada urna, serem todas da mesma cor. ( ) 3000 80 ; ( ) 3000 60 ; ( ) 3000 144 ; ( X ) 3000 284 ; ( ) 3000 140 . Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem vermelhas: P ( Verm, Verm, Verm) = 20 10 . 15 2 . 10 4 P ( Verm, Verm, Verm) = 3000 80 Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem pretas: P ( Preta, Preta, Preta) = 20 4 . 15 5 . 10 3 P ( Preta, Preta, Preta) = 3000 60 Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem verdes: P ( Verde, Verde, Verde) = 20 6 . 15 8 . 10 3 P ( Verde, Verde, Verde) = 3000 144 Calculando a soma das três probabilidades: P ( ser da mesma cor) = 3000 144 3000 60 3000 80 �� P ( ser da mesma cor) = 3000 284 . 2) Um pacote de sementes de flores contém quatro sementes de flores vermelhas, três de flores amarelas, duas de flores roxas e uma de flor de cor laranja. Escolhidas três sementes, ao acaso, qual a probabilidade de a 1ª ser de flor cor de laranja, a 2ª ser flor de cor vermelha e a 3ª ser de flor de cor roxa? ( ) 27 7 ; ( ) 720 242 ; ( X ) 720 8 ; ( ) 1000 8 ; ( ) 1000 7 . O cálculo da probabilidade será, na ordem solicitada, lembrando que devemos subtrair uma unidade do total de sementes, pois não há reposição da semente ao pacote de sementes: P (laranja, vermelha, roxa) = 8 2 . 9 4 . 10 1 P (laranja, vermelha, roxa) = 720 8 3) Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas. Uma segunda caixa contém 12 canetas iguais, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. Determinar a probabilidade de uma ser perfeita e a outra não. ( ) 30 13 ; ( X ) 20 9 ; ( ) 30 7 ; ( ) 20 11 ; ( ) 30 11 . Calculando a probabilidade de ser retirada da 1ª caixa uma caneta perfeita e da 2ª caixa uma caneta defeituosa: P (perfeita, defeituosa) = 12 4 . 20 13 P (perfeita, defeituosa) = 60 13 240 52 Calculando-se a probabilidade de ser retirada da 1ª caixa uma caneta defeituosa e da 2ª caixa uma caneta perfeita: P (defeituosa, perfeita) = 12 8 . 20 7 P (defeituosa, perfeita) = 30 7 240 56 Somando-se as duas probabilidades, vem: P (uma perfeita e outra defeituosa) = 30 7 60 13 � P (uma perfeita e outra defeituosa) = 20 9 60 27 60 14 13 � . 4) Uma pessoa tem dois automóveis velhos. Nas manhãs frias, há 20% de chance de um deles não pegar e 30% de chance de o outro não pegar. Qual a probabilidade de, em uma manhã fria, apenas um pegar? ( ) 100 24 ; ( ) 100 14 ; ( ) 100 50 ; ( ) 100 52 ; ( X ) 100 38 . Calculando a probabilidade do 1º automóvel pegar e do 2º não pegar: P (pegar, não pegar) = 0,80 . 0,30 P (pegar, não pegar) = 0,24 Calculando a probabilidade do 1º automóvel não pegar e do 2º pegar: P (não pegar, pegar) = 0,20 . 0,70 P (não pegar, pegar) = 0,14 Somando as probabilidades: P ( um pegar e o outro não pegar) = 0,24 + 0,14 P ( um pegar e o outro não pegar) = 0,38, ou seja, P ( um pegar e o outro não pegar) = 100 38 . 5) Uma fábrica de louças tem um processo de inspeção com quatro etapas. A probabilidade de uma peça defeituosa passar numa etapa sem ser detectada é de, aproximadamente, 20%. Determine, então, a probabilidade de uma peça defeituosa passar por todas as quatro etapas de inspeção sem ser detectada. ( ) 0,20%; ( ) 0,0016%; ( X ) 0,16%; ( ) 0,02%; ( ) 0,80%. P (passar nas 4 etapas) = P (passar 1ª etapa) . P (passar 2ª etapa) . P (passar 3ª etapa) . P (passar 4ª etapa) P (passar nas 4 etapas) = 100 20 . 100 20 . 100 20 . 100 20 P (passar nas 4 etapas) = 100000000 160000 P (passar nas 4 etapas) = 10000 16 P (passar nas 4 etapas) = 0,0016 P (passar nas 4 etapas) = 0,16% UNIDADE 9 1) Verifica-se, em uma fábrica, que, em média, 10% dos parafusos produzidos por uma determinada máquina não satisfazem a certas especificações. Se forem selecionados ao acaso 10 parafusos da produção diária dessa máquina, usando a fórmula de probabilidades binomiais, determinar a probabilidade de nenhum ser defeituoso. Dados do problema: p = 10% ou seja, p = 0,10. p + q = 1 0,10 + q = 1 q = 1 – 0,10 q = 0,90 X = 0 N = 10 Substituindo os dados na fórmula: XNX N,X .q.pCP(X) � � � XNX.q.p!PNX!.N!P(X) �� � � 0100.0,90.0,10!0100!.10!0)P(X �� 10.1.0,90 1.10! 10! 0)P(X 4....0,34867841.10)P(X 0,34870)P(X 34,87%0)P(X 2) Em um concurso realizado para trabalhar em determinada Empresa de Exportação, 10% dos candidatos foram aprovados. Se escolhermos aleatoriamente 10 candidatos a esse concurso, qual a probabilidade de que exatamente dois deles tenham sido aprovados? Dados do problema: p = 10% ou seja, p = 0,10. p + q = 1 0,10 + q = 1 q = 1 – 0,10 q = 0,90 X = 2 N = 10 Substituindo os dados na fórmula: XNX N,X .q.pCP(X) � � � XNX.q.p!PNX!.N!P(X) �� � � 2102.0,90.0,10!2102!.10!2)P(X �� 82.0,90.0,10 2!.8! 10! 2)P(X 046721.0,01.0,43 40320.2 3628800 2)P(X 046721.0,01.0,43 80640 3628800 2)P(X 210,00430467.452)P(X 450,193710242)P(X 19,37%2)P(X 3) Em determinada turma do CENINTER, em 2003, 20% dos alunos foram reprovados em matemática comercial e financeira. Se escolhermos aleatoriamente 8 alunos dessa turma, qual a probabilidade de que exatamente três desses alunos tenham sido reprovados? Dados do problema: p = 20% ou seja, p = 0,20. p + q = 1 0,20 + q = 1 q = 1 – 0,20 q = 0,80 X = 3 N = 8 Substituindo os dados na fórmula: XNX N,X .q.pCP(X) � � � XNX.q.p!PNX!.N!P(X) �� � � 383.0,80.0,20!383!. 8!3)P(X �� 53.0,80.0,20 3!.5! 8! 3)P(X 2768.0,008.0,3 6.120 40320 3)P(X 2768.0,008.0,3 720 40320 3)P(X 0,00262144.563)P(X 0,146800643)P(X 14,68%3)P(X 4) Qual a probabilidade de se obter exatamente 5 coroas em 6 lances de uma moeda não viciada? Dados do problema: p = 50% ou seja, p = 0,50. p + q = 1 0,50 + q = 1 q = 1 – 0,50 q = 0,50 X = 5 N = 6 Substituindo os dados na fórmula: XNX N,X .q.pCP(X) � � � XNX.q.p!PNX!.N!P(X) �� � � 565.0,50.0,50!565!. 6!5)P(X �� 15.0,50.0,50 5!.1! 6! 5)P(X ,50.0,03125.0 1.120 720 5)P(X ,50.0,03125.0 120 720 5)P(X 0,015625.65)P(X 0,093755)P(X 9,375%3)P(X 5) Em um ano particular, 30% dos alunos de uma Universidade de Medicina do Estado de São Paulo foram reprovados em Clínica Geral. Se escolhermos aleatoriamente dez alunos dessa Universidade que tenham cursado Clínica Geral, qual a probabilidade de que exatamente 3 deles tenham sido reprovados? Dados do problema: p = 30% ou seja, p = 0,30. p + q = 1 0,30 + q = 1 q = 1 – 0,30 q = 0,70 X = 3 N = 10 Substituindo os dados na fórmula: XNX N,X .q.pCP(X) � � � XNX.q.p!PNX!.N!P(X) �� � � 3103.0,70.0,30!3103!.10!3)P(X �� 73.0,70.0,30 3!.7! 10! 3)P(X 823543.0,027.0,0 5040.6 3628800 3)P(X 823543.0,027.0,0 30240 3628800 3)P(X 610,00222356.1203)P(X 20,266827933)P(X 26,68%3)P(X UNIDADE 10 1) Na fabricação de resistores de 50 ohms são considerados bons os que têm resistência entre 45 e 55 ohms. Sabe-se que a probabilidade de um deles ser defeituoso é 0,2%. Os resistores são vendidosem lotes de 1.000 unidades. Qual a probabilidade de haver um resistor defeituoso em um lote? ( ) 13,534%; ( ) 6,767%; ( X ) 27,068%; ( ) 0,135%; ( ) 0,271%. Dados do enunciado: X = 1; O = N . p O = 1000 . 0,002 O = 2 Substituindo na fórmula: � � X! .e |XP X ȜȜȜ � � � � � 1! 2,71828.2 21|XP 21 � Ȝ � � 1 0,1353.2 21|XP Ȝ � � 0,2706821|XP Ȝ � � 27,068%21|XP Ȝ 2) Se a probabilidade de uma pessoa sofrer reação alérgica, resultante da injeção de determinado soro, é igual a 0,0002, determinar a probabilidade de, entre 5.000 pessoas, exatamente 3 sofrerem a mesma reação alérgica. ( ) 36,788%; ( ) 0,833%; ( ) 13,534%; ( X ) 6,13%; ( ) 0,674%. Dados do enunciado: X = 3; O = N . p O = 5000 . 0,0002 O = 1 Substituindo na fórmula: � � X! .e |XP X ȜȜȜ � � � � � 3! 2,71828.1 1|3XP 13 � Ȝ � � 6 9...0,36787968.1 1|3XP Ȝ � � 1...0,061313281|3XP Ȝ � � 6,13%1|3XP Ȝ 3) Na média, 10 pessoas por dia consultam um especialista em decoração de determinada fábrica. Qual a probabilidade de que, em um dia selecionado aleatoriamente, exatamente 5 pessoas façam tal consulta? ( ) 4,17%; ( ) 14,68%; ( ) 26,68%; ( ) 5,44%; ( ) 2,668%. Dados do enunciado: X = 5; O = 10 Substituindo na fórmula: � � X! .e |XP X ȜȜȜ � � � � � 5! 2,71828.10 10|5XP 105 � Ȝ � � 120 ..0,0000454..100000 10|5XP Ȝ � � 9...0,0378335210|5XP Ȝ � � 3,78%10|5XP Ȝ Observação: Resposta do livro está errada. 4) Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, quatro chamadas por hora. Qual a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 2 chamadas? ( ) 1,83%; ( X ) 14,66%; ( ) 7,33%; ( ) 3,66%; ( ) 18,30%. Dados do enunciado: X = 2; O = 4 Substituindo na fórmula: � � X! .e |XP X ȜȜȜ � � � � � 2! 2,71828.4 4|2XP 42 � Ȝ � � 2 8...0,01831568.16 4|2XP Ȝ � � 5...0,146525504|2XP Ȝ � � 14,65%4|2XP Ȝ 5) Em Tóquio, ocorrem, em média, 9 suicídios por mês. Calcule a probabilidade de que, em um mês selecionado aleatoriamente, ocorram exatamente dois suicídios? ( ) 50%; ( ) 3,75%; ( ) 5%; ( ) 37,5%; ( X ) 0,5%. Dados do enunciado: X = 2; O = 9 Substituindo na fórmula: � � X! .e |XP X ȜȜȜ � � � � � 2! 2,71828.9 9|2XP 92 � Ȝ � � 2 1...0,00012341.81 9|2XP Ȝ � � 7...0,004998129|2XP Ȝ � � 1...%0,499812739|2XP Ȝ Arredondando o valor, tem-se: � � 0,5%9|2XP Ȝ UNIDADE 11 1) Em um teste de estatística realizado por 45 alunos, a média obtida foi de 5,0 com desvio padrão igual a 1,25. Determine quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 7,0. ( ) 24 alunos; ( ) 18 alunos; ( ) 25 alunos; ( X ) 20 alunos; ( ) 16 alunos. Dados do enunciado: X = 7 ; O = 5 e S = 1,25 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando o valor padronizado z: S X z Ȝ� 1,25 57 z � 1,25 2 z 1,60z Procurando este valor na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (5 X 7) = P (0 z 1,60) = 0,4452 P (5 X 7) = P (0 z 1,60) = 44,52% Para descobrir o número de alunos, basta calcular o percentual encontrado em relação ao total de alunos: 44,52% . 45 alunos = 20,034 alunos, ou seja, 20 alunos. 2) Uma fábrica de pneumáticos verificou que o desgaste dos seus pneus obedecia a uma distribuição normal, com média de 72.000 km e desvio padrão de 3.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu, aleatoriamente escolhido, durar entre 69.000 km e 75.000 km. ( ) 34,13%; ( X ) 68,26%; ( ) 43,32%; ( ) 86,64%; ( ) 47,72%. Dados do enunciado: X1 = 75000 ; X2 = 69000 ; O = 72000 e S = 3000 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando os valores padronizados z1 e z2: S X z Ȝ� 3000 7200075000 z1 � 3000 3000 z1 1z1 S X z Ȝ� 3000 7200069000 z2 � 3000 3000 z2 � 1z2 � Procurando estes valores na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (69000 X 75000) = P (69000 X 72000) + P (72000 X 75000) P (69000 X 75000) = P (– 1 z 0) + P (0 z 1) P (69000 X 75000) = 0,3413 + 0,3413 P (69000 X 75000) = 0,6826 P (69000 X 75000) = 68,26% 3) Uma siderúrgica verificou que os eixos de aço que fabricava para exportação tinha seus diâmetros obedecendo a uma distribuição normal, com média de 2 polegadas e desvio padrão de 0,1 polegadas. Calcular a probabilidade de um eixo, aleatoriamente escolhido, ter o diâmetro com mais de 2,1 polegadas. ( ) 34,13%; ( ) 68,26%; ( ) 31,74%; ( X ) 15,87%; ( ) 63,48%. Dados do enunciado do problema: X = 2,1 ; O = 2,0 e S = 0,1 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando o valor padronizado z: S X z Ȝ� 0,1 2,02,1 z � 0,1 0,1 z 1z Procurando este valor na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (X 2,1) = P (X 2,0) – P (2,0 X 2,1) P (X 2,1) = P (z 0) – P (0 z 1) P (X 2,1) = 0,50000 – 0,3413 P (X 2,1) = 0,1587 P (X 2,1) = 15,87% 4) As idades de um grupo de alunos apresentou média igual a 20 anos e desvio padrão igual a 2 anos. Determinar o percentual de alunos desse grupo que tem idade entre 17 e 22 anos. ( X ) 77,45%; ( ) 43,32%; ( ) 86,64%; ( ) 34,13%; ( ) 68,26%. Dados do enunciado: X1 = 22 ; X2 = 17 ; O = 20 e S = 2 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando os valores padronizados z1 e z2: S X z Ȝ� 2 2022 z1 � 2 2 z1 1z1 S X z Ȝ� 2 2017 z2 � 2 3 z2 � 1,5z2 � Procurando estes valores na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (17 X 22) = P (17 X 20) + P (20 X 22) P (17 X 22) = P (– 1,5 z 0) + P (0 z 1) P (17 X 22) = 0,4332 + 0,3413 P (17 X 22) = 0,7745 P (17 X 22) = 77,45% 5) Em um vestibular, verificou-se que os resultados tiveram uma distribuição normal com média igual a 5,5 e desvio padrão igual a 1,0. Qual a porcentagem de candidatos que tiveram média entre 3,0 e 7,0? ( ) 49,38%; ( ) 43,32%; ( ) 86,64%; ( ) 98,76%; ( X ) 92,70%. Dados do enunciado: X1 = 7,0 ; X2 = 3,0 ; O = 5,5 e S = 1,0 Calculando os valores padronizados z1 e z2: S X z Ȝ� 1 5,57,0 z1 � 1 1,5 z1 1,5z1 S X z Ȝ� 1 5,53,0 z2 � 1 2,5 z2 � 2,5z2 � Procurando estes valores na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (3,0 X 7,0) = P (3,0 X 5,5) + P (5,5 X 7,0) P (3,0 X 7,0) = P (– 2,5 z 0) + P (0 z 1,5) P (3,0 X 7,0) = 0,4938 + 0,4332 P (3,0 X 7,0) = 0,9270 P (3,0 X 7,0) = 92,70% UNIDADE 12 1) Uma fábrica de lâmpadas de automóveis, para exportação, verificou que a vida útil das suas lâmpadas obedecia a uma distribuição normal, com média de 2.000 horas e desvio padrão de 150 horas. Calcular a probabilidade de uma lâmpada, escolhida aleatoriamente, durar mais de 2.300 horas. ( ) 95,44%; ( ) 47,72%; ( ) 34,13%; ( ) 15,87%; ( X ) 2,28%. Dados do enunciado: X = 2300 ; O = 2000 e S = 150 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando o valor padronizado z: S X z Ȝ� 150 20002300 z � 150 300 z 2z Procurando este valor na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (X 2300) = P (X 2000) – P (2000 X 2300) P (X 2300) = P (z 0) – P (0 z 2) P (X 2300) = 0,5000 – 0,4772 P (X 2300) = 0,0228 P (X 2300) = 2,28% 2) A altura média dos empregados de uma empresa de seguros se aproxima de uma distribuição normal, com média de 172 cm e desvio padrão de 8 cm. Calcular a probabilidade de um empregado dessa empresa, escolhido aleatoriamente, ter altura maior que 176 cm. ( ) 19,15%; ( X ) 30,85%; ( ) 34,13%; ( ) 15,87%; ( ) 38,30%. Dados do enunciado: X = 176 ; O = 172 e S = 8 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando o valor padronizado z: S X z Ȝ� 8 172176 z � 8 4 z 0,50z Procurando este valor na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (X 176) = P (X 172) – P (172 X 176) P (X 176) = P (z 0) – P (0 z 0,5) P (X 176) = 0,5000 – 0,1915 P (X 176) = 0,3085 P (X 176) = 30,85% 3) Se uma amostra de 3.000 unidades de certo produto possui distribuição normal com média igual a 30, qual o desvio padrão dessa distribuição? DICA: Olhe, na unidade 11, parâmetros da Distribuição Normal. ( X ) 5,45; ( ) 29,7; ( ) 0,01; ( ) 0,99; ( ) 882,09 Dados do enunciado: N = 3000 ; O = 30. O = N . p 30 = 3000 . p p = 3000 30 p = 0,01 q = 0,99 (p + q = 1) S2 = N . p . q S2 = 3000 . 0,01 . 0,99 S2 = 29,70 S = 2S S = 29,70 S = 5,44977063.... S = 5,45 4) Os salários de uma empresa de factoring têm uma distribuição normal com média de R$ 1.800,00 e desvio padrão de R$ 180,00. Qual a probabilidade de um funcionário dessa empresa, escolhido aleatoriamente, ganhar menos de R$ 2.070,00? ( ) 6,68%; ( X ) 93,32%; ( ) 43,32% ( ) 56,68%; ( ) 49,38% Dados do enunciado: X = 2070 ; O = 1800 e S = 180 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando o valor padronizado z: S X z Ȝ� 180 18002070 z � 180 270 z 1,5z Procurando este valor na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (X 2070) = P (X 1800 + P (1800 X 2070) P (X 2070) = P (z 0) + P (0 z 1,5) P (X 2070) = 0,5000 + 0,4332 P (X 2070) = 0,9332 P (X 2070) = 93,32% 5) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma indústria é de 0,10 polegadas com desvio padrão de 0,01 polegadas. Um parafuso será considerado defeituoso se seu diâmetro for maior que 0,11 polegadas ou menor que 0,09 polegadas. Qual a porcentagem de parafusos defeituosos? ( ) 15,87%; ( ) 34,13%; ( ) 68,26% ( X ) 31,74%; ( ) 65,87% Dados do enunciado: X1 = 0,11 ; X2 = 0,09 ; O = 0,10 e S = 0,01 Visualizando o que deve ser calculado: Calculando os valores padronizados z1 e z2: S X z Ȝ� 0,01 0,100,11 z1 � 0,01 0,01 z1 1z1 S X z Ȝ� 0,01 0,100,09 z2 � 0,01 0,01 z2 � 1z2 � Procurando estes valores na tabela dos valores padronizados encontra-se: P (X 0,09 ou X 0,11) = 100% – P (0,09 X 0,10) – P (0,10 X 0,11) P (X 0,09 ou X 0,11) = 100% – P (– 1 z 0) – P (0 z 1) P (X 0,09 ou X 0,11) = 100% – 0,3413 – 0,3413 P (X 0,09 ou X 0,11) = 100% – 0,6826 P (X 0,09 ou X 0,11) = 100% – 68,26% P (X 0,09 ou X 0,11) = 31,74% CAPÍTULO 12 1) Determinar o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade, as quais possuem peso médio de 68 kg com desvio padrão de 3 kg. Supor nível de confiança igual a 90% e uma amostra de 64 pessoas. Utilize duas casas após a vírgula. a) ( X ) IC (67,38 < µ < 68,62) = 90% b) ( ) IC (63,05 < µ < 72,95) = 90% c) ( ) IC (63,60 < µ < 72,40) = 90% d) ( ) IC (66,35 < µ < 69,65) = 90% 90% = 45% = 0,45 o que corresponde a um z = 1,65 2 c = z . σ n c = 1,65 . 3 64 c = 0,62 IC (X � µ < µ < X + µ) = 90% IC (67,38 < µ < 68,62) = 90% 2) Determinar o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade, as quais possuem altura média de 162 centímetros, com desvio padrão de 18 centímetros. Supor uma amostra de 138 pessoas e nível de confiança igual a 95%. a) ( ) IC (153 < µ < 171) = 95% b) ( ) IC (156 < µ < 168) = 95% c) ( ) IC (144 < µ < 180) = 95% d) ( X ) IC (159 < µ < 165) = 95% 95% = 47,5% = 0,475 o que corresponde a um z = 1,96 2 c = z . σ n c = 1,96 . 18 138 c = 3,00 IC (X � µ < µ < X + µ) = 95% IC (159 < µ < 165) = 95% 5) Determinar o intervalo de confiança para os empregados de uma empresa, os quais possuem salário médio de R$1.840,00 com desvio padrão de R$300,00. Supor nível de confiança igual a 95% e uma amostra de 96 empregados. a) ( ) IC (1540 < µ < 2140) = 95% b) ( ) IC (1252 < µ < 2428) = 95% c) ( X ) IC (1780 < µ < 1900) = 95% d) ( ) IC (1600 < µ < 2080) = 95% 95% = 47,5% = 0,475 o que corresponde a um z = 1,96 2 c = z . σ n c = 1,96 . 300 96 c = 60,00 IC (X � µ < µ < X + µ) = 95% IC (1780 < µ < 1900) = 95% CAPÍTULO 13 1) Suponhamos uma amostra aleatória de 64 elementos, com média igual a 50, retirados de uma população normal com desvio padrão σ = 6. Considerando um nível de significância de 5%, teste a hipótese de que a média populacional (µ) seja igual a 52. Suponha a hipótese alternativa µ < 52. a) ( ) zr = 1,65 e está na zona de aceitação b) ( ) zr = 2,67 e está na zona de aceitação c) ( X ) zr = – 2,67 e está na zona de rejeição d) ( ) zr = – 1,65 e está na zona de rejeição α = 5% → 50% – 5% = 45% = 0,45 → z = 1,65 zr = 50 – 52 = – 2 = – 2,67 6 6 64 8 α y x Região de Zona de aceitação rejeição zr z 2) Suponhamos uma amostra aleatória de 100 elementos, com média igual a 88, retirados de uma população normal com desvio padrão σ = 20. Considerando um nível de significância de 5%, teste a hipótese de que a média populacional (µ) seja igual a 85. Suponha a hipótese alternativa µ > 85. a) ( ) zr = – 1,5 e está na zona de rejeição b) ( ) zr = 1,5 e está na zona de aceitação c) ( X ) zr = – 1,5 e está na zona de aceitação d) ( ) zr = 1,5 e está na zona de rejeição α = 5% → 50% – 5% = 45% = 0,45 → z = 1,65 zr = 88 – 85 = 3 = 1,50 20 20 100 10 α x y Zona de aceitação Região de rejeição zr z 3) Suponhamos um empacotador automático de café, que funciona de maneira que a quantidade de café em cada pacote de 500 gramas tenha uma distribuição normal com variância igual a 25. Considerando um nível de significância de 5%, teste a hipótese de que a média µ seja igual a 500, sendo a hipótese alternativa µ > 500. Foram dadas dez amostras com o seguinte peso: 508, 510, 494, 500, 505, 511, 508, 499, 496, 489. Utilize duas casas após a vírgula. a) ( X ) a hipótese que µ = 500 é aceita pois zr < 1,65 b) ( ) a hipótese que µ = 500 é rejeitada pois zr < 1,65 c) ( ) a hipótese que µ = 500 é aceita pois zr > 1,65 d) ( ) a hipótese que µ = 500 é rejeitada pois zr > 1,65 A média é igual a : 508 + 510 + 494 + 500 + 505 + 511 + 508 + 499 + 496 + 489 = 10 A média é igual a 502. Se a variância é igual a 25, então o desvio padrão é igual a 5. α = 5% → 50% – 5% = 45%= 0,45 → z = 1,65 zr = 502 – 500 = 2 = 1,26 5 5 10 3,162278 α x y Zona de aceitação Região de rejeição zr z 4) Suponhamos uma amostra aleatória de 40 elementos, com média igual a 100, retirados de uma população normal com desvio padrão σ = 12. Considerando um nível de significância de 10%, teste a hipótese de que a média populacional (µ) seja igual a 102. Suponha a hipótese alternativa µ < 102. a) ( ) a hipótese nula será rejeitada porque zr está na zona de aceitação b) ( ) a hipótese nula será rejeitada porque zr está na zona de rejeição c) ( X ) a hipótese nula será aceita porque zr está na zona de aceitação d) ( ) a hipótese nula será aceita porque zr está na zona de rejeição � α = 10% → 50% – 10% = 40% = 0,40 → z = 1,28 zr = 102 – 100 = 2 = 1,05 12 12 40 6,324555 α y x Região de Zona de aceitação rejeição z zr 5) Suponhamos uma amostra aleatória de 30 elementos, com média igual a 48, retirados de uma população normal com desvio padrão σ = 10. Considerando um nível de significância de 10%, teste a hipótese de que a média populacional (µ) seja igual a 46. Suponha a hipótese alternativa µ > 46. a) ( ) a hipótese nula será rejeitada porque zr está na zona de aceitação b) ( ) a hipótese nula será rejeitada porque zr está na zona de rejeição c) ( X ) a hipótese nula será aceita porque zr está na zona de aceitação d) ( ) a hipótese nula será aceita porque zr está na zona de rejeição
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