mecanica aplicada

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MECÂNICA APLICADA 
 
CURSO 
Técnico em Mecânica 
 
 
1ª Edição 
Janeiro - 2013 
 
 
 
 
Professor: Evanilton J. A. Barbosa 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
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SUMÁRIO 
 
1-Grandezas físicas .............................................................................................................03 
Sistema Internacional de Unidades (SI) ...........................................................03 
Notação Científica e Potências de 10 ..............................................................04 
Exercícios de Fixação ......................................................................................06 
2-Vetores .........................................................................................................07 
Composição de Vetores ...................................................................................08 
Determinação Analítica da Direção da Resultante .........................................12 
Decomposição de Vetores em Componentes Ortogonais ...............................13 
Exercícios de Fixação ......................................................................................14 
3-Momento de Uma Força .............................................................................16 
Momento de um Sistema de Forças Coplanares .............................................16 
Momento de um Binário ...................................................................................18 
Exercícios de Fixação ......................................................................................18 
4-Vínculos Estruturais ...................................................................................22 
Tipos de Estruturas ..........................................................................................24 
Classificação das Vigas ....................................................................................25 
5-Equilíbrio de Forças e Momentos ..............................................................26 
Princípios da Estática .......................................................................................26 
Equilíbrio de uma Carga Pontual ......................................................................31 
Equilíbrio de um Corpo Rígido ..........................................................................37 
Exercícios de Fixação .......................................................................................46 
6-Força Cortante e Momento Fletor ..............................................................48 
Exercícios de Fixação ......................................................................................50 
7-Centro de Gravidade ...................................................................................66 
8-Momento de Inércia .....................................................................................67 
9-Exercícios de CG e MI .................................................................................70 
10-Trabalho ......................................................................................................72 
11-Rendimento ................................................................................................79 
12-Potência ......................................................................................................81 
13-Referências Bibliográficas.........................................................................90 
 
 
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1 - GRANDEZAS FÍSICAS 
 
Apesar de existirem muitas grandezas físicas, são estabelecidos padrões e 
definidas unidades para que se tenha um número mínimo de grandezas 
denominadas grandezas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais 
definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas 
grandezas derivadas. 
 
A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento, por exemplo, 
cuja unidade é o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como área 
(m2) e volume (m3). 
 
Utilizando o metro e a grandeza fundamental de tempo são definidas as 
unidades de velocidade (m/s) e aceleração (m/s2). 
 
1.1 - Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
Até o final do século XVIII era muito grande a quantidade de padrões 
existentes. Cada região escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos 
históricos, os países de língua inglesa utilizam até hoje os seus padrões 
regionais. O elevado aumento nos intercâmbios econômicos e culturais levou 
ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, cujas unidades 
fundamentais são mostradas no quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
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Em 1971, a 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas escolheu sete 
grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Além das 
grandezas, definiram-se também os símbolos, unidades derivadas e prefixos. 
 
O quadro abaixo mostra algumas unidades derivadas. 
 
 
 
1.2 - Notação Científica e Potências de 10 
 
A notação científica é uma forma de representar números, em especial muito 
grandes, como por exemplo, a distância da Terra à Lua que vale 384.000.000 
m ou muito pequena, como por exemplo, o diâmetro de um átomo de 
hidrogênio: 0,0000000001 m. É baseada no uso de potências de 10. 
 
Notação Científica Padronizada 
A definição básica de notação científica permite uma infinidade de 
representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui 
uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse 
modo cada número é representado de uma única maneira. 
 
 
REGRA PRÁTICA: 
 
 
 
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Números maiores que 1: desloca-se a vírgula para a esquerda, até atingir o 
primeiro algarismo do número. O número de casas deslocadas para a 
esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de10. 
 
Números menores do que 1: desloca-se a vírgula para a direita, até o primeiro 
algarismo diferente de zero. O número de casas deslocadas para a direita 
corresponde ao expoente negativo da potência de10. 
 
Algumas potências de 10 recebem nomes especiais e se tornam na verdade 
prefixos que acompanham algumas unidades do Sistema Internacional. A 
seguir são mostrados os prefixos, símbolos e potências de dez que 
acompanham certas unidades. 
 
 
 
OPERAÇÕES: 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente 
seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu 
expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de 
equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo 
convertido posteriormente. 
 
Exemplos: 
 
 
 
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MULTIPLICAÇÃO 
 
Multiplicam-se as mantissas e somam-se os expoentes de cada valor. O 
resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido: 
 
Exemplos: 
 
 
DIVISÃO 
 
Dividem-se as mantissas e subtraem-se os expoentes de cada valor. O 
resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido: 
 
Exemplos: 
 
 
 
EXPONENCIAÇÃO 
 
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é 
multiplicado pelo expoente externo. 
 
 
 
1.3 - Exercícios de Fixação: 
01 - Escreva os seguintes númerosem notação científica: 
 
 
 
 
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2 – Efetue as operações com potências de 10 e expresse os resultados em 
notação científica. 
 
 
2 - VETORES 
Objetivo: Identificar as grandezas vetoriais e determinar a resultante das forças 
atuantes em um corpo por meio da utilização das relações trigonométricas, 
regra do paralelogramo e pela lei dos Senos. 
 
 
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 Grandezas como deslocamento, força e aceleração para serem 
definidas necessitam de um módulo, uma direção e um sentido por isso são 
chamadas de grandezas vetoriais e podem ser representadas por vetores que 
se definem como um segmento de reta orientado por uma seta conforme 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
2.1 - Composição de Vetores 
 Ao analisarmos uma estrutura mecânica, constantemente verificamos 
que tal estrutura ou simplesmente algum membro da mesma estrutura estará 
sujeito a esforços derivados de uma ou mais forças atuantes. Para 
completarmos tal análise e até mesmo tirarmos uma conclusão qualquer, 
devemos nos valer de um esforço resultante que poderá ser representado por 
um vetor resultante. 
 A composição de vetores nos possibilita a obtenção do vetor resultante 
através de métodos gráficos ou analíticos. A seguir analisaremos várias 
situações onde um ou mais vetores atuantes em um mesmo corpo podem ser 
substituídos por um único vetor resultante e calcularemos o valor desse vetor. 
 
Exemplo 1: 
Para mover o corpo “A” sobre o plano “B” utilizam se F1, F2 e F3 como mostra 
a figura abaixo 
 
 
 
 
 
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O problema acima pode ser resolvido com o mesmo efeito se substituirmos os 
vetores F1, F2 e F3 por um vetor resultante cujas características são: 
 Sentido – Os três vetores têm o mesmo sentido; horizontal para a 
direita, logo o vetor resultante será também horizontal para a direita. 
 Direção = a direção de F1, F2 e F3 ( horizontal ). 
 
 
 Módulo = F1 + F2 + F3 
A figura acima representa a solução do exemplo 1 com a utilização do vetor 
resultante, que pode ser obtido pelos métodos: 
Gráfico – utilizando se uma escala mede se os vetores F1, F2, F3 e em 
seguida traça-se um vetor contendo a medida dos três vetores somados. 
 
 
 
Analítico – Simplesmente faz-se a soma algébrica dos vetores F1, F2 e F3. 
 
Exemplo 2: 
 
 Estando o corpo “A” sob a ação dos vetores F1, F2 e F3 como mostra a 
figura abaixo, o que acontecerá? 
 
 
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Nesse exemplo os vetores F2 e F3 têm mesmo sentido e mesma direção 
porém o vetor F1 tem sentido contrário ao dos demais. Logo o vetor resultante 
terá: 
 Sentido – horizontal para a direita se o somatório de F2 e F3 for maior 
em módulo que F1. 
 Direção – horizontal. 
 
Módulo = F1 – ( F2 + F3 ) 
A figura acima representa a solução do exemplo 2 com a utilização do vetor 
resultante, que pode ser obtido pelos métodos: 
 Gráfico – utilizando se uma escala mede se os vetores F1, F2, F3 e em 
seguida traça-se um vetor contendo a medida de F2 mais F3 menos F1. 
 
 
 
Analítico – faz-se F1 – ( F2 + F3 ) = FR 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
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 O corpo está sob a ação de vetores que formam com a horizontal 
ângulos diferentes de 0 e 180 graus. 
 
Na figura acima o corpo está sendo puxado por duas forças F1 e F2 que 
formam entre si um ângulo qualquer. Qual é o valor e a direção da resultante 
FR? 
 Da mesma forma que nos exemplos anteriores podemos resolver o 
problema gráfica e analiticamente. 
Gráfico – Traçamos uma paralela a F1 ( x ), em seguida traçamos outra 
paralela a F2 ( y ), do ponto de origem dos vetores ( O ) traçamos até o ponto A 
o vetor resultante FR. 
 
Analítico – Faz-se o prolongamento de F2 e perpendicularmente a esse 
prolongamento traça-se uma reta que passa pelo ponto A. 
Pelo triângulo ODA temos: 
I ) FR 
2 = (F2 + x) 
2 + y 2 => FR
2 = F2
2 + 2F2 x + x
2 + y2 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
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Pelo triângulo CDA temos: 
F1 
2 = x2 + y2 portanto: 
 
II ) y2 = F1
2 – x2 
Do mesmo triângulo CDA conclui-se que: 
III ) x = F1 cos 
Substituindo a equação II na equação I temos: 
 
IV ) FR
2 = F2
2 + 2F2x + x
2 + F1
2 – x2 => FR
2 = F2
2 + 2F2 x + F12 
Substituindo a equação III na equação IV temos: 
 
FR
2 = F1
2 + F2
2 + 2 F1 F2 cos  
 
Logo: 
 
 
2.2 - Determinação Analítica Da Direção Da Resultante: 
 
 
Pelo triângulo OAD temos: 
 
 
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No triângulo ACD temos: 
 
 
Portanto podemos escrever que: 
 
 
 
 
2.3 - Decomposição De Vetores Em Componentes Ortogonais 
 
 Quando temos um vetor oblíquo, podemos decompô-lo em componentes 
vertical e horizontal afim de tornar mais fáceis os cálculos. Na figura abaixo 
temos a decomposição do vetor “F” através do método das projeções 
ortogonais. 
 
 
 
 
 
Conhecidos Fx e Fy, podemos determinar os valores de  e . 
 
 
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2.4 - Exercícios De Fixação: 
 
1 - Determinar gráfica e analiticamente a resultante dos sistemas de forças 
representados pelos vetores abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 – Determinar as componentes vertical e horizontal de uma carga F que forma 
com a horizontal um ângulo de 40º. 
 
 
3 – As componentes de uma carga F são respectivamente: 
Fx = 115N Fy = 75N 
 Determinar: 
a) a carga F; 
b) o ângulo que F forma com a horizontal; 
c) o ângulo que F forma com a vertical. 
 
4 – As cargas F1 = 200N horizontal, e F2 = 600N formam entre si um ângulo de 
60º. Determinar a resultante F e o ângulo que a mesma forma com a horizontal. 
 
 
 
5 – Para os sistemas abaixo, determine o módulo, direção e sentido da 
resultante das forças. 
 
 
 
6 – Duas forças ortogonais de módulos 6 e 8 kgf, constituem um sistema. 
Determinar a intensidade e a direção da resultante. 
 
7 – Duas forças formam entre si um ângulo de 60º e tem módulos iguais a 15 e 
18 kgf. Determinar a intensidade e a direção da resultante. 
 
 
 
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8 – Uma força de 25 kgf deve ser decomposta em duas componentes 
ortogonais de modo que uma delas tenha a intensidade de 24 kgf. Calcular o 
módulo da outra componente e a direção da resultante. 
 
9 – Uma força de módulo igual a 30 2 kgf foi decomposta em duas 
componentes ortogonais de mesma intensidade. Calcular a intensidade de 
cada uma delas e a direçãoda resultante. 
 
 
 
 
10 – Uma força de módulo igual a 28 5 foi decomposta em duas componentes 
ortogonais. Sabendo-se que uma é o dobro da outra, determinar o módulo de 
cada uma delas e a direção da resultante. 
 
 
3 - MOMENTO DE UMA FORÇA: 
 
Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo 
rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da 
distância de F em relação ao eixo fixo. 
Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como 
indicado na figura. 
 
 
 
 
 
A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e entido. 
O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo: 
M = F × d 
 
 
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onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0; 
0 = pólo ou centro de momento; 
d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de 
braço de alavanca. 
O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O 
sentido de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
 
Convenciona-se momento negativo se a força F tender a girar o corpo no 
sentido anti-horário e, positivo se tender a girar o corpo no sentido horário. 
 
 
 
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). 
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 
 
3.1 - Momento De Um Sistema De Forças Coplanares 
 
Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares 
S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relação ao ponto 0, à soma algébrica dos 
Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto 0. 
 
 
 
 
 
 
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3.2 - Momento De Um Binário 
 
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas 
forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas 
forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não 
transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. 
 
 
 
 
3.3 - Exercícios de Fixação: 
 
 
 
 
 
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5. O momento provocado na alavanca da morsa durante a fixação da peça 
conforme indicado na figura abaixo é de: 
 
(A) 24 N.m 
(B) 340 kg 
(C) 240000 MPa 
(D) 240000 N.mm 
 
 
 
 
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4 - VÍNCULOS ESTRUTURAIS 
 
 
APOIOS: 
 
 
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente 
as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer 
como este corpo rígido está apoiado. 
 
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das 
estruturas e recebem a seguinte classificação: 
 
 
 
 
 
 
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Permite rotação. 
 
 
 
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• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Permite rotação. 
 
 
 
 
 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Impede rotação. 
 
 
 
 
Outro: Articulação 
 
 
 
 
 
 
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4.1 - Tipos de Estruturas 
 
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 
 
 
Estruturas hipoestáticas: 
 
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é inferior ao número 
de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 
 
Estruturas isostáticas: 
 
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou 
vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio da Estática. 
 
 
 
Estruturas hiperestáticas: 
 
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou 
vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio da Estática. 
 
 
 
 
 
 
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4.2 - Classificação Das Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 - EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS 
 
 
Estática  Ciência que estuda os corpos em equilíbrio, no estudo estático dos 
corpos devemos desconsiderar as deformações dos mesmos. 
 
 
Equilíbrio  Um corpo estará em equilíbrio se e somente se estiver em repouso 
ou em movimento retilíneo uniforme (MRU). 
 
 
 
Equações fundamentais do equilíbrio. 
 
 Fv = 0 ( somatório das forças verticais é igual a zero ) 
 Fh = 0 ( somatório das forças horizontais é igual a zero ) 
 M = 0 ( somatório dos momentos de força é igual a zero ) 
 
 
 
5.1 - Princípios Da Estática: 
 
I – Equilíbrio de duas forças. 
 
Duas forças estarão em equilíbrio se forem colineares, de mesma intensidade e 
sentidos contrários. 
 
 
 
 
 
 
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II – Princípio da ação e reação. 
 
A toda ação corresponde uma reação de módulo igual e sentido contrário. 
 
 
 
 
III – Princípio de forças concorrentes em um plano. 
 
Três ou mais forças não paralelas concorrentes em um plano estarão em 
equilíbrio, se e somente se, as suas linhas de ação passarem por um 
ponto comum e seus vetores formarem um polígono fechado. 
 
 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 No problema acima temos um dos extremos da barra fixada na parede no 
ponto “A” e suspensa no extremo “B” por um cabo que também é preso na parede 
no ponto “C”. No extremo “B” da barra temos uma carga de 1000 kgf. Deseja-se 
saber o valor das forças atuantes no cabo BC e na barra AB. 
 
Solução: A primeira providência a tomar é identificar todas as forças que atuam no 
sistema. Se soltarmos o cabo BC no ponto C a barra AB tende a girar no sentido 
horário devido a ação da carga de 1000 kgf. Logo, pelo princípio da ação e reação, 
concluímos que existe uma força que se opõe à carga, e que esta força tem a 
mesma orientação da linha do cabo. 
Do mesmo modo, se fizermos um furo na parede no ponto A, a barra se moverá 
para a esquerda penetrando no furo devido a ação da força nocabo BC e da força 
de 1000kgf. Logo, pelo mesmo princípio da ação e reação, concluímos que existe 
uma força na parede contrária a esta ação. 
 
 
 
 
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A figura abaixo ilustra de maneira clara todas as forças do sistema. 
 
 
Identificadas as cargas no sistema, podemos agora calcular os valores das 
mesmas e para isso dispomos de três métodos diferentes que passaremos a 
estudá-los a seguir: 
 
1º - Método das projeções 
 Consiste em decompor as forças atuantes no sistema, em componentes 
verticais e horizontais num sistema de eixos cartesianos X e Y. 
 
 
2º - Método dos momentos: 
 
Momento de uma força => É o número que mede a maior ou menor facilidade de um 
corpo girar em torno de um referencial que pode ser um ponto, um plano ou um eixo. 
 
 
 
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Na solução do problema acima pelo método dos momentos temos: 
 
 
 
3º - Método do polígono fechado: 
 
Utilizando-se de uma escala, construímos um polígono com os vetores 
representativos das cargas do sistema. Neste exemplo o nosso polígono terá 
três lados, logo um triângulo como vemos na figura abaixo: 
 
 
 
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5.2 - Equilíbrio de uma carga Pontual. 
A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças 
normais atuantes nos cabos. 
 
Solução: 
 
Os cabos estão todos tracionados, portanto os nós A, B, C, D estão sendo 
“puxados’”. Baseados no exposto, podemos colocar os vetores 
representativos das forças nos cabos. Para determinarmos a intensidade 
das forças, iniciamos os cálculos pelo nó que seja o mais conveniente, ou 
 
 
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seja, que possua a solução mais rápida, nó com o menor número de 
incógnitas, para o nosso caso nó D. 
 
 
 
Determinada a força na barra 3, partimos para determinar F1 e F2, que 
serão calculados através do nó C. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças 
normais atuantes nos cabos 1, 2, 3. 
 
 
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Solução: 
 
Analogamente ao exemplo 1, partimos do nó D para determinar F3. 
 
 
 
O nó C é o mais conveniente. Porém, neste exemplo, temos a oportunidade de 
apresentar mais um artifício, que poderá ser utilizado sempre que for 
necessário. Este artifício (mudança de plano) torna-se conviniente, sempre que 
duas ou mais forças estiverem colineares ou defasadas 90º. Os cabos 1, 2, 3 
estão tracionados, portanto teremos o nó C com o sistema de forças a seguir. 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
Uma carga de 2000 kgf está suspensa conforme mostra 1, 2 e 3 a figura ao 
lado. Determinar as forças normais atuantes nas barras. 
 
 
Solução: 
Iniciamos os cálculos pelo nó D. A carga de 2000 kgf traciona a barra 3, 
portanto teremos o sistema de forças abaixo. 
 
 
A barra 3, tracionada, tende a “puxar" o nó A para baixo, sendo impedida pela 
barra 2 que o “puxa" para cima, auxiliada pela barra 1 que o “empurra" para 
cima para que haja equilíbrio. Temos, portanto a barra 1 tracionada e a barra 2 
comprimida, resultando no sistema de forças atuante no nó A representado na 
figura. 
 
 
 
 
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Exemplo 4 
A construção dada está em equilibrio. A carga P aplicada em D é de 2,0 tf. 
Determinar as forças normais atuantes nos cabos, utilizando o método do 
polígono de forças. 
 
 
 
Neste caso, como temos apenas 3 forças a serem determinadas, o nosso 
polígono será um triângulo de forças. Sabemos que F3 = P, como estudamos 
em exemplos anteriores. Para traçarmos o triângulo de forças, vamos utilizar o 
nó C, procedendo da seguinte forma: 
 
 
1. Traçamos o vetor força F3 = P, que sabemos ser vertical. 
 
2. A F2 forma com F3 um ângulo de 37º, sabemos ainda que, o vetor F2 tem o seu 
início no final do vetor F3, portanto, com uma inclinação de 37º em relação ao 
final do vetor F3, traçamos o vetor F2. 
 
3. O vetor F1 forma 90º com o vetor F3, sabemos que o início de F3 é o final de F1, 
teremos, portanto, o triângulo de forças abaixo. 
Pela lei dos senos temos: 
 
 
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Exemplo 5 
A estrutura representada na figura está em equilíbrio. A carga P aplicada em D 
é de 3,0 tf. Determinar as forças normais atuantes nas barras 1, 2 e 3 utilizando 
o método do polígono de forças. 
Solução: 
Observando a figura a seguir, concluímos que as barras 1 e 3 estão 
tracionadas, e a barra 2 está comprimida. Teremos, portanto o esquema de 
forças a seguir. 
Novamente para este caso, teremos um triângulo de forças. 
Sabemos que F3 = 3,0 tf, como já foi estudado. Através de C, traçaremos o 
triângulo de forças. 
 
 
 
 
 
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37 
1. Traçamos o vetor a força F3 = 3,0 tf, que sabemos ser vertical, e para baixo. 
 
2. A força de F2 forma com a força F3 um ângulo de 37º, sabemos ainda que o 
vetor F2 tem o seu início no final do vetor F3, portanto, com uma inclinação de 
37º em relação ao final do vetor F3, traçamos o vetor F2 . 
 
3. O vetor F1 forma 90º com o vetor F2, pela extremidade final de F2, com uma 
inclinação de 90º em relação a este, traçamos o vetor F3, teremos desta forma o 
triângulo de forças. 
 
 
 
 
5.3 - Equilíbrio de um Corpo Rígido: 
Exemplo 01 
Calcular a reação de apoio R e a força F para levantar a carga Q com auxílio 
da alavanca na figura abaixo. 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
38 
 
Exemplo 02 
Calcular a força F necessária para equilibrar a alavanca da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
39 
Exemplo 03 
 
Calcular a reação de apoio e a força F para equilibrar a alavanca da figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
40 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04 
O suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porém é mantido na 
posição da figura através de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, 
determinar as reações em A e B, quando estiver sendo aplicada no ponto C do 
suporte, uma carga de 5kN. 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
41 
 
 
 
Exemplo 05 
A figura a seguir, representa uma junta rebitada,composta por rebites de 
diâmetros iguais. Determinar as forças atuantes nos rebites. 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
42 
Como os diâmetros dos rebites são iguais, na vertical as cargas serão iguais: 
 
O rebite B, por estar na posição intermediária, não possui reação na horizontal. 
O rebite A está sendo "puxado" para a direta, portanto possuirá uma reação 
horizontal para a esquerda. O rebite C, ao contrário de A, esta sendo 
"empurrado" para a esquerda, portanto possuirá reação horizontal para a direita. 
 
Exemplo 06: Determinar as reações de apoio. 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
43 
Exemplo 07 
 
Calcular as reações de apoio R1 e R2 dos mancais do eixo da figura a seguir. 
 
 
1ª condição:  Mi = 0 
 
 
Convém calcular os momentos em relação ao ponto onde houve maior número 
de forças incógnitas. Neste exemplo são os pontos 1 e 2. Escolhendo o ponto 1 
e o sentido anti-horário como positivo, resulta: 
-100 . 20 – 150 . 30 – 200 . 50 + R2 . 60 = 0 
 
Esta equação fornece o valor de R2. 
 
N 275 
60
50 . 200 30 . 150 20 . 100
 R2 


 
2ª condição:  Vi = 0 
 
Convencionando como forças positivas as forças voltadas para cima, resulta: 
R1 – 100 – 150 – 200 + 275 = 0 
Esta equação fornece o valor de R1. 
 
R1 = 100 + 150 + 200 – 275 = 175 N 
 
 
+ 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
44 
3ª condição:  Hi = 0 
 
Esta condição não se aplica neste problema devido a inexistência de forças 
horizontais. 
 
Exemplo 08 
Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela ação das cargas 
localizadas conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
45 
Exemplo 09 
 
Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela ação das cargas 
distribuídas, conforme as figuras dadas. 
 
 
 
A resultante da carga distribuída de intensidade q e comprimento l será ql, e 
atuará no ponto l/2 em relação a A ou B, como já foi estudado anteriormente. 
Teremos, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
46 
 
5.4 - Exercícios De Fixação 
 
1) Calcular as reações e as forças conforme solicitado em cada uma das 
figuras. 
 
 
02) Calcular as reações e as forças nos cabos conforme solicitado em cada 
uma das figuras. 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
47 
3) O sistema mostrado na figura está em equilíbrio. Os pesos das roldanas e 
da alavanca, bem como as forças de atrito, são desprezíveis. Determine: 
a) O valor do peso P? 
b) A reação do apoio no ponto O sobre a alavanca. 
 
 
4) Determine as reações nos apoios. (Colocar as unidades de medidas). 
 
5) A figura abaixo mostra um veículo de manutenção de vias urbanas com 
estrutura constituída por um braço ABC rotulado em A com uma caçamba em 
sua extremidade. Este braço é acionado por um atuador linear cuja seleção é 
realizada levando em conta a carga a ser suportada. Considere que a carga 
total referente a um operário e à caçamba seja de 2,0 kN e despreze o peso da 
estrutura. Na posição indicada na figura, determine a força atuante no pino A 
em kN. 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
48 
6 - FORÇA CORTANTE Q E MOMENTO FLETOR M 
 
Convenção de Sinais – Força Cortante: 
A força cortante será positiva, quando provocar na peça momento fletor 
positivo. 
 
 
Vigas Horizontais 
Convenciona-se a cortante como positiva, aquela que atua à esquerda da 
secção transversal estudada de baixo para cima. 
 
Vigas Verticais 
Convenciona-se cortante positiva aquela que atua a esquerda da secção 
estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita. 
 
Convenção de Sinais – Momento Fletor M 
 
Positivo: O momento fletor é considerado positivo, quando as cargas cortantes 
atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
49 
 
 
Negativo: O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes 
atuantes na peça comprimirem as suas fibras inferiores. 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor é definido através da integral da cortante que atua na secção 
transversal estudada. 
Portanto, tem-se que: 
 
 
 
Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à esquerda da 
secção transversal estudada, como positivo. 
 
 
 
Força Cortante Q 
Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da 
peça, através da resultante das forças cortantes atuantes a esquerda da 
secção transversal estudada. 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
50 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Momento Fletor M 
O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça, 
obtém-se através da resultante dos momentos atuantes a esquerda da secção 
estudada. 
 
 
 
 
 
 
6.1 - Exercícios De Fixação: 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
51 
 
Ex. 1 - Determinar as expressões de força cortante ( Q ) e Momento fletor ( M ), 
e construir os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga 
concentrada P atuante na extremidade livre, conforme mostra a figura. 
 
Solução: 
a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da 
extremidade livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorrerá no 
engastamento, ou seja, para o maior valor de x. 
 
b) Expressões de Q e M 
 
 
 
 
c) Construção dos diagramas 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
52 
A equação da Q é uma constante negativa, portanto, o diagrama será um 
segmento de reta paralela à linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q 
e a Iinha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P. A 
equação do M é do 1º grau com a < 0; portanto, a sua representação será uma 
reta decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa 
Mmáx. 
 
 
 
 
Ex. 2 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga biapoiada, solicitada pela ação da carga concentrada P, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
53 
Solução: 
a) Determinam-se as reações nos apoios através da Σ M = 0 em relação a 
dois pontos da viga. Os pontos considerados ideais para o caso são A e B. 
 
 
 
 
 
 
c) Construção dos diagramas 
 
C1 - Diagrama da Cortante ( Q ): 
Com origem na linha zero da Q, traça-se o segmento de reta vertical que 
representa RA. No trecho 0 < x < a a Q = RA portanto uma constante, 
representada pelo segmento de retaparalelo, à linha zero. No ponto de 
aplicação da carga P, traça-se o segmento de reta vertical que corresponde a 
intensidade da carga P. Como P = RA + RB, conclui-se que o valor da Q que 
ultrapassa a linha zero é -RB que corresponde a Q que atua no trecho a < x < a 
+ b; portanto, novamente tem-se uma paralela à linha zero. 
Ao atingir o apoio B, a Q = -RB, como a reação é positiva, traça-se o segmento 
de reta que sobe e zera o gráfico. Portanto, o gráfico sai da Iinha zero e retorna 
à linha zero. 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
54 
 
C2 - Diagrama do Momento ( M ): 
Com origem na linha zero do M, traça-se o segmento de reta que une o 
momento zero em x = 0 até o M = RA . a em x = a. Observe que a equação do 
Momento no trecho é do 1º grau portanto, tem como gráfico um segmento de 
reta. Analogamente ao trecho a < xa + b utiliza-se um outro segmento de reta 
unindo os pontos. 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída de 
intensidade q conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
Solução: 
a) A primeira providência, para solucionar este exercício, é determinar as 
reações de apoio. Através do equilíbrio dos momentos em relação aos pontos 
A a B, conclui-se que: 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
55 
 
 
Observa-se que a Q passa de positiva a negativa. No ponto em que a Q = 0, o 
M será máximo, pois a equação da Q corresponde a primeira derivada da 
equação do momento, que igualada a zero, fornece o ponto máximo da curva 
do momento. 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
56 
 
 
 
 
 
c) Construção dos diagramas: 
 
c.1) Diagrama da Q 
A partir da linha zero da Q traça-se o segmento de reta vertical correspondente 
à intensidade de RA. A equação da Q no trecho é do 1º grau com a < 0, 
portanto, o gráfico corresponde a uma reta decrescente com origem no apoio A 
até o apoio B. Em B, a cortante corresponde a -RB, como a reação é positiva 
(para cima), esta sobe e zero o diagrama. 
 
c.2) Diagrama de M 
A equação do momento corresponde a uma equação do 2º grau com a < 0; 
portanto, uma parábola de concavidade para baixo. A parábola parte do apoio 
A com M = 0, atinge o máximo em l/2 e retorna a zero no apoio B. 
 
Ex. 4 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga em balanço solicitada pela cargo distribuída representada 
na figura. 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
57 
 
Solução: 
a) Expressões de Q e M 
 
 
 
b) Construção dos diagramas: 
 
b.1) Diagrama da Q 
A equação da Q na longitude da viga corresponde a uma equação do 1º grau 
com a < 0; portanto, uma reta decrescente que parte da linha zero na 
extremidade livre até –ql e no engastamento. 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
58 
b.2) Diagrama do M 
A equação do momento corresponde a uma equação do 2º grau, portanto, a 
sua representação será parte de uma parábola, que sai de zero, na 
extremidade livre, e vai até –ql /2 no engastamento. 
 
 
Ex. 5 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga biapoiada solicitada pelas cargas concentradas 
representadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
59 
 
 
 
 
 
 
Ex. 6 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga engastada solicitada pelas cargas concentradas, 
representadas na figura. 
 
 
 
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60 
 
 
 
 
 
 
 
 
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61 
 
O contramomento M’ possui mesma intensidade e sentido contrário a M máx. 
portanto M' = 42kNm. 
 
 
Ex. 7 - Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga biapoiada carregada conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
62 
 
 
 
 
No último intervalo, com o objetivo de simplificar a resolução, utilizaremos uma 
variável (x) da direita para esquerda. Ao utilizar este artifício, inverte-se a 
convenção de sinais. 
 
 
 
 
 
Obs.: Os dois momentos são máximos, porém possuem como diferença o 
sinal. 
 
 
 
 
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63 
 
 
Ex. 8 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas 
na viga biapoiada carregada conforme a figura dada. 
 
 
 
Solução: 
 
a) Reações nos apoios A e B 
Como os apoios são simétricos, e a concentrada da carga é de 250 kN, 
conclui-se que: 
 
 
 
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64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Como a viga e o carregamento são simétricos em relação aos apoios, conclui-
se que a análise até a metade da viga já é o suficiente para estudá-la toda, pois 
a outra metade determina-se por simetria. 
 
 
 
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65 
 
 
 
c) Diagramas de Q e M: 
 
c.1) Diagrama de Q 
No techo 0 < x < 1, a equação é do 1º grau com a < 0, portanto a sua 
representação é um segmento de reta decrescente que parte da linha zero e 
atinge – 50 kN no apoio A. A intensidade da RA está representada pelo 
segmento de reta vertical que parte de – 50 kN e atinge +75 kN. 
No intervalo 1 < x < 4, a equação volta a ser do 1º grau com a < 0, portanto 
temos novamente um segmento de reta decrescente que parte de + 75 kN no 
apoio A, corta a linha zero em x = 2,5m e atinge o apoio B com –75 kN. A 
reação RB está representada pelo segmento de reta vertical qua parte de –75 
kN a atinge 50 kN. No intervalo 4 < x < 5, a equação continua sendo do 1º grau 
com a < 0, sendo representada novamente por um segmento de reta 
decrescente que parte do apoio B com + 50 kN e atinge a extremidade final da 
viga na linha zero. 
 
c.2) Diagrama de M 
No intervalo 0 < x < 1, a equação do M é do 2º grau com a < 0, portanto um 
segmento de parábola com a concavidade voltada para baixo, que parte da 
linha zero na extremidade livre e atinge o apoio A com a intensidade de - 
25kNm. No intervalo 1 < x < 4, tem-se novamente uma equação do 2º grau 
com a < 0, portanto a sua representação será uma parábola com a 
concavidade voltada para baixo, que parte de -25kNm no apoio A, e atinge o 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
66 
seu máximo em x = 2,5m com a intensidade de 31,25 kNm. O restante do 
diagrama determina-se por simetria. 
 
7 - CENTRO DE GRAVIDADE 
 É o ponto de atuação da força peso de um corpo. 
 É o ponto pelo qual se suspendermos um corpo ele permanece emequilíbrio na horizontal. 
Aplicação => dimensionamento de polias, correias, engrenagens, parafusos, eixos, 
vigas etc. 
Determinação do Centro de Gravidade (C.G). 
 
 
Teorema de PAPPUS: 
 
 
 
 
 
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67 
Formulário: 
 
 
 
 
 
 
8 - MOMENTO DE INÉRCIA 
 É o número que mede o grau de facilidade que um corpo tem de entrar em 
movimento de rotação em torno de um referencial. O referencial pode ser: 
um ponto; um eixo; um plano. 
 
 Tipos e aplicações: 
 
 
Momento de inércia polar ( Ip ): O referencial é um ponto. É utilizado no 
dimensionamento de órgãos de máquinas submetidos a esforço de torção. 
 
Momento de inércia axial ( I ): O referencial é um eixo. É utilizado no 
dimensionamento quanto a flexão, flambagem e torção composta. 
 
Momento de inércia planar ( Ipl ): O referencial é um plano. Não tem 
aplicação na engenharia. 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
68 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
Ix => momento de inércia em relação ao eixo x. 
 
 
 Ix’=> momento de inércia em relação ao eixo x’ sabendo-se que o 
mesmo é paralelo ao eixo x. 
 
 
 A => Área da figura. 
 
 
 d => distância entre eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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69 
 
Formulário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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70 
9 - Exercícios de CG e MI: 
 
01) Calcular o centroide das figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
71 
 
02) Calcular o momento de Inércia das figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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72 
10 - TRABALHO 
 
O trabalho T de uma força F é o produto da intensidade desta força pelo 
deslocamento S do seu ponto de aplicação e pelo co-seno do ângulo α 
formado entre a força e a direção do deslocamento. 
 
 cos . s . F T  
 
O bloco da figura é puxado por uma força F que forma um ângulo α com a 
direção do deslocamento. 
 
 
 
Quando a força atua na própria direção do deslocamento, isto é, quando α = 0º, 
a fórmula se torna mais simples pois cos 0 = 1. 
 
s . F T  
 
Quando a direção da força é perpendicular ao deslocamento o ângulo α = 90º e 
cos 90º = 0, resultando: T = 0. Logo, força perpendicular ao deslocamento não 
realiza trabalho. 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
73 
Examinando a fórmula, nota-se que o trabalho não depende da velocidade ou 
do tempo em que a força é aplicada. 
 
A força é medida em N e o deslocamento em metros. O trabalho será expresso 
em ( J ). 
 
Equivalência: 1 J = 1 N. m 
 
O cálculo do trabalho pode ser feito também com auxílio de um gráfico, de 
eixos perpendiculares, chamado diagrama de trabalho. 
 
Assim, para representar o trabalho realizado por uma força F numa distância s 
marca-se a força no eixo vertical e o deslocamento no eixo horizontal; o 
trabalho é igual à área do diagrama obtido. 
 
Exemplo: Traçar o diagrama de trabalho de uma força F = 80 N num percurso 
de 12 m. 
 
 
A área hachurada é o trabalho realizado por F. 
 
 
 
J 960 12 . 80 T 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
74 
 
O diagrama de trabalho é muito útil quando se quer calcular o trabalho 
realizado por uma força variável. A figura obtida é irregular e o cálculo de sua 
área se faz de duas maneiras: 
 
 Dividindo-se a figura em vários trapézios e calculando-se 
parceladamente a área de cada um; 
 
 Contando-se o número de quadrinhos dentro da figura, caso o gráfico 
tenha sido feito em papel milimetrado. 
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
 Calcular o trabalho realizado pela força F = 50 N para puxar o bloco da 
figura a uma distância de 6 m. 
 
 
s . F T 
 
J 300 6 . 50 T 
 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
75 
 
01 - O bloco da figura abaixo requer uma força F = 60 N para ser conduzido 
sobre o plano inclinado. Qual o trabalho desenvolvido pela força ao longo de 6 
m? 
 
s . F T 
 
J 360 6 . 60 T 
 
 
02 - Calcular o trabalho realizado pela força F = 70 N para deslocar o bloco da 
figura abaixo a uma distância de 10 m. A força forma um ângulo de 30º com a 
direção do deslocamento. 
 
 
30º cos . s . F T 
 
 
J 606,2 0,866 . 10 . 70 T 
 
 
03 - Qual o trabalho realizado pela força F para deslocar o bloco ao longo do 
plano inclinado até à posição indicada na figura? 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
76 
 
 
m 43,3 30º cos . 50 s 
 
s . F T 
 
J 3464 43,3 . 80 T 
 
 
 
04 - O martelo de um bate-estaca pesa 500 N. Calcular o trabalho necessário 
para levantá-lo à altura de 4 m. 
 
 
s . F T 
 
J 2000 4 . 500 T 
 
 
 
 
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77 
05 - Uma cidade consome 500 mil litros de água por dia. Esta água é recalcada 
de uma represa a um reservatório, cujo desnível é de 15 m. Qual é o trabalho 
realizado pelo motor da bomba durante um dia? 
 
 
 
500.000 L de água equivale neste desnível a uma força peso de 500.000 N 
s . F T 
 
J 7500000 15 . 500000 T 
 
 
06 - Calcular o trabalho de um elevador para transportar 50 tijolos a uma altura 
de 20 m. Considerar que cada tijolo pesa mais ou menos 1,3 N. 
 
d . F T 
 
N 65 1,3 . 50 F 
 
J 1300 20 . 65 T 
 
 
 
 
 
 
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78 
07 - Resolver o problema 6 supondo que os tijolos foram conduzidos um a um. 
 
d . F T 
 
F = 1,3 N 
T = 1,3 . 20 = 26 J para cada tijolo 
Trabalho Total = 26 . 50 tijolos = 1300 J 
 
08 - Calcular o trabalho realizado por uma máquina cuja força obedece ao 
diagrama de trabalho da figura abaixo. 
 
T = área hachurada 
T = 40 . 10 = 400 J 
 
09 - A força exercida por uma máquina varia conforme o diagrama abaixo. 
Calcular o trabalho desenvolvido. 
 
 
 F ( N ) 
 F ( N ) 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
79 
T = área hachurada (trapézio) 
 
J 150 6 . 
2
10 40
 T 


 
 
11 - RENDIMENTO 
 
Parte do trabalho fornecido a uma máquina se dissipa devido às resistências 
passivas (atrito, forças que se opõem ao movimento, etc.) e o restante é 
aproveitado para satisfazer a necessidade da máquina. 
 
O trabalho fornecido é chamado trabalho motor e o trabalho aproveitado é 
chamado trabalho útil. 
 
Chama-se rendimento (eta) a relação entre o trabalho útil (Tu) e o trabalhomotor (Tm). 
 
 
 
m
u
T
T

 
 
Como o trabalho motor é sempre maior que o trabalho útil, verifica-se pela 
fórmula que o rendimento é sempre menor que 1. 
 
 
Evanilton Barbosa Mecânica Aplicada 
 
80 
 
Costuma-se representar rendimento em porcentagem ou em número decimal. 
Assim, uma máquina com rendimento = 0,7, significa que 70% do trabalho 
motor é aproveitado como trabalho útil. 
 
É bastante vantajoso construir máquinas de máximo rendimento possível, o 
que se consegue diminuindo o atrito entre as peças com uso de lubrificantes. 
 
Exemplos: 
 
01 - Qual o rendimento de uma máquina que recebe um trabalho motor Tm = 
200 J e desenvolve sob forma de trabalho útil Tu = 160 J? 
 
m
u
T
T

 
 
80% 0,8 
200
160
 
 
 
02 - Calcular o trabalho motor de uma furadeira de 80% de rendimento para 
furar uma chapa que requer um trabalho útil de 320 J. 
 
m
u
T
T

 
J 400 
0,8
320
 
T
 T um  
 
 
 
 
 
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81 
12 - POTÊNCIA 
A potência de uma máquina é o trabalho que ela é capaz de produzir na 
unidade de tempo. 
 
Designando de P a potência e T o trabalho realizado durante o tempo t, tem-se 
a seguinte fórmula: 
 
t
T
 P  
Medindo-se T em J e t em segundos, resulta em J/seg. Além dessas unidades 
usa-se watt (joule/seg), quilowatt (Kw), cavalo vapor (CV), horse power (HP) . 
Equivalências: 
1 J/seg = 9,81 watt 
1 Kw = 1000 watt 
1 CV = 736 watt 
1 HP = 746 watt 
 
 
Na prática, costuma-se confundir as unidades CV e HP, dividindo-se a fórmula 
da potência por 75: 
 t75
T
 P  
 
P em CV e HP 
 
 
 
 
 
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82 
Observações: 
 
Em todas as máquinas, parte da potência fornecida de dissipa por atrito, e 
somente uma parte é aproveitada, chamada potência útil. A relação entre estas 
potências chama-se rendimento. 
 
m
u
P
P
 
 
 
O trabalho produzido durante um certo tempo, depende da potência da 
máquina: quanto maior a potência, maior será o volume de trabalho realizado 
durante o referido tempo. 
 
OUTRAS FÓRMULAS DA POTÊNCIA 
 
Substituindo T, na fórmula da potência por F . s, conforme a definição de 
trabalho tem-se: 
 t75
s . F
 P 
 
 
Se o movimento for uniforme, sabe-se pela cinemática que s = v . t, logo: 
75
 vF
 P 
 
Quando o movimento é circular: 
6000
n r 2
 v


 
 
 
 
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83 
com v em m/seg, r em cm e n em rpm. 
 CV 
71620
nr F
 
6000
nr 2
 . 
75
F
 P 
 
 
Na fórmula anterior o produto F. r, representa o momento torçor que é indicado 
com Mt, logo: 
 
 
Isolando Mt no primeiro membro, chega-se à seguinte fórmula: 
 
 N.m 
n
P
 71620 Mt 
 
 
Esta é a expressão mais conhecida e usada para o cálculo de motores, polias, 
engrenagens, eixos, etc. 
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
 
01 - Calcular o momento torcedor no eixo de um motor de 2 HP a 1000 rpm. 
n
P
 71620 M t 
 
N.m 143,24 
1000
2
 71620 M t 
 
 
 
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84 
 
02 - Calcular a potência necessária para levantar um bloco de 50 N a uma 
altura de 1,5 m em 2 seg. 
 t75
s . F
 P 
 
CV 
2
1 
2 . 75
1,5 . 50
 P 
 
 
03 - Um elevador de carga tem as seguintes características: 
 Velocidade de subida: v = 6 m/seg 
 Carga total: 20000 N 
 Contra-peso: 2500N 
 
 
 
Pede-se a potência do motor, admitindo-se um rendimento de 70%. 
 
75
 vF
 P 
 
F = 20000 – 2500 = 17500 N 
 
2500 N 
2
0
0
0
 N
 
 
 
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85 
v = 6 m/seg 
CV 1400 
75
6 . 17500
 P 
 
 
Este é o valor da potência útil. 
 
 
 
 
 
 
04 - Calcular a potência da manivela da figura abaixo quando acionada a 30 
rpm. 
 
71620
nr F
 P 
 
CV 0,084 
71620
30 . 20 . 10
 P 
 
F = 10 N 
 
 
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86 
 
05 - Calcular a carga que o sarilho em figura pode elevar com a velocidade de 
0,5 m/seg. Admitir que o rendimento do conjunto (sarilho) seja  = 80%. 
 
 
 
m
u
P
P
  
CV 1,6 0,8 . 2 P P mu   
75
 vF
 P 
 
N 240 
0,5
1,6 . 75
 
v
P . 75
 F 
 
 
06 - Calcular a potência de uma bomba destinada a encher uma caixa d’água 
de 50 m3 em 2 h, sabendo-se que o desnível é de 15 m. Admitir que o 
rendimento do conjunto, incluindo perdas de carga seja de 50%. 
 
 
 
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87 
 
 
 t75
s . F
 P 
 
 
CV 1,4 
7200 . 75
15 . F
 P 
 - Potência útil 
 
m
u
P
P
 
 
 
CV 2,8 
0,5
1,4
 
P
 P um  
 - Potência do motor 
 
07 - Que rotação deverá apresentar um eixo acionado por um motor de 3 HP 
para ter um momento torcedor de 1000 N.m ? 
 
n
P
 71620 M t 
 
 
 
 
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88 
 
rpm 214,86 
1000
3 . 71620
 
M
P . 71620
 n 
t

 
 
 
08 - Para calcular o raio de uma manivela acionada por uma força de 15 N para 
se ter um momento torcedor de 300 N.m ? 
 
r . F Mt 
 
 
m 20 
15
300
 
F
M
 r t 
 
 
 
09 - No par de engrenagens da figura abaixo, calcular o momento torcedor da 
coroa, sabendo-se que a relação de transmissão é de 1:2,5. Admitir rendimento 
de 90%. 
 
 
 
 
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89 
1
2
n
n
 
 
 
rpm 400 1000 . 
2,5
1
 n . n 12  
 
m
u
P
P
 
 
 
CV 1,8 0,9 . 2 . P P mu   
 
n
P
 71620 M t 
 
 
N.m 322,3 
400
1,8
 71620 M t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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90 
 
 
 
13 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
 
MELCONIAN, Sarkis, 1949, “Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais”, 10 
ed. São Paulo/SP: Érica, 1999. 
 
 
NASH, William Arthur, 1922, “Resistência dos Materiais”, 2 ed. São Paulo/SP. 
 
 
HIBBELLER, R. C. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro, LTC, 1997. 
 
 
BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática. 5ed. 
São Paulo, Makron Books, 2004. 
 
 
ALVARENGA E MÁXIMO, Beatriz e Antônio. Curso de Física. Ed. Scipione, vol. 1, 2 e 
3. São Paulo. 2000. 
 
 
CEFET-MG, Mecânica Técnica, Curso Técnico Em Mecânica Vol. 1, BELO HORIZONTE, 
MG - 2012. 
 
 
SENAI Euvaldo Lodi, Mecânica Técnica, Curso Técnico Em Mecânica, Vol. 1, 
CONTAGEM, MG– 2006.