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Resolvendo Curso de Análise Vol. 1 
Professor Erike Pinheiro. 
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará – UECE. 
Questões resolvidas do livro Curso de Análise vol. 1, Elon Lages Lima, 14ª edição – 2014. 
 
Capítulo I – Conjuntos e Funções 
 
Exercício 01. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes 
propriedades: 
1ª 𝑋 ⊃ 𝐴 𝑒 𝑋 ⊃ 𝐵, 
2ª 𝑆𝑒 𝑌 ⊃ 𝐴 𝑒 𝑌 ⊃ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑌 ⊃ 𝑋. 
Prove que 𝑋 = 𝐴⋃𝐵. 
Prova: Pela 1ª propriedade, temos 
𝑋 ⊃ 𝐴 𝑒 𝑋 ⊃ 𝐵 ⇒ 𝑋 ⊃ 𝐴⋃𝐵 
Resta provar que 𝑋 ⊂ 𝐴 ⋃ 𝐵. Observe que tomando 𝑌 = 𝐴⋃𝐵 e usando a propriedade 
2ª 
𝐴⋃𝐵 ⊃ 𝐴 𝑒 𝐴⋃𝐵 ⊃ 𝐵 ⇒ 𝐴⋃𝐵 ⊃ 𝑋 
Ou seja, 𝑋 ⊂ 𝐴⋃𝐵. Portanto, 𝑋 = 𝐴⋃𝐵. 
∎ 
Exercício 02. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando 𝐴 ∩
𝐵. 
Prova: Na demonstração anterior, usamos as inclusões 𝐴 ⊂ 𝐴⋃𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐴⋃𝐵 
combinadas com a 2ª propriedade. De modo análogo, para a interseção ∩, temos: 
𝐴 ⊃ 𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐵 ⊃ 𝐴 ∩ 𝐵 
Dessa maneira vamos enunciar o resultado análogo caracterizando 𝐴 ∩ 𝐵: 
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
1ª 𝑋 ⊂ 𝐴 e 𝑋 ⊂ 𝐵, 
2ª Se 𝑌 ⊂ 𝐴 e 𝑌 ⊂ 𝐵 então 𝑌 ⊂ 𝑋. 
Prova: Pela 1ª propriedade, temos 
𝑋 ⊂ 𝐴 e 𝑋 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑋 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 
Resta provar que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝑋. Observando que tomando 𝑌 = 𝐴 ∩ 𝐵 
𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 e 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝑋 
Portanto, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑋. 
∎ 
 
Exercício 03. Sejam 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝐸. Prove que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ se, e somente se, 𝐴 ⊂ ∁𝐵. Prove 
também que 𝐴⋃𝐵 = 𝐸 se, e somente se, ∁𝐴 ⊂ 𝐵. 
Prova: Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, então 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐵 
Logo 𝑥 ∈ ∁𝐵, portanto, 𝐴 ⊂ ∁𝐵. Reciprocamente, se 𝐴 ⊂ ∁𝐵 então 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐵 
Portanto, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. Provemos agora que 𝐴⋃𝐵 = 𝐸 se, e somente se, ∁𝐴 ⊂ 𝐵. Observe 
que valem as equivalências 
𝐴⋃𝐵 = 𝐸 ⇔ ∁(𝐴⋃𝐵) = ∁𝐸 ⇔ ∁𝐴 ∩ ∁𝐵 = ∅ ⇔ ∁𝐴 ⊂ 𝐵 
Onde na última equivalência foi usada a primeira parte demonstrada. 
∎ 
 
Exercício 04. Dados 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝐸, prove que 𝐴 ⊂ 𝐵 se, e somente se, 𝐴 ∩ ∁𝐵 = ∅. 
Prova: Se 𝐴 ⊂ 𝐵 então 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ ∁𝐵 
Portanto, 𝐴 ∩ ∁𝐵 = ∅. Reciprocamente, se 𝐴 ∩ ∁𝐵 = ∅ então 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∉ ∁𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 
Portanto, 𝐴 ⊂ 𝐵. 
 
Exercício 05. Dê exemplos de conjuntos A, B, C tais que 
(𝐴⋃𝐵) ∩ 𝐶 ≠ 𝐴⋃(𝐵 ∩ 𝐶). 
Prova: Considere os intervalos da reta 
𝐴 = (1, 2) e 𝐵 = (2, 3) 
Considere também o conjunto 𝐶 = {2}. Então 
(𝐴⋃𝐵) ∩ 𝐶 = [(1, 2)⋃(2, 3)] ∩ {2} = ∅ 
Por outro lado, 
𝐴⋃(𝐵 ∩ 𝐶) = (1, 2)⋃[(2, 3) ∩ {2}] = (1, 2)⋃∅ = (1, 2) 
Portanto, (𝐴⋃𝐵) ∩ 𝐶 ≠ 𝐴⋃(𝐵 ∩ 𝐶). 
Exercício 06. Se 𝐴, 𝑋 ⊂ 𝐸 são tais que 𝐴 ∩ 𝑋 = ∅ e 𝐴⋃𝑋 = 𝐸, prove que 𝑋 = ∁𝐴. 
Prova: Provemos que 𝑋 ⊂ ∁𝐴. Temos 
𝑥 ∈ 𝑋 e 𝐴 ∩ 𝑋 = ∅ ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ ∁𝐴 ∴ 𝑋 ⊂ ∁𝐴. 
Provemos agora a inclusão oposta, 
𝑥 ∈ ∁𝐴 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒 𝐴⋃𝑋 = 𝐸 ⇒ 𝑥 ∈ 𝑋 ∴ ∁𝐴 ⊂ 𝑋 
Portanto, 𝑋 = ∁𝐴. 
∎ 
 
Exercício 07. Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 para todo conjunto 𝐶. Por outro 
lado, se existir 𝐶 de modo que a igualdade acima seja satisfeita, então 𝐴 ⊂ 𝐵. 
Prova: Seja 𝐶 um conjunto qualquer. Então provemos que 
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 
Temos: 
𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐶 
Considere os casos: 
1º) 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 
2º) 𝑥 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ⇒ (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴, portanto 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) ⊂ (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴. 
Provemos a inclusão oposta. Temos: 
𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐴 
Considere os casos: 
1º) 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑥 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑥 ∈ 𝐴⋃𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) 
 Portanto, (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 ⊂ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶). 
2º) 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 pois 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐴⋃𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) 
Portanto, (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 ⊂ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶). 
 Por outro lado, se existe um conjunto 𝐶 tal que 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴, então 
provemos que 𝐴 ⊂ 𝐵. Temos: 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)⋃𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (𝐴⋃𝐶) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐴⋃𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 
Portanto, 𝐴 ⊂ 𝐵. 
∎ 
 
 
Exercício 08. Prove que 𝐴 = 𝐵 se, e somente se, (𝐴 ∩ ∁𝐵)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐵) = ∅. 
Prova: Se 𝐴 = 𝐵, então 
(𝐴 ∩ ∁𝐵)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∁𝐴)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐴) = ∅⋃∅ = ∅ 
Reciprocamente, se vale (𝐴 ∩ ∁𝐵)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐵) = ∅, então 
𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ ∁𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ∁𝐵)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ 
Absurdo, logo 𝑥 ∈ 𝐵 e portanto 𝐴 ⊂ 𝐵. De modo análogo provemos a inclusão oposta. 
Temos 
𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ (∁𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ∁𝐵)⋃(∁𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ 
Absurdo, logo 𝑥 ∈ 𝐴 e portanto 𝐵 ⊂ 𝐴. Concluímos que 𝐴 = 𝐵. 
∎