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Tema : Conjuntos
Conceitos
Diagramas de Venn e operações
Número de elementos de um conjunto
1.1
Objetivos:
Familiarizar-se com a linguagem de conjuntos.
Melhorar o raciocínio lógico.
1.2Conjuntos
Importância: 
Fornece uma linguagem e ferramentas básicas que
nos ajudam no raciocínio tanto na vida cotidiana
como na manipulação de outros tópicos matemáticos.
Aula 1 : Conceitos
Conteúdo: 
Introdução
Noção intuitiva
Notação
Relação de pertinência
Definição
Descrição
Formalização
Conjunto vazio
Relações entre conjuntos
Conjunto de partes
1.3Conjuntos
Encontrar a estrutura comum a:
uma biblioteca.
um rebanho de ovelhas;
uma equipe de futebol;
Introdução: 
1.4Conjuntos: Conceitos
uma equipe de futebol é constituída por 
um grupo de jogadores;
Formação de estrutura comum:
uma biblioteca está formada por 
uma coleção de livros.
um rebanho de ovelhas é formado por
uma reunião de ovelhas;
1.5Conjuntos: Conceitos / Introdução
Formação de estrutura comum:
um rebanho de ovelhas é formado por
uma coleção de ovelhas;
uma equipe de futebol é constituída por 
uma coleção de jogadores;
uma biblioteca está formada por 
uma coleção de livros.
1.6Conjuntos: Conceitos / Introdução
equipe de futebol
rebanho de ovelhas
biblioteca
Estrutura comum: 
1.7Conjuntos: Conceitos / Introdução
está formada(o) por uma
coleção de objetos.
Um conjunto é uma coleção de objetos, 
chamados elementos.
Noção intuitiva: 
1.8Conjuntos: Conceitos
é um conjunto de jogadores.
os elementos são os jogadores
os elementos são as ovelhas
 é um conjunto de ovelhas.
os elementos são os livros
 é um conjunto de livros.
Exemplos: 
uma equipe de futebol
um rebanho de ovelhas
uma biblioteca
Invente um conjunto com 4 elementos considerando 
coisas e/ou pessoas do lugar em que você está agora.
1.9Conjuntos: Conceitos / Noção intuitiva
Meu conjunto está formado pelo(a):
monitor do computador 
teclado 
cadeira 
você mesmo
. .
.
−
1.10Conjuntos: Conceitos / Noção intuitiva
Letras maiúsculas são usadas para denotar conjuntos.
Exemplo: seu conjunto pode chamar-se A e o meu B.
Notação de conjuntos: 
1.11Conjuntos: Conceitos
Letras minúsculas são usadas para descrever os 
elementos de um conjunto.
Exemplo: os elementos do meu conjunto B podem
 ser denominados por: 
m : monitor;
t : teclado;
c : cadeira;
v : você.
Descrição de um conjunto:
O símbolo } indica o fim da descrição de um 
conjunto.
O símbolo { indica o início da descrição de um 
conjunto.
1.12Conjuntos: Conceitos / Notação
Exemplo: B = {m, t, c, v} 
Resumindo: 
Conjunto: letras maiúsculas
Elementos de um conjunto: letras minúsculas
Início do conjunto: {
Fim do conjunto: }
1.13Conjuntos: Conceitos / Notação
Noção intuitiva:
O elemento t (teclado) está no conjunto B.
O elemento r (relógio) não está em B.
Relação de pertinência: 
 Seja B = {m, t, c, v} 
1.14Conjuntos: Conceitos
Notação: x ∈ X
Definição de pertinência:
1.15Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
x pertence a um conjunto X se x é um elemento de X.
Exemplo: 
 B = { m, t, c, v } 
t pertence a B , t ∈ B 
r não pertence a B, r ∉ B
Exemplo importante: 
N
= conjunto dos números naturais
 = { 1, 2, 3, ... }
N
- 10598 ∈ 
N
- -1 ∉ 
N
- 1/5 ∉ 
N
- 2,5 ∉ 
N
1.16Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
Outro exemplo: 
C = conjunto das pessoas que são altas.
Conclusão: esta coleção não está bem definida.
1.17Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
- Se você mede 1,50 metros, está claro que você 
 não pertence a C.
- Se você mede 1,75 metros, você está em C ou não?
- Se você mede 1,95 metros, está claro que você 
 pertence a C.
Você pertence a C ?
Modificação do exemplo: 
Você pertence a C ?
Conclusão: esta coleção está bem definida.
1.18Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros.
 
Um conjunto é uma coleção 
de objetos, chamados elementos.
Isto é, SEMPRE podemos decidir quando um objeto
está ou não no conjunto.
BEM DEFINIDA
Definição de conjunto: 
1.19Conjuntos: Conceitos
Um conjunto é uma coleção bem definida 
de objetos, chamados elementos.
1.20Conjuntos: Conceitos / Definição 
O conjunto de números naturais que são pares;
O conjunto dos meses do ano que têm exatamente
30 dias;
O conjunto dos meses do ano que têm pelo menos
30 dias.
Exemplos:
Representação explícita
Descrição de um conjunto: 
1.21Conjuntos: Conceitos
Enumeração dos elementos do conjunto.
Representação implícita
Exemplo: 
 
C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros 
 de altura 
Indicação da propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo: B = { m, t, c, v } = { 1, 2, 3, ... }
N
Representação implícita:
C = conjunto das pessoas de altura maior que 
 1,75 metros.
 
C está constituído por elementos (pessoas) x tal que 
a altura de x é maior que 1,75 metros.
ou
C = { x | altura de x > 1,75 metros } 
Levando a idéia da notação matemática: 
1.22Conjuntos: Conceitos / Descrição 
C = { x | altura de x > 1,75 metros }
Formalização: 
1.23Conjuntos: Conceitos
C está constituído por elementos (pessoas) x tal que a 
altura de x é maior que 1,75 metros.
Propriedade que caracteriza os elementos de C:
P(x) : a altura de x é maior que 1,75 metros.
 
C = { x | P(x) }
C está constituído pelos elementos x tal que verifica P(x)
Outro exemplo:
D = conjunto de números naturais maiores ou iguais a 5.
Representação explícita:
D = { 5, 6, 7, ...}
Representação implícita:
D = { x | x ∈ e x ≥ 5 }
P(x) 
N
1.24Conjuntos: Conceitos / Formalização
 = conjunto dos números reais
R
 = conjunto dos números racionais
Q
 = conjunto dos números inteiros
Z
= {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Z
= { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
N
 = conjunto dos números naturaisN
1.25Conjuntos: Conceitos / Formalização
Notação de conjuntos conhecidos
 = { x | x = p/q , p, q ∈ , q ≠ 0 }
Q
Z
O conjunto vazio, ∅ , é o conjunto que não tem 
elementos.
Conjunto especial: 
1.26Conjuntos: Conceitos
Exemplos:
Pode-se falar da representação de ∅ ?
∅ = { x | x ∈ , x > 5 e x < 0 } 
N
∅ = { x | x ∈ , 2x - 1 = 0 } 
Z
Definição de igualdade 
Os conjuntos A e B são iguais quando têm os 
mesmos elementos.
Notação: A = B
Relações entre conjuntos: 
1.27Conjuntos: Conceitos
Sejam A = { 1, 3, a } C = { 1, 3, 1, a }
 B = { 3, a, 1 } D = { 2, 3, a } 
Exemplo: 
Os conjuntos A, B e C são iguais, A = B = C
A é diferente de D, A ≠ D
Definição de inclusão 
Notação: A ⊆ B
Um conjunto A está contido em um conjunto B se
todo elemento de A é elemento de B.
1.28Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
N
 
 = { 1, 2, 3, 4, ... }
 P = { 2, 4, 6, 8, ... } 
 S = { 0, 1 } 
Exemplo 1: 
N
P está contido em , P ⊆ 
N N
S não está contido em , S ⊄ _
N
Exemplo 2: 
A = { 1, 3, a }
B = { 3, a, 1 } 
A ⊆ B e B ⊆ A 
Conclusão: A = B ⇔  A ⊆ B e B ⊆ A
(é equivalente)
1.29Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
- A está contido em B
A ⊆ B
Observação:
- A é um subconjunto de B
- B contém A ( B ⊇ A )
1.30Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
Definição de inclusão estrita:
 A ⊆ B e A ≠ B 
Notação: A ⊂ B ( A está contido estritamente em B)
1.31Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
Observação:
Para todo conjunto A ≠ ∅ : ∅ ⊂ A
Para todo conjunto: ∅ ⊆ A
 = { 1, 2, 3, 4, ... }
 P = { 2, 4, 6, 8, ... } 
 
Exemplo 1: 
Conclusão: P ⊂ 
P ⊆ , mas 1 ∈ e 1 ∉ P
N ≠ P 
N
N N
N
Considere o conjunto A.
O conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A. 
Conjunto departes de um conjunto:
1.32Conjuntos: Conceitos 
Seja A = { 1, 2, 3 }
Exemplo: 
P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
então
Observação:
Os elementos de P(A) são conjuntos:
- { 1 } ∈ P(A) pois { 1 } ⊆ { 1, 2, 3 }
- 1 ∉ P(A)
- { { 1 }, { 1, 2, 3 } } ⊆ P(A)
Exemplo: 
- { { 1 } } ⊆ P(A)
- ∅ ∈ P(A)
P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
A = { 1, 2, 3 }
1.33Conjuntos: Conceitos / Conjunto de partes
Conceitos
- Conjunto
- Elemento
- Relação de pertinência
- Relações entre conjuntos:
Igualdade
Inclusão
Inclusão estrita
Conjuntos especiais
Propriedade: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A
Resumo: 
1.34Conjuntos: Conceitos
Notação
A, B, ...
a, b, x, ...
x ∈ A, (x ∉ A)
A = B, (A ≠ B)
A ⊆ B, (A ⊄ B)_
A ⊂ B, (A ⊄ B)
∅, P(A)
Conjunto universo
Diagramas de Venn 
Operações e propriedades
Identidades básicas
Aula 2 : Diagramas de Venn e operações 
Conteúdo:
2.1Conjuntos
2.2Conjuntos: Diagramas de Venn e operações 
Introdução
N
D = { x ∈ | x ≥ 5 } 
N
A = { x ∈ | x2 = 36 } 
Outra notação:
Exemplos:
N
D = { x | x ∈ e x ≥ 5 } 
N
A = { x | x ∈ e x2 = 36 } 
= { 5, 6, 7, ... } 
= { 6 } 
2.3Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Conjunto universo:
Definição
O conjunto universo, U, é aquele que contém 
todos os conjuntos que estão sendo considerados 
em um dado contexto.
Notação:
A = { x ∈ U | P(x) }
 está tal que x verifica P(x) 
 constituído 
o conjunto A pelos elementos x 
pertencentes ao 
conjunto U (universo)
2.4Conjuntos
Referência Histórica: matemático inglês 
John Venn (Século XIX). 
Característica: representação visual de 
conjuntos, suas operações e relações.
Diagramas de Venn:
2.5Conjuntos: Diagramas de Venn
Representação visual 
O conjunto universo U é representado por 
um retângulo e os subconjuntos próprios 
por regiões circulares dentro do retângulo.
A ⊂ UA
U
2.6Conjuntos: Diagramas de Venn
Exemplo:
B ⊂ A ⊂ U 
U
A B
U = N
(x ≥ 10 e x ≤ 100)A = { x ∈ | 10 ≤ x ≤ 100 } 
N
B = { x ∈ | 15 ≤ x ≤ 50 } 
N
2.7Conjuntos
União
Interseção
Diferença
Complemento
Vamos definir as operações:
Operações e propriedades:
2.8Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
BA
Sejam A e B subconjuntos de U.
A união de A e B que denotamos por A ∪ B é 
o conjunto formado por todos os elementos 
que pertencem a A ou que pertencem a B.
A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B }
A B
Definição de união:
VoltarUnião
U
2.9Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B }
B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
A ∪ B =
Exemplo 1:
 { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Voltar
5
6
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
5
6
União
U
Propriedade:
A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B 
2.10Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
x
yz
w
v
X Y
X = { x, y, z }
Y = { w, v }
X ∪ Y = 
União
 { x, y, z, w, v }
Exemplo 2:
Voltar
x
yz
w
v
X Y
U
2.11Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
Z ∪ W = 
U
União
ZZ WZ W
Exemplo 3:
U = conjunto das pessoas
(W ⊆ Z)
Voltar
2.12Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
Observação:
 A ∪ A = A
 A ∪ ∅ = A
Seja A ⊆ U , temos:
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B 
se e somente se 
(equivalente)
A ⊆ B ⇑ A ∪ B = B
e
A ⊆ B 
⇑
A ∪ B = B
então
2.13Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Definição de interseção:
Sejam A e B subconjuntos de U.
A ∩ B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B }
Voltar
BA
U
 ∩
A interseção de A e B que denotamos por A ∩ B 
é o conjunto formado por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
2.14Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
A ∩ B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
A ∩ B = { 5, 6 }
Exemplo 1:
Voltar ∩
U
8
9
B
7
2
3
4
A 1
5
6
Propriedade:
A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B 
2.15Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
X = { x, y, z }
Y = { w, v }
Exemplo 2: 
X ∩ Y = 
U
 ∩
 ∅x
yz
w
v
X Y
Voltar
Quando X ∩ Y = ∅ os conjuntos X e Y são ditos 
disjuntos.
2.16Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Exemplo 3: 
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
U = conjunto das pessoas
(W ⊆ Z)
Z W Z ∩ W = 
U
W
 ∩
Z W
Voltar
2.17Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A 
Seja A ⊆ U, temos:
Observação:
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅
2.18Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
BA
A − B = 
U
{ x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B }
A B
Definição de diferença:
Sejam A e B subconjuntos de U.
VoltarDiferença
A diferença entre A e B que denotamos por A − B 
é o conjunto formado por todos os elementos que 
estão em A mas não estão em B.
2.19Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
5
6
5
6
8
9
B
76
5
A − B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
U
Exemplo 1: 
B − A = 
U
{ 7, 8, 9 }
B − A = { x ∈ U | x ∈ B e x ∉ A }
 A - B Voltar
Voltar B - A
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
5
66
5
2
3
4
A 1
8
9
7
B
5
6
5
66
5
A − B = { 1, 2, 3, 4 }
2.20Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A − B ⊆ A e B − A ⊆ B 
X = { x, y, z } Y = { w, v }
X − Y = X
X
x
z y
Y
w
v
x
yz
Exemplo 2: 
U
Voltar
Y − X = 
X
x
yz
Y
w
v
U
w
v
Y
Diferença
2.21Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Z
W
Z − W = 
U
{ x ∈ U | 1,75 m ≤ altura de x < 1,90 m } 
Exemplo 3: 
Faça W − Z
Resposta W − Z = ∅
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
U = conjunto das pessoas
Voltar Z - W W
Z
2.22Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A ⊆ B ⇔ A − B = ∅
Observação:
A − A = ∅
A − ∅ = A
 Seja A ⊆ U, temos:
2.23Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Sejam o conjunto universo U e o conjunto A ⊆ U.
O complemento de A que denotamos por A
_
 é o
conjunto formado por todos os elementos de U
que não estão em A.
Isto é, A
_
 = U − A 
Definição de complemento:
 A
_
 A
_
 = { x ∈ U | x ∉ A }
Voltar
U
A
U
A
Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Exemplos: 
A = { x ∈ | x ≤ 50 } 
N
(conjunto dos números naturais)1. U = N
NA
_
 = − A = { x ∈ | x > 50 } 
N
2.24
A = { x ∈ | x > 2 } = { 3, 4, 5, ... } 
Z
U = Z2.
A
_
 = { x ∈ | x ≤ 2 } = { 2, 1, 0, -1, -2, ... } 
Z
3. U = N
A = { x ∈ | x > 2 } = { 3, 4, 5, ... } 
N
A
_
 = { x ∈ | x ≤ 2 } = { 1, 2 } 
N
2.25Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Observações:
A − B = A ∩ B
_
 
B − A = B ∩ A
_
 
U
_
 = ∅ (U
_
 = U − U )
∅
_
 = U (∅
_
 = U − ∅ )
A ∪ A
_
 = U
A ∩ A
_
 = ∅
2.26Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Identidades básicas: 
Associatividade
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C3.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C4.
Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A1.
A ∩ B = B ∩ A2.
2.27Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
Distributividade A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)5.
∩ =
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
U
A B
C
A ∪ C
U
A B
C
A ∪ B
U
A B
C
∪ =
A B ∩ C A ∪ (B ∩ C)
U
A B
C
U
A B
C
U
A B
C
2.28Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)6.
∩ =
A
U
A B
C
A ∩ (B ∪ C)
U
A B
C
B ∪ C
U
A B
C
∪ =
A ∩ B
U
A B
C
A ∩ C
U
A B
C
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
U
A B
C
2.29
Leis de Morgan 7. (A ∪ B) = A
_
 ∩ B
_
 
 _____
=>
U A ∪ B
BA
U A ∪ B
______
BA
 (A ∪ B) = U - (A ∪ B)
 ______
∩ =
U A
_
BA
A
_
 = U - A B
_
 = U - B
U B
_
A B
 A
_
 ∩ B
_
 
U A
_
 ∩ B
_
BA
Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
8. (A ∩ B) = A
_
 ∪ B
______Leis de Morgan
=>
U A ∩ B
BA
U
BA
A ∩ B
______
(A ∩ B) = U - (A ∩ B) 
______
2.30Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
∪ =
U
BA
A
_
 ∪ B
_
 A
_
 ∪ B
_
 
U B
_
A B
 B
_
 = U - B
U
BA
 A 
_
= U - A
2.31Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
ou seja,
e
(1) A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
(2) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) 
Prova formal da identidade 5:
2.32Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
(x ∈ A ou x ∈ B) e (x ∈ A ou x ∈ C) 
x ∈ (A ∪ B) e x ∈ (A ∪ C) 
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C) x ∈ A ∪ (B ∩ C) 
x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C) 
=>
=
>
=
>
=
>
=
>
 1 2 Voltar
Prova de (1) : 
Dado x ∈ A ∪ (B ∩ C), mostraremos que 
 x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) :
 
Faça você a prova de 2. 
Prova de (2): 
2.33Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Conceitos
- Conjunto universo
Notação
U
Resumo: 
- Operações com conjuntos:
União
Interseção
Diferença
Complemento
- Conjuntos disjuntos
A ∪ B
A ∩ B
A
_
(A ∩ B = ∅)
Diagramas de Venn
U
A
U
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
A
U
A B
A − B
B − A
2.34Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Resumo: 
Propriedades
- A ⊆ A ∪ B , B ⊆ A ∪ B 
- A ∩ B ⊆ A , A ∩ B ⊆ B
- A − B ⊆ A , B − A ⊆ B
- A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B 
- A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
- A ⊆ B ⇔ A − B = ∅
- A ∩ B = ∅ ⇔ A − B = A
- A ∩ B = ∅ ⇔ B − A = B
2.35Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Resumo: 
Identidades Básicas:
(A ∩ B) = A
_
 ∪ B
______
- Leis de Morgan: (A ∪ B) = A
_
 ∩ B
_
 
_____
- Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C 
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
- Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A
 A ∩ B = B ∩ A
2.36Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Observações:
- A ∪ A = A - A ∩ A = A
- A ∪ A
_
 = U 
- A ∩ ∅ = ∅ 
- A ∩ A
_
 = ∅ 
- U
 _
 = ∅ - ∅
_
 = U 
- A − ∅ = A - A − B = A ∩ B
_
 , B - A = B ∩ A
_
- A ∪ ∅ = A 
Resumo: 
2.37Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Determine os seguintes conjuntos:
1. Sejam U = { 0, 1, 2, 3, 4 } , A = { 0, 4 } , B = { 0, 1, 2, 3 } , 
 C = { 1, 4 }, D = { 0, 1 }. 
Exercícios 
a. A ∪ B
b. B ∩ C
c. A ∩ B
_
d. A ∪ (B ∩ C)
e. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) j. A ∪ (B ∩ C ∩ D)
g. A ∪ B
_
h. A − B
i. B − A
_
f. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
_____ _____
2.38Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. 
 Represente por meio de diagramas de Venn as seguintes situações.
(i) A ⊂ B ⊂ C
(ii) A ∩ B = ∅ , A ∩ C = ∅ , B ∩ C = ∅
(iii) A ⊆ B ∪ C 
(iv) A ⊆ B
_
 
(v) A ⊆ B − C 
2.39Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
3. Verifique, usando os diagramas de Venn as seguintes
 igualdades:
(i) (A − B) ∪ B = A ∪ B 
(iii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
(ii) (A − B) ∩ B = ∅ 
(iv) A − B = A ∩ B
_
(vi) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
(v) ( A
_
 ) = A 
_
2.40Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
verifique que C ∩ D = E.
6. Dados os conjuntos C = { x ∈ | x é múltiplo de 2 } ,
N
D = { x ∈ | x é múltiplo de 3 } ,
N
E = { x ∈ | x é múltiplo de 6 } , 
N
4. Mostre que 
A ⊆ B e A ⊆ C => A ⊆ B ∪ C 
5. Mostre que 
B
_
 ⊆ A
_
 ⇔A ⊆ B
2.41Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
8. Dado C = { 2, −1, 5 }, considere o conjunto universo
 sendo o conjunto de partes de C, U = P(C). Calcule:
(i) A
_
(ii) A ∩ B
para A = { {2, −1} , {2} } , B = { {5} , {2, −1, 5} , {−1, 2} }.
B = { x ∈ | 1 ≤ 3x − 2 ≤ 30 } . Calcule: N
7. Considere A = { x ∈ | 5 ≤ x2 ≤ 300 } ,N
(i) A ∪ B (ii) A ∩ B
(iii) A − B (iv) B − A
(v) A
_
 ∩ B
_
(vi) A
_
 ∪ B
_
2.42Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
9. Use a propriedade distributiva da interseção em
 relação a união de conjuntos para provar que 
 (A ∩ D) ∪ D
_
 = A ∪ D
_
 . Verifique a igualdade usando o 
 diagrama de Venn.
10. Prove que A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C).
 Dica: a igualdade A − B = A ∩ B
_
 (vista no exercício 
 2 (iv) ), uma propriedade distributiva de conjuntos e 
 uma das leis de Morgan.
2.43Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
(i) A = B
(ii) A
_
 ≠ B
_
11. Dados os seguintes conjuntos:
A = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 7 } , B = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 7 }
Verifique que:
Z N
Aula 3 : Número de elementos de um conjunto 
3.1
Conteúdo:
Conceitos iniciais
Introdução ao princípio aditivo
Introdução ao princípio da inclusão e exclusão
 
Faz sentido saber quantos elementos tem um 
conjunto?
É sempre possível contar os elementos de um 
conjunto?
Tem uma fórmula para calcular o número de 
elementos de A ∪ B ?
Conceitos iniciais:
3.2Conjuntos: Número de elementos 
Questão 1:
O vaqueiro João cuida das vacas da fazenda "Três 
Irmãos". Ele leva as vacas para pastar nos campos 
fora da fazenda. Ele não pode perder nenhuma vaca. 
Então o que ele faz ? Conta as vacas que formam o 
gado antes e depois do pastoreio.
Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?
Exemplo 1: 
3.3Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Conjunto de 
vacas depois 
do pastoreio.
=>Conjunto de 
vacas antes do 
pastoreio.
=>
Você deu dez notas de R$ 1,00 para um amigo fazer 
compras. No retorno, você contou o dinheiro que 
sobrou (3 notas de R$ 1,00 ).
Questão 1:
Exemplo 2: 
3.4Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?
Resposta: SIM
n(A) : é o número de elementos do conjunto A (ou 
 cardinalidade de A).
n(A) = 7
Exemplo 1: 
3.5Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Notação:
= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = 
Z
{ x ∈ | -3 ≤ x ≤ 3 }
Z
Questão 2:
É sempre possível contar os elementos de um conjunto ?
A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } 
Z
- Como contamos os elementos de A ?
Exemplo 1: 
3.6Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
=> Enumerando seus elementos:
1 é o número -3
2 é o número -2
7 é o número 3
......
=> Acabamos a enumeração em 7
Questão 2:
Exemplo 2: 
= { 2, 4, 6, ... }
Podemos ir enumerando seus elementos mas nunca 
acabaremos a enumeração.
B = { x ∈ | x é par } 
N
3.7Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
É sempre possível contar os elementos de um conjunto ?
Resposta: NEM sempre
Definição:
Um conjunto é finito se é possível contar o número 
de seus elementos. 
Um conjunto é infinito se não é possível contar o 
número de seus elementos. 
3.8Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Exemplo 1: 
, , , , são conjuntos infinitos.N Z
Q
IR
A = { x ∈ ||x| ≤ 3 } é finito 
Z
B = { x ∈ | x é par } é infinito 
N
- n(C) é um número que não conhecemos
3.9Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais
Conclusão: Embora tenhamos um conjunto finito, 
 pode ser impraticável contá-lo.
É sempre possível contar os elementos de um conjunto
finito. 
então:
C = { x | x é uma pessoa que nasceu antes de 2000 } 
- C está bem definido 
- C é finito
Exemplo: 
Mas, será que sempre conseguimos contar ?
Assumimos, nesta aula: 
A é um conjunto finito;
É possível determinar o número de elementos 
de A, n(A).
Questão 3:
Tem uma fórmula para calcular o número de 
elementos de A ∪ B ?
3.10Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Dados os conjuntos A e B,
calcular n(A ∪ B)
Problema inicial:
{
Introdução ao princípio aditivo:
Encontrar uma fórmula para calcular n(A ∪ B).
Objetivo:
3.11Conjuntos: Número de elementosentão n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
Princípio aditivo (para dois conjuntos)
Se A e B são disjuntos, A ∩ B = ∅, Α ΒU
Dados n(U) = 300, n(A) = 150, n(B)= 40
Determinar o número de alunos do IL que está 
no 1o ou no 4o ano do curso de inglês.
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL } 
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de inglês } 
A ∩ B = ∅ => n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 190
Problema: 
Exemplo 1: 
3.12Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
3.13Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
Problema:
Dados os conjuntos A, B e C,
calcular n(A ∪ B ∪ C){
Prova:
n(A ∪ B ∪ C) = n((A ∪ B) ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) 
(A ∪ B) ∩ C = ∅
A ∩ B = ∅
= n(A) + n(B) + n(C)
então n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
Se A, B e C são disjuntos dois a dois: 
Princípio aditivo (para três conjuntos)
A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅ 
U Α Β
C
Princípio aditivo (para quatro conjuntos)
Se A, B, C e D são conjuntos disjuntos dois a dois
( A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅ )
então n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
Tente fazer a prova aplicando o raciocínio anterior. 
3.14Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
 Prova
Prova: n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n((A ∪ B) ∪ C ∪ D)
Voltar
3.15Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
isto é, (A ∪ B), C e D são disjuntos dois a dois.
Logo, estamos nas condições do problema anterior, portanto temos:
 n((A ∪ B) ∪ C ∪ D ) = n(A ∪ B) + n(C) + n(D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
pois, A ∩ B = ∅
Quer dizer, provamos que
n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
como A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅
resulta (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = ∅
 (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) = ∅
 C ∩ D = ∅
Encontrar uma fórmula para n(A ∪ B).
Objetivo:
Problema inicial:
A e B podem não ser disjuntos
 A ∩ B ≠ ∅
Introdução ao princípio da inclusão e exclusão:
3.16Conjuntos: Número de elementos 
Dados os conjuntos A e B,
calcular n(A ∪ B){
Reescrever A ∪ B como conjuntos disjuntos. 
Estratégia:
n(A ∪ B) = ?
U
Α Β
Como reescrever A ∪ B como união de conjuntos 
disjuntos?
U
U
Α Β
Dados A, B, A ∩ B ≠ ∅
Disjuntos Voltar
3.17Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
U
União
U
União
ΒΑ
U
 ∩
Β Α
Α 
− Β
Β −
 
Α
Α 
−
 
Β
Β −
 
Α
A
 ∩
 B A - B = A ∩ B
_
B - A = B ∩ A
_
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
A = (A - B) ∪ (A ∩ B)
B = (B - A) ∪ (A ∩ B)
Voltar Voltar
Voltar
3.18
n(A ∪ B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B - A)
Conclusão: A ∪ B = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)
 n(A ∪ B) = n( (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) )
 = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A)
U
Α
U
A
 ∩
 B
U
=>
=>
A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
B = (A ∩ B) ∪ (B − A)
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
A
 - 
B
B
 - 
A
A
 ∩
 B
3.19
n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B)
 
n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B) 
 
U
Β
Resumindo:
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.20
n(A ∪ B) = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A)
 
n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B)
 
n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B)
 
=>
=>
 n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
 n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = [ n(A) − n(A ∩ B) ] + n(A ∩ B) + [ n(B) − n(A ∩ B) ]
= n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Interpretação visual
U Α Β
Observação: estamos contando 2 vezes 
os elementos da interseção, então 
devemos subtrair um deles.
Dados A e B, 
então 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
∩ Voltar
3.21
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL }
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } 
Exemplo 2: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.22
então o número de alunos do IL que cursam o 4o ano 
 de inglês ou o 2oano de francês é:
= 40 + 20 - 2 = 58 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(B) = 20
dados: n(U) = 300 n(A) = 40
n(A ∩ B) = 2
Questão:
Como calcular n(A ∪ B ∪ C) usando o Princípio da 
inclusão e exclusão para dois conjuntos ?
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
n(A ∪ B ∪ C) = n( (A ∪ B) ∪ C ) {
3.23
= [ n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ] + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) 
- [ n(A ∩ C) + n(B ∩ C)) - n((A ∩ C) ∩ B ∩ C) ]
A ∩ B ∩ C
{ {
= n(A ∪ B) + n(C) - n( (A ∪ B) ∩ C ) {
= n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Princípio da inclusão e exclusão (para três conjuntos)
Interpretação gráfica:
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.24
U
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
 - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) 
 + n(A ∩ B ∩ C) 
Dados A, B e C,
então
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL }
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } 
C = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de italiano } 
Exemplo 3: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.25
Dados: n(U) = 300 , n(A) = 40 , n(B) = 20 , n(C) = 30 
n(A ∩ B) = 2 n(A ∩ C) = 5
n(B ∩ C) = 3 n(A ∩ B ∩ C) = 1
então o número de alunos do IL que estão cursando 
 o 4o ano de inglês ou o 2oano de francês ou o 
 1o ano de italiano é:
Exemplo 3 (continuação): 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.26
n(A ∪ B ∪ C) = 40 + 20 + 30 - 2 - 5 - 3 + 1 = 81 
n(A ∪ B ∪ C) =
 = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= ∑
4
i=1
n(Ai) - ∑
4
i, j=1
i < j
n(Ai ∩ Aj) + ∑
4
i, j, l = 1
i < j
j < l
i < j < l
n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4)
Prove o princípio da inclusão e exclusão no seguinte caso:
Dados A1 , A2 , A3 e A4 ,
então n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.27
n(A1) + n(A2) + n(A3) + n(A4) −
− n(A1 ∩ A2) − n(A1 ∩ A3) − n(A1 ∩ A4) − n(A2 ∩ A3) − n(A2 ∩ A4) −
− n(A3 ∩ A4) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) −
− n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) 
=
 Fórmula Voltar
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.28
Prova: n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4) = n((A1 ∪ A2) ∪ A3 ∪ A4)
Voltar Prova
n( A1 ∪ A2 ) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2)
− n((A1 ∪ A2) ∩ A3) − n((A1 ∪ A2 ) ∩ A4) − n(A3 ∪ A4 ) + n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) 
n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = n((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ∪ A4 )) = n(A1 ∪ A2 ) + n(A3 ) + n(A4 ) −{
{ {n((A1 ∪ A2) ∩ A3) = n((A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3)) =
= n((A1 ∩ A3) + (A2 ∩ A3) − n((A1 ∩ A3) ∩ (A2 ∩ A3)) 
A1 ∩ A2 ∩ A3
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4
n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) = n( [(A1 ∪ A2) ∩ Α3 ] ∩ A4) =
 = n( [(A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3) ] ∩ A4) = n[(A1 ∩ A3 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A3 ∩ A4)] =
 = n(A1 ∩ A3 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) − n((A1 ∩ A3 ∩ A4) ∩ (A2 ∩ A3 ∩ A4))
{ {
A1 ∩ A2 ∩ A4
n((A1 ∪ A2) ∩ A4) = n((A1 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A4)) = 
= n(A1 ∩ A4) + n(A2 ∩ A4) − n((A1 ∩A4) ∩ (A2 ∩ A4)) 
Observação:
A partir de n(A ∪ B) podemos obter outras relações.
Determine a quantidade de números naturais que existe
entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5.
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
Exemplo: 
{ x ∈ | x ∈ C, x ∉ A e x ∉ B } 
N
3.29
C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } 
N
= {2, 4, 6, ... ,100}A = { x ∈ | x ∈ C, x = 2k, k ∈ } 
N N
= {5, 10, 15, ... ,100}B = { x ∈ | x ∈ C, x = 5k, k ∈ } 
N N
{ x ∈ | x ∈ C e x ∉ A e x ∉ B } 
N
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
= C - (A ∪ B)
= { x ∈ | x ∈ C e x ∉ (A ∪ B) } 
N
= { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A
_
 ∩ B
_
 ) } 
N
= { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A
_
 e x ∈ B
_
 ) } 
N
3.30
N
= { x ∈ | x ∈ C e x ∈ (A ∪ B) } 
_____
Determine a quantidade de números naturais que
existe entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem 
por 5.
Lembremos o enunciado do exemplo: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
C
A B
N
Pede-se n( C - (A ∪ B) )
Conclusão:
3.31
Observe que:
( C - (A ∪ B) ) ∪ (A ∪ B) = C
e ( C - (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ B) = ∅
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
 
n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) =>
3.32
=>n((C - (A ∪ B)) ∪ (A ∪ B)) = n(C - (A ∪ B)) + n(A ∪ B) 
princípio 
 aditivo
n(C)
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio de inclusão e exclusão 
Devemos calcular n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) 
n(C) = 100
Resumindo:
3.33
C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } 
N
= 50 + 20 - 10 = 60
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
 princípio 
 inclusão e exclusão
logo, n(C - (A ∪ B)) = 100 - 60 = 40 
Resposta: A quantidade de números naturais que existe 
entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5 é 40. 
A = { x ∈ | x ∈ C , x = 2k , k ∈ } 
N N
= {2, 4, 6, ... , 100}
B = { x ∈ | x ∈ C , x = 5k , k ∈ } 
N N
= {5, 10, 15, ... , 100}
3.34Conjuntos: Número de elementos
Resumo:
Conceitos:
- Número de elementos de um conjunto, n(A) - 
 (cardinalidade) 
- Conjunto finito
- Conjunto infinito
- Introdução ao princípio aditivo:
 (Número de elementos da união de conjuntos disjuntos dois a dois)
• A1 e A2 disjuntos => n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) = ∑
2
 i=1
n(Ai) 
• A1, A2 e A3 disjuntos => n(A1 ∪ A2 ∪ A3) =
 = n(A1) + n(A2) + n(A3) = ∑
3
 i=1
n(Ai)
• Ai disjuntos dois a dois => n(∪
4
i=1
Ai) = ∑
 4
 i=1
n(Ai) 
Resumo:
Conceitos:
- Introdução ao princípio da inclusão e exclusão:
(Número de elementos da união de conjuntos não necessariamente disjuntos)
• n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) - n(A1 ∩ A2) = ∑
2
i=1
n(Ai) - n(A1 ∩ A2)
• n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) - n(A1 ∩ A2) - n(A1 ∩ A3) -
 - n(A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = ∑
 3
 i=1
n(Ai) - ∑
3
i , j=1
i < j
n(Ai ∩ A2) + n(∩
3
 i=1
Ai)
• n(∪
4
i=1
Ai) = ∑
4
i=1
n(Ai) - ∑
4
i, j=1
i < j
n(Ai ∩ Aj) + ∑
4
i, j, l = 1
i < j
 j < l
i < j < l 
n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(∩
4
 i=1
Ai)
3.35Conjuntos: Número de elementos
1. Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto 
universo U tais que B ⊆ A. Usando o princípio aditivo 
prove que n(A − B) = n(A) − n(B).
Exercícios
2. Quantos números inteiros entre 1 e 100 são 
divisíveis por 3 ou por 7.
3.36Conjuntos: Número de elementos 
Dica: Considere
 A = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =3k para algum k ∈ }
 B = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =7k para algum k ∈ }
 e use o princípio de inclusão e exclusão. 
Z N
Z N
3. Use os princípios aditivo ou de inclusão e exclusão 
para determinar, em cada caso, a quantidade de números
naturais entre 1 e 60 que verificam: 
(i) são divisíveis por 2 e por 3
(ii) são divisíveis por 2 ou por 3
(iii) não são divisíveis nem por 2 nem por 3
(iv) são ímpares divisíveis por 3 ou são divisíveis por 2
(v) são divisíveis por 2 ou por 3 ou por 5
3.37Conjuntos: Número de elementos 
4. Foram consultadas 200 pessoas que estavam 
pesquisando preços de televisores em lojas de 
eletrodomésticos. As respostas foram as seguintes:
 - 40% perguntaram pela marca A; 
 - 35% pela marca B;
 - 10% pelas marcas A e B; 
 - 25% somente perguntaram por outras marcas.
Use o princípio de adição ou o princípio da inclusão e
exclusão para determinar:
3.38Conjuntos Número de elementos 
(i) quantidade de pessoas que perguntaram pelos
preços das televisões de marcas A ou B.
(ii) número de pessoas que perguntaram pela marca A
e não pela marca B (lembre-se do exercício 1).
4. (continuação)
3.39Conjuntos: Número de elementos 
Módulo: Indução matemática
Indução forte
Princípio da indução matemática
4.1
Objetivo:
Aprender uma técnica para provar resultados
matemáticos.
4.2Indução matemática
Por exemplo: 
Provar que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) _______
 2
 n ∈ 
8
N
É uma técnica poderosa e muito útil usada para 
provar resultados que envolvem os números naturais.
Importância:
Princípio da indução matemática (PIM)
Introdução
Conteúdo:
Aula 4: Princípio da indução matemática
Princípio da indução matemática generalizado
4.3
Idéia intuitiva:
Exemplo 1: 
Consideremos uma sequência de dominós alinhados
tal que:
Se um cair ele vai derrubar o seguinte
PIM
Voltar
Introdução: 
4.4Indução matemática
Observação:
Se o primeiro dominó cair então todos os outros cairão.
Exemplo 2: 
Consideremos lâmpadas elétricas alinhadas e conectadas
tal que:
ao acender uma delas acende-se a seguinte
PIM
Voltar
4.5Indução matemática: Introdução
Se a primeira lâmpada for acesa então todas as 
outras estarão acesas.
Observação:
Formalização:
Princípio da indução matemática: 
4.6Indução matemática
Se : (i) P(1) verdadeira e
(ii) P(k) verdadeira => P(k+1) verdadeira, k ∈ 
8
N
Seja P(n) uma afirmação, para cada n ∈ . 
N
Então P(n) verdadeira para todo n ∈ . 
N
Para aplicarmos o PIM precisamos executar os três 
passos a seguir:
(1) Base da indução: 
 Mostrar que P(n) verdadeira para n = 1
(2) Hipótese de indução:
 Assumir que P(k) verdadeira para k ≥ 1
(3) Passo indutivo:
 Mostrar que P(k + 1) verdadeira, assumindo (2).
4.7Indução matemática: Princípio da indução matemática
Exemplo 3:
verdadeira
4.8Indução matemática: Princípio da indução matemática
Mostre que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)_______
 2
n ∈ .
8
N
Prova:
Seja P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) ________
 2
(1) Base da indução: 
P(1) : 1 = 1(1 + 1) = 1 _______
 2
(2) Hipótese de indução (HI): Assuma que P(k) é 
verdadeira, k ≥ 1:
 1 + 2 + ... + k = k(k+1)______
 2
4.9Indução matemática: Princípio da indução matemática
1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k + 1) (k + 2)_____________
 2
(3) Passo indutivo: 
P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira 
Desenvolvendo:
_______
 2
k(k + 1) + (k + 1) = k2 + k + 2k + 2 =______________ 
 2
1 + 2 + ... + k + (k + 1) = 
=
(HI)
Logo P(k+1) verdadeira
= k2 + k + 2k + 2 =______________ 
 2
 (k+1)(k+2) __________ 
 2
 k2 + 3k + 2 =__________ 
 2
______
 2
k(k+1) + (k+1)
4.10Indução matemática: Princípio da indução matemática
Então pelo PIM 
verdadeira________ 
 2
P(n) : 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)
N
n ∈ 
8
Exemplo 4:
Prova: 
Seja P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 
verdadeira
Mostre que 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
N
n ∈ .
8
4.11Indução matemática: Princípio da indução matemática
(1) Base da indução: 
P(1) : 1 = 12 
(2) Hipótese de indução (HI): 
 P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2 verdadeira
(3) Passo indutivo: 
 P(k) verdadeira=> P(k + 1) verdadeira 
4.12Indução matemática: Princípio da indução matemática
1 + 3 + ... + [ 2(k + 1) − 1] = (k + 1)
2
Logo P(k + 1) verdadeira
 Então pelo PIM
 P(n) : 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n2 verdadeira 
8
n ∈ 
N
1 + 3 + ... + (2k - 1) + [ 2(k + 1) - 1 ] = 
Desenvolvendo:
k2 + 2k+1 = (k + 1)2
=
(HI)
=
Exemplo 5:
 
 Seja P(n) : 8 divide 32n − 1 
Prova:
4.13Indução matemática: Princípio da indução matemática
Mostre que 8 divide 32n − 1
N
8
n ∈ .
32n - 1 = 8 . p para algum p ∈ 
N
ou
(1) Base da indução: 
verdadeiraP(1) : 32 . 1 − 1 = 9 − 1 = 8 . 1 (p = 1)
4.14Indução matemática: Princípio da indução matemática
(2) Hipótese de indução: 
P(k) verdadeira, 
32k - 1 = 8 . p para algum p ∈ 
N
(3) Passo indutivo: 
 P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira
Desenvolvendo:
32(k + 1)- 1 = 32k. 32 - 1 = 32k (8 + 1) - 1 = 
N
32(k + 1)- 1 = 8 . p para algum p ∈ 
4.15Indução matemática: Princípio da indução matemática
= 32k. 8 + 32k- 1 = 
8 . p
(HI)
=
32k. 8
=
+ 32k. 8 32k- 1
Logo P(k+1) verdadeira
32(k + 1)- 1 = 32k. 8 + 8 . p = 8 . (32k+ p) ( p = 32k+ p )
∈ 
N
Então pelo PIM 
P(n) : 8 divide 32n - 1 verdadeira n ∈ 
8
N
4.16Indução matemática: Princípio da indução matemática
Se:
(ii,)
(i,) P(n0)
8
N N
 k ≥ n0 ,k ∈ 8 N
Princípio da indução matemática generalizado
Seja P(n) uma afirmação, para cada inteiro positivo n.
 verdadeira e
P(k) verdadeira => P(k+1) verdadeira, 
PIM
Princípio da indução matemática 
generalizado: 
Voltar
4.17Indução matemática
8
Então P(n) verdadeira n ∈ , n ≥ n0 .N
Para aplicarmos o PIM generalizado precisamos 
executar os três passos a seguir:
(1) Base da indução: 
 Mostrar que P(n) verdadeira para n = n0 
(3) Passo indutivo:
 Mostrar que P(k + 1) verdadeira, assumindo a 
 hipótese de indução (2)
(2) Hipótese de indução:
 Assumir que P(k) verdadeira para k ≥ n0 
4.18Indução matemática: PIM generalizado
Exemplo 6:
 
verdadeira
(2) Hipótese de indução: 
 P(k) : k2 > 3k , k ≥ 4 verdadeira 
4.19Indução matemática: PIM generalizado
8
Mostre que n2 > 3n n ≥ 4 , n ∈ .
N
(1) Base da indução: 
P(4) : 16 > 3 . 4 = 12 
Prova: 
Seja P(n) : n2 > 3n , n ≥ 4 
(3) Passo indutivo: 
 P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira
k2 + 2k + 1 =
4.20Indução matemática: PIM generalizado
Logo P(k + 1) verdadeira
Então pelo PIM generalizado 
 P(n) : n2 > 3n verdadeira n ≥ 4 
8
(k ≥ 4) 
 ≥ 3k + 8 + 1 = 3k + 9
(k + 1)2 > 3k + 9 = 3(k + 3) > 3(k + 1)
Desenvolvendo:
P(k) : k2 > 3k verdadeira para k ≥ 4 
k2 + (2k + 1) > 3k + (2k + 1) 
(k + 1)
2
 > 3(k + 1)
P(n) : n2 > 3n não é verdadeira para n = 1, 2, 3
P(1) : 12 > 3 . 1
P(2) : 22 > 3 . 2
P(3) : 32 > 3 . 3
não são verdadeiras
Verifique que: 
4.21Indução matemática: PIM generalizado
Princípio PIM generalizado
Estrutura
Resumo: 
- Base de indução: P(n) verdadeira n = n0
- Passo indutivo: P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira
n0 = 1 : PIM
Em particular
4.22Indução matemática
- Hipótese de indução: P(k) verdadeira k ≥ n08
Prove usando indução matemática
Exercícios: 
(v) 2 divide n2 + n
(i) 1 + 2 + 4 + ... + 2(n - 1) = 2n - 1
8 N
n ∈
4.23Indução matemática
(ii) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)___________________
6
(iii) 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = n(1 + 3n)___________
2
(iv) (1 + 1) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ... ( 1 + 1 ) = n + 1__
 2
__
 3
__
n
Indução forte
Série de Fibonacci
Conteúdo:
Indução forte generalizada
Aula 5: Indução forte
5.1Indução matemática
É uma sequência de números naturais {F1, F2, F3, ...} ,
denotada por {Fn} definida da seguinte forma:
Sequência de Fibonacci: 
F1 = 1
F2 = 1
Fn = Fn - 1 + Fn - 2 para n ≥ 3
5.2Indução matemática
F1
...
1 1 ...
Ou seja, os termos Fn n ≥ 3 são calculados 
recursivamente:
F2
Voltar
2 3
F4 F5 F6
8
F7 F8
13 215
F3
{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... }
5.3Indução matemática: Sequência de Fibonacci
Observe a seguinte propriedade:
Somando os termos da sequência de Fibonacci 
elevada ao quadrado:
F21 = 1
2 = 1 Voltar
F21 + F
2
2 = 1
2 + 12 = 1 + 1 = 2 = 1 . 2 = F2 . F3
F21 + F
2
2 + F
2
3 = 1
2 + 12 + 22 = 6 = 2 . 3 = F3 . F4
F21 + F
2
2 + F
2
3 + F
2
4 = 1
2 + 12 + 22 + 32= 15 = 3 . 5 = F4 . F5
F21 + F
2
2 + F
2
3 + F
2
4 + F
2
5 = 1
2+12+22+32+52= 40 = 5 . 8 = F5 . F6
5.4Indução matemática: Sequência de Fibonacci
Conjectura: F21 + F
2
2 + F
2
3 + ... + F
2
n = Fn . Fn + 1 
Exemplo 1:
(1) Base da indução: 
P(1) : F21 = 1 = F1 . F2 = 1 . 1 = 1 verdadeira
(2) Hipótese de indução (HI): 
 P(k) : F21 + F
2
2 + ... + F
2
k = Fk . Fk - 1 verdadeira
Prova: 
Seja P(n) : F21 + F
2
2 + ... + F
2
n = Fn . Fn + 1
5.5Indução matemática: Sequência de Fibonacci
Mostre que F21 + F
2
2 + ... + F
2
n = Fn . Fn + 1 n ∈ N8
(3) Passo indutivo: 
P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira 
5.6Indução matemática: Sequência de Fibonacci
F21 + F
2
2 + ... + F
2
k + F
2
k + 1 = Fk + 1 • Fk + 2
Fk . Fk + 1 + F
2
k + 1 
=
(HI)
= Fk + 1 (Fk + Fk + 1) = Fk +1 . Fk + 2 =
Fk + 2 
 Desenvolvendo:
F21 + F
2
2 + ... + F
2
k + F
2
k + 1 =
Logo P(k + 1) verdadeira
 Então pelo PIM 
 P(n) : F21 + F
2
2 + ... + F
2
n = Fn . Fn + 1 verdadeira n ∈ 8 N
Indução forte (IF): 
 IF
Observação: O PIM e a IF são equivalentes. 
Voltar
Se:
(i) P(1) verdadeira e
(ii) P(1), P(2), ... ,P(k) verdadeira => P(k+1) verdadeira 
Então P(n) verdadeira n ∈ 
N8
5.7Indução matemática
8
N
Seja P(n) uma afirmação, para cada n ∈ . 
N
Para aplicarmos a indução forte precisamos 
executar os três passos a seguir:
(1) Base da indução: 
 Mostrar que P(n) verdadeira para n = 1
(2) Hipótese de indução forte:
 Assumir que P(1), P(2), ... , P(k) são verdadeiras
(3) Passo indutivo:
 Mostrar que P(k + 1) verdadeira, assumindo (2)
5.8Indução matemática: Indução forte
Exemplo 2:
5.9Indução matemática: Indução forte
4(
(
Considerando a sequência de Fibonacci {Fn} ,
mostre que Fn < 7__
 n n ∈
N
8
Prova: 
 Seja P(n) : Fn < 7__
 n 
4( )
(1) Base da indução: 
 P1 : F1 = 1 < 7__
 1 verdadeira
4( )
5.10Indução matemática: Indução forte
4( )
 P1, P2, ... , Pk verdadeiras => P(k + 1) verdadeira
(3) Passo indutivo: 
Fk + 1 < 7__
 k + 1
4( )
(2) Hipótese da indução forte (HIF): 
 Assuma que P1, P2, ... , Pk são verdadeiras
 
 
 
Fi < 7__
 i i , 1 ≤ i ≤ k
8
Desenvolvendo:
Fk + 1= Fk + Fk - 1 
5.11Indução matemática: Indução forte
4( )Fk < 7__
 k
Fk - 1 < 7__
 k-1
4( )
{= {=
HF HF
Observe que 
 
 11__
 < 3 < 
4
 
 7__
 2 
4( )
 
 49__
 = 
16
Fk + 1 < < • = 
 
 7__
 k - 1 
4( )
 
 7__
 k - 1 
4( )
 
 7__
 2 
4( )
 
 7__
 k + 1 
4( )
 
 11__
 
4
Logo P(k + 1) verdadeira
 Então pelo IF Fn < n ∈ 8 N
 
 7__
 n 
4( )
 
 7__
 k 
 
 11__
 
 
 7__
 
 +1 
 
 7__
 k - 1 
 
 7__
 k - 1 
 
 7__
 k - 1 ( 4 )4( )4( ) 4( ) 4( ) 4( )< + = = 
Se:
(i) P(n0) verdadeira 
(ii) P(n0), P(n0+1), ...,P(k) verdadeira => P(k+1) verdadeira 
 (k = n0 + k
,
) 
 
8
Então P(n) é verdadeira n ≥ n0 n ∈ N
Indução forte generalizada: 
VoltarIFG
5.12Indução matemática
Seja P(n) uma afirmação, para cada n ∈ . 
N
N8
8
N
8
N N
(1) Base da indução: 
 Mostrar que P(n) verdadeirapara n = n0
(3) Passo indutivo:
 Mostrar que P(k + 1) verdadeira, assumindo a 
 hipótese de indução (2)
Para aplicarmos a IF generalizada precisamos 
executar os três passos a seguir:
5.13Indução matemática: Indução forte generalizada
(2) Hipótese de indução:
 Assumir que P(n0), P(n0 + 1), ... , P(k) são 
8
verdadeiras ( k ≥ n0 ) 
Exemplo 3:
Mostre que todo inteiro maior do que 1 é primo ou 
produto de primos.
(Obs: primo é um inteiro maior do que 1, que só é divisível por 1 e por
ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 são primos )
(1) Base da indução: 
P(2) : 2 é primo verdadeira
5.14Indução matemática: Indução forte generalizada
Prova: 
Seja P(n) : n é primo ou produto de primos.
 
(2) Hipótese de indução forte: 
 
P(i) é verdadeira para 2 ≤ i ≤ k
Assuma que:
 i é primo ou produto de primos, 2 ≤ i ≤ k 
k + 1 é primo ou produto de primos
=
(3) Passo indutivo: 
 P(i) verdadeira 2 ≤ i ≤ k => P(k + 1) verdadeira 
5.15Indução matemática: Indução forte generalizada
 
Desenvolvendo:
Temos duas possibilidades mutuamente exclusivas
(i) k + 1 é primo
(ii) k + 1 não é primo
Se (i) acontece então P(k + 1) é verdadeira
Caso contrário (ii) acontece, então k + 1 não é primo
5.16Indução matemática: Indução forte generalizada
k + 1 não é primo
Então k + 1 pode ser escrito como:
k + 1 = a . b onde 1 < a < k + 1
1 < b < k + 1
5.17Indução matemática: Indução forte generalizada
Usando agora a hipótese de indução forte temos que:
P(a) e P(b) são verdadeiras 1 < a ≤ k
1 < b ≤ k
ou seja, a é primo ou produto de primos e
b é primo ou produto de primos 
5.18Indução matemática: Indução forte generalizada
Então pelo princípio da indução forte generalizada 
 P(n) : n é primo ou produto de primos n ∈ n > 1
8 N
Logo k + 1 = a . b é produto de primos
Logo P(k + 1) é verdadeira
Resumo: 
Conceitos:
- Base de indução: P(n) verdadeira n = n0
- Hipótese de indução: 
 P(n0), (n0+1), ..., P(k) verdadeira => P(k + 1) verdadeira 
 Sequência de Fibonacci
 Indução forte generalizada
 Em particular
 n0 = 1 : Indução forte
5.19Indução matemática
 Estrutura 
Exercícios: 
(1) Seja {an} a sequência definida por: 
a1 = 1 , a2 = 5
an+1 = an + 2an -1 n ≥ 3
Mostre que usando a indução forte an = 2
n + (-1)n 
(2) Seja {Fn} a sequência de Fibonacci. 
Mostre usando a indução forte que
5.20Indução matemática
8 n ≥ 2
8
N
n ∈Fn = 1 1 + √5 n 1 1 − √5 n −__
√5
______ 
 2 
______ 
 2 
__
√5( )( )
6.1Módulo: Princípios Aditivo e Multiplicativo
Aula 6: Princípios Aditivo e Multiplicativo
Princípios básicos de contagem:
Conteúdo:
Princípio Aditivo
Princípio Multiplicativo
Desenvolver as idéias e técnicas básicas para 
problemas de contagem.
Reduzir um problema grande a vários problemas 
pequenos, usando os Princípios Aditivo e 
Multiplicativo.
Objetivos: 
6.2Princípios Aditivo e Multiplicativo
Os problemas de contagem aparecem naturalmente
no nosso dia a dia.
Muitas vezes estamos apenas interessados em 
contar os elementos de um determinado conjunto,
sem enumerá-los.
Importância: 
No desenvolvimento de técnicas de contagem que
veremos mais adiante, tais como: permutações,
combinações, etc, estaremos usando basicamente
os Princípios Aditivo e Multiplicativo.
6.3Princípios Aditivo e Multiplicativo
Exemplo 1: 
Dados quatro livros distintos de Matemática 
(M1, M2, M3, M4) e três livros distintos de Português
(P1, P2, P3), de quantas maneiras podemos selecionar 
(escolher):
a) Um livro (ou de Matemática ou de Português).
b) Dois livros, sendo um de Matemática e outro 
de Português.
Problemas de contagem: 
6.4Princípios Aditivo e Multiplicativo
Exemplo 1 (continuação): 
a) Um livro (ou de Matemática ou de Português) 
O livro de Matemática pode ser escolhido de 4 maneiras:
O livro de Português pode ser escolhido de 3 maneiras:
Número de maneiras: 4 + 3 = 7
livro M1 ou 
livro M2 ou 
livro M3 ou
livro M4 
livro P1 ou
livro P2 ou
livro P3 
6.5Princípios Aditivo e Multiplicativo
A = { , , , } B = { , , }M1 M2 M3 M4 P1 P2 P3 
(M1, P1) (M1, P2) (M1, P3)
(M2, P1) (M2, P2) (M2, P3)
(M4, P2)
(M3, P1) (M3, P2) (M3, P3)
(M4, P1)
Número de maneiras: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12
{C =
}(M4, P3)
PA
Voltar
6.6Princípios Aditivo e Multiplicativo
b) Dois livros, sendo um de Matemática e outro de Português. 
Exemplo 1 (continuação): 
Temos dois conjuntos:
Resumindo
a) De quantas maneiras podemos escolher um livro 
qualquer (ou de Matemática ou de Português)?
Resposta: 
Temos 4 maneiras de escolher um livro de 
Matemática e 3 maneiras de escolher um livro de 
Português.
Logo temos 4 + 3 = 7 maneiras de escolher um livro 
qualquer dentre os de Matemática e Português.
6.7Princípios Aditivo e Multiplicativo
b) De quantas maneiras podemos escolher dois livros 
sendo um de Matemática e outro de Português? 
Resposta: 
Para cada livro de Matemática, temos 3 maneiras de
escolher os livros de Português.
Como temos 4 maneiras de escolher os livros de 
Matemática, teremos 3 × 4 = 12 maneiras de escolher
um livro de Matemática e outro de Português.
6.8Princípios Aditivo e Multiplicativo
Número de maneiras de escolher um item : 7 + 5 = 12
L = {L1, L2, ..., L7} B = {B1, B2, ..., B5} 
ou L1, ou L2, ou ... ou L7 → 7 maneiras 
ou B1, ou B2, ou ... ou B5 → 5 maneiras 
6.9Princípios Aditivo e Multiplicativo
Maria vai a uma papelaria para comprar lapiseira e
borracha. Nessa papelaria há 7 tipos diferentes de 
lapiseiras e 5 tipos diferentes de borrachas.
Exemplo 2: 
a) Se o dinheiro de Maria só dá para comprar um 
item, ou uma lapiseira ou uma borracha, de quantas
maneiras diferentes ela pode fazer isso?
. . .
L1
B1 B2 B3 B4 B5
L2
B1 B2 B3 B4 B5
L7
B1 B2 B3 B4 B5
Observe que temos os pares: 
(L1, B1) (L1, B2) ... (L1, B5) , ... , (L7, B1) (L7, B2) ... (L7, B5)
Número de maneiras de escolher 2 itens, sendo um item 
uma lapiseira e o outro uma borracha: 5 +...+ 5 = 5 × 7 = 35
6.10Princípios Aditivo e Multiplicativo
Exemplo 2 (continuação): 
b) Suponha agora que Maria tem dinheiro para comprar 
2 itens, sendo que ela quer uma lapiseira e uma borracha.
De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso?
6.11
Resumindo
Princípios Aditivo e Multiplicativo
a) De quantas maneiras diferentes Maria pode comprar
um item (ou uma lapiseira ou uma borracha)?
Resposta: 
Ela tem 7 possibilidades de escolha de lapiseira e 
4 possibilidades de escolha de borracha. 
Logo Maria tem 7 + 5 possibilidades diferentes de
comprar ou uma lapiseira ou uma borracha.
6.12Princípios Aditivo e Multiplicativo
b) De quantas maneiras diferentes Maria pode comprar
2 itens: uma lapiseira e uma borracha?
Resposta: 
Para cada escolha de lapiseira, ela tem 5 escolhas 
de borracha. 
Como ela tem 7 escolhas de lapiseiras diferentes, 
ela terá 7 × 5 maneiras diferentes de comprar 
uma lapiseira e uma borracha.
então |A ∪ B| = |A| + |B| 
Princípio Aditivo (para dois conjuntos)
Se A e B são dois conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅),
Outra notação usual
n(A) = |A|
Introdução ao Princípio Aditivo (PA): 
PA
Voltar
6.13Princípios Aditivo e Multiplicativo
Renan Hozumi
6.14Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PA
Outra interpretação da formulação:
Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos.
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras e 
outro evento B pode ocorrer de n maneiras, então 
existem m + n maneiras em que algum desses 
dois eventos podem ocorrer.
Renan Hozumi
A ∩ B = ∅ |A| = n(A) = 4 |B| = n(B) = 3
Podemos identificar os conjuntos:
A = { M1, M2, M3, M4 } B = { P1, P2, P3 }
|A ∪ B| = |A| + |B| = 7 maneiras de escolher um 
livro qualquer, ou de Matemática ou de Português.
Pelo P. A. temos 
6.15Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PA
Voltandoao exemplo 1: 
Dados quatro livros distintos de Matemática 
e três livros distintos de Português:
a) De quantas maneiras podemos escolher um 
livro qualquer?
6.16Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PA
Pelo P. A. Maria tem 
 L ∪ B=L + B = 7 + 5 = 12 maneiras de 
 escolher ou uma lapiseira ou uma borracha.
L = {L1, L2, ..., L7}
Identificando os conjuntos:
B = {B1, B2, ..., B5}
L ∩ B = ∅ L= 7 B= 5
Voltando ao exemplo 2: 
Na papelaria há 7 tipos diferentes de lapiseira 
e 5 tipos diferentes de borracha:
a) De quantas maneiras Maria pode comprar um item? 
Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM): 
Princípio Multiplicativo (para dois conjuntos)
Se A é um conjunto com m elementos e B é um 
conjunto com n elementos então o conjunto A × B 
|A × B| = |A| . |B| = m × n 
A × B = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B }
tem m × n elementos 
6.17Princípios Aditivo e Multiplicativo
Renan Hozumi
Outra interpretação da formulação:
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras 
e um evento B pode ocorrer de n maneiras 
então o par de eventos, primeiro um e depois 
o outro, podem ocorrer de m × n maneiras.
6.18Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Pelo P. M. temos então 
A × B=A×B= 4 × 3 =12 maneiras de escolher dois
 livros sendo um de Matemática e outro de Português.
O exemplo 2 b) vocês interpretam.
6.19Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
Voltando ao exemplo 1: 
Dados quatro livros distintos de Matemática 
e três livros distintos de Português:
b) De quantas maneiras podemos escolher 2 livros 
sendo um de Matemática e outro de Português?
A = { M1, M2, M3, M4 } B = { P1, P2, P3 }|A| = 4 |B| = 3 
Resposta Voltar
A = B = { P1, P2, ... , P8 } |A| = 8
|A × B| = |A| × |A| = 8 × 8 = 64
6.20Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
8 × 8
(P1, P1) , (P1, P2) ... (P1, P7) , (P1, P8)
(P2, P1) , (P2, P2) ... (P2, P7) , (P2, P8)
(P8, P1) , (P8, P2) ... (P8, P7) , (P8, P8)
......
......
......
......
Resposta:
Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
Exemplo 3: 
a) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar e sair?
Um prédio tem oito portas:
Exemplo 3 (continuação): 
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por
 outra diferente?
 
Observe: Se usarmos a porta P1 para entrar, ela não 
pode ser usada para sair.
Resposta:
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair
por outra diferente de 56 maneiras.
8 × 7
(P1, P2) , (P1, P3) ... (P1, P7) , (P1, P8)
(P2, P1) , (P2, P3) ... (P2, P7) , (P2, P8)
(P8, P1) , (P8, P2) ... (P8, P6) , (P8, P7)
......
......
......
......
Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM 6.21
Formalização:
A = { P1, P2, ... , P8 } , |A| = 8 
C = A × A − D
Exemplo 3 (continuação): 
D = { (P1, P1) , ... , (P8, P8) } , |D| = 8
|C| = |A| . |A| − |D|
= 8 × 8 − 8 = 8 (8 − 1) = 8 . 7
(Princípio Multiplicativo)
|C| = |A × A| − |D| (Princípio Aditivo)
6.22Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
Interpretação:
Exemplo 3 (continuação): 
a) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar e sair?
maneiras de entrar - 8
maneiras de sair - 8 
=> 8 × 8 = 64
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por
uma porta e sair por outra diferente?
maneiras de entrar - 8
maneiras de sair - 7 
=> 8 × 7 = 56
6.23Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
Numa sala estão reunidos cinco homens, seis mulheres
e quatro crianças.
De quantas maneiras podemos selecionar:
a) uma pessoa?
b) um homem, uma mulher e uma criança?
Exemplo 4: 
6.24Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
a) De quantas maneiras podemos selecionar uma pessoa?
H = { h1, h2, h3, h4, h5 }
M = { m1, m2, m3, m4, m5, m6 }
C = { c1, c2, c3, c4 }
H ∪ M ∪ C = { h1, h2, ... , h5, m1, m2, ... , m6, c1, ... , c4 }
Exemplo 4 (continuação): 
|H| = 5 |M| = 6 |C| = 4
|H ∪ M ∪ C| = |H| ∪ |M| ∪ |C| = 5 + 6 + 4 = 15 
H ∩ M = ∅ H ∩ C = ∅ M ∩ C = ∅
6.25Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
b) De quantas maneiras podemos selecionar um homem, uma mulher 
 e uma criança?
H × M × C = { (h, m, c) | h ∈ H, m ∈ M, c ∈ C }
Exemplo 4 (continuação): 
6.26Princípios Aditivo e Multiplicativo: Introdução ao PM
H × M × C = { (h1, m1, c1), (h1, m2, c1), (h1, m3, c1), 
 (h1, m4, c1), (h1, m5, c1), (h1, m6, c1), 
 (h1, mb1, c2), (h1, m1, c3), (h1, m1, c4), ... }
|H × M × C| = |H| × |M| × |C| = 5 × 6 × 4 = 120 
Observação:
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| = ∑ n
i = 1
mi 
Se A1, A2, ... , An são conjuntos disjuntos dois a dois
Extensão do Princípio Aditivo: 
( Ai ∩ Aj = ∅ i ≠ j )
e |A1| = m1 , |A2| = m2 , ... , |An| = mn 
então o conjunto ∪
n
i = 1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
possui m1 + m2 + ... + mn elementos 
6.27Princípios Aditivo e Multiplicativo
Renan Hozumi
Sejam A1, A2, ... , An eventos mutuamente exclusivos.
Se cada evento Ai pode ocorrer de mi maneiras 
então existem m1 + m2 + ... + mn maneiras em que 
algum desses n eventos podem ocorrer. 
Outra interpretação da formulação:
6.28Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PA
Renan Hozumi
Extensão do Princípio Multiplicativo: 
Sejam A1, A2, ... , An conjuntos tais que
|A1| = m1 , |A2| = m2 , ... , |An| = mn
|A1 × A2 × ... × An| = |A1| × |A2| × ... × |An| = ∏n
i = 1
mi 
então o conjunto ∏
n
i = 1
Ai = A1 × A2 × ... × An
possui m1 × m2 × ... × mn 
6.29Princípios Aditivo e Multiplicativo
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Se temos n eventos A1, A2, ... , An , onde cada 
evento Ai pode ocorrer de mi maneiras então 
existem m1 × m2 × ... × mn maneiras em que esses 
n eventos podem ocorrer sucessivamente. 
Outra interpretação da formulação:
6.30Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Exemplo 5: 
Uma bandeira é formada por três listras que devem
ser coloridas usando-se apenas as cores: amarelo, 
branco, azul, de tal maneira que listras adjacentes 
não recebam a mesma cor.
De quantos modos podemos colorir esta bandeira?
Logo pelo PM temos 3 × 2 × 2 modos de colorir
esta bandeira. 
L1 pode ser colorida de 3 modos
L2 pode ser colorida de 2 modos
(a cor usada em L1 não pode ser usada em L2)
L3 pode ser colorida de 2 modos
(a cor usada em L2 não pode ser usada em L3)
L1
L2
L3
6.31Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Exemplo 6: 
Um teste de matemática consta de 20 perguntas para
serem classificadas como Verdadeira ou Falsa. 
Quantos são os possíveis gabaritos para este teste?
Logo pelo PM temos 
2 × 2 × ... × 2 = 2
20
 gabaritos
Resposta:
 Cada pergunta tem duas possibilidades de resposta: 
 Verdadeiro ou Falso
...
...
P1 − 2 possibilidades
P2 − 2 possibilidades
P20 − 2 possibilidades
6.32Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Exemplo 7: 
Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos
números naturais de três algarismos distintos podem
ser formados?
P1 - posição das centenas
P2 - posição das dezenas
P3 - posição das unidades
Para formar números naturais de três algarismos, 
podemos considerar que temos três posições a serem
preenchidas:
P1 P2 P3___ ___ ___
6.33Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Exemplo de um número formado
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de 
três algarismos distintos formados com os algarismos
1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Exemplo 7 (continuação): 
3 6 5___ ___ ___
6
possibilidades
1
o
P1
5
possibilidades
2
o
P2
4
possibilidades
3
o
P3___ ___ ___
6.34Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Exemplo 8: 
Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existem?
Observação: Estamos considerando agora os 
algarismos 0, 1, 2, ... , 9.
Logo pelo PM temos 9 ×9 × 8 números naturais de 
três algarismos distintos.
P1 P2 P3
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferente do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente dos dois anteriores)
___ ___ ___
6.35Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
E se neste exemplo em vez de começarmos 
analisando a posição P1, começassemos pela P3 ?
P1 P2 P3
1
o
2
o
3
o
___ ___ ___
Exemplo 8 (continuação): 
Na posição P3 temos 10 possibilidades
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferente do anterior)
Na posição P1 temos 8 (se o algarismo zero já tiver sido usado) 
 ou
 7 (caso contrário)
6.36Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Quebramos o problema em dois:
1
o
) Ignoramos o fato do zero não estar na posição P1 e
contamos todas as possibilidades (com ele incluído)
Logo pelo PM temos 10 × 9 × 8 = 720 números de três
algarismos distintos onde o zero pode estar na posição P1 
Exemplo 8 (continuação): 
P1 P2 P3
Na posição P3 temos 10 possibilidades
Na posição P2 temos 9 possibilidades 
Na posição P1 temos 8 possibilidades 
___ ___ ___
6.37Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
2
o
) Contamos os números de três algarismos distintos
que têm apenas o zero na posição P1
Temos então 720 - 72 = 648 números naturais de três
algarismos distintos.
Logo pelo PM temos 1 × 9 × 8 = 72 números de três
algarismos distintos que tem apenas o zero na posição P1 
Na posição P1 temos 1 possibilidade
Na posição P2 temos 9 possibilidades 
Na posição P3 temos 8 possibilidades
P1 P2 P3___ ___ ___
6.38Princípios Aditivo e Multiplicativo: Extensão ao PM
Resumo:
Sejam A1, A2, ... , An conjuntos
6.39Princípios Aditivo e Multiplicativo
Princípio Aditivo
Se Ai ∩ Aj = ∅ , i ≠ j e
A = ∪
n
i = 1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An então
|A| = |A1| + |A2| + ... + |An|
Princípio Multiplicativo
Se B = ∏
n
i = 1
Ai = A1 × A2 × ... × An então
|B| = |A1| × |A2| × ... × |An|
Módulo: Aplicações dos princípios 
aditivo e multiplicativo
Permutações simples
Permutações circulares
Arranjos simples
Combinações simples
Permutações com repetições
Arranjos com repetições
Combinações com repetições
7.1
Aplicações dos princípios aditivo e multiplicativo
Objetivo:
Obtenção de uma técnica de contagem para 
cada problema (de permutação, de arranjo, de 
combinação) a partir dos princípios aditivo e
multiplicativo (isto é, sem a enumeração 
explícita dos seus elementos).
7.2
As permutações, os arranjos e as combinações 
aparecem na modelagem de problemas 
provenientes, principalmente, das seguintes áreas:
Importância:
probabilidades
teoria de grafos
análise de algoritmos
7.3Aplicações dos princípios aditivo e multiplicativo
Exemplos: 
• Algoritmos randômicos (probabilísticos)
• Armazenamento de informações em banco 
 de dados nos computadores
• Análise do comportamento de um algoritmo
 através da contagem das suas operações.
Introdução
Conteúdo:
Fatorial de um número
Permutação simples
Número de permutações simples
Permutação circular
Número de permutações circulares
 Aula 7: Permutações simples e circulares
7.4Aplicações dos princípios aditivo e multiplicativo
Introdução:
Exemplo 1: 
(a) Comprei três canetas de distintas cores, azul, verde
 e branca, para dar de presente a três amigos, João, 
 Rita e Luiza.
(b) Comprei mais uma caneta, de cor preta, pois tinha
 esquecido do Gabriel.
Em cada caso, de quantas maneiras diferentes eu posso
distribuí-las?
7.5Permutações simples e circulares
Resolução: 
7.6Permutações simples e circulares: Introdução
João Rita Luiza(a)
azul
verde
branca
______
___
___
verde
branca
______
___
___
azul
branca
______
___
___
azul
verde
______
______
branca
verde
______
______
branca
azul
______
______
verde
azul
Número de
possibilidades: 3 × 2 × 1
(b) João Rita Luiza Gabriel
azul
branca
preta
7.7Permutações simples e circulares: Introdução
verde
4 × 3 × 2 × 1Possibilidades: 
branca
preta
branca
verde
preta
verde
branca
verde
branca
preta
azul
verde
branca
preta
branca
verde
preta
verde
verde
preta
verde
branca
preta
azul
preta
branca
verde
branca
verde
preta
branca
verde
azul
preta
preta
verde
verde
branca
verde
azul
preta
branca
verde
preta
verde
branca
preta
branca
azul
preta
verde
______
___
___
azul
verde
branca
______
___
___
azul
preta
branca
______
___
___
verde
preta
branca
______
___
___
Resumindo
Problema:
De quantas maneiras diferentes eu posso distribuir
as canetas:
(a) azul, verde e branca
(b) azul, verde, branca e preta
7.8Permutações simples e circulares: Introdução
Resposta:
Eu posso reparti-las
(a) de 6 maneiras diferentes
(b) de 24 maneiras diferentes
24 = 4 × 3 × 2 × 1
Observação: 6 = 3 × 2 × 1
n! := n(n − 1)(n − 2) ... 1 
Fatorial de um número:
Definição 
O fatorial de um número natural n, denotado por n! ,
é o produto dos n primeiros números naturais:
0! := 1
Convenção: 
7.9Permutações simples e circulares
3! = 3 × 2 × 1
4! = 4 × 3 × 2 × 1
Ilustração 
Exemplo 2: 
Quantos números distintos de 5 algarismos podem se
formar com os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9 ?
7.10Permutações simples e circulares: Fatorial de um número
Podem se formar 5! = 120 números diferentes 
de 5 algarismos
Resposta:
= 5!15 4 3 2
Resolução: 
Possibilidades:
p5p1 p2 p3 p4
________ ____ ____ ____
posições dos dígitos no número
3
5
7
8
9
3
7
8
9
5
3
8
9
7 3
8
9
83
Características dos exemplos:
Os elementos considerados são diferentes
Cada troca de posição (de ordem) dos elementos 
corresponde a uma possibilidade
Na obtenção do número de possibilidades aplica-se
os princípios aditivo e multiplicativo
7.11Permutações simples e circulares: Fatorial de um número
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Permutação simples:
Definição
Dados n objetos distintos, a1, a2, ... , an, uma 
permutação simples é uma ordenação desses 
elementos. 
Ilustração
Dados os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9,
87539 é uma permutação simples de 3, 5, 7, 8, 9.
7.12Permutações simples e circulares
Prove esta propriedade usando indução
Número de permutações simples:
Problema
7.13Permutações simples e circulares
Dados n elementos distintos, a1, a2, ... , an, 
encontrar o número de permutações simples 
O número de permutações simples de n elementos 
distintos, denominado Pn, é dado por:
Pn = n! = n(n−1) ... 1
Propriedade
Prova:
Seja P(n): Pn = n! 
(2) Hipótese de indução: 
Assume P(k): Pk = k! é verdadeira
(1) Base de indução: 
P(1): P1 = 1! = 1 verdadeira
VoltarProva
7.14Permutações simples: Número de permutações simples
7.15
VoltarProva
Permutações simples: Número de permutações simples
(3) Passo indutivo: 
Mostrar que Pk+1 = (k + 1)! é verdadeira
Provemos que Pk+1 = (k + 1)! é verdadeira:
Sejam a1, a2, ... , ak, ak+1 elementos distintos.
Na última posição pk+1 tem-se (k + 1) possibilidades
___ ___ .... ___ ___
a1
.
.
.
ak+1
 pk+1 pk p1 p2
então, para (k+1) possibilidades em pk+1 tem-se (k+1) Pk permutações das 
 posições pk+1 
Fixado um elemento na posição pk+1 restam k elementos para ordenar em k 
posições (permutação de elementos):
para 1 possibilidade em pk+1 tem-se Pk permutações das posições p1, ... , pk 
Logo, Pk+1 = (k + 1) Pk = (k + 1) k! = (k + 1)! é verdadeira
HI
Portanto, P(n): Pn = n! é verdadeira para todo n ∈ N
Exemplo 3: 
Vários amigos combinaram passar o dia no clube. 
Planejaram ir para a piscina, fazer um churrasco e 
jogar volei. De quantas maneiras diferentes podem 
programar essas atividades?
7.16Permutaçõessimples: Número de permutações simples
número de programas possíveis: P3 = 3! = 6
Resolução:
elementos: p (piscina) c (churrasco) v (volei)
Resposta:
Eles podem programar as atividades planejadas
de 6 maneiras diferentes.
PS Voltar
Lembremos que algarismo é cada um dos símbolos 
usados na representação de um número no sistema 
decimal de numeração. 
7.17Permutações simples: Número de permutações simples
Conclusão: 
 Os números de 5 algarismos não iniciam com 0.
57809 → 5 . 10
4
 + 7 . 10
3
 + 8 . 10
2
 + 0 . 10
1
 + 9 . 10
0
05789 é uma ordenação de 5 dígitos que não corresponde à 
 representação no sistema decimal
5789 corresponde à representação no sistema decimal
Ilustração:
Exemplo 4: 
Quantos números distintos de 5 algarismos podem 
se formar com os dígitos 0, 5, 7, 8 e 9 ? 
Exemplo 4 (resolução): 
dígitos do problema: 0, 5, 7, 8, 9 
Raciocínio 1: 
________ ____ ____ ____
0
posições dos dígitos
 no número
7.18Permutações simples: Número de permutações simples
Resposta: Podem se formar 96 números diferentes de 
5 algarismos com 0, 5, 7, 8 e 9.
- Na primeira posição temos 4 possibilidades (excluimos o 0) 
- Nas posições restantes temos 4 posições para 4 dígitos incluindo o 0,
 ou seja, P4 possibilidades
Possibilidades 
4 × P4
= 4 . 4! = 96
Exemplo 4 (raciocínio 2): 
Usamos o conceito de complemento.
U: conjunto universo := conjunto das ordenações de 5 dígitos formados
 com 0, 5, 7, 8 e 9 sem repetição (05798 ∈ U)
 5! − 4! = 5.4! − 4! = (5 − 1) 4! = 4.4!Observação:
A = U − B
número de possibilidades = |A| = |U| − |B| 
|U| = P5 , |B| = P4
número de possibilidades = P5 − P4 = 5! − 4! = 96
7.19Permutações simples: Número de permutações simples
A := conjunto dos números de 5 algarismos formados com 0, 5, 7, 8 e 9 
 = conjunto dos elementos de U que não iniciam com 0
B := conjunto dos elementos de U que iniciam com 0
Exemplo 5: 
Nove amigos assistem a um show, com lugares 
marcados consecutivos. As mulheres (quatro) se 
sentam todas juntas e os homens também. De 
quantas maneiras diferentes podem se sentar?
2P4P5 = 2 . 4! . 5! = 5760Número de possibilidades:
7.20Permutações simples: Número de permutações simples
Resolução: mulheres M1, M2, M3, M4
homens H1, H2, H3, H4, H5
Algumas possibilidades: M1,M2,M3,M4, H1, H2, H3, H4, H5 
H1, H2, H3, H4, H5, M1, M2, M3, M4
Resposta: Podem se sentar de 5760 maneiras diferentes.
Exemplo 6: 
De quantos modos 4 rapazes e 4 moças podem se sentar 
em 4 bancos de 2 lugares cada um, de modo que em
cada banco fiquem 1 rapaz e 1 moça?
Voltar
(bancos)
. .
1
. .
3
. .
2
. .
4
3
a
 moça pode escolher seu lugar de 4 modos
4
a
 moça pode escolher seu lugar de 2 modos
2
a
 moça pode escolher seu lugar de 6 modos
1
a
 moça pode escolher seu lugar de 8 modos
7.21Permutações simples: Número de permutações simples
 8 . 6 . 4 . 2Número de possibilidades para as moças:
Resolução:
Exemplo 6 (continuação):
Considere uma colocação das moças.
. . . . . . . .
Resposta: Podem se sentar de 9216 maneiras diferentes
Para cada colocação das moças, os moços sentam de P4 
maneiras diferentes nos 4 lugares restantes. 
Observação: A resposta não muda se analisarmos 
 primeiro os rapazes (8 . 6 . 4 . 2 modos)
 e depois as moças (4!)
7.22Permutações simples: Número de permutações simples
Número total de possibilidades: 8 . 6 . 4 . 2 . 4! = 9216 
Exemplo 7: 
Quantos anagramas podem ser formados com a 
palavra VIRUS?
7.23Permutações simples: Número de permutações simples
Resolução:
• VIRUS tem letras distintas
• 1 anagrama de VIRUS: 1 transposição das letras de
 VIRUS (permutação das letras de VIRUS)
• n: número de letras da palavra VIRUS = 5
Resposta: 
A partir da palavra VIRUS podem ser formados
P5 = 5! = 120 anagramas. 
Exemplo 8: 
Quantos anagramas da palavra VIRUS começam e 
terminam em consoante?
7.24Permutações simples: Número de permutações simples
Resposta: da palavra VIRUS podem ser formados 
3 . 2 . 3! = 36 anagramas que começam e 
terminam em consoante.
consoantes de VIRUS: V, R, S
Resolução:
________ ____ ____ ____
posição das letras em um anagrama
p1 p2 p3 p4 p5
Ordem da análise das possibilidades:
1
a
) possibilidades para a posição p1 
2
a
) possibilidades para a posição p5 
3
a
) possibilidades para as posições p2 , p3 , p4 
Possibilidades: 3 × P3 × 2 
= 3 
= 2
= P3 = 3!
Exemplo 9: 
Ana, Luis e Fernando sentam-se juntos na aula de 
monitoria do curso de informática. De quantas 
maneiras diferentes podem se sentar, se:
as cadeiras formam um triângulo e o que interessa
é a posição de cada pessoa em relação as outras duas
(3)
(1) as cadeiras estão numa mesma fila 1 2 3
(2) as cadeiras formam um triângulo e estão 
numeradas 1
2 3
7.25Permutações simples: Número de permutações simples
mesma possibilidade
A
L F
F
A L
L
F A
Ilustração:
Exemplo 9 (primeira parte): 
Ana, Luis e Fernando sentam-se juntos na aula de 
monitoria do curso de informática. De quantas 
maneiras diferentes podem-se sentar, se:
Resolução:
Número de possibilidades: P3 = 3! = 6
Resposta: Eles podem se sentar numa fila de 
6 maneiras distintas
7.26Permutações simples: Número de permutações simples
(1) as cadeiras estão numa mesma fila 1 2 3
Exemplo 9 (segunda parte): 
Ana, Luis e Fernando sentam-se juntos na aula de 
monitoria do curso de informática. De quantas 
maneiras diferentes podem se sentar, se:
(2) as cadeiras formam um triângulo e estão 
numerados 1
2 3
importa a cadeira em que estão sentados:Resolução:
possibilidades diferentes
A
L F
F
A L
L
F A
- Ilustração:
7.27Permutações simples: Número de permutações simples
Resposta: Eles podem se sentar nos lugares 
numerados de 6 maneiras distintas
Exemplo 9 (terceira parte): 
Ana, Luis e Fernando sentam-se juntos na aula de monitoria do curso de
informática. De quantas maneiras diferentes podem se sentar, se:
as cadeiras formam um triângulo e o que interessa é a posição de 
cada pessoa em relação as outras duas
(3)
uma possibilidade 
A
F L
L
A F
F
L A
correspondem
7.28Permutações simples: Número de permutações simples
Resposta: 
A quantidade de posições diferentes é ___
 3
_____
 3
=
3! 3 . 2! 2=
Resolução: 
P3 permutações de A, L e F 
P3 possibilidades___
 3
1 possibilidade3 permutações de A, L e F
Permutação circular:
Definição
Dados n objetos distintos, a1, a2, ... , an, uma 
permutação circular é uma ordenação onde o que 
importa é a posição relativa dos objetos. 
Ilustração
correspondem à mesma permutação circular
2
•
• •
•1 4
3
•4
•1
•3
2•
•3
•4
2•
•1 • •
••2
3
1
4
7.29Permutações simples e circulares
Ilustração
PC Voltar
•4
•1
•3
2•
•3
•4
2•
•1 • •
••2
3
1
4
permutações circulares iguais
2
•
• •
•1 4
3
 original
Observação
Duas permutações circulares são iguais quando
uma pode ser obtida da outra por uma rotação. 
7.30Permutações simples e circulares: Permutação circular
Número de permutações circulares:
7.31Permutações simples e circulares
Problema
Dados n elementos distintos, a1, a2, ... , an, 
encontrar o número de permutações circulares 
Propriedade
O número de permutações circulares de n objetos 
distintos, denominado (PC)n , é dado por:
Pn n! ___
n n
= = =___(PC)n (n − 1)!
Ilustração
3! 
=(PC)3 22!___
3
= =
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Renan Hozumi
Exemplo 10: 
Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 5
crianças?
crianças: 1, 2, 3, 4, 5
•
• •
• •
1
2 5
3 4
PC Voltar
1 2 3 4 5
2
3 1
4 5
•
• •
• •
2 3 4 5 1
•
• •
• •
3
4 2
5 1
3 4 5 1 2 
•
• •
• •
4
5 3
1 2
4 5 1 2 3 
5
1 4
2 3
•
• •
• •
5 1 2 3 4 
7.32Permutações circulares: Número de permutações circulares
representam