Lista Cálculo 4 Cleide - 2014.2

Prévia do material em texto

Ca´lculo 4 2014.2
Turmas CM, GM, FM
1aLista de Exerc´ıcios Prof. Cleide Martins
I. Resolva as seguintes EDO’s/ PVI’s de 1a ordem:
1. 3x5y2 + x3y′ = 2y2 2. xy′ + 3y = 3x−3/2
3. xy′ = 6y + 12x4y2/3 4. 9x2y2 + x3/2y′ = y2
5. 2y + (x+ 1)y′ = 3x+ 3 6. 9x1/2y4/3 − 12x1/5y3/2 + (8x3/2y1/3 − 15x6/5y1/2)y′ = 0
7. y + xy′ = 2e2x 8. (2x+ 1)y′ + y = (2x+ 1)3/2
9. (y + x)dy = (y − x)dx 10. xdy − ydx = (1 + y2)dy; y(−1) = 2
11. xdy = (y + x2 + 9y2)dx 12. (xy − 1)dx+ (x2 − xy)dy = 0; y(2) = ln 2
13. 9x dx+ 4y dy = 0 14. (2x+ 1
y
− y
x2
) dx+ (2y + 1
x
− x
y2
) dy = 0
15. −y dx+ x dy = 0 16. (sen y cos y + xcos2y) dx+ x dy = 0
17. y′ + 4x2y = (4x2 − x)e−x22 18. −senxy(y dx+ x dy) = 0; y(1) = pi
19. y′ + y = y2 20. e2xy′ = 2(x+ 2)y3; y(0) = 1√
5
21. y′ + y
x2
= 2xe
1
x 22. 2yy′ + y2senx = sen x; y(0) =
√
2
23. y′ = x+ 4y 24. y′ + (x+ 1)y = ex
2
y3; y(0) = 1
2
25. xy′ =
(
y
x
)3
+ y 26. sen (y − x) dx+ [cos (y − x)− sen (y − x)] dy = 0
27. y′ = x(y − x2 + 1) 28. xy′ = (y − 2x)2 + y (Fac¸a z = y − 2x)
29. y′ − 3y = −12y2; y(0) = 2 30. (2y + y2
x
+ ex(1 + 1
x
)) dx+ (x+ 2y) dy = 0; y(1) = 1
II. Em cada um dos problemas a seguir, uma func¸a˜o y = g(x) e´ descrita por alguma propriedade
geome´trica do seu gra´fico. Escreva uma E.D.O da forma y′ = f(x, y) tendo a func¸a˜o g(x) por soluc¸a˜o
(ou uma de suas soluc¸o˜es ) e determine g(x).
1. A inclinac¸a˜o do gra´fico de g no ponto (x, y) e´ a soma de x e y.
2. A reta tangente ao gra´fico de g no ponto (x, y) intersepta o eixo x no ponto (x
2
, 0).
3. A reta tangente ao gra´fico de g em (x, y) passa pelo ponto (−y, x)
4. Determine a func¸a˜o y = g(x), x > 0, cujo gra´fico passa pelo ponto (1, 2) e que tem a seguinte
propriedade: para cada (x, y) no gra´fico de g, a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (x, y) e (0,m),m > 0
e´ igual a 1, onde (0,m) e´ a intersec¸a˜o da reta tangente em (x, y) com o eixo y.
Aplicac¸o˜es
Leia e entenda cada um dos exemplos seguintes antes de resolver os problemas propostos
Exemplo 1. Decaimento radioativo: Sabe–se que um certo material radioativo decai a uma taxa
proporcional a` quantidade presente. Observa–se um bloco desse material tendo, originalmente, massa
Q0 gramas. Apo´s 24 horas nota–se uma reduc¸a˜o em massa de 10%. Encontre a expressa˜o Q(t), para
a massa do bloco em func¸a˜o do tempo e o tempo necessa´rio para que a massa do bloco decaia para a
metade da massa original.
Soluc¸a˜o : Como a taxa de variac¸a˜o de Q e´ proporcional a Q tem-se:
Q′(t) = kQ(t) k constante
A EDO acima e´ separa´vel (e linear). Sua soluc¸a˜o geral e´:
Q(t) = cekt
Tomando t = 0 quando Q0 e´ observada, tem–se um problema de valor inicial e c = Q0. Para determinar
a constante k nota–se que para t = 24, Q(24) = Q0 − Q010 = 9Q010 . Portanto
9Q0
10
= Q0e
24k ⇒ k = − 1
24
ln
10
9
=˜− 0, 00439
Logo, a expressa˜o de Q(t) e´:
Q(t) = Q0e
−0,00439t
Para que a massa decaia para a metade da quantidade original deve–se ter:
Q0
2
= Q0e
−0,00439t ⇒ t = 1
0, 00439
ln 2=˜158 horas
Exemplo 2. Juros compostos: Suponha que uma quantidade de dinheiro S0 e´ investida a uma taxa de
juros de 4% composta trimestralmente. O valor do investimento pode ser computado algebricamente.
Entretanto, pode–se aproximar a situac¸a˜o real por um modelo matema´tico no qual assume–se que os
juros sa˜o compostos continuamente, ou seja a taxa de variac¸a˜o do valor do investimento S(t) no tempo
t e´ a taxa de juros aplicada ao valor do investimento:
S ′(t) = 0, 04S(t)
Como no exemplo anterior, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima e´:
S(t) = S0e
0,04t
A tabela abaixo mostra a a raza˜o S(t)
S0
para alguns valores de t em anos para o modelo real e para o
modelo aproximado dado acima, bem como o percentual de erro cometido na aproximac¸a˜o.
t S(t)
S0
S(t)
S0
(modelo) Erro
2 1, 0829 1, 0833 0.04
5 1, 2202 1, 2214 0, 1
10 1, 4889 1, 4918 0, 2
20 2, 2168 2, 2255 0, 4
t S(t)
S0
S(t)
S0
(modelo) Erro
40 4, 9142 4, 9530 0, 8
80 24, 149 24, 533 1, 5
200 2866 2981 4, 0
400 8.214.000 8.886.000 8, 2
Exemplo 3. Problema de Mistura: Considere um tanque que contem uma soluc¸a˜o (mistura de soluto
e solvente). Ha´ tanto um fluxo de entrada como um de sa´ıda, e queremos calcular a quantidade Q(t)
de soluto no tanque no instante t, conhecendo–se a quantidade inicial Q0. Suponha que a soluc¸a˜o que
flui para dentro do tanque tem uma concentrac¸a˜o de c1 gramas de soluto por litro de soluc¸a˜o , que flui
a uma taxa constante de r1 litros por segundo e que a soluc¸a˜o no tanque – mantida uniformemente
misturada por algum movimento – escoa para fora a uma taxa de r0 litros por segundo.
Soluc¸a˜o : Para deduzir uma equac¸a˜o diferencial para Q(t), estima–se a variac¸a˜o ∆Q em um curto
intervalo de tempo ∆t. A quantidade de soluto que flui para dentro do tanque no intervalo ∆t e´ c1r1∆t
gramas. A quantidade de soluto que escoa para fora do tanque nesse mesmo intervalo depende da
concentrac¸a˜o c0(t) no instante t e c0(t) =
Q(t)
V (t)
onde V (t) denota o volume, constante se r1 = r0, varia´vel
caso contra´rio, da soluc¸a˜o no tanque no instante t: observe que V (t) = V0 + (r1 − r0)t. A variac¸a˜o em
Q e´ a diferenc¸a entre a quantidade que entra no tanque e a quantidade que sai do tanque no intervalo
de tempo ∆t
∆Q = r1c1∆t− r0c0∆t
e, dividindo–se por ∆t e fazendo ∆t tender a zero, tem–se
Q′(t) = r1c1 − r0c0 = r1c1 − r0Q(t)
V (t)
= r1c1 − r0
V0 + (r1 − r0)tQ(t)
Portanto, a quantidade de soluto no tanque obedece a uma EDO de 1a ordem linear.
Exemplo 4. Crescimento Populacional Suponha que P (t) e´ o nu´mero de indiv´ıduos numa populac¸a˜o
tendo taxas de natalidade β(t) e mortalidade δ(t) e que so´ ha´ variac¸a˜o de populac¸a˜o por ocorreˆncia de
nascimento e morte de indiv´ıduos. Sendo B(t) e D(t) os nu´meros de nascimentos e mortes ocorridos
num intervalo de tempo ∆t, as respectivas taxas β(t) e δ(t) sa˜o definidas como a raza˜o entre o nu´mero
de nascimentos por unidade de tempo por unidade de populac¸a˜o e a raza˜o entre o nu´mero de mortes
por unidade de tempo por unidade de populac¸a˜o
β(t) = lim
∆t→0
B(t+∆t)−B(t)
∆tP (t)
=
1
P
B′(t)
δ(t) = lim
∆t→0
D(t+∆t)−D(t)
∆tP (t)
=
1
P
D′(t)
e a taxa de variac¸a˜o da populac¸a˜o P ′(t) e´
P ′(t) = lim
∆t→0
P (t+∆t)− P (t)
∆t
= lim
∆t→0
B(t+∆t)−D(t+∆t)− (B(t)−D(t))
∆t
P ′(t) = B′(t)−D′(t) = (β − δ)P
Se β e δ so´ dependem de t enta˜o a equac¸a˜o acima e´ separa´vel e sua soluc¸a˜o geral e´
P (t) = e
∫
(β−δ)dt
No pro´ximo exemplo, a taxa de natalidade depende tambe´m da populac¸a˜o.
Exemplo 5. Populac¸o˜es Limitadas Em algumas populac¸o˜es observa–se que a taxa de natalidade
decresce enquanto a populac¸a˜o cresce. Por exemplo, suponha que β(t) e´ uma func¸a˜o decrescente e
linear de P (t), ou seja, existem constantes positivas β1 e β0 tais que β(t) = β0 − β1P (t). Sendo a taxa
de mortalidade constante, δ = δ0, a equac¸a˜o do exemplo anterior torna–se
dP
dt
= (β0 − β1P − δ0)P = β1P (β0 − δ0
β1
− P )
Se k = β1 e M =
β0−δ0
β1
, reescreve–se a equac¸a˜o acima
dP
dt
= kP (M − P )
que e´ chamada equac¸a˜o log´ıstica. Essa equac¸a˜o ainda e´ separa´vel. Se P0 = P (0), integrando–se obtem–
se
P
M − P = Ae
kMt ⇒ A = P0
M − P0
ou seja
P (t) =
MP0
P0 + (M − P0)e−kMt
Supondo que P0 < M , observa–se que P (t) < M e
lim
t→∞P (t) = M
III. Problemas
Em cada um dos problemas abaixo escreva e resolva uma equac¸a˜o diferencial que seja modelo matema´tico
para a situac¸a˜o descrita.
1. A taxa de variac¸a˜o temporal de uma populac¸a˜o P e´ proporcional a` raiz quadrada de P
2. Se, numa populac¸a˜o de bacte´rias, a taxa de natalidade e de mortalidade sa˜o proporcionais ao nu´mero
de indiv´ıduos presentes, qual e´ a func¸a˜o da populac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo? Qual a tendeˆncia dessapopulac¸a˜o a longo prazo?
3. Em uma cidade com uma populac¸a˜o fixa de P pessoas a taxa de variac¸a˜o temporal do nu´mero N
de pessoas que contrairam certa doenc¸a e´ proporcional ao produto de nu´mero de pessoas que teˆm a
doenc¸a pelo nu´mero de pessoas que na˜o teˆm.
4. Um modelo para a propagac¸a˜o de uma epidemia e´ que a taxa de propagac¸a˜o e´ proporcional ao
nu´mero de pessoas infectadas e ao nu´mero de pessoas na˜o infectadas. Em uma cidade isolada de 5000
habitantes, 160 pessoas teˆm a doenc¸a no comec¸o da semana e 1200 a teˆm no final da semana. Quanto
tempo levara´ para que 80% da populac¸a˜o esteja contaminada?
5. O transporte de uma substaˆncia atrave´s de uma parede capilar na fisiologia pulmonar tem sido
modelado pela equac¸a˜o diferencial
dh
dt
= −R
V
(
h
k + h
)
onde h e´ a concentrac¸a˜o do hormoˆnio na corrente sangu´ınea, t e´ o tempo, R e´ a taxa ma´xima de
transporte, V e´ o volume do capilar e k e´ a constante positiva que mede a afinidade entre os hormoˆnios
e as enzimas que auxiliam o processo. Resolva essa EDO para encontrar uma relac¸a˜o entre h e t.
6. Suponha que uma populac¸a˜o de peixes P (t) num lago e´ atacada por uma doenc¸a no instante t = 0,
resultando que os peixes cessam de reproduzir ( de modo que a taxa de natalidade e´ β = 0) e a taxa
de mortalidade δ ( mortes por semana por peixe) e´ assim proporcional a
√
1
P
. Se existiam inicialmente
900 peixes no lago e restaram 441 apo´s seis semanas, quanto tempo levou para todos os peixes no lago
morrerem?
7. Uma populac¸a˜o de pequenos roedores tem taxa de natalidade β = (0, 001)P (nascimentos por meˆs
por roedor) e taxa de mortalidade δ constante. Se P (0) = 100 e P ′(0) = 8, quanto tempo levara´ para
que esta populac¸a˜o dobre para 200 roedores? (Sugesta˜o: Primeiro encontre o valor de δ).
8. Na ocasia˜o do nascimento de um bebeˆ um casal depositou $ 5.000 numa caderneta de poupanc¸a
que rende 8% ao ano de juros continuamente compostos. Permite–se acumular os pagamentos de juros.
Quanto tera´ a caderneta no de´cimo oitavo aniversa´rio da crianc¸a?
9. Um tanque conte´m 1000 litros de a´gua pura. A´gua salgada contendo 0, 1 Kg de sal por litro entra
no tanque a uma taxa de 10 `/min. A soluc¸a˜o e´ agitada e retirada do tanque a` mesma taxa. Quanto
sal permanece no tanque apo´s 6 minutos?
IV. Resolva as seguintes EDO’s (soluc¸a˜o geral) e PVI’s (soluc¸a˜o particular) de 2a ordem:
1. y′′ + y′ − 6y = 0
2. y′′ + 2y′ + y = 0
3. y′′ + 8y = 0
4. 2y′′ − 4y′ + 8y = 0
5. y′′ − 4y′ + 4y = 0
6. y′′ − 9y′ + 20y = 0
7. 2y′′ + 2y′ + 3y = 0
8. y′′ − y′ + y = 0; y(pi/√3) = 2e
√
3pi/6, y′(pi/
√
3) = 0
9. 3y′′ − 4y = 0
10. y′′ − 6y′ + 4y = 0; y(0) = 3, y′(0) = 1
11. y′′ + y = senx
12. y′′ + 9y = 2 cos 3x+ 3 sen3x
13. y′′ + 2y′ − 3y = 1 + xex
14. y′′ + 2y′ + 5y = ex sen x
15. yy′′ = 2y′2
16. x2y′′ + 3xy′ + 10y = 0
17. 2x2y′′ + 10xy′ + 8y = 0
18. x2y′′ + 2xy′ − 12y = 0
19. x2y′′ + 6xy′ + 6y = x2
20. x2y′′ + 2xy′ − 12y = 1
x3
21. (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0; com x > 1 sabendo que y1 = ex e´ soluc¸a˜o
22. x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0; sabendo que y1 = x e´ soluc¸a˜o
23. x2y′′ − 2xy′ + (x2 + 2)y = 0; sabendo que y1 = x cos x e´ soluc¸a˜o