Cálculo V - Engenharia Elétrica

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CA´LCULO V
2015.1 - ENGENHARIA ELE´TRICA
Segunda Prova - GABARITO
Nome do aluno:
Matr´ıcula:
1a questa˜o:
(4,0 pts)(a) A func¸a˜o f(z) = z e´ anal´ıtica? Por queˆ?
(6,0 pts)(b) Encontre o valor principal de (1− i)1+i.
Dica : No valor principal, so´ existe um u´nico valor para o aˆngulo θ, e ele esta´
compreendido no intervalo −pi < θ ≤ pi.
RESOLUC¸A˜O :
(a)f(z) = x− iy, para z = x+ iy. Portanto:
u(x, y) = x
v(x, y) = −y
Logo, temos:
ux(x, y) = 1
⇒ ux(x, y) 6= vy(x, y)
vy(x, y) = −1
Portanto, por Cauchy-Riemann, f(z) na˜o e´ uma func¸a˜o anal´ıtica.
(b)
(1− i)1+i = e(1+i)Ln(1−i) = e(1+i)(ln |1−i|+i(−pi/4)) = e(1+i)(ln
√
2−ipi
4
)
(1− i)1+i = e(ln
√
2+pi
4
)+i(ln
√
2−pi
4
) = eln
√
2e
pi
4
(
cos(ln
√
2− pi
4
) + isen(ln
√
2− pi
4
)
)
(1− i)1+i =
√
2e
pi
4
(
cos(ln
√
2− pi
4
) + isen(ln
√
2− pi
4
)
)
1
2a questa˜o: Integre.
(5,0 pts)(a)
∫
C
z dz, com C indo de −1 + i ate´ 1 + i ao longo da para´bola y = x2,
no plano complexo.
(5,0 pts)(b)
∫
C
z3 + senz
(z − i)3 dz, onde C e´ um c´ırculo com centro em i, percorrido no
sentido anti-hora´rio.
RESOLUC¸A˜O :
(a)Parametrizando a curva, temos:
z(t) = t+ it2 , −1 ≤ t ≤ 1
z˙(t) = 1 + i2t , −1 ≤ t ≤ 1
f(z(t)) = t− it2 , −1 ≤ t ≤ 1
Como f(z) na˜o e´ anal´ıtica, integramos pela definic¸a˜o, ou seja:∫
C
z dz =
∫ 1
−1
z(t)z˙(t) dt =
∫ 1
−1
(t− it2)(1 + i2t) dt =
=
∫ 1
−1
(t+ 2t3 + it2) dt =
∫ 1
−1
(t+ 2t3) dt+ i
∫ 1
−1
t2 dt =
2
3
i.
(b)Primeiro observe que:
(z3 + senz)′ = 3z2 + cosz
(z3 + senz)′′ = 6z − senz.
Enta˜o, temos:∮
C
z3 + senz
(z − i)3 dz =
2pii(z3 + senz)′′
2!
∣∣∣∣
zo=i
= pii(6i− seni) =
= −6pi − ipiseni = −6pi + pisenh1 = pi(senh1− 6).
(10 pts)3a questa˜o: Encontre a se´rie complexa de Fourier da func¸a˜o f(x) = x,
com per´ıodo igual a 2pi.
Dica :
∫
xe−inx dx =
∫
xcos(nx) dx− i ∫ xsen(nx) dx. Perceba que xcos(nx) e´
ı´mpar.
RESOLUC¸A˜O :
2
1o modo(usando a dica).
cn =
1
2pi
∫ pi
−pi
xe−inx dx =
1
2pi
{∫ pi
−pi
xcosnx dx− i
∫ pi
−pi
xsennx dx
}
= − i
2pi
∫ pi
−pi
xsennx dx.
Observe que se n = 0⇒ c0 = 0. Se n 6= 0, temos:
cn = − i
2pi
{
− xcosnx
n
∣∣∣pi
−pi
+
1
n
∫ pi
−pi
cosnx dx
}
=
icos(npi)
n
=
(−1)ni
n
.
Portanto:
cn =
(−1)ni
n
.
Enta˜o:
x =
∞∑
n=−∞
n6=0
(−1)ni
n
einx
ou
x = i
∞∑
n=−∞
n 6=0
(−1)n
n
einx
2o modo(sem usar a dica).
cn =
1
2pi
∫ pi
−pi
xe−inx dx =
1
2pi
{
xe−inx
−in
∣∣∣∣pi
−pi
+
1
in
∫ pi
−pi
e−inx dx
}
=
=
1
2pi
{
xe−inx
−in
∣∣∣∣pi
−pi
+
1
in
[
e−inx
−in
]pi
−pi
}
= − 1
2in
(
e−inpi + einpi
)− 1
2pi(in)2
(
e−inpi − einpi) .
Lembrando que
cos(npi) =
1
2
(
einpi + e−inpi
)
; sen(npi) =
1
2i
(
einpi − e−inpi)
e mediante algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, temos:
− 1
2in
(
e−inpi + einpi
)− 1
2pi(in)2
(
e−inpi − einpi) = − 1
in
cos(npi)− i
n2pi
sen(npi) =
icos(npi)
n
=
(−1)ni
n
.
Portanto:
cn =
(−1)ni
n
.
Enta˜o:
x =
∞∑
n=−∞
n6=0
(−1)ni
n
einx
3
ou
x = i
∞∑
n=−∞
n 6=0
(−1)n
n
einx
(10 pts)4a questa˜o: Seja f(x) a seguinte func¸a˜o:
f(x) =

senx se 0 < x < pi
0 se x > pi
Represente f(x) como uma integral de Fourier de senos, ou seja, considere f(x)
uma func¸a˜o ı´mpar.
Dica :
∫
senvsenwv dv =
wsenvcoswv − cosvsenwv
1− w2
RESOLUC¸A˜O :
Como f(v)coswv e´ uma func¸a˜o impar, temos que:
A(w) =
1
pi
∫ ∞
−∞
f(v)coswv dv = 0.
Como f(v)senwv e´ uma func¸a˜o par, temos que:
B(w) =
1
pi
∫ ∞
−∞
f(v)senwv dv =
2
pi
∫ ∞
0
f(v)senwv dv =
2
pi
∫ pi
0
senvsenwv dv
Pela dica, temos:
B(w) =
2
pi
{
wsenvcoswv − cosvsenwv
1− w2
∣∣∣∣pi
0
}
Portanto:
B(w) =
2
pi
{
senwpi
1− w2
}
Logo, a integral de Fourier de f(x) e´:
f(x) =
∫ ∞
0
2
pi
senwpi
1− w2 · senwx dw
ou
f(x) =
2
pi
∫ ∞
0
senwpi
1− w2 · senwx dw
4
Formula´rio:
zc = e(c lnz)
∫
C
f(z) dz =
∫ b
a
f(z(t))z˙(t) dt
1
2pii
∮
C
f(z)
z − z0 dz=f(z0)
n!
2pii
∮
C
f(z)
(z − z0)n+1 dz=f
(n)(z0)
f(x) =
+∞∑
n=−∞
cne
inpix/L,
cn =
1
2L
∫ L
−L
f(x)e−inpix/L dx
f(x) =
∫ ∞
0
A(w)coswx+B(w)senwx dw
A(w) =
1
pi
∫ ∞
−∞
f(v)cosvw dv
B(w) =
1
pi
∫ ∞
−∞
f(v)senvw dv
5